Métodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza.

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1 Métodos Numéricos Turma CI-202-X Josiney de Souza

2 Agenda do Dia Aula 15 (21/10/15) Sistemas Lineares Métodos Diretos: Regra de Cramer Método da Eliminação de Gauss (ou triangulação)

3 Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer Seja um sistema linear com número de equações igual ao número de incógnitas (um sistema n x n), sendo: D o determinante da matriz A, e D x1, D x2, D x3,..., D xn os determinantes das matrizes obtidas trocando em A, respectivamente, a coluna dos coeficientes de x 1, x 2, x 3,..., x n pela coluna de termos independentes

4 Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer O sistema S será compatível e terá solução única se, e somente se, D 0. Neste caso, a única solução de S é dada por: x 1 = D x 1 D, x 2= D x 2 D, x 3= D x 3 D,..., x n= D x n D

5 Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer Exemplo: Resolva o sistema abaixo pela Regra de Cramer: { x 1+x 2+x 3=1 2x 1 x 2 +x 3 =0 x 1 +2x 2 x 3 =0

6 Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer D x1 = Exemplo: Resolva o sistema abaixo pela Regra de Cramer: { x 1+x 2+x 3=1 2x 1 x 2 +x 3 =0 x 1 +2x 2 x 3 =0 D= =7 Determinantes: = 1 D x 2 = =3 D x 3 = =

7 Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer Exemplo: Resolva o sistema abaixo pela Regra de Cramer: { x 1+x 2+x 3=1 2x 1 x 2 +x 3 =0 x 1 +2x 2 x 3 =0 Então, x 1 = D x 1 D = 1 7 x 2 = D x 2 D = 3 7 E a solução do sistema é: x= ( 1 7, x 3 = D x 3 D = ) T 7, 7

8 Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer Considerações finais: A aplicação da Regra de Cramer exige o cálculo de n+1 determinantes (det A e det A i, 1 i n) Para n = 20, o número total de operações efetuadas será 21 * 20! * 19 multiplicações mais um número semelhante de adições

9 Sistemas Lineares Métodos Diretos Regra de Cramer Assim, um computador que efetue cerca de 100 milhões de multiplicações pode segundo, levaria 3 * 10⁵ anos para efetuar as operações necessárias Com isso, a Regra de Cramer é inviável em função do tempo de computação para sistemas muito grandes

10 O método da eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema linear original num outro sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes sendo triangular superior, pois estes são de resolução imediata. Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem a mesma solução O determinante de sistemas lineares equivalentes são iguais

11 Com (n 1) passos, o sistema AX = B é transformado em um sistema triangular equivalente: UX = C, o qual se resolve facilmente por substituições

12 Vamos calcular a solução de AX = B em três etapas: Etapa 1: Matriz completa Consiste em escrever a matriz completa ou aumentada do sistema linear original a12 a13... a1n b1 a 21 a 22 a a 2n b 2 M=(a11 a 31 a 32 a a 3n b 3... a n1 a n2 a n3... a nn b n)

13 Vamos calcular a solução de AX = B em três etapas: Etapa 2: Triangulação Consistem em transformar a matriz M numa matriz triangular superior, mediante uma sequência de operações elementares nas linhas da matriz

14 Vamos calcular a solução de AX = B em três etapas: Etapa 3: Retro-substituição x 1, x 2,..., x n Consiste no cálculo dos componentes, solução de AX = B, a partir da solução do último componente ( x n ), e então substituímos regressivamente nas equações anteriores

15 Teorema: Seja AX = B um sistema linear. Aplicando sobre as equações desse sistema uma sequência de operações elementares escolhidas dentre: Trocar a ordem de duas equações do sistema Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula Adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação obteremos um novo sistema UX = C e os sistemas AX = B e UX = C são equivalentes

16 Resolução de sistemas triangulares: Seja o sistema linear AX = B, onde A: matriz n x n, triangular superior, com elementos da diagonal diferente de zero. Escrevendo as equações deste sistema, temos: {a11 x1+a12 x2+ a13 x a1n xn=b1 a 22 x 2 +a 23 x a 2n x n =b 2 a 33 x a 3n x n =b 3... a nn x n =b n

17 Da última equação temos: x n = b n a nn x n 1 pode então ser obtido da penúltima equação: x n 1 = b n 1 a n 1,n x n a n 1, n 1

18 E assim sucessivamente obtém-se x n 2, x n 3,..., x 3, x 2, e finalmente x₁: x 1 = b 1 a 12 x 2 a 13 x 3... a 1n x n a 11

19 Classificação do sistema triangular: Seja U um sistema triangular superior escalonado de m equações e n incógnitas, teremos as seguintes possibilidades: i) m = n sistema compatível e determinado ii) m < n sistema compatível e indeterminado

20 Classificação do sistema triangular: Se durante o escalonamento sugir equações do tipo: 0x 1 +0x 2 +0x x n =b m, então: b m i) Se = 0, então eliminaremos a equação e continuamos o escalonamento b m ii) Se 0, então conclui-se que o sistema é incompatível

21 Exemplo: Resolver o sistema abaixo pelo método de Gauss: ( x1+2x2+x3=3 2x 1 +x 2 x 3 =0 3x 1 x 2 x 3 = 2) 1ª etapa: Matriz completa: ( )

22 Exemplo: Resolver o sistema abaixo pelo método de Gauss: 2ª etapa: Triangulação Iremos nos referir as equações como: E₁ (primeira equação), E₂ (segunda equação), e assim por diante E 3 E 3 3 E 1 ( E 2 E 2 2 E ) E 3 E E 1 ( )

23 Exemplo: Resolver o sistema abaixo pelo método de Gauss: 3ª etapa: Retro-substituição 3x 3 =3 x 3 =1 Da terceira linha: Da segunda linha, substituindo x₃: 3x 2 3(1)= 6 x 2 =1 Da primeira linha, substituindo x₂ e x₃: x 1 +2(1)+1(1)=3 x 1 =0 Solução: x :(0,1,1) T

24 Estratégias de pivoteamento O algoritmo para o método da eliminição de Gauss requer o cálculo dos multiplicadores: m ik = a ik,i=k+1,...,n e k=1,2,...,n 1 a kk a cada etapa k do processo. Sendo o coeficiente chamado de pivô a kk O que acontece se o pivô for nulo? E se o pivô for próximo de zero?

25 Estratégias de pivoteamento Estes dois casos merecem atenção especial pois é impossível trabalhar com um pivô nulo. E trabalhar com um pivô próximo de zero pode resultar em resultados imprecisos. Isto porque em qualquer calculadora ou computador os cálculos são efetuados com precisão finita, e pivôs próximos de zero dão origem a multiplicadores bem maiores que a unidade que, por sua vez, origina uma ampliação dos erros de arredondamento

26 Estratégias de pivoteamento Para se contornar estes problemas, deve-se adotar uma estratégia de pivoteamento, ou seja, adotar um processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal Esta estratégia consiste em:

27 Estratégias de pivoteamento i) no início da etapa k da fase de escolonamento, escolher para pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes: a ik,i=k, k+1,2,...,n ii) trocar as linhas k e i se for necessário

28 Exemplo do livro: resolvendo sem a estratégia de pivoteamento e com a estratégia de pivoteamento para uma máquina com aritmética de três dígitos: { 0,0002 x 1 +2x 2 =5 2x 1 +2x 2 =6 Sem pivoteamento, resposta Com pivoteamento, resposta (0, 2.5) T (0.5, ) T Erros podem acontecer durante os processos de cálculos