CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

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1 CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

2 Aula 12 04/2014 Sistemas de Equações Lineares Parte 2

3 FATORAÇÃO LU Cálculo Numérico 3/37

4 FATORAÇÃO LU Uma fatoração LU de uma dada matriz quadrada é dada por: onde L é triangular inferior e U é triangular superior. Exemplo: A = LU! A = 2 3 " 8 5! = LU = 1 0 % " 4 1! %" % Cálculo Numérico 4/37

5 Quando usar fatoração LU A fatoração LU é, geralmente, utilizada quando precisamos resolver vários sistemas de equações lineares, sendo todos compostos pela mesma matriz dos coeficientes A. Cálculo Numérico 5/37

6 Método de Doolittle Pode ser provado que, para qualquer matriz não-singular (inversível), as linhas podem ser reordenadas de forma que a matriz resultante A tenha uma fatoração LU do tipo: L Matriz dos multiplicadores m jk com diagonal principal 1,..., 1 U Matriz do sistema triangular ao final da eliminação de Gauss Cálculo Numérico 6/37

7 Método de Doolittle Podemos, então, determinar x mais facilmente. Fazemos y = Ux Passo 1: Resolvemos o sistema Ly = b para y. Passo 2: Resolvemos o sistema Ux = y para x. Cálculo Numérico 7/37

8 Método de Doolittle Como L é triangular, determinar y a partir desta equação exige somente O (n 2 ) operações. Com y conhecido, o sistema triangular superior Ux = y exige somente O (n 2 ) operações adicionais para determinar x. Logo, o número de operações necessárias para resolver Ax = b é reduzido de O (n 3 ) para O (n 2 ). Porém, determinar L e U exige O (n 3 ) operações. Cálculo Numérico 8/37

9 Teorema 1 Se a eliminação de Gauss puder ser realizada no sistema linear Ax = b sem trocas de linha, então a matriz A pode ser fatorada no produto de uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U, A = LU, em que: m ji = a ( 1) ji ( 1) a ii Cálculo Numérico 9/37

10 Exemplo 1 Seja o sistema: Considere que a eliminação de Gauss possa ser aplicada sem troca de linhas. " 3x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 8 8x 2 + 2x 3 = 7 % 6x 1 + 2x 2 +8x 3 = 26 Resolva pelo Método de Doolittle. Cálculo Numérico 10/37

11 Exemplo 1 A fatoração LU é obtida de:! % A =!" a jk = % % "%! = " a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a m m 31 m 32 1! % = % % "! u 11 u 12 u 13 0 u 22 u 23 %" 0 0 u 33 % Pela determinação de m jk e u jk e utilizando a multiplicação de matrizes. Cálculo Numérico 11/37

12 Exemplo 1! A = " ! = LU = % " ! %" % Resolvendo Ly = b: Resolvendo Ux = y: " y = % " x = Cálculo Numérico 12/37 %

13 Matriz de Permutação Quando as trocas de linha forem necessárias, utilizaremos uma matriz de permutação. Uma n n, P = [p ij ] é obtida por meio da reorganização das linhas de I n, a matriz identidade. Isso resulta em uma matriz com exatamente um elemento não-nulo em cada linha e em cada coluna, e cada elemento não-nulo é igual a 1. Cálculo Numérico 13/37

14 Exemplo 2 A matriz:! P = " % é a matriz de permutação 3 3. Para qualquer matriz A 3 3, multiplicar à esquerda por P tem o efeito: ( E ) 2 ( E ) 3 Cálculo Numérico 14/37

15 Exemplo 2! PA = " ! %" a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33! = % " a 11 a 12 a 13 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23 % De maneira análoga, multiplicar A à direita por P troca a segunda e a terceira colunas de A. Cálculo Numérico 15/37

16 Propriedades Duas propriedades úteis de matrizes de permutação relacionam-se à eliminação de Gauss: PA permuta as linhas de A; P -1 existe e P -1 = P T. Cálculo Numérico 16/37

17 Podemos concluir, então, que para qualquer matriz A nãosingular, existe P para a qual o sistema PAx = Pb pode ser resolvido sem trocas de linhas. PA pode ser fatorada em LU. Como P -1 = P T, temos a fatoração: A = P -1 LU = (P T L) U A matriz U ainda é triangular superior, mas P T L não é mais triangular inferior a menos que P = I. Cálculo Numérico 17/37

18 Logo, resolver o sistema PAx = Pb é o mesmo que resolver o sistema: (P T L) U x = b Passo 1: Resolvemos o sistema P T Ly = b para y. y Passo 2: Resolvemos o sistema Ux = y para x. Cálculo Numérico 18/37

19 Exemplo 3 Considere um sistema qualquer, tal que: " A = % m 21 = 0 m 31 = -1 m 41 = 1 Como a 11 = 0, a matriz A não tem uma fatoração LU. Então, temos que fazer: ( E ) 1 ( E 2 ), ( E 3 + E ) 1 ( E 3 ), ( E 4 E ) 1 ( E 4 ). Cálculo Numérico 19/37

20 Exemplo 3 " ( A 2) = % m 32 = 1 m 42 = 0 e: E 3 ( ) E 4 ( ), E 3 E 2 " % ( ) E 3 ( ). Cálculo Numérico 20/37

21 Exemplo 3 A matriz de permutação associada às trocas das linhas: será: ( E ) 1 ( E 2 ), ( E ) 3 ( E 4 ),! P = " % Cálculo Numérico 21/37

22 Exemplo 3 Logo, a eliminação de Gauss pode ser feita em PA sem trocas de linhas para fornecer a fatoração LU de: " PA = %" % = LU L U Cálculo Numérico 22/37

23 Exemplo 3 Logo: A = P 1 ( LU) = ( P T L)U = " %" % e assim: ( P T L)Ux = b Cálculo Numérico 23/37

24 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES Cálculo Numérico 24/37

25 Temos duas classes de matrizes para as quais a eliminação de Gauss pode ser realizada de forma eficaz sem trocas de linhas. Logo, podem ser fatoradas em LU. Cálculo Numérico 25/37

26 DIAGONAL DOMINANTE Diz-se que a matriz n n é estritamente diagonal dominante quando: n j=1, j i a ii > a ij é válida para cada i = 1, 2,..., n. Cálculo Numérico 26/37

27 Teorema Uma matriz A estritamente diagonal dominante é nãosingular (inversível). Além disso, neste caso, a eliminação de Gauss pode ser realizada em qualquer sistema linear da forma Ax = b para obter sua solução única sem trocas de linha ou coluna, e os cálculos serão estáveis com relação ao crescimento de erros de arredondamento. Cálculo Numérico 27/37

28 DEFINIDA POSITIVA Uma matriz A é definida positiva se for simétrica e se, x t Ax > 0 para todo vetor n dimensional x 0. x t Ax = x 1, x 2,!, x n [ ]! " a 11 a 12! a 1n a 21 a 22! a 2n!! "! a n1 a n2! a nn! % " x 1 x 2! x n % Cálculo Numérico 28/37

29 Definição Uma submatriz principal dominante de uma matriz A é uma matriz da forma:! A k = " para algum 1 k n. a 11 a 12! a 1k a 21 a 22! a 2k!! "! a k1 a k 2! a kk % Cálculo Numérico 29/37

30 Teorema Uma matriz simétrica A é definida positiva se, e somente se cada uma de suas submatrizes principais dominantes tiver um determinante positivo. Cálculo Numérico 30/37

31 Método de Cholesky Para uma matriz A simétrica, definida positiva podemos em A = LU, escolher U = L T, tal que: u jk = m kj Para tal, não fazemos nenhuma imposição em relação aos elementos da diagonal principal, ou seja: Cálculo Numérico 31/37

32 Método de Cholesky! % A =!" a jk = % % "% a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33! = LL T = " l l 21 l 22 0 l 31 l 32 l 33! % " l 11 l 21 l 31 0 l 22 l l 33 % Cálculo Numérico 32/37