Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ

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1 Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ Instituída pela Lei , de 19/04/ D.O.U. de 22/04/2002 Pró-Reitoria de Ensino de Graduação - PROEN Disciplina: Cálculo Numérico Ano: 2012 Prof: Natã Goulart da Silva Versão Documento 0.9 Resolução de Sistemas Lineares Sumário 1 Introdução Método de Eliminação de Gauss Pivoteamento na Elimiação de Gauss Algoritmo de substituição retroativas Verifica convergência pelo Teorema do Raio Espectral Método de Decomposição LU com pivotação Algoritmo de substituição sucessivas para LU Algoritmo de pivotação para o método LU Método Iterativo de Jacobi Método Iterativo de Gauss Seidel Verificação de convergência métodos iterativos Referências 13 1

2 1 Introdução Algoritmos retirados dos livros da bibliografia básica [1, 2, 3, 4]. 1.1 Método de Eliminação de Gauss Para usar o pivoteamento, chamar a função pivotear no início do primeiro laço. Algoritmo 1: Método de Eliminação de Gauss input : Matriz A, vetor indepente b output: Matriz A triangular superior e vetor b alterado % Para a linha 1 da matriz até a penúltima for k = 1 : n 1 do % Para as linhas da matriz abaixo da linha pivotal for i = k + 1 : n do % Calcula o valor do multiplicador m = a(i,k)/a(k,k); %O elemento abaixo do pivo transforma-se em zero a(i,k)=0; %Para as colunas seguintes aplica-se a operação elementar for j = k + 1 : n do a(i,j) = a(i,j) - m*a(k,j); %Promove a operação elementar no vetor b b(i) = b(i)-m*b(k); 2

3 1.2 Pivoteamento na Elimiação de Gauss Algoritmo 2: Executa pivotação em A e b input : Matriz A, vetor b e o valor j da coluna do elemento pivo output: Matriz A e o vetor b após pivotação % Variavel de controle para teste da necessidade de pivotação linhapivo=0; %Só faz pivoteamento para matrizes com n > 1 if n > 1 then % Considera inicialmente como pivo o primeiro elemento da linha pivotal (diagonal) pivo = A(j,j); % Verifica se há algum elemento maior em módulo, nas linhas abaixo for k = j + 1 : n do if A(k, j) > pivo then pivo = A(k,j); % Se houver um elemento maior que o pivo, guarda a linha k linhapivo = k; % Se linhapivo é diferente de zero, deve-se trocar as linhas if linhapivo 0 then % Trocar a linha pivotal j pela linha presente em linhapivo Trocar as linhas da matriz A e do vetor b 3

4 1.3 Algoritmo de substituição retroativas Obtenção de x por substituições retroativas Algoritmo 3: Substituições Retroativas input : Matriz A triangular superior, vetor indepente b output: Vetor solução x % Para o último elemento da matriz triangular, a(n,n), efetuar a substituição x(n) = b(n)/a(n,n); for i = n 1 : 1 do % Inicializa uma variável de soma soma=0; %Efetua-se a substituição nas linhas com os valores de x já calculados for j = i + 1 : n do s = s + a(i,j) *x(j); %Substituição dos valores x(i) = (b(i)- s)/a(i,i); 4

5 1.4 Verifica convergência pelo Teorema do Raio Espectral Verificação de convergência dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel pelo Teorema do Raio Espectral Algoritmo 4: Verifica Convergência de Jacobi e Gauss Seidel input : Matriz A dos coeficientes do sistema output: Verificação de convergência dos métodos % A partir da matriz A criar as matrizes D, E e F for i = 1 : n do D(i,i) = A(i,i); for j = 1 : n do if i > j then E(i,j) = A(i,j); if i < j then F(i,j) = A(i,j); % Calcula a matriz de iteração e o raio espectral J = D 1 (E + F ); lamb1 = ρ(j); % Verifica se converge if lamb1 < 1 then Imprimir( Jacobi converge ); % Calcula a matriz de iteração e o raio espectral S = (D + E) 1 F ; lamb2 = ρ(s); % Verifica se converge if lamb2 < 1 then Imprimir( Gauss Seidel converge ); if lamb1 1 and lamb2 1 then Imprimir( Não converge para Jacobi e Gauss-Seidel ); 5

6 1.5 Método de Decomposição LU com pivotação Algoritmo 5: Método de Decomposição LU com pivotação input : Matriz A dos coeficientes do sistema e vetor b output: Vetor solução x Iniciar matrizes identidades P e L; U = A % Faz cópia de A em U %Laço executado sobre as linhas pivotais for k = 1 : n 1 do %Antes de calcular multiplicador, chama função pivotear % Se houver pivotação, as matrizes P,U e L serão alteradas [P, U, L] = pivotear(p, U, L, k); % Alterações realizadas abaixo da linha pivotal(k+1) for i = k + 1 : n do %Para cada linha abaixo da linha pivotal, calcula o multiplicador m m = U(i, k)/u(k, k); % Matriz L recebe multiplicadores L(i, k) = m; % Os elementos abaixo do pivo serão zerados U(i, k) = 0; for j = k + 1 : n do %Aplica operações elementares no restante da linha U(i, j) = U(i, j) m U(k, j); %Executa as substituições sucessiva com a matriz L y = subsucessivaslu(l, P b ); %Executa as retroativas sucessiva com a matriz U x = subretroativas(u, y) %Calcula o vetor resíduo r = b A x 6

7 1.6 Algoritmo de substituição sucessivas para LU Algoritmo 6: Algoritmo de substituições sucessivas input : Matriz L e vetor b multiplicado por P output: Vetor y for i = 1:n do soma =0; for j = 1:i-1 do % Soma as parcelas onde os valores de y já foram calculados soma = soma + L(i,j)*y(j); %Para cada linha, calcula o valor de y(i) y(i) = b(i) - soma; 1.7 Algoritmo de pivotação para o método LU Algoritmo 7: Executa pivotação em A, L e P input : Matrizes P, U, L e o valor j da coluna do elemento pivo output: Matrizes P, U e L após pivotação linhapivo=0; %Só faz pivoteamento para matrizes com n > 1 if n > 1 then % Considera inicialmente como pivo o primeiro elemento da linha pivotal (diagonal) pivo = A(j,j); % Verifica se há algum elemento maior em módulo, nas linhas abaixo for k = j + 1 : n do if A(k, j) > pivo then pivo = A(k,j); % Se houver um elemento maior que o pivo, guarda a linha k linhapivo = k; % Se linhapivo é diferente de zero, deve-se trocar as linhas % Trocar valor da linha pivotal l pelo valor presente em linhapivo if linhapivo 0 then Trocar as linhas da matriz A e da identidade P for w=1:j-1 do Trocar os multiplicadores entre as linhas inicialmente pivotal e linha contida em linhapivo até a coluna j-1 7

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9 1.8 Método Iterativo de Jacobi Algoritmo 8: Algoritmo iterativo de Jacobi input : Matrizes A, vetor b, precisao e kmax output: Vetor solução x e k, número de iterações %Definir valores da matriz dos coeficientes A, alterada pela divisão pelo elemento A(i,i) for i=1:n do r = 1 / A(i,i); % Para cada linha de A, calcular r que irá dividir os elementos for j=1:n do if i = j then A(i,j) = A(i,j) * r; % Calculo do vetor inicial x0 b(i) = b(i) * r; x(i)=b(i); normainf = precisao + 10; %iniciando normainf com valor maior que precisao while normainf > precisao do if k > Kmax then break; %Condição de parada, método não atingiu a precisao// k = k + 1; % Calcular o valor de x1 for i=1:n do soma = 0; for j=1:n do if i = j then soma = soma + A(i,j) * x(j); x1(i) = b(i) - soma; normanum = normaden= 0; % Calculo norma infinita, condição de parada for i=1:n do t = abs(x1(i) - x(i)); if t > normanum then normanum = t; if abs(x1(i)) > normaden then normaden = abs(x1(i)); normainf = normanum/normaden; % Cálculo norma x = x1;% Atualiza valor do vetor x para a próxima iteração 9

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11 1.9 Método Iterativo de Gauss Seidel Algoritmo 9: Algoritmo iterativo de Gauss-Seidel input : Matrizes A, vetor b, precisao e kmax output: Vetor solução x e k, número de iterações %Definir valores da matriz alterada pela divisão pelo elemento A(i,i) for i=1:n do r = 1 / A(i,i); for j=1:n do if i = j then A(i,j) = A(i,j) * r; x(i) = b(i) * r; % Calculo do vetor inicial x0 k = 0; normainf = precisao + 10; %iniciando normainf com valor maior que precisao while normainf > precisao do if k > Kmax then break;%condição de parada, método não atingiu a precisao k = k + 1; for i=1:n do soma = 0; for j=1:n do if i > j then soma = soma + A(i,j) * x1(j); if i < j then soma = soma + A(i,j) * x(j); x1(i) = b(i) - soma;% Atualiza vetor x1 normanum = normaden = 0; %inicia normas do numerador e denominador for i=1:n do t = abs(x1(i) - x(i)); if t > normanum then normanum = t; if abs(x(i)) > normaden then normaden = abs(x1(i)); normainf = normanum/normaden; x = x1; % Atualiza x para a próxima iteração 11

12 1.10 Verificação de convergência métodos iterativos Seja o sistema Linear A x = b representado pelas matrizes a seguir, verifique a convergência para o métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel. 0, 5 0, 6 0, 3 x x 2 = 0, 4 0, 4 1 x 3 0, 2 0 0, 6 Para o métodos iterativos, o primeiro teste que deve ser aplicado é verificar se a matriz dos coeficientes A é estritamente diagonal dominante. Verifica-se que para este exemplo, já na primeira linha da matriz que este teste irá falhar. Então, deve-se calcular as matrizes de iteração dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel e verificar se ρ(m) < 1. A = D + E + F 0, 5 0, 6 0, 3 0, , 6 0, = , 4 0, , 4 0, A matrizes de iteração são: J = D 1 (D + F ) e S = (D + E) 1 F Como a matria D é uma matriz diagonal, sua inversa pode ser encontrada pelo método de eliminação de Gauss. Nesta forma de cálculo, operações elementares são realizadas sobre a Matriz D de forma a transformá-la em uma matriz Identidade. As mesmas operações elementares devem ser realizadas sobre as linhas de uma matriz Identidade com as mesmas dimensões de D. Quando a matriz D se tornar Identidade, a matriz identidade será a inversa. Lembrando que apenas são inversíveis matriz cujo seu determinante são diferentes de zero. Exemplo: 0, Dividindo-se todas as linhas pelos elementos Di,i temos: Onde a matriz inversa D 1 =

13 J = , 6 0, , 4 0, 4 0 = 0 1, 2 0, , 4 0, 4 0 det(j λi) = 0 Determinante da matriz seja igual a zero: λ 1, 2 0, 6 1 λ 1 0, 4 0, 4 λ O polinômio característico para esta matriz é: λ 3 + 0, 56λ 0, 24 = 0 que tem apenas uma raiz real λ 1 = 0, 3512 < 1. Então, o sistema dado converge para o método de Jacobi. Para o método de Gauss Seidel, deve-se calcular (D + E) 1 0, D + E = , 4 0, 4 1 0, , 4 0, S = (D + E) 1 F = , , 6 0, = 0 1, 2 0, 6 0 1, 2 0, , 4 det(s λi) = 0 Determinante da matriz seja igual a zero: λ 1, 2 0, λ λ Com polinômio característico igual a: λ 3 +0, 8 λ 2 0, 48 λ = λ (λ 2 +0, 8 λ 0, 48) = 0. Os três autovalores para a matriz S são: (0; 1, 2; 0, 4) e ρ(s) = 1, 2 > 1. Então este sistema não converge para o método de Gauss Seidel. Referências [1] F.F. Campos. Algoritmos Numéricos. LTC,

14 [2] S. C. Chapra and R. P Canale. Métodos Numéricos para Engenharia. Pearson, [3] N. B. Franco. Cálculo Numérico. Pearson, [4] M. A. G. Ruggiero and V. L. R. Lopes. Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Computacionais. Pearson,