Sistemas de Equações Lineares Algébricas

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Marina da Costa Belém
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1 Sistemas de Equações Lineares Algébricas A x + A x A n x n b A x + A x A n x n b A n x + A n x A nn x n b n A A... A n x b A A... A n x b A n A n... A nn x n b n A x b Incógnitas Métodos de Solução: Métodos diretos: resolvem um problema equivalente, obtido através de operações elementares; Métodos indiretos ou iterativos.

2 Métodos Diretos: Eliminação de Gauss: A x b U x c Eliminação de Gauss-Jordan: A x b I x d Decomposição LU: A x b L U x b onde: U é uma matriz triangular superior (upper); L é uma matriz triangular inferior (lower) e I é a matriz identidade. O Método da Eliminação de Gauss Fase de eliminação: 4 x - x + x 3 - x + 4 x - x 3-6 x - x + 4 x x x -6-4 x 3 7 Equação Pivô. L -/4 -/ L / (-/)40 4-(-/)(-)3 --(-/)-3/ -6-(-/)-/ -(/4)40 --(/4)(-)-3/ 4-(/4)5/4 7-(/4)57/4

3 / -/ 0-3/ 5/4 57/4 Equação Pivô L -3/ /3 -/ / -/ 0-(-/)00-3/-(-/)30 5/4-(-/)(-3/)3 57/4-(-/)(-/)9 Fase de Solução (retrosubstituição): 3x 3 9 x 3 3 3x 3/ 3 -/ x -7/ + 3/ - 4x (-) + ()(3) x ( 3 4)/4 O Método da Eliminação de Gauss-Jordan A x b I x c Matriz Identidade A transformação de A em I pode ser feita da mesma forma que no Método da Eliminação de Gauss tradicional, onde A é transformada em U. A diferença é que a equação-pivô transforma todas as outras linhas, mesmo as acima dela própria. As soluções surgem ao se dividir todas as equações pelos valores das diagonais: 3

4 Os Métodos por Decomposição LU A L U Triangular inferior Triangular superior A A A 3 A A A 3 A 3 A 3 A 33 L L L L 3 L 3 L 33 U U U 3 U U 3 U 33 L U L U L U 3 L U L U + L U L U 3 + L U 3 L 3 U L 3 U + L 3 U L 3 U 3 + L 3 U 3 + L 33 U 33 incógnitas e 9 equações leque de possibilidades de decomposição! Dependendo das restrições impostas às equações, obtém-se, por exemplo, os seguintes métodos mais comuns: Decomposição de Doolittle: L ii Decomposição de Crout: U ii Decomposição de Choleski: U L T Decomposição de Banachiewicz: U D L T A solução é realizada assim: A x b L U x b L y b y U x y x retrosubstituição substituição progressiva 4

5 O Método de Decomposição LU de Doolittle A L U L ii A A A 3 A A A 3 A 3 A 3 A 33 L L 3 L 3 U U U 3 U U 3 U 33 U U U 3 L U L U + U L U 3 + U 3 L 3 U L 3 U + L 3 U L 3 U 3 + L 3 U 3 + U 33 Aplicando-se o processo de eliminação de Gauss à matriz A: U U U 3 A L U L U + U L U 3 + U 3 L L U / U L L 3 U L 3 U + L 3 U L 3 U 3 + L 3 U 3 + U 33 L L 3 U / U L 3 U U U 3 0 U U 3 0 U L 3 U 3 L 3 + U 33 L L 3 U / U L 3 U U U 3 0 U U U 33 A matriz U. Os pivôs são os elementos da matriz L! 5

6 O resultado pode ser armazenado assim: U U U 3 L \ U L U U 3 L 3 L 3 U 33 O algoritmo de decomposição é idêntico ao da Eliminação de Gauss. Somente a fase de solução é que apresenta uma etapa a mais: O Método de Decomposição LU de Crout A L U U ii A A A 3 A 4 L U U 3 U 4 A A A 3 A 4 A 3 A 3 A 33 A 34 L L L 3 L 3 L 33 U 3 U 4 U 34 A 4 A 4 A 43 A 44 L 4 L 4 L 43 L 44 L L U L U 3 L U 4 L L U + L L U 3 + L U 3 L U 4 + L U 4 L 3 L 3 U + L 3 L 3 U 3 + L 3 U 3 + L 33 L 3 U 4 + L 3 U 4 + L 33 U 34 L 4 L 4 U + L 4 L 4 U 3 + L 4 U 3 + L 43 L 4 U 4 + L 4 U 4 + L 43 U 34 + L 44 6

7 L A L A L 3 A 3 L 4 A 4 L i A i i n Aqui, nada precisa ser feito! U A / L U 3 A 3 / L U 4 A 4 / L U j A j / L j n L A L U L 3 A 3 L 3 U L 4 A 4 L 4 U L 33 A 33 (L 3 U 3 + L 3 U 3 ) L 43 A 43 (L 4 U 3 + L 4 U 3 ) U 3 (A 3 L U 3 ) / L U 4 (A 4 L U 4 ) / L U 34 (A 34 (L 3 U 4 + L 3 U 4 )) / L 33 j - L ij A ij - L ik U kj k L 44 A 44 (L 4 U 4 + L 4 U 4 + L 43 U 34 ) n - L nn A nn - L nk U kn k U jk j - A jk - L ji U ik i L jj O Método de Decomposição LU de Choleski Simétrica e positivodefinida A L U U L T A A A 3 A A A 3 A 3 A 3 A 33 L L L L 3 L 3 L 33 L L L 3 L L 3 L 33 L SIMÉTRICA L L L + L L L 3 L L 3 + L L 3 L 3 + L 3 + L 33 7

8 Logo: L A L A - L L 33 A 33 (L 3 + L 3 ) j - L jj A jj - L jk k j n L A / L j - L 3 A 3 / L L ij (A ij - L ik L jk) / L jj i j+ n L 3 (A 3 L 3 L ) / L k Simétrica O Método de Decomposição LU de Banachiewicz A L U U D L T L ii A A A 3 D L L 3 A A A 3 L D L 3 A 3 A 3 A 33 L 3 L 3 D 3 L L 3 L 3 D D L D L 3 D D L 3 D 3 D L D L D + D SIMÉTRICA L 3 D L 3 L D + L 3 D L 3 D + L 3 D + D 3 8

9 Logo: D A D A L D D 3 A 33 (L 3 D + L 3 D ) i - D i A ii - L ik D k k L A / D L 3 A 3 / D L 3 (A 3 L 3 L D ) / D j - L ij (A ij - L ik L jk D k ) / D j k O Método Iterativo de Gauss-Seidel A x b A x + A x + A 3 x 3 + A 4 x 4 b A x + A x + A 3 x 3 + A 4 x 4 b A 3 x + A 3 x + A 33 x 3 + A 34 x 4 b 3 A 4 x + A 4 x + A 3 x 3 + A 44 x 4 b 4 9

10 Processo de solução: Escolher x Calcular n [b i - Σ A ij x j ] / A ii j j i Comparar Obs.: O processo de convergência pode ser acelerado através de uma técnica conhecida como RELAXAÇÃO. Para o uso desta técnica, a expressão para os x i deve ser reescrita assim: n [b i - Σ A ij x j ] ω / A ii + ( - ω) x i j j i Um fator de relaxação, ω, ótimo pode ser encontrado através do seguinte procedimento: ) Realizar k iterações com ω, ou seja, sem relaxação (k pode ser considerado, por exemplo, igual a 0), e armazenar x (k) abs(x (k-) x (k) ); ) Realizar mais p iterações com ω (tomar p igual a, por exemplo) e armazenar x (k+p) abs(x (k+p-) x (k+p) ); 3) Um ω ótimo, ou seja, para ser usado em todas as seguintes iterações seria dado por: ω ótimo / ( + sqrt( ( x (k+p) / x (k) ) /p )) 0

11 Exemplo de Aplicação: Analisar a estrutura treliçada dada, determinando suas reações vinculares (H, V e V 3 ) e as solicitações internas em seus elementos componentes (esforços normais N, N 3 e N 3 ). 000 kn H 30 o 60 o 3 V V 3 Solução: Procedendo-se de acordo com o método dos nós: 30 o 000 kn 60 o H N N 3 30 o 60 o 3 N 3 N 3 N N 3 V V 3 -N cos 30 o + N 3 cos 60 o 0 -N sen 30 o - N 3 sen 60 o N cos 30 o + N 3 + H 0 N sen 30 o + V 0 -N 3 cos 60 o - N 3 0 N 3 sen 60 o + V 3 0

12 Todas as equações juntas formam o seguinte sistema: -cos 30 o cos 60 o N 0 sen 30 o sen 60 o N cos 30 o N 3 0 sen 30 o H 0 0 -cos 60 o V 0 0 sen 60 o V 3 0 A penúltima equação é realocada para a terceira linha, de forma que não ocorram pivôs nulos: -cos 30 o cos 60 o N 0 sen 30 o sen 60 o N cos 60 o N 3 0 cos 30 o H 0 sen 30 o V 0 0 sen 60 o V 3 0

13 Utilizando-se, por exemplo, o Método da Eliminação de Gauss, obtém-se que: N -500 N N H 0 V 50 V

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