Introdução aos Métodos Numéricos

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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho

2 Conteúdo Erros e Aproximações Numéricas Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos Interpolação Ajuste de Curvas Zeros de Função Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos Integração Numérica Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias

3 Conteúdo Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos

4 A sistematização que veremos é devida a Gauss É chamada de Eliminação Gaussiana

5 Comecemos com a11 a12 a13 a14 a1,n 1 ann a 21 a 22 a 23 a 24 a 2,n 1 a 2, n a 31 a 32 a 33 a 34 a 3,n 1 a 3, n a 41 a 42 a 43 a 44 a 4, n 1 a 4,n a n 1,1 a n 1,2 a n 1,3 a n 1,4 a n 1,n 1 a n 1, n a n,1 a n,2 a n,3 a n,4 a n,n 1 a n,n x= b1 b 2 b 3 b 4 b n 1 b n Procuremos o número o qual, ao multiplicarmos pelos valores da primeira linha e somarmos estes valores com os correspondentes da segunda linha, anule o primeiro elemento da segunda linha

6 a11 a12 a13 a14 a1, n 1 ann a 21 a 22 a 23 a 24 a 2,n 1 a 2, n a 31 a 32 a 33 a 34 a 3,n 1 a 3, n a 41 a 42 a 43 a 44 a 4, n 1 a 4,n a n 1,1 a n 1,2 a n 1,3 a n 1,4 a n 1,n 1 a n 1, n a n,1 a n,2 a n,3 a n,4 a n,n 1 a n,n x= b1 b 2 b 3 b 4 b n 1 b n a 11 m 21 +a 21 =0; m 21 = a 21 a a Fácil: O termo é chamado de pivô Aplicando este fator numérico à primeira linha e somando com a segunda anulamos o primeiro elemento da segunda linha e modificamos o restante da linha, assim como o vetor constante. Fizemos uma transformação linear

7 Algoritmo: a 2 j a 2 j +m 21 a 1 j ; j=2,3,,n;b 2 b 2 +m 21 b 1 Custo computacional: uma divisão, n multiplicações e n somas On

8 Algoritmo: m 21 a 21 /a 11 b 2 b 2 +m 21 b 1 Para j 2 até n a 2 j a 2 j +m 21 a 1 j Custo computacional: uma divisão, n multiplicações e n somas On Mas só eliminamos um elemento!

9 Podemos fazer o mesmo para toda a primeira coluna: Calculamos a 11 m 31 +a 31 =0 ; m 31 = a 31 a 11 ;a 11 m 41 +a 41 =0 ; m 41 = a 41 a 11 ; ; a 11 m n 1 +a n1 =0 ; m n 1 = a n 1 a 11 Repetimos o procedimento que fizemos para a segunda linha para as demais linhas

10 Algoritmo: Para i 2 até n m i1 a i 1 /a 11 b i b i +m i1 b 1 Para j 2 até n a ij a ij +m i 1 a 1 j Custo computacional: n-1 divisões, nn-1/2 multiplicações e nn-1/2 somas On 2 Já eliminamos uma coluna!

11 Assim temos a11 a12 a13 a14 a1, n 1 ann 0 a 22 a 23 a 24 a 2,n 1 a 2, n 0 a 32 a 33 a 34 a 3,n 1 a 3, n 0 a 42 a 43 a 44 a 4, n 1 a 4,n 0 a n 1,2 a n 1,3 a n 1,4 a n 1,n 1 a n 1, n 0 a n,2 a n,3 a n,4 a n 1, n a n,n observando que os valores de todas as linhas do sistema, menos a primeira, foram modificadas no processo. No entanto, o determinante e a solução do sistema continuam preservados x= b1 b 2 b 3 b 4 b n 1 b n

12 Podemos repetir o mesmo que fizemos na segunda coluna o que fizemos com a primeira a 22 m 32 +a 32 =0 ; m 32 = a 32 a 22 ; a 22 m 42 +a 42 =0 ; m 42 = a 42 a 22 ; ; a 22 m n 2 +a n 2 =0 ; m n 2 = a n 2 a 22 onde a 22 é o pivô da segunda linha a ij a ij +m i 2 a 2 j ; j=3,,n ;b i b i +m i 2 b 2 ; para i=3,,n

13 Algoritmo: Para i 3 até n m i 2 a i 2 /a 22 b i b i +m i2 b 2 Para j 3 até n a ij a ij +m i 2 a 2 j Custo computacional: n-2 divisões, n-1n-2/2 multiplicações e n-1n-2/2 somas On 2 mas é um On 2 mais magrinho...

14 Agora temos a11 a12 a13 a14 a1, n 1 ann 0 a 22 a 23 a 24 a 2,n 1 a 2, n 0 0 a 33 a 34 a 3,n 1 a 3, n 0 0 a 43 a 44 a 4,n 1 a 4, n 0 0 a n 1,3 a n 1,4 a n 1, n 1 a n 1,n 0 0 a n,3 a n,4 a n 1, n a n, n x= b1 b 2 b 3 b 4 b n 1 b n novamente observando que os valores de todas as linhas do sistema, menos a primeira, foram modificadas no processo. O determinante e a solução do sistema continuam preservados

15 Continuando o processo... a11 a12 a13 a14 a1, n 1 ann 0 a 22 a 23 a 24 a 2, n 1 a 2,n 0 0 a 33 a 34 a 3, n 1 a 3,n a 44 a 4,n 1 a 4, n a n 1, n 1 a n 1,n a n,n x= b1 b 2 b 3 b 4 b n 1 b n Usamos o algoritmo já conhecido para resolver um sistema triangular superior. Observe que o algoritmo de eliminação serve também para calcular o determinante de uma matriz

16 Custo computacional: Eliminação:On 3 + Retrosubstituição:On 2. Portanto o custo total é On 3 O número de operações é de aproximadamente n 3 3 Mais barato que Laplace e muitíssimo mais barato que Cramer

17 Algoritmo: Para k 1 até n 1 Para i k +1 até n m ik a ik /a kk b i b i +m ik b k Para j k +1 até n a ij a ij +m ik a kj O chamaremos de algoritmo ingênuo: Ele parará indevidamente se o pivô da linha i for nulo.

18 Algoritmo ingênuo: Para k=1 até n 1 Para i k +1 até n m a ik /a kk b i b i +mb k Para j k +1 até n a ij a ij +ma kj Aqui excluimos os índices do m. Eles são úteis para calculadores humanos, não para máquinas. Mas como retirar a ingenuidade do algoritmo?

19 A solução vocês conhecem: Trocamos a linha na qual surge o pivô nulo por qualquer linha no qual o pivô não seja nulo

20 A solução vocês conhecem: Trocamos a linha na qual surge o pivô nulo por qualquer linha no qual o pivô não seja nulo Qualquer linha pode ter algum sentido para um calculador humano mas como definir isto para uma máquina?

21 Por enquanto ficamos com esta questão em suspenso... Vamos para um exemplo

22 Seja o sistema x= Calculamos o determinante? Sim e Não...

23 Uma apresentação em câmara lenta...

24 A maneira de fazer estes cálculos aqui apresentada neste primeiro exemplo não é o que se faz em cálculos habituais!

25 Calculemos os primeiros m's x= m 21 = a 21 /a 11 = 4/2=2 m 31 = a 31 /a 11 = 6 /2= 3 m 41 = a 41 /a 11 = 2/2= 1 Repare que multiplicando os valores da primeira linha por teremos os valores : 4,8,-2,2 e 8 no vetor constante m 21

26 Somando estes valores com a segunda linha teremos x= m 21 = a 21 /a 11 = 4/2=2 m 31 = a 31 /a 11 = 6 /2= 3 m 41 = a 41 /a 11 = 2/2= 1 Multiplicando os valores da primeira linha por m 31 teremos os valores : -6,-12,3,-3 e -12 no vetor constante

27 Somando estes valores com a terceira linha teremos x= m21= a21/a11= 4/2=2 m 31 = a 31 /a 11 = 6 /2= 3 m 41 = a 41 /a 11 = 2/2= 1 Multiplicando os valores da primeira linha por m 41 teremos os valores : -2,-4,1,-1 e -4 no vetor constante

28 Somando estes valores com a quarta linha teremos x= m21= a21/a11= 4/2=2 m 31 = a 31 /a 11 = 6 /2= 3 m 41 = a 41 /a 11 = 2/2= 1 Eliminada a primeira coluna.

29 Calculemos os m's para a segunda coluna x= m 32 = a 32 / a 22 = 9/9=1 m 42 = a 42 / a 22 = 2/ 9 Multiplicando os valores da segunda linha por m 32 teremos os valores : 0,9,4,4 e 17 no vetor constante

30 Somando estes valores com a terceira linha x= m 32 = a 32 / a 22 = 9/9=1 m 42 = a 42 / a 22 = 2/ 9 Multiplicando os valores da segunda linha por m 42 teremos os valores : 0,-2,-8/9,-8/9 e -34/9 no vetor constante

31 Somando estes valores com a quarta linha /9 19/9 x= 38/9 m 32 = a 32 / a 22 = 9/9=1 m 42 = a 42 / a 22 = 2/ 9 Eliminamos a segunda coluna

32 Calculemos o m da quarta linha /9 19/9 x= 39/9 m 43 = a 43 = 19 a 33 9 /10= Multiplicando os valores da terceira linha por m 43 teremos os valores : 0,0,-19/9,-19/45 e -38/45 no vetor constante

33 Somando estes valores à quarta linha x= /45 152/ 45 m 43 = a 43 = 19 a 33 9 /10= Eliminamos a terceira coluna.

34 Repare que: Podemos calcular o determinante da matriz de forma simples: det A= =304 Resolvamos agora este sistema triangular pelo algoritmo que apresentamos antes. Classicamente chamamos isto de retrosubstituição

35 Dividamos a quarta linha por x= /45 152/ 45 para obter a 44 x 4 x 4 = =2

36 Explicitemos a componente x= /45 152/ 45 x 3 na terceira linha x 4 = =2 10 x 3 +2 x 4 =4 10 x =4 x 3 = =0

37 Explicitemos a componente x= /45 152/ 45 x 2 na segunda linha x 4 = =2 10 x 3 +2 x 4 =4 10 x =4 x 3 = =0 9 x 2 +4 x 3 +4 x 4 =17 9 x 2 = x 2 = 9 9 =1

38 Explicitemos a componente x= /45 152/ 45 x 1 primeira linha x 4 = =2 10 x 3 +2 x 4 =4 10 x =4 x 3 = =0 9 x 2 +4 x 3 +4 x 4 =17 9 x 2 = x 2 = 9 9 =1 2 x 1 +4 x 2 x 3 +x 4 =4 2 x 1 = x 1 = 2 2 = 1

39 Sistema e solução x= x=

40 Procedimento de resolução

41 Eliminando a primeira coluna x= m21= a21/a11= 4/2=2 m 31 = a 31 /a 11 = 6 /2= 3 m 41 = a 41 /a 11 = 2/2= 1

42 Eliminando a segunda coluna /9 19/9 x= 38/9 m 32 = a 32 / a 22 = 9/9=1 m 42 = a 42 / a 22 = 2/ 9

43 Eliminando a terceira coluna x= /45 152/ 45 m 43 = a 43 = 19 a 33 9 /10= 19 90

44 Retrosubstituição x= /45 152/ 45 x 4 = =2 10 x 3 +2 x 4 =4 10 x =4 x 3 = =0 9 x 2 +4 x 3 +4 x 4 =17 9 x 2 = x 2 = 9 9 =1 2 x 1 +4 x 2 x 3 +x 4 =4 2 x 1 = x 1 = 2 2 = 1

45 Apresentação da solução x=

46 O chamado Método de Diagonalização faz o dobro de cálculos da eliminação gaussiana. Não é uma boa ideia... Há algoritmos diretos mais sofisticados mas não os trabalharemos aqui

47 Façamos um exercício x= /4

48 Aviso importante: Na prova só serão aceitos algoritmos apresentados em aula Qualquer outro procedimento, mesmo que dê a resposta correta, terá a nota zero.