2. Sistemas lineares

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1 2. Sistemas lineares 2.1 Conceitos fundamentais. 2.2 Sistemas triangulares. 2.3 Eliminação de Gauss. 2.4 Decomposição LU. 2.5 Decomposição de Cholesky. 2.6 Decomposição espectral. 2.7 Uso da decomposição. 2.8 Métodos iterativos estacionários. 2.9 Análise de erro na solução de sistemas Estudos de caso: Tensões em circuito elétrico. Estequiometria de reação química Exercícios Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 1

2 Conceitos fundamentais Matriz é um conjunto de elementos dispostos em forma retangular. Tamanho ou dimensão definido pelo número de linhas e colunas. Elementos da matriz delimitados por colchetes ou parênteses A = a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a a 3n. a m1 a m2 a m3 a mn. Elemento referenciado por dois índices o primeiro indica a linha e o segundo a coluna onde está o elemento. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 2

3 Formas de matrizes Coluna: a 11 a 21 a 31. a m1. Linha: [ a 11 a 12 a 13 a 1m ]. Nula: Diagonal: Identidade: d d d d nn Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 3

4 Formas de matrizes Triangular inferior: Triangular superior: Densa: Esparsa: Simétrica b b 21 b b m1 b m2 b mm c 11 c 12 c 1m 0 c 22 c 2m c mm.. cont... M = e M T = Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 4

5 Transposição Operações matriciais A = e A T = Adição e subtração A = C = A + B =, B = Multiplicação por escalar e D = A B = A = [ ] e B = 2A = [ ]. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 5

6 Operações matriciais cont. Multiplicação por vetor A = , v = [ 1 2 ] x = Av = Multiplicação por matriz A = [ ], B = C = AB = [ ]. Produto interno e externo x= 5 1 2, y = k =x T y =10 e M =xy T = Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 6

7 Determinante Definição det(a) = a 11 det(m 11 ) a 12 det(m 12 ) + + ( 1) n+1 a 1n det(m 1n ). Particularmente A = [ ] a 11 det(a) = a11, A = [ a11 a 12 a 21 a 22 ] det(a) = a 11 a 22 a 21 a 12, A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 det(a) = a 11 (a 22 a 33 a 32 a 23 ) a 12 (a 21 a 33 a 31 a 23 ) + a 13 (a 21 a 32 a 31 a 22 ). Exemplo [ 2 1 A = 4 5 ] det(a) = = 6. Matriz singular: det(a) = 0. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 7

8 Posto Vetores {v 1, v 2,..., v n } linearmente dependentes α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 0. Escalares α 1, α 2,..., α n, não todos nulos. Vetores v 1, v 2,..., v n linearmente independentes se a igualdade acima só se verificar com os α i, i = 1, 2,..., n iguais a zero. Posto de A: o número máximo de vetores linhas ou colunas de A que são linearmente independentes. A = Linhas 2 e 4 obtidas pela combinação linear das linhas 1 e 3: L2 = L1 + L3 e L4 = 2L1 L3. posto(a)=2. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 8

9 Traço Soma dos elementos da diagonal principal traço(a) = n i=1 a ii. Exemplo A = traço(a) = = 17. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 9

10 Inversa Inversa da matriz A = A 1 AA 1 = A 1 A = I n. Lei comutativa existe para o produto de uma matriz por sua inversa. Exemplo A = A 1 = e AA 1 = Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 10

11 Operações com transposta e inversa (A T ) T = A. (A 1 ) 1 = A. (A 1 ) T = (A T ) 1 = A T. Se A = BCD, então A T = D T C T B T e A 1 = D 1 C 1 B 1. (A + B) T = A T + B T. (A + B) 1 A 1 + B 1. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 11

12 Autovalores e autovetores Seja a matriz A = [ ] e a igualdade [ ] [ 1 2 ] = 2 [ 1 2 ]. Matriz A possui um autovalor λ = 2 e um correspondente autovetor v = [1 2] T. Também é verdade para λ = 4 e v = [2 3] T. Relação fundamental Av = λv. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 12

13 Problema do autovalor Solução não trivial de (A λi)v = 0. Teorema Se M for uma matriz de ordem n, então o sistema homogêneo My = 0 tem solução não trivial se, e somente se, M for singular. Pelo teorema e sabendo que uma matriz singular tem determinante nulo det(a λi) = 0. Para a matriz A dada det(a λi) = det ([ 10 λ λ ]) = 0, (10 λ)( 4 λ) 12( 4) = 0 λ 2 6λ + 8 = (λ 2)(λ 4) = 0. Valores de λ para os quais det(a λi) = 0 são λ 1 = 2 e λ 2 = 4. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 13

14 Polinômio característico Determinante D n (λ) = det(a λi), D n (λ)=det a 11 λ a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 λ a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 λ a 3n a n1 a n2 a n3 a nn λ. Polinômio D n (λ) de grau n. Os n zeros λ i de D n (λ): autovalores de A. Expandindo o determinante para n = 3 D 3 (λ) = λ 3 +[a 11 +a 22 +a 33 ]λ 2 [(a 11 a 22 a 21 a 12 )+(a 22 a 33 a 32 a 23 ) + (a 11 a 33 a 31 a 13 )]λ+ [a 11 (a 22 a 33 a 32 a 23 ) a 12 (a 21 a 33 a 31 a 23 )+a 13 (a 21 a 32 a 31 a 22 )], D 3 (λ) = c 3 λ 3 + c 2 λ 2 + c 1 λ + c 0. c n 1 = c 2 = n i=1 a ii = traço(a). c 0 = det(a). Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 14

15 Relações de Girard Relações entre raízes e coeficientes λ 1 + λ 2 + λ λ n = n i=1 λ i = c n 1 c n e λ 1 λ 2 λ 3... λ n = n i=1 λ i = ( 1) nc 0 c n. Duas importantes propriedades Soma dos elementos da diagonal principal é igual à soma dos autovalores traço(a) = c n 1 c n n i=1 a ii = n i=1 λ i. Determinante de uma matriz é igual ao produto dos seus autovalores det(a) = ( 1) nc 0 c n det(a) = n i=1 Uma matriz singular tem, no mínimo, um autovalor nulo. λ i. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 15

16 Exemplo das propriedades Para a matriz A = [ ], traço(a) = 10 + ( 4) = 6 = λ 1 + λ 2 = 2 + 4, det(a) = 10( 4) 12( 4) = 8 = λ 1 λ 2 = 2 4. Uma matriz com elementos reais tem seu polinômio característico com coeficientes reais. Uma matriz com elementos reais tem autovalores reais e/ou complexos conjugados em pares. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 16

17 Exemplo de autovalores Calcular os autovalores de A = Polinômio característico [ ]. D 2 (λ) = det(a λi) = det ([ ]) 2 λ 2, 2 1 λ D 2 (λ) = λ 2 λ 6. Zeros do polinômio característico D 2 (λ) λ = 1 ± ( 1) ( 6) 2 { λ1 = 3 λ 2 = 2. traço(a) = 2 + ( 1) = 1 = 2 i=1 λ i = 3 + ( 2), det(a) = 2( 1) 2 2 = 6 = 2 i=1 λ i = 3( 2). Calcular autovalores usando o polinômio característico é computacionalmente ineficiente. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 17

18 Propriedades dos autovalores Considerando que det(a) = det(a T ), então os autovalores λ de A, representados por λ(a), são iguais a λ(a T ). Se A for uma matriz triangular de ordem n det(a λi)=(a 11 λ)(a 22 λ) (a nn λ)=0. O posto de matriz quadrada é igual ao número de autovalores não nulos. Se λ i são os autovalores de A, então λ 1 autovalores de A 1 i são os Av = λv, A 1 Av = λa 1 v, Iv = λa 1 v A 1 v = 1 λ v. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 18

19 Normas Expressar magnitude de vetor ou de matriz. Normas vetoriais definidas como norma-p x p = p n i=1 x i p. Norma-1 ou norma de soma de magnitudes x 1 = n i=1 x i. Norma-2 ou norma Euclidiana x 2 = n i=1 x i 2. Norma- ou norma de máxima magnitude x = lim n p p i=1 x i p = max 1 i n x i. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 19

20 Condições das normas vetoriais Norma vetorial é uma função : C n R que associa um número real a cada vetor. Satisfaz as condições x 0 e x = 0 se, e somente se, x = 0, x + y x + y, kx = k x, x, y C n são vetores e k C é um escalar. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 20

21 Cálculo de norma vetorial Calcular as normas 1, 2 e do vetor x = [3 5 1] T. x 1 = = 9, x 2 = = 5,9161, x = max( 3, 5, 1 ) = 5. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 21

22 Condições das normas matriciais As normas satisfazem as condições A 0 e A = 0 se, e somente se, A = 0, A + B A + B, ka = k A, A e B são matrizes de mesma ordem e k é um escalar. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 22

23 Normas matriciais Norma-1 ou norma de soma máxima de coluna A 1 = max 1 j n n i=1 a ij, Norma- ou norma de soma máxima de linha A = max 1 i n n j=1 a ij, Norma de Frobenius A F = n n i=1 j=1 a ij 2, Norma-2 ou norma espectral { λmax se A = A A 2 = T σ max se A A T λ max é o maior autovalor de A em módulo e σ max é o maior valor singular de A, σ max = λ max (A T A) (raiz quadrada do maior autovalor em módulo da matriz A T A). Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 23

24 Normas consistentes e subordinadas Norma matricial A é consistente com uma norma vetorial x se para qualquer matriz A (n n) e vetor x (n 1) Ax A x. Norma matricial consistente A é subordinada a uma norma vetorial y se para qualquer matriz A (n n) existe um vetor y (n 1), y 0 Ay = A y. Se a norma for subordinada, então AB A B. As normas matriciais 1, 2 e são consistentes e subordinadas às respectivas normas vetoriais. A norma de Frobenius é consistente, mas não subordinada à norma-2 vetorial. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 24

25 Exemplo de norma matricial Calcular as normas 1,, F e 2 da matriz A = [ ]. A 1 = max( 2 + 3, ) = max(5, 6) A 1 = 6, A = max( 2 + 1, ) = max(3, 8) A = 8, A F = = 39 A F = 6,2450, A 2 =max ( ) λ(a T A) = max(2,2284; 5,8339) A 2 = 5,8339. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 25

26 Sistemas de equações lineares Conjunto de m equações polinomiais com n variáveis x i de grau 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n. =. b 3. a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = b m. Forma matricial a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a a 3n. a m1 a m2 a m3 a mn x 1 x 2 x 3. x n = b 1 b 2 b 3. b m. Ax = b, onde A é a matriz dos coeficientes, x é o vetor solução e b é o vetor dos termos independentes. Se A for uma matriz quadrada (n n) não singular Ax = b A 1 Ax = A 1 b x = A 1 b. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 26

27 Classificação de sistemas Sistema sobredeterminado: tem-se mais equações do que incógnitas A (m n), m n e posto(a) = n. Problema de quadrados mínimos lineares minimize x b Ax 2. Sistema subdeterminado: existem mais incógnitas do que equações m < n e posto(a) = m. Sistema não tem solução ou existe um número infinito de soluções. Determinar a solução de norma mínima do sistema linear. Resolver um sistema de ordem n. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 27

28 Exemplo Sistema com única solução [ x 1 + x 2 = x 1 x 2 = ][ x1 x 2 ] = [ 3 1 ] det(a) 0 e x = [1 2] T. det(a) 0: sistema admite uma única solução. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 28

29 Geometria de sist. solução única Solução de um sistema linear de ordem n é um ponto no R n comum aos n hiperplanos descritos por cada uma das n equações x 1 x 2 x 3 = Vetor solução x é a interseção dos três planos descritos por cada uma das três equações E1, E2 e E3: x = [5 1 10] T. Solução : x = [5 1 10] E2 50 E1 x3 0 * E x x Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 29

30 Sistema com infinitas soluções Exemplo [ x 1 + x 2 = x 1 + 2x 2 =4 2 2 ][ x1 x 2 ] = [ 2 4 ] det(a) = 0 e x = [θ 2 θ] T. det(a) = 0: sistema admite infinitas soluções, uma para cada valor de θ. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 30

31 Geometria de sist. infinitas soluções Exemplo x 1 x 2 x 3 = Com det(a) = 0, os três planos se interceptam em uma linha reta descrita por x = [70 6,5θ 16 1,5θ θ] T. Para cada valor de θ ter-se-á uma solução do sistema linear. Infinitas soluções x x x1 0 5 Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 31

32 Exemplo Sistema sem solução x 1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 1 [ ] [ x1 x 2 ] = [ 1 1 ] det(a) = 0 e x. det(a) = 0: sistema não tem solução. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 32

33 Geometria de sistema sem solução Exemplo x 1 x 2 x 3 = Com det(a) = 0: nunca se interceptam simultaneamente, ou seja, o sistema acima não admite solução. Sem solução x x x1 0 5 Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 33

34 Sistema triangular inferior Apresenta a forma l l 21 l l 31 l 32 l l n1 l n2 l n3 l nn x 1 x 2 x 3. x n = c 1 c 2 c 3. c n. Solução via substituições sucessivas l 11 x 1 = c 1 x 1 = c 1 l 11, l 21 x 1 + l 22 x 2 = c 2 x 2 = c 2 l 21 x 1 l 22, l 31 x 1 + l 32 x 2 + l 33 x 3 = c 3 x 3 = c 3 l 31 x 1 l 32 x 2 l 33,. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 34

35 Generalizando Substituições sucessivas l n1 x 1 + l n2 x l n,n 1 x n 1 + l nn x n = c n, x n = c n l n1 x 1 l n2 x 2 l n,n 1 x n 1 l nn. Esquematicamente x i = c i i 1 j=1 l ij x j l ii, i = 1, 2,..., n. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 35

36 Exemplo de substituições sucessivas Calcular a solução do sistema triangular inferior x x x 3 = x 4 6 2x 1 = 4, x 1 = 4 2 x 1 = 2, 3x 1 + 5x 2 = 1, x 2 = 1 3(2) 5 x 2 = 1, x 1 6x 2 + 8x 3 = 48, x 3 = x 3 = 5, 48 (2) + 6( 1) 8 x 1 + 4x 2 3x 3 + 9x 4 = 6, x 4 = 6 + (2) 4( 1) + 3(5) 9 x 4 = 3. Solução do sistema: x = [ ] T. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 36

37 Algoritmo: substituições sucessivas Algoritmo Substituiç~oes Sucessivas { Objetivo: Resolver sist. triangular inferior } { Lx = c pelas substituições sucessivas } par^ametros de entrada n, L, c { ordem, matriz triang. inf. e vetor indep. } par^ametros de saída x { solução do sistema triangular inferior } x(1) c(1)/l(1, 1) para i 2 até n faça Soma 0 para j 1 até i 1 faça Soma Soma + L(i, j) x(j) fim para x(i) (c(i) Soma)/L(i, i) fim para fim algoritmo Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 37

38 Sistema triangular superior Apresenta a forma u 11 u 12 u 1,n 1 u 1n 0 u 22 u 2,n 1 u 2n u n 1,n 1 u n 1,n u nn x 1 x 2 x 3. x n 1 x n = d 1 d 2 d 3. d n 1 d n. Solução via substituições retroativas u nn x n = d n x n = d n u nn, u n 1,n 1 x n 1 + u n 1,n x n = d n 1 x n 1 = d n 1 u n 1,n x n u n 1,n 1,. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 38

39 Continuando Substituições retroativas u 22 x 2 + u 23 x u 2n x n = d 2 x 2 = d 2 u 23 x 3 u 2n x n u 22, u 11 x 1 + u 12 x 2 + u 13 x u 1n x n = d 1 x 1 = d 1 u 12 x 2 u 13 x 3 u 1n x n u 11. Esquematicamente x i = d i n j=i+1 u ij x j u ii, i = n, n 1,..., 1. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 39

40 Exemplo de substituições retroativas Achar solução do sistema triangular superior x 1 x 2 x 3 x 4 = x 4 = 8, x 4 = 8 2 x 4 = 4, 4x 3 + 5x 4 = 28, x 3 = 28 5(4) 4 x 3 = 2, 3x 2 + 7x 3 4x 4 = 2, x 2 = x 2 = 0, 2 7(2) + 4(4) 3 5x 1 2x 2 + 6x 3 + x 4 = 1, x 1 = 1 + 2(0) 6(2) (4) 5 x 1 = 3. Solução do sistema: x = [ ] T. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 40

41 Algoritmo: substituições retroativas Algoritmo Substituiç~oes Retroativas { Objetivo: Resolver sist. triangular superior } { Ux = d pelas substituições retroativas } par^ametros de entrada n, U, d { ordem, matriz triang. sup. e vetor indep. } par^ametros de saída x { solução do sistema triangular superior } x(n) d(n)/u(n, n) para i n 1 até 1 passo 1 faça Soma 0 para j i + 1 até n faça Soma Soma + U(i, j) x(j) fim para x(i) (d(i) Soma)/U(i, i) fim para fim algoritmo Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 41

42 Complexidade: subst. sucessivas Considerando n i=1 i = n(n + 1). 2 Adições n i=2 [(i 1) + 1] = n(n + 1) 2 1 = n2 2 + n 2 1. Multiplicações n i=2 (i 1) = n(n + 1) 2 1 (n 1) = n2 2 n 2. Divisões 1 + n i=2 1 = 1 + n 1 = n. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 42

43 Complexidade: subst. retroativas Adições n 1 i=1 [(n i) + 1] = (n 1)n (n 1)n 2 + n 1 = n2 2 + n 2 1. Multiplicações n 1 i=1 (n i) = (n 1)n (n 1)n 2 = n2 2 n 2. Divisões 1 + n 1 i=1 1 = 1 + n 1 = n. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 43

44 Eliminação de Gauss Classes de métodos para resolução de sistemas lineares. Métodos diretos: solução obtida com número finito de operações aritméticas. Métodos iterativos: solução exata somente com número infinito de operações. Eliminação de Gauss é um exemplo de método direto. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 44

45 Sistemas equivalentes Sistemas de equações lineares que possuem o mesmo vetor solução A { 2x1 + 3x 2 = 8 x 1 x 2 = 1 e B { 2x1 2x 2 = 2 x 1 + 4x 2 = 9 = x A = x B = [ 1 2 ] = A B. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 45

46 Operações l-elementares Trocar ordem de duas equações B { 2x1 2x 2 = 2 x 1 + 4x 2 = 9 e C { x1 + 4x 2 = 9 2x 1 2x 2 = 2 x B = x C = [ 1 2 ] = B C. Multiplicar uma equação por constante não nula C { x1 + 4x 2 = 9 2x 1 2x 2 = 2 e D { x1 + 4x 2 = 9 x 1 x 2 = 1 x C = x D = [ 1 2 ] = C D. Somar uma equação à outra D { x1 + 4x 2 = 9 x 1 x 2 = 1 e E { 2x1 + 3x 2 = 8 x 1 x 2 = 1 x D = x E = [ 1 2 ] = D E. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 46

47 Sistema triangular equivalente Método de eliminação de Gauss a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a a 3n. a n1 a n2 a n3 a nn x 1 x 2 x 3. x n = b 1 b 2 b 3. b n u 11 u 12 u 13 u 1n 0 u 22 u 23 u 2n 0 0 u u 3n u nn x 1 x 2 x 3. x n = d 1 d 2 d 3. d n. Transformação Ax = b Ux = d. Solução do sistema triangular superior Ux = d pelas substituições retroativas. Vetor resíduo r = b Ax. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 47

48 Exemplo de eliminação de Gauss Resolver o sistema pelo método de eliminação de Gauss e verificar a exatidão da solução x 1 x 2 x 3 = Eliminar elementos da primeira coluna x 1 x 2 x 3 = Eliminar elementos da segunda coluna x 1 x 2 x 3 = Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 48

49 Dispositivo prático L multiplicador A b Operações m 21 = ( 2)/1= m 31 = (4)/1= L 1 + L 2 5 m 32 = (6)/2= L 1 + L L 4 + L 5 Sistema triangular superior x 1 x 2 x 3 = Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 49

50 Vetores solução e resíduo Sistema triangular superior x 1 x 2 x 3 = Substituições retroativas x 3 = 36, x 3 = x 3 = 3, 2x 2 + 3x 3 = 7, x 2 = 7 3(3) 2 x 2 = 1, x 1 3x 2 + 2x 3 = 11, x 1 = x 1 = ( 1) 2(3) 1 Vetor solução: x = [2 1 3] T. Vetor resíduo: r = b Ax r = = Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 50

51 Exemplo de eliminação de Gauss Resolver o sistema pelo método de eliminação de Gauss e verificar a exatidão da solução Dispositivo prático x 1 x 2 x 3 x 4 = L multiplicador A b Operações m 21 = (3)/1= m 31 = (1)/1= m 41 = (5)/1= L 1 + L 2 6 m 32 = ( 2)/1= L 1 + L 3 7 m 42 = (3)/1= L 1 + L L 5 + L 6 9 m 43 = (5)/2= 2, L 5 + L ,5L 8 + L 9 Sistema triangular superior equivalente x 1 x 2 x 3 x 4 = Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 51

52 Substituições retroativas Sistema triangular superior equivalente x 1 x 2 x 3 x 4 Substituições retroativas = x 4 = 1, x 4 = 1 1 x 4 = 1,. 2x 3 10x 4 = 12, x 3 = (1) 2 x 3 = 11, x 2 2x 3 + 3x 4 = 1, x 2 = 1 + 2(11) 3(1) 1 x 2 = 20, x 1 + 6x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 8, x 1 = 8 6(20) 2(11) 4(1) 1 x 1 = 138. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 52

53 Vetores solução e resíduo Vetor solução x = Vetor resíduo r = = Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 53

54 Cálculo do determinante Determinante da matriz dos coeficientes obtido como um subproduto do método de Gauss. Relações entre os determinantes das matrizes dos sistemas equivalentes intermediários obtidos pelas operações l-elementares. a) Se duas linhas quaisquer de uma matriz A forem trocadas, então, o determinante da nova matriz B será det(b) = det(a). A = [ ] det(a) = 10, B = [ ] det(b) = 10. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 54

55 Determinante via operações l-elementares b) Se todos os elementos de uma linha de A forem multiplicados por uma constante k, então, o determinante da matriz resultante B será det(b) = k det(a). A = [ ] det(a) = 10, B = [ ] det(b) = 5. c) Se um múltiplo escalar de uma linha de A for somado à outra linha, então, o determinante da nova matriz B será det(b) = det(a). A = [ ] det(a) = 5, B = [ ] det(b) = 5. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 55

56 Determinante via operações l-elementares d) Se A for uma matriz triangular ou diagonal de ordem n, então, o seu determinante será igual ao produto dos elementos da diagonal principal det(a) = a 11 a 22 a a nn = n i=1 a ii. A = [ ] det(a) = 2, B = det(b) = 15. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 56

57 Determinante via operações l-elementares e) Se uma matriz A for multiplicada por uma matriz B, então, o determinante da matriz resultante C será det(c) = det(a) det(b). A = [ ] det(a) = 10, B = [ ] det(b) = 3, C = [ ] det(c) = 30. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 57

58 Exemplo de cálculo do determinante Calcular o determinante da matriz Seqüência de matrizes obtidas pelas operações l- elementares Matrizes obtidas somente por combinações lineares das linhas. As três matrizes possuem determinante com mesmo valor. Determinante será igual ao produto dos elementos da diagonal, ou seja, o determinante será o produto dos pivôs det(a) = (1)(2)( 12) = 24. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 58

59 Pivotação parcial Método de Gauss falha quando pivô for nulo. Consiste em escolher como pivô o maior elemento em módulo da coluna, cujos elementos serão eliminados. A pivotação parcial garante que o pivô seja não nulo, exceto quando a matriz for singular. Todos os multiplicadores satisfazem 1 m ij 1. Multiplicadores grandes podem ampliar os erros de arredondamento. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 59

60 Exemplo de pivotação parcial Resolver o sistema pelo método de Gauss com pivotação parcial x 1 x 2 x 3 = Dispositivo prático L multiplicador A b Operações 1 m 11 = (1)/4= 0, m 21 = ( 2)/4=0, m 12 = ( 1,5)/5=0,3 0 1,5 0,75 3,75 0,25L 3 +L ,5 0,5 0,5L 3 +L ,2 3,6 0,3L 5 +L 4 Sistema triangular superior equivalente , ,2 x 1 x 2 x 3 = 29 0,5 3,6. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 60

61 Vetor solução Sistema triangular superior equivalente , ,2 x 1 x 2 x 3 = 29 0,5 3,6. Substituições retroativas 1,2x 3 = 3,6, x 3 = 3,6 1,2 x 3 = 3, 5x 2 + 1,5x 3 = 0,5, x 2 = 0,5 1,5(3) 5 x 2 = 1, 4x 1 6x 2 + 5x 3 = 29, x 1 = ( 1) 5(3) 4 x 1 = 2. Vetor solução: x = [2 1 3] T. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 61

62 Decomposição LU Uma matriz quadrada qualquer pode ser escrita como o produto de duas matrizes. Exemplo [ ] = [ ] [ ]. A matriz A foi fatorada tal que A = LU. L: matriz triangular inferior unitária. U: matriz triangular superior. Resolver o sistema Ax = b Ax = b LUx = b, Ly = b e Ux = y. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 62

63 Cálculo dos fatores Fatoração por eliminação de Gauss. Resolver o sistema x 1 x 2 x 3 = Dispositivo prático L m A Operações m 21 = ( 2)/1 = m 31 = (4)/1 = L 1 + L 2 5 m 32 = (6)/2 = L 1 + L L 4 + L 5 Matrizes L e U L = e U = Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 63

64 Sistema triangular inferior Ly = b Igualdade A = LU = Solução do sistema Ly = b y 1 y 2 y 3 = , y 1 = 11, 2y 1 + y 2 = 15, y 2 = (11) y 2 = 7, 4y 1 + 3y 2 + y 3 = 29, y 3 = 29 4(11) 3(7) y 3 = 36. Vetor intermediário: y = [ ] T. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 64

65 Sistema triangular superior Ux = y Solução do sistema Ux = y x 1 x 2 x 3 = , 12x 3 = 36, x 3 = x 3 = 3, 2x 2 + 3x 3 = 7, x 2 = 7 3(3) 2 x 2 = 1, x 1 3x 2 + 2x 3 = 11, x 1 = ( 1) 2(3) 1 x 1 = 2. Vetor solução: x = [2 1 3] T. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 65

66 Pivotação parcial Evitar pivô nulo. Evitar multiplicadores com valores grandes. Decomposição da forma P A = LU. P : matriz de permutações. L: matriz triangular inferior unitária formada pelos multiplicadores, com sinais contrários. U: matriz triangular superior. Resolver o sistema Ax = b Ax = b P Ax = P b LUx = P b. Ly = P b e Ux = y. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 66

67 Resolver o sistema Exemplo x 1 x 2 x 3 = Dispositivo prático L m A Operações LP 1 m 11 = (1)/4= 0, m 21 = ( 2)/4=0, m 12 = ( 1,5)/5=0,3 0 1,5 0,75 0,25L 3 +L ,5 0,5L 3 +L ,2 0,3L 5 +L 4 1 L = U = m m 11 m , ,2 = e P = , ,25 0, Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 67

68 Sistema triangular inferior Ly = P b Solução do sistema Ly = P b , ,25 0,3 1 y 1 y 2 y 3 = , y 1 = 29; 0,5y 1 + y 2 = 15, y 2 = ,5(29) y 2 = 0,5; 0,25y 1 0,3y 2 + y 3 = 11, y 3 = 11 0,25(29) + 0,3( 0,5) y 3 = 3,6. Vetor intermediário: y = [29 0,5 3,6] T. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 68

69 Sistema triangular superior Ux = y Solução do sistema Ux = y , ,2 x 1 x 2 x 3 = 29 0,5 3,6, 1,2x 3 = 3,6, x 3 = 3,6 1,2 x 3 = 3, 5x 2 + 1,5x 3 = 0,5; x 2 = 0,5 1,5(3) 5 x 2 = 1; 4x 1 6x 2 + 5x 3 = 29; x 1 = ( 1) 5(3) 4 x 1 = 2. Vetor solução: x = [2 1 3] T. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 69

70 Cálculo do determinante Pelas propriedades dos determinantes P A = LU det(p A) = det(lu), det(a) = det(l) det(u), det(p ) det(l) = n i=1 l ii = 1, det(u) = n i=1 u ii, det(p ) = ( 1) p, p: número de trocas de linhas necessárias para transformar a matriz de permutações em identidade. Determinante det(a) = ( 1) p n i=1 u ii. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 70

71 Exemplo Calcular o determinante da matriz A = Matrizes U e P U = Valor de p , ,2. e P = p linhas pivotais comentário trocar 3 com ordem crescente. Determinante det(a) = ( 1) p 3 i=1 u ii = ( 1) 1 (4)(5)(1,2) det(a) = 24. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 71

72 Exemplo Resolver o sistema x 1 x 2 x 3 x 4 = Dispositivo prático L m A Operações LP 1 m 11 = (4)/5= 0, m 21 = (1)/5= 0, m 31 = (0)/5= m 12 = ( 1)/4=0, ,8L 4 +L m 22 = ( 2)/4=0, ,2L 4 +L L 4 +L ,25 0,25L 7 +L m 23 = ( 2)/( 5)= 0, ,5 0,5L 7 +L ,4 0,4L 8 +L 9 2 Índices das linhas pivotais (LP): 4, 3, 1 e 2. Matrizes L, U e P L= ,8 0, ,2 0,5 0,4 1, U= , ,4, P= Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 72

73 Sistemas triangulares Solução do sistema Ly = P b ,8 0, ,2 0,5 0,4 1 y 1 y 2 y 3 y 4 = y = ,25 2. Solução do sistema Ux = y , ,4 x 1 x 2 x 3 x 4 = ,25 2 x = Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 73

74 Exatidão e unicidade da solução Exatidão r =b Ax= r = Unicidade da solução p linhas pivotais comentário trocar 4 com trocar 3 com trocar 4 com ordem crescente, det(a) = ( 1) p 4 i=1 u ii, det(a) = ( 1) 3 (5)(4)( 5)( 0,4) = Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 74

75 Sistema com matriz singular Sistema com infinitas soluções. Resolver o sistema Ax = b, sendo A = Decomposição LU e b = L m A Operações LP. 1 m 11 = (1)/( 2)=0, m 31 = ( 1)/( 2)= 0, ,5 0,5L 2 +L m 32 = (1)/1= ,5 0,5L 2 +L L 4 +L 5 3. Os três fatores L= , ,5 1 1, U= , e P= Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 75

76 Solução dos sistemas triangulares Solução do sistema Ly = P b , ,5 1 1 y 1 y 2 y 3 = y = Solução do sistema Ux = y , x 1 x 2 x 3 = , 0x 3 = 0 x 3 = θ, x 2 + 1,5x 3 = 16 x 2 = 16 1,5θ, 2x 1 + 8x 2 x 3 = 12, x 1 = 12 8(16 1,5θ) + θ 2 x 1 = 70 6,5θ. Vetor solução: x = [70 6,5θ 16 1,5θ θ] T. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 76

77 Sistema com matriz singular Sistema sem solução. Resolver o sistema Ax = c, sendo A = Solução de Ly = P c e c = , ,5 1 1 y 1 y 2 y 3 = y = Solução de Ux = y , x 1 x 2 x 3 = x 3 = 70 x 3 x. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 77

78 Algoritmo: decomposição LU Algoritmo Decomposiç~ao LU { Objetivo: Fazer a decomposição LU de uma matriz A } par^ametros de entrada n, A { ordem e matriz } par^ametros de saída A, Det, Pivot { matriz decomposta A = U + L I, determinante, pivôs } para i 1 até n faça Pivot(i) i fim para; Det 1 para j 1 até n 1 faça { Escolha do elemento pivô } p j; Amax abs(a(j, j)) para k j + 1 até n faça se abs(a(k, j)) > Amax ent~ao Amax abs(a(k, j)); p k fim se fim para se p j ent~ao { Troca de linhas } para k 1 até n faça t A(j, k); A(j, k) A(p, k); A(p, k) t fim para t Pivot(j); Pivot(j) Pivot(p); Pivot(p) t Det Det fim se Det Det A(j, j) se abs(a(j, j)) 0 ent~ao { Eliminação de Gauss } r 1/A(j, j) para i j + 1 até n faça m A(i, j) r; A(i, j) m para k j + 1 até n faça A(i, k) A(i, k) m A(j, k) fim para fim para fim se fim para Det Det A(n, n) fim algoritmo Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 78

79 Complexidade da decomposição LU Matriz de ordem n Operações Adições Multiplicações Complexidade 1 3 n3 1 2 n n 1 3 n3 1 3 n Divisões n 1 Desconsideradas operações de trocas de sinal e multiplicações para o cálculo do determinante. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 79

80 Algoritmo: Substituições sucessivas pivotal Algoritmo Substituiç~oes Sucessivas Pivotal { Objetivo: Resolver sistema triang. inferior } { Lx = P c pelas substituições sucessivas, } { com pivotação parcial } par^ametros de entrada n, L, c, Pivot { ordem, matriz triangular inferior unitária, } { vetor independente e posição dos pivôs } par^ametros de saída x { solução do sistema triangular inferior } k Pivot(1) x(1) c(k) para i 2 até n faça Soma 0 para j 1 até i 1 faça Soma Soma + L(i, j) x(j) fim para k Pivot(i) x(i) c(k) Soma fim para fim algoritmo Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 80

81 Decomposição de Cholesky Matriz dos coeficientes A simétrica e definida positiva, A = A T e v T Av > 0, v 0. Decomposição LU simplificada para A = LL T, L: matriz triangular inferior. L T : matriz triangular superior. Teorema (Cholesky) Se A for uma matriz simétrica e definida positiva, então existe uma única matriz triangular L com elementos da diagonal positivos tal que A = LL T. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 81

82 Cálculo do fator Decomposição LL T = A de matriz de ordem 4 l l 21 l l 31 l 32 l 33 0 l 41 l 42 l 43 l 44 l 11 l 21 l 31 l 41 0 l 22 l 32 l l 33 l l 44 = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44. Elemento l 44 da diagonal l l l l2 44 = a 44 l 44 = a 44 (l l l2 43 ) l 44 = a 44 3 k=1 l 2 4k. Elemento qualquer da diagonal de L l jj = a jj j 1 k=1 ljk 2, j = 1, 2,..., n. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 82

83 Cálculo do fator cont. l l 21 l l 31 l 32 l 33 0 l 41 l 42 l 43 l 44 l 11 l 21 l 31 l 41 0 l 22 l 32 l l 33 l l 44 = Elemento l 43 abaixo da diagonal a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44. l 41 l 31 + l 42 l 32 + l 43 l 33 = a 43 l 43 = a 43 (l 41 l 31 + l 42 l 32 ) l 33 l 43 = a 43 2 k=1 l 4k l 3k l 33. Elemento genérico abaixo da diagonal principal l ij = a ij j 1 k=1 l ik l jk l jj, j = 1, 2,..., n 1 e i = j + 1, j + 2,..., n. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 83

84 Solução de Ax = b por Cholesky Solução de Ax = b Ax = b LL T x = b. Ly = b e L T x = y Sistema triangular inferior Ly = b y i = b i i 1 j=1 l ij y j l ii, i = 1, 2,..., n. Sistema triangular superior L T x = y x i = y i n j=i+1 l ji x j l ii, i = n, n 1,..., 1. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 84

85 Cálculo do determinante Pelas propriedades dos determinantes det(a) = det(ll T ), det(a) = det(l) det(l T ) det(a) = n l ii i=1 2. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 85

86 Resolver o sistema Exemplo x 1 x 2 x 3 = Coluna 1 l 11 = a 11 = 4 = 2, l 21 = a 21 l 11 = 2 2 = 1, l 31 = a 31 l 11 = 2 2 = 1. Coluna 2 l 22 = a 22 l21 2 = 10 ( 1) 2 = 3, l 32 = a 32 l 31 l 21 l 22 = 7 (1)( 1) 3 = 2. Coluna 3 l 33 = a 33 (l31 2 +l2 32 )= 30 ((1) 2 +( 2) 2 )=5. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 86

87 Dispositivo prático A L i\j i\j Verificação que LL T = A = Sistema Ly = b y 1 y 2 y 3 = y = Sistema L T x = y x 1 x 2 x 3 = x = Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 87

88 Exatidão e unicidade da solução Exatidão r = b Ax, r = r = 0 solução exata = 0 0 0, Unicidade det(a) = 3 l ii i=1 2 = ((2)(3)(5)) 2 = 900, det(a) 0 solução única. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 88

89 Exemplo Resolver o sistema x 1 x 2 x 3 x 4 = Coluna 1 l 11 = a 11 = 9 = 3, l 21 = a 21 l 11 = 6 3 = 2, l 31 = a 31 l 11 = 3 3 = 1, l 41 = a 41 l 11 = 3 3 = 1. Coluna 2 l 22 = a 22 l 221 = 20 (2) 2 = 4, l 32 = a 32 l 31 l 21 l 22 l 42 = a 42 l 41 l 21 l 22 = Coluna 3 l 33 = = 2 ( 1)(2) = 1, 4 22 (1)(2) = 5. 4 a 33 (l l232 ) = 6 (( 1) 2 + (1) 2 ) = 2, l 43 = a 43 (l 41 l 31 + l 42 l 32 ) 2 ((1)( 1) + (5)(1)) = l 33 2 Coluna 4 l 44 = = 1. a 44 (l 241 +l242 +l243 )= 28 ((1) 2 +(5) 2 +( 1) 2 )=1. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 89

90 Dispositivo prático A L i\j i\j Sistema Ly = b y 1 y 2 y 3 y 4 = y = Sistema L T x = y x 1 x 2 x 3 x 4 = x= Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 90

91 Exatidão e unicidade da solução Exatidão r = b Ax, r = = r = 0 solução exata. Matriz L L = Unicidade det(a) = 4 l ii i=1 2 = ((3)(4)(2)(1)) 2 = 576, det(a) 0 solução única. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 91

92 Algoritmo: decomposição de Cholesky Algoritmo Cholesky { Objetivo: Fazer a decomposição LL T de uma matriz A } { simétrica e definida positiva } par^ametros de entrada n, A { ordem e matriz a ser decomposta } par^ametros de saída L, Det, Erro { fator, determinante e condição de erro } Det 1 para j 1 até n faça Soma 0 para k 1 até j 1 faça Soma Soma + L(j, k) 2 fim para t A(j, j) Soma; Det Det t Erro t 0 { variável lógica: se verdadeiro tem erro e se falso não tem } se Erro ent~ao escreva a matriz não é definida positiva ; abandone sen~ao L(j, j) raiz 2 (t); r 1/L(j, j) fim se para i j + 1 até n faça Soma 0 para k 1 até j 1 faça Soma Soma + L(i, k) L(j, k) fim para L(i, j) (A(i, j) Soma) r fim para fim para fim algoritmo Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 92

93 Complexidade: decomposição de Cholesky Matriz de ordem n Operações Adições Multiplicações Divisões Raízes quadradas Complexidade 1 6 n n n 1 6 n n2 2 3 n n n Desconsideradas as multiplicações para cálculo do determinante. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 93

94 Decomposição espectral Uma matriz A de ordem n possui autovalores λ i, i = 1, 2,..., n. Cada autovalor tem um autovetor correspondente. Generalizando a relação Av = λv Av i = λ i v i, i = 1, 2,..., n, AV = V Λ. Λ = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ): matriz diagonal contendo os autovalores λ i. V : matriz, cujas colunas são os autovetores v i. Pós-multiplicando por V 1 AV V 1 = V ΛV 1 A = V ΛV 1. Matriz A decomposta em termos de seus autovalores e autovetores. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 94

95 Cálculo dos autovetores Da relação fundamental Av i = λ i v i (A λ i I)v i = 0. Matriz (A λ i I) é singular det(a λ i I) = 0. Sistema (A λ i I)v i = 0 é homogêneo. Ele apresenta infinitas soluções v i. Atribuir valor arbitrário a um elemento de v i. Por exemplo, v i1 = 1. Obter os demais elementos do autovetor v i pela solução do sistema resultante de ordem n 1. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 95

96 Exemplo de decomposição espectral Fazer a decomposição espectral da matriz A = Polinômio característico D 3 (λ) = det 7 λ λ λ. Desenvolvendo o determinante D 3 (λ) = λ 3 + 2λ λ 12. Os três zeros do polinômio característico são os três autovalores de A λ 1 = 4, λ 2 = 1 e λ 3 = 3. Matriz Λ contendo os autovalores Λ = Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 96

97 Matriz A = Autovetor v de λ 1 = Sistema homogêneo (A λ 1 I)v = (A 4I)v = 0. Autovetor v correspondente à λ 1 = v 1 v 2 v 3 = Equações 1 e 2 são redundantes. Elimina-se a segunda e faz-se v 1 = 1 [ ][ v2 v 3 ] = [ 3 12 ] v 2 = 0,5; v 3 = 2 v = 1 0,5 2. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 97

98 Matriz A = Autovetor w de λ 2 = Sistema homogêneo (A λ 2 I)w = (A I)w = 0. Autovetor w correspondente à λ 2 = w 1 w 2 w 3 = Equações 1 e 3 redundantes. Elimina-se a terceira e faz-se w 1 = 1 [ ] [ w2 w 3 ] = [ 6 3 ] w 2 = 1, w 3 = 4 w = Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 98

99 Matriz A = Autovetor z de λ 3 = Sistema homogêneo (A λ 3 I)z = (A + 3I)z = 0. Autovetor z correspondente à λ 3 = z 1 z 2 z 3 = Equações 2 e 3 redundantes. Elimina-se a terceira e faz-se z 1 = 1 [ ] [ z2 z 3 ] = [ 10 3 ] z 2 = 1, z 3 = 2 z = Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 99

100 Decomposição espectral de A Matriz V contendo os autovetores de A V = [v w z] = Inversa de V V 1 = , , ,5.. Decomposição espectral A = V ΛV = 0, , ,5 Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 100

101 Solução de sistema Solução de Ax = b obtida por x = A 1 b. x = (V ΛV 1 ) 1 b x = (V Λ 1 V 1 )b. Vetor solução x depende de λ 1 i. Quase singularidade da matriz A. Solução x tem elementos muito grandes. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 101

102 Exemplo Calcular a solução do sistema A = x 1 x 2 x 3 = Sabendo que x = (V Λ 1 V 1 )b, x = 0, x = , , , Solução exata r = = Grande custo computacional. Normalmente, não é utilizada para a solução de sistemas de equações lineares. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 102

103 Uso da decomposição Resolver sistemas de equações lineares. Calcular o determinante de uma matriz. Refinamento da solução de sistemas. Cálculo da matriz inversa. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 103

104 Refinamento da solução x 0 : solução aproximada de Ax = b calculada por decomposição LU com pivotação parcial LUx 0 = P b Lt = P b e Ux 0 = t. Fatores L e U perdem exatidão. Solução melhorada x 1 = x 0 + c 0, c 0 : vetor de correção Ax 1 = b A(x 0 + c 0 ) = b Ac 0 = b Ax 0 Ac 0 = r 0. Parcela de correção c 0 é a solução do sistema LUc 0 = P r 0 Lt = P r 0 e Uc 0 = t. Melhor aproximação x 2 = x 1 + c 1, c 1 : solução de Ac 1 = r 1 obtida por LUc 1 = P r 1. Esquematicamente LUx 0 =P b Lt=P b e Ux 0 =t, r k =b Ax k LUc k =P r k Lt=P r k e Uc k =t x k+1 =x k + c k k =0, 1, 2,... Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 104

105 Exemplo Resolver o sistema e refinar a solução até que c < x 1 x 2 x 3 = Decomposição LU com pivotação parcial L= 0, ,33 0,42 1, U = , ,74, P = Cálculo de x 0 Ax 0 =b LUx 0 =P b, 19 Lt=P b t= 8,73 13,6034 e Ux 0 =t x 0 = 1,9731 0,9738 4,9647. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 105

106 x 0 = 1,9731 0,9738 4,9647 r 0 = b Ax 0 = x 1 = x 0 + c 0 = r 1 = b Ax 1 = x 2 = x 1 + c 1 = Refinamento da solução, 0, ,0712 1,9999 1,0000 4,9999 0, ,0002 2,0000 1,0000 5,0000, LUc 0 = P r 0 c 0 =,, LUc 1 = P r 1 c 1 =. 0,0268 0,0262 0,0352 0,0001 0,0000, 0,0001 Final do refinamento: c 1 = 0,0001 < 10 3., Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 106

107 Cálculo da matriz inversa Matriz inversa satisfaz AA 1 = A 1 A = I, a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn v 11 v 12 v 1n v 21 v 22 v 2n v n1 v n2 v nn = V = A 1 : usado para simplificar a notação. Cálculo de V pela solução dos n sistemas Av i = e i, i = 1, 2,..., n, v i : i-ésima coluna da matriz inversa. e i : i-ésima coluna da matriz identidade. Mesma matriz A dos coeficientes. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 107

108 Exemplo Calcular a inversa da matriz A = A é simétrica.. Decomposição de Cholesky L = Coluna LL T v 1 = e 1 = L T v 1 = t v 1 = Lt = e 1 t = 2,75 1,70 0,10. 0,5 1,5 0,5, Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 108

109 Coluna 2 Cálculo das colunas de A 1 LL T v 2 = e 2 = L T v 2 = t v 2 = Coluna 3 LL T v 3 = e 3 = L T v 3 = t v 3 = Lt = e 2 t = 1,70 1,16 0,08. Lt = e 3 t = 0,10 0,08 0, , ,2,, Matriz inversa A 1 = V = [v 1 v 2 v 3 ] A 1 = 2,75 1,70 0,10 1,70 1,16 0,08 0,10 0,08 0,04. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 109

110 Métodos iterativos estacionários Gerar, a partir de x 0, uma seqüência de vetores {x 1, x 2, x 3,..., x k,...} x. Uma série de operações é repetida várias vezes. Seja M a matriz de iteração e c um vetor constante x k+1 = Mx k + c. Método iterativo é dito estacionário quando a matriz M for fixa. Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 110

111 Condição de convergência Teorema (Condição necessária) O método iterativo x k+1 = Mx k +c converge com qualquer valor inicial x 0 se, e somente se, ρ(m) < 1, sendo ρ(m) o raio espectral (maior autovalor em módulo) da matriz de iteração M. Teorema (Condição suficiente) É condição suficiente para a convergência dos métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel que a matriz dos coeficientes A seja diagonal estritamente dominante, ou seja, a ii > n j = 1 j i a ij, i = 1, 2,..., n. Convergência não depende da escolha de x 0. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 111

112 Critério de parada Solução exata de método iterativo lim k xk = x. Critérios de parada x k x k 1 x k ε ou k k max, ε: tolerância, k max : número máximo de iterações. Adotando-se a norma- max 1 i n x k i xk 1 i x k i max 1 i n ε, x k i : i-ésimo componente do vetor xk obtido na k- ésima iteração. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 112

113 Método de Jacobi Decompor a matriz A, tal que A = D E F, D: matriz diagonal e E e F : matrizes triangulares inferior e superior com diagonais nulas. Sistema linear Ax = b escrito na forma (D E F )x = b Dx = (E + F )x + b. Igualdade convertida em processo iterativo x k+1 = ( D 1 (E + F ) ) x k + D 1 b x k+1 = Jx k + c. Matriz de iteração do método de Jacobi J = D 1 (E + F ). Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 113

114 Forma análoga de dedução Sistema linear na forma a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n. =. b 3. a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x a nn x n = b n. Explicitar x i na i-ésima equação. Equações de iterações do método de Jacobi x k+1 1 = a 1 ( a12 x k 11 2 a 13x k 3 a 1nx k n + b ) 1, x k+1 2 = a 1 ( a21 x k 22 1 a 23x k 3 a 2nx k n + b ) 2, x k+1 3 = a 1 ( a31 x k 33 1 a 32x k 2 a 3nx k n + b ) 3,.. x k+1 n = a 1 ( an1 x k nn 1 a n2x k 2 a n,n 1x k n 1 + b ) n Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 114

115 Forma matricial Forma de recorrência x k+1 = Jx k + c x k+1 1 x k+1 2 x k+1 3. x k+1 n }{{} x k+1 = 0 a 12 a 11 a 13 a 11 a 1n a 11 a 21 a 22 0 a 23 a 22 a 2n a 22 a 31 a 33 a 32 a 33 0 a 3n a a n1 a nn a n2 a nn a n,n 1 a nn 0 }{{} J x k 1 x k 2 x k 3. x k n }{{} x k + b 1 a 11 b 2 a 22 b 3 a 33. b n a nn. }{{} c Convergência independe do vetor inicial x 0. Vetor inicial x 0 i = b i a ii. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 115

116 Algoritmo: método de Jacobi Algoritmo Jacobi { Objetivo: Resolver sistema Ax = b pelo método de Jacobi } par^ametros de entrada n, A, b, Toler, IterMax { ordem, matriz, vetor independente, } { tolerância e número máximo de iterações } par^ametros de saída x, Iter, Erro { vetor solução, número de iterações e condição de erro } { Construção das matrizes para as iterações } para i 1 até n faça r 1/A(i, i) para j 1 até n faça se i j ent~ao A(i, j) A(i, j) r fim se fim para b(i) b(i) r; x(i) b(i) fim para; Iter 0 { Iterações de Jacobi } repita Iter Iter + 1 para i 1 até n faça Soma 0 para j 1 até n faça se i j ent~ao Soma Soma + A(i, j) x(j) fim se fim para v(i) b(i) Soma fim para Norma1 0; Norma2 0 para i 1 até n faça se abs(v(i) x(i)) > Norma1 ent~ao Norma1 abs(v(i) x(i)) fim se se abs(v(i)) > Norma2 ent~ao Norma2 abs(v(i)) fim se x(i) v(i) fim para DifMax Norma1/Norma2 escreva Iter, x, DifMax { Teste de convergência } se DifMax < Toler ou Iter IterMax ent~ao interrompa fim se fim repita Erro DifMax Toler { variável lógica: se verdadeiro há erro e se falso não há erro } fim algoritmo Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 116

117 Exemplo Resolver o sistema de equações pelo método de Jacobi com ε < 10 5 e k max = x 1 x 2 x 3 = Matriz diagonal estritamente dominante 10 > 3 + 2, 8 > e 5 > Equações de iterações x k+1 1 = 1 10 ( 3x k 2 + 2x k ), x k+1 2 = 1 8 ( 2x k 1 + x k ), x k+1 3 = 1 5 ( x k 1 x k 2 4). Vetor inicial: x 0 = [5,7 2,5 0,8] T. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 117

118 Coordenadas do vetor da primeira iteração x 1 1 = 1 10 ( 3x x ), x 1 1 = 1 10 ( 3(2,5) + 2( 0,8) + 57) x1 1 = 4,79; x 1 2 = 1 8 ( 2x x ), x 1 2 = 1 8 ( 2(5,7) + ( 0,8) + 20) x1 2 = 0,975; x 1 3 = 1 5 ( x 0 1 x 0 2 4), x 1 3 = 1 5 ( (5,7) (2,5) 4) x1 3 = 2,44. x 1 = [4,79 0,975 2,44] T. Critério de parada x 1 x 0 max( 4,79 5,7, 0,975 2,5, 2,44 ( 0,8) ) =, x 1 max( 4,79, 0,975, 2,44 ) x 1 x 0 max(0,91; 1,525; 1,64) = x 1 max(4,79; 0,975; 2,44) = 0,3424. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 118

119 Resultados obtidos pelo algoritmo Solucao de sistema linear pelo metodo de Jacobi k x1 x2 x3 Epsilon e e e e e e e e e-06 Vetor solução x x 9 = [5, , ,00000] T. Algoritmos Numéricos Cap.2: Sistemas lineares Ed1.0 c 2001 FFCf 119