Resolução de Sistemas de Equações Lineares

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1 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia. Resolução de Sistemas de Equações Lineares Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Esses podem ser: métodos diretos, aqueles que, a menos de erros de arredondamento, fornecem a solução exata do sistema linear, caso ela exista, após um número finito de passos. métodos iterativos, aqueles que geram uma seqüência de vetores x (k), a partir de uma aproximação inicial x (0). Caso a solução exista, esta seqüência converge sob certas condições. Exemplos de métodos diretos: Seja um sistema Ax = b, onde A é uma matriz n n, b uma matriz n 1 e x é a matriz incógnita n 1. Regra de Cramer. Idéia: achar o i-ésimo elemento de x como x i = i, onde i é o determinante da matriz obtida a partir de A trocando-se a coluna j pela matriz coluna b. Obs: Exige o cálculo de (n+1) determinantes de ordem n o que resulta em (n+1)(n!)(n 1) operações! Eliminação Gaussiana. Idéia: Transformar o sistema original em um sistema triangular superior equivalente. Fatoração LU. Idéia: Decompor a matriz A em duas matrizes triangulares L (inferior com diagonal unitária) e U (superior) de forma que A = LU. Fatoração de Cholesky. Idéia: Sendo A uma matriz simétrica (a ij = a ji, para i, j = 1,..., n), definida positiva (x t Ax > 0, x 0), decompô-la na forma A = GG t, onde G é uma matriz triangular inferior com g ii > 0, para i = 1,..., n. Exemplos de métodos iterativos: Para um sistema Ax = b, onde A é uma matriz n n. Podemos sempre escrever A = L + D + U, onde: L é uma matriz triangular inferior; D é uma matriz diagonal; U é uma matriz triangular superior. Dessa forma o sistema pode ser reescrito como: Dx = b (L + U)x, e quando detd 0 podemos escrever x = D 1 (b (L + U)x).

2 1 MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS. 2 Método de Jacobi. Idéia: Calcular x (k+1) usando a fórmula acima e todo os elementos do vetor x (k) e sendo assim a iteração seguinte é calculada como x (k+1) = D 1 (b (L+U)x (k) ) Método de Gauss-Seidel. Idéia: Calcular x (k+1) usando a fórmula acima e parte do vetor x (k) e as novas aproximações x (k+1) já calculadas nos passos anteriores. Por exemplo, no caso 3x3: x k+1 1 x k+1 2 x k+1 3 = b 1 + a 12 x k 2 + a 13 x k 3 b 2 + a 21 x k a 23 x k 3 b 3 + a 31 x1 k+1 + a 32 x k+1 2 Observações gerais: Os métodos diretos são adequados para sistemas pequenos (menores que 300x300) e quando a matriz dos coeficientes é cheia. Os métodos iterativos são adequados para sistemas de qualquer tamanho, quando a matriz dos coeficientes é esparsa (muitos coeficientes são nulos). São mais econômicos. Reduzem problemas com erros de arredondamento, os quais acabam sendo em grande parte absorvidos pelo processo iterativo. Também podem ser aplicados em sistemas não -lineares. 1 Método da Eliminação de Gauss. Como já dissemos, o objetivo é transformar o sistema linear dado em um sistema triangular superior equivalente. Teorema do MEG: Seja Ax = b um sistema linear. Aplicando sobre as equações deste sistema uma seqüência de operações elementares escolhidas entre: 1. permutar duas equações ; 2. multiplicar uma equação por um escalar não -nulo; 3. trocar uma equação pela sua soma com uma outra; obtemos um novo sistema A x = b equivalente ao sistema original, ou seja, eles possuem as mesmas soluções. Usaremos o teorema do MEG para achar a matriz triangular superior equivalente à matriz do sistema original. Suponhamos que detd 0. Na etapa k do processo eliminaremos a variável x k das equações k + 1, k + 2,..., n. O coeficiente da matriz A na linha i, coluna j e etapa k será denotado por a (k) ij, i, j = 1,..., n. O coeficiente da matriz dos termos independentes b na linha i, coluna n + 1 e etapa k será denotado por b (k) i, i = 1,..., n. Como detd 0 existe a 1j não -nulo para algum j = 1,..., n, então reescrevemos A, se necessário for, de forma que a 11 seja não -nulo. A (0) b (0)

3 1 MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS. 3 ETAPA 1: Eliminação de x 1 das equações 2, 3,..., n, fazendo L (1) 1 = L (0) 1 e L (1) i = L (0) i m i1 L (0) 1, onde os m i1 = a i1 /a 11 são chamados de multiplicadores da etapa 1 e o elemento a 11 de pivô da etapa 1, i = 2,..., n. A (1) b (1) ETAPA 2: Eliminação de x 2 das equações 3, 4,..., n, fazendo L (2) 1 = L (1) 1, L(2) 2 = L (1) 2 e L (2) i = L (1) i m i2 L (1) 2, onde m i2 = a i2 /a 22 são chamados de multiplicadores da etapa 2 e o elemento a 22 de pivô da etapa 2, i=3,...,n. A (2) b (2) Seguindo um raciocínio análogo, prossegue-se até a etapa (n 1) e a matriz, ao final, será uma triangular superior estendida, e o sistema A (n 1) x = b (n 1) será equivalente ao sistema Ax = b. Exercício: Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss e verificar a exatidão da solução. Use mantissa com 4 dígitos e arredondamento. 7x 1 + 2x 2 5x 3 = 18 x 1 + 5x 2 3x 3 = 40 2x 1 x 2 9x 3 = 26 0, 004x1 + 15, 73x 2 = 15, 77 0, 423x 1 24, 72x 2 = 20, 49 4x 1 + 2x 2 x 3 + x 4 = 6 8x 1 + 4x 2 + 2x 3 2x 4 = 10 x 1 + 4x 2 + 2x 3 2x 4 = 3 2x 1 + x 2 2x 3 + 6x 4 = 8 0, 423x1 24, 72x 2 = 20, 49 0, 004x , 73x 2 = 15, 77 Como vimos anteriormente, a escolha do pivô pode influenciar na precisão da solução do sistema. 1.1 Estratégias de pivoteamento: No caso de precisão infinita o pivô precisa apenas ser não-nulo, mas como utilizamos máquinas, trabalhamos com precisão finita e então o pivô deve ser o mais longe de zero possível. a)pivoteamento parcial. Consiste em: i)no início da etapa k da fase de eliminação, escolher para o pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes a (k 1) ik, i = k, k + 1,..., n; ii)se necessário for, permutar linhas. Exercício: Resolver os sistemas do exercício anterior pelo método de eliminação de Gauss usando pivoteamento parcial. b)pivoteamento completo. Consiste em escolher, no início da etapa k, para o pivô o elemento de maior módulo entre todos os elementos que ainda atuam no processo de eliminação. Se max a (k 1) ij ; i, j k} = a (k 1) rs então pivô =a (k 1) rs.

4 2 FATORAÇÃO LU E FATORAÇÃO DE CHOLESKY 4 2 Fatoração LU e Fatoração de Cholesky 2.1 Fatoração LU Seja o sistema linear Ax = b. O processo de fatoração para a resolução deste sistema consiste em decompor a matriz A dos coeficientes em um produto de dois ou mais fatores e, em seguida, resolver uma seqüência de sistemas triangulares. A vantagem dos processos de fatoração é que podemos resolver qualquer sistema linear que tenha A como matriz dos coeficientes. Se o vetor b for alterado o novo sistema linear será terá resolução quase imediata. A fatoração LU é um dos processos de fatoração mais empregados. Nesta fatoração a matriz L é triangular inferior com a diagonal unitária e a matriz U é triangular superior. 2.2 Cálculo dos fatores L e U Os fatores L e U podem ser calculados através de fórmulas específicas, ou então, podem ser construídos usando o método de eliminação de Gauss. Usaremos a segunda possibilidade. Exemplo teórico no caso de ordem 3 dado em sala de aula. Após a utilização do MEG obtemos uma matriz triangular superior, esta será a nossa matriz U, a matriz L será formada pelos multiplicadores m ij, sendo assim, no caso n n teremos: L = m m 31 m 32 1 Teorema 1: (Fatoração LU) Dada uma matriz quadrada A de ordem n, seja A (k) a matriz construída a partir das primeiras k linhas e colunas de A. Suponha que det(a) 0 para k = 1, 2,..., (n 1). Então existe uma única matriz triangular inferior L = (m ij ), com m ii = 1, 1 i n e uma única matriz triangular superior U = (u ij ) tais que LU = A. Ainda mais, det(a) = u 11 u u nn. Resolução do sistema linear Ax = b usando a fatoração LU. Dados o sistema linear Ax = b e a fatoração LU da matriz A, temos: LUx = b e fazendo y = Ux, resolvemos agora dois sistemas triangulares: Ly = b que é triangular inferior, Ux = y que é triangular superior. Exercícios: 1) Resolver os sistemas lineares anteriores usando a fatoração LU. 2) Desenvolva um algoritmo para a fatoração LU, um para o MEG sem pivoteamento e um para o MEG com pivoteamento parcial. 3) Mostre que, se A é uma matriz não singular e A = LU, então A = LDU, onde D é uma matriz diagonal e U é uma matriz triangular superior com diagonal unitária.

5 2 FATORAÇÃO LU E FATORAÇÃO DE CHOLESKY Fatoração de Cholesky Uma matriz quadrada A de ordem n é definida positiva se xtax > 0 para todo x, x 0. Uma matriz com a propriedade acima e simétrica pode ser fatorada na forma: A = GG t, onde G é uma matriz quadrada de ordem n, triangular inferior com elementos na diagonal estritamente positivos. Esta é a fatoração de Cholesky da matriz A. Suponhamos que a matriz A satisfaça condições do teorema da fatoração LU, usando o exercício 3, temos que A pode ser fatorada como: A = LDU com: L - matriz quadrada de ordem n, triangular inferior com diagonal unitária; D - matriz diagonal de ordem n; U - matriz quadrada de ordem n, triangular superior com diagonal unitária. Se, além disso, a matriz A for simétrica, mostra-se que U = L t e, a fatoração fica: A = LDL t. Exemplo: Considere a matriz A = , os fatores L e U são: L = / / / U = , enquanto que, D e U serão : D = U = 12 1/4 3/4 1/ Observamos que: u ij = u ij u ii ; como a matriz A é simétrica, U = L t. Se A for definida positiva, os elementos da matriz D são estritamente positivos. Temos que x R, x 0, x t Ax > 0, sendo assim: 0 < x t Ax = x t (L t DL)x = (Lx) t D(Lx) = y t Dy,fazendo y = e i, i = 1, 2,..., n, vetores da base canônica do R n, teremos 0 < e t i De i = d ii que nos leva ao fato de que d ii > 0, para todo i = 1, 2,..., n (lembramos que L tem posto completo o que garante, dado y, a existência de x tal que y = Lx, além disso, como x 0, temos y 0). Escrevemos então: A = LD D L t, onde d ii = (d ii ) 1/2, chamando G = LD teremos a fatoração de Cholesky na forma A = GG t, com G triangular inferior com diagonal estritamente positiva.

6 3 MÉTODOS ITERATIVOS 6 Teorema 2: (Fatoração de Chloesky) Se a matriz A é quadrada de ordem n, simétrica e definida positiva, então existe uma única matriz G quadrada de ordem n, triangular inferior com diagonal estritamente positiva, tal que A = GG t. Exemplo: Para o exemplo anterior o fator de Cholesky da matriz A será: G = No exemplo anterior o fator de Cholesky foi calculado a partir da decomposição LDL t, que por sua vez foi obtida da fatoração LU, mas este fator deve ser calculado a partir de sua definição A = GG t, o que reduz a quantidade de cálculos pela metade. Observações : i) Na prática, aplicamos a fatoração de Cholesky para verificar se uma determinada matriz A simétrica é definida positiva. ii) A fatoração de Cholesky requer cerca de n/3 operações de multiplicação e adição no cálculo dos fatores, aproximadamente a metade do número de operações necessárias na fase da eliminação da fatoração LU. iii)obtido o fator G, a resolução do sistema linear Ax = b prossegue com a resolução dos sistemas triangulares: Gy = b que é triangular inferior, G t x = y que é triangular superior. Exercício: Resolva o sistema abaixo usando a fatoração de Cholesky: 3 Métodos Iterativos 3.1 Introdução 1, 0000x 1 + 0, 5000x 2 + 0, 3333x 3 = 1 0, 5000x 1 + 0, 3333x 2 + 0, 2500x 3 = 0 0, 3333x 1 + 0, 2500x 2 0, 2000x 3 = 0 A idéia central dos métodos iterativos é fazer uso do teorema do ponto fixo. Seja o sistema linear Ax = b, onde : A é a matriz dos coeficientes, n n; x é o vetor das incógnitas, n 1; b é o vetor dos termos independentes, n 1. Podemos sempre escrever A = L + D + U, onde: L é uma matriz triangular inferior; D é uma matriz diagonal; U é uma matriz triangular superior.

7 3 MÉTODOS ITERATIVOS 7 Dessa forma o sistema pode ser reescrito como: Dx = b (L + U)x, e quando detd 0 podemos escrever x = D 1 (b (L + U)x). Temos, agora, o sistema convertido na forma x = Cx + g, onde C = D 1 (L + U) e g = D 1 b. 3.2 Teorema do Ponto Fixo Seja uma função f(x) contínua em [a, b], intervalo que contém uma raiz da equação f(x) = 0. Procuramos encontrar esta raiz transformando a equação acima em uma do tipo x = Ψ(x) e a partir de uma aproximação inicial gerar uma seqüência x (k) de aproximações para a raiz pela relação x (k+1) = Ψ(x (k) ). Temos que f(x) = 0 se, e somente se x (k+1) = Ψ(x (k) ), o que nos leva a um problema de encontrar o ponto fixo da função Ψ(x). A função Ψ(x) é chamada de função de iteração para a equação f(x) = 0. Por exemplo, para a equação x 3 + x 5 = 0 temos as seguintes possível funções de iteração : a) Ψ(x) = 5 x 3 ; b) Ψ(x) = (5 x) 1/3 ; c) Ψ(x) = 5 x x 2. A forma geral das funções de iteração é Ψ(x) = x + A(x)f(x), com a condição que em α, ponto fixo de Ψ(x), tenhamos A(α) 0. Teorema do ponto fixo. Seja α uma raiz isolada de f(x) = 0 em um intervalo I centrado em α. Seja Ψ(x) uma função de iteração para a equação acima. Se: Ψ(x) e Ψ (x) são contínuas em I, Ψ (x) M < 1, para todo x I e x 0 I, então a seqüência x k } gerada pelo processo iterativo x k+1 = Ψ(x k ) converge para α.demonstração no livro texto páginas 59 e 60. Observamos, então, que Ψ(x) = Cx + g é uma função de iteração para a equação matricial Ax = b. Para obtermos uma solução para o sistema utilizamos o seguinte esquema iterativo: 1.Escolhemos uma aproximação inicial x (0). 2.Construímos consecutivamente os vetores: x (1) = Cx (0) + g = Ψ(x (0) ) x (2) = Cx (1) + g = Ψ(x (1) ). x (k) = Cx (k 1) + g = Ψ(x (k 1) ) (primeira aproximação) (segunda aproximação) (k-ésima aproximação) de forma que se Ψ(α) = α, então α = Cα + g, ou seja, α é solução do sistema linear. Repetimos o processo acima até que o vetor x (k) seja próximo o suficiente do vetor x (k 1). Podemos medir essa distância de duas formas: d (k) = x (k) x (k 1) = máx x (k) i x (k 1) i ; i = 1,..., n} d (k) r = x(k) x (k 1) x (k) = máx x(k) x (k 1) ; i = 1,..., n} x (k)

8 3 MÉTODOS ITERATIVOS 8 Dada a precisão ɛ, o vetor x (k) será escolhido como x, solução aproximada da solução exata, quando d (k) < ɛ, esse será o nosso teste de parada. Podemos também efetuar o teste com o erro relativo: d (k) r < ɛ. Computacionalmente usamos também como teste de parada um número máximo de iterações. 3.3 Método iterativo de Gauss-Jacobi Supondo os elementos da diagonal da matriz A não-nulos, podemos isolar o vetor x da seguinte forma: x i = b i a i1 x 1 a i2 x 2... a i,i 1 x i 1 a i,i+1 x i+1... a in x n a ii, i = 1, 2,..., n. Desta forma, temos x = Cx + g, onde : C = 0 a 12 /a 11 a 13 /a a 1n /a 11 a 21 /a 22 0 a 23 /a a 2n /a 22 a 31 /a 33 a 32 /a a 3n /a a n1 /a nn a n2 /a nn a n3 /a nn... 0 ] e b = b 11 /a 11 b 22 /a 22 b 33 /a 33. b nn /a nn ] E o método de Jacobi consiste em, dada a aproximação inicial x (0), obter sucessivas aproximações através da relação recursiva x (k+1) = Cx (k) + g. Daí, o vetor x (k+1) se escreve como: x (k+1) i = b i a i1 x (k) 1 a i2 x (k) 2... a i,i 1 x (k) i 1 a i,i+1x (k) i+1... a inx (k) n, i = 1, 2,..., n. a ii Exercícios: 1) Resolva o sistema linear abaixo pelo método de Gauss-Jacobi com x (0)t = [0, 7 1, 6 0, 6] t e ɛ = 0, x 1 + 2x 2 + x 3 = 7 x 1 + 5x 2 + x 3 = 8 2x 1 + 3x x 3 = 6 2) Resolva o sistema linear abaixo pelo método de Gauss-Jacobi com x (0)t = [0 0 0] t e ɛ = 0, 05. 4, 00x 1 + 0, 24x 2 0, 08x 3 = 8, 00 0, 09x 1 + 3, 00x 2 0, 15x 3 = 9, 00 0, 04x 1 0, 08x 2 + 4, 00x 3 = 20, Critério de convergência (um deles...) Condição suficiente para que o método de Gauss-Jacobi seja convergente:

9 3 MÉTODOS ITERATIVOS 9 Critério das linhas: Seja o sistema linear Ax = b e seja α k =. Se α =máxα k, k = 1,..., n, então o método de Gauss-Jacobi gera uma sequência x (k) convergente para a solução do sistema dado, independente da escolha da aproximação inicial, x (0). Análisar dos exercícios (1) e (2). Lembrar que o critério é apenas suficiente e não necessário. Exemplo: Para o sistema x1 + x 2 = 3 x 1 3x 2 = 10 o método de Gauss-Jacobi gera uma seqüência convergente para a solução exata x*= (1,5 1,5)t. No entanto, o critério das linhas falha. Sempre podemos permutar as equações de forma a encontrar um sistema que satisfaça o critério das linhas. Exemplo: A matriz do sistema x 1 + 3x 2 + x 3 = 2 5x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 3 6x 2 + 8x 3 = 6 não satisfaz o critério das linhas, mas a do sistema 5x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 3 x 1 + 3x 2 + x 3 = 2 6x 2 + 8x 3 = 6 satisfaz. Exercícios: 1. Para cada um dos sistemas lineares seguintes, obtenha uma solução por um meio gráfico, se possível for. Explique os resultados do ponto de vista geométrico. x1 + 2x 2 = 3 x 1 x 2 = 0 x1 + 2x 2 = 3 2x 1 + 4x 2 = 6 x1 + 2x 2 = 3 2x 1 + 4x 2 = 6 2x1 + x 2 + x 3 = 1 2x 1 + 4x 2 x 3 = 1 2. Utilize a eliminação Gaussiana, com substituição retroativa e operações com arredondamento para quatro dígitos, para resolver os sistemas lineares a seguir: 2x 1 + 3x 2 + x 3 x 4 = 6, 90 x 1 + x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 7, 12 x 1 + x 2 4x 3 + x 4 = 6, 60 2x 1 + 5x 2 + x 3 + 2x 4 = 14, 90 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 10, 20 x 1 + x 2 + 5x 3 + 6x 4 = 12, 02 4x 1 5x 2 + x 3 2x 4 = 12, 30 4x 1 + 6x 2 + 2x 3 + x 4 = 20, 72

10 REFERÊNCIAS Resolver o sistema linear abaixo usando o MEG com pivoteamento completo, retendo, durante as eliminações, cinco algarismos após a vírgula: 0, 8754x 1 + 3, 0081x 2 + 0, 9358x 3 + 1, 1083x 4 = 0, , 4579x 1 0, 8758x 2 + 1, 1516x 3 4, 5148x 4 = 1, , 2350x 1 0, 8473x 2 2, 3582x 3 + 1, 1419x 4 = 2, , 1015x 1 + 8, 1083x 2 1, 3232x 3 + 2, 1548x 4 = 6, Dê a fatoração LU de cada matriz do exercício Resolver o sistema linear abaixo usando os métodos iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel) com x (0) = [1; 3; 7; 8; 4; 1; 7] t e ɛ 10 3, retendo, durante os cálculos, cinco casas decimais: 10x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + 3x 5 2x 6 = 6, 57 4x 1 20x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 + 7x 6 = 68, 448 5x 1 3x 2 15x 3 x 4 4x 5 + x 6 = 112, 05 x 1 + x 2 + 2x 3 + 8x 4 x 5 + 2x 6 = 3, 968 x 1 + 2x 2 + x 3 + 3x 4 + 9x 5 x 6 = 2, 18 4x 1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 x x 6 = 10, 882 Referências [1] RUGGIERO, M.A.G. e ROCHA LOPES, V.L. Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Computacionais. MAKRON Books,1996 [2] CUNHA, M.C.C. Métodos Numéricos. Campinas, Editora da Unicamp, [3] CAMPOS Filho,F.F. Algorítmos Numéricos. [4] SPERANTIO,D.,MENDES,J.T.,SILVA,L.H.M. Cálculo Numérico. São Paulo, Prentice Hall, [5] BURDEN,R.L.,FAIRES,J.D. Análise Numérica. São Paulo, Pioneira Thomson Learning, 2003.

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