Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Métodos Computacionais Marcelo Nogueira

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Manoel Padilha Stachinski
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1 Universidade Federal do Rio Grande do Norte Métodos Computacionais Marcelo Nogueira

2 Sistemas Lineares Comuns na engenharia (calculo de estruturas, redes elétricas, solução de equações diferenciais) Forma geral : coeficientes : incógnitas : termos independentes Ex: Resolver significa achar que satisfaça o conjunto de equações

3 Forma Matricial Onde Ex

4 Classificação Incompatível: não possui solução Ex: Compatível: possui solução (1 ou mais) Determinado: solução única Indeterminado: várias soluções Ex: = + = x x x x = + = x x x x = = x x x x x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 4 x 10 x 7

5 Sistema triangular Superior Inferior Podem ser solucionados com Resolução Retroativa

6 Resolução Retroativa Ex: Resolva o seguinte sistema utilizando resolução retroativa Quadro

7 Solução:

8 Algoritmo Resolução Retroativa Entrada: matriz de coeficientes A e vetor de termos independentes b [l,c] = tamanho(a); x = zeros(c,1); //alocacao de memoria para maior velocidade para i=l:-1:1 soma = 0; para j=c:-1:i soma = soma + x(j)*a(i,j); fim_para x(i) = (b(i) - soma)/a(i,i); fim_para saída( a solução do sistema é x);

9 Exercício: Classifique os seguintes sistemas:

10 Métodos de solução numéricos Diretos: número finito de passos Método de Gauss Método do Pivotação Parcial/Total Método da Eliminação de Jordan Iterativos: seqüência de aproximações para o valor do vetor solução x até uma precisão préestabelecida Método de Jacobi Método de Gauss - Seidel

11 Método de Gauss Consiste em transformar o sistema linear a ser resolvido em um sistema linear triangular, o qual pode ser resolvido por Resolução Retroativa Para se transformar o sistema linear, utiliza-se transformações elementares Trocar a ordem das equações Multiplicar uma equação por um número real não nulo Substituir uma equação por uma combinação linear dela mesma com outra equação

12 Passos Construir a matriz aumentada Ab Eliminar os coeficientes de 1 nas linhas 2,3,...,n (fazer ) sendo 11 chamado de pivô da coluna Substituir a linha 2 2 pela combinação linear onde L 2 + m12 L1 m 12 = a a 12 11

13 Substituir a linha 3 3 pela combinação linear onde L 3 + m13 L1 m 13 = Continuar a substituição até a linha n Caso algum elemento 0, achar outra linha onde 0 e trocar tais linhas. Eliminar os coeficientes de nas linhas 3,4,...,n (fazer 0) Eliminar os coeficientes de nas linhas 4,5,...,n (fazer 0) e assim sucessivamente a a 13 11

14 Ex: Resolver o sistema utilizando o método de Gauss Quadro

15 Solução: Matriz aumentada Ab Substituindo a linha 2 por onde

16 Substituindo a linha 3 por onde Substituindo a linha 3 por onde Utilizando resolução retroativa x = 15 x 3 2x2 x3 = 7 2x2 3 = 7 x2 = = 2x + 3 x2 x3 = 5 2x = 5 2x1 = 2 x1 1 = 2

17 Obs: caso o atual pivô seja nulo, devemos tentar reordenar as linhas do sistema de forma que o novo pivô seja não nulo Ex: Resolva o sistema Quadro

18 Solução Matriz aumentada Eliminando elementos abaixo odo pivô Reordenando as linhas Pivô nulo Matriz triangular: aplicar resolução retroativa

19 Resíduo Durante a solução, geralmente cometemos erros de arredondamento, o que causa um erro na solução obtida O resíduo indica a qualidade da resposta obtida Se a solução encontrada para o sistema foi, o resíduo é dado por: onde o vetor e a matriz são o vetor e a matriz original fornecidos pelo problema

20 Ex: Resolva o seguinte sistema, retendo durante os cálculos 2 casas decimais, e em seguida calcule o resíduo da solução obtida: Quadro

21 Solução ,33, 0,99 0,66 0, ,34 4,67 Por resolução retroativa 4,67 10,34 0,45 Resíduo ,9 3 0,03 0, ,99 4,98 0,03 0,01 0,02

22 Algoritmo do Método de Gauss Entrada: matriz de coeficientes A e vetor de termos independentes b [l,c] = tamanho(a); Aa = [A b]; //matriz aumentada para i=1 ate l pivo=aa(i,i); para j=i+1 ate l m = -Aa(j,i)/pivo; Aa(j,:) = Aa(j,:) + m* Aa(i,:); fim_para fim_para x = resolucaoretroativa(aa(1:l,1:l), Aa(:,l)); saída( a solução do sistema é x);

23 Método do Pivotação Parcial Semelhante ao método de Gauss Minimiza a amplificação de erros de arredondamento durante as eliminações Consiste em escolher o elemento de maior módulo em cada coluna para ser o pivô Evita termos muito grandes Evita coeficientes muito pequenos (resolução retroativa) Ex: Resolver o sistema com precisão de 3 casas decimais

24 Solução Matriz aumentada 1,00 1,00 2,00 8,00 1,00 2,00 3,00 1,00 3,00 7,00 4,00 10,00 Trocando as linhas L 1 e L 3 3,00 7,00 4,00 10,00 1,00 2,00 3,00 1,00 1,00 1,00 2,00 8,00 Eliminando coeficientes abaixo 3,00 7,00 4,00 10,00 0 4,31 4,32 4,30 0 3,31 0,68 4,70 O elemento de maior modulo é -4,31, de forma que este será o pivô e não é necessário trocar linhas

25 Eliminando coeficientes abaixo 3,00 7,00 4,00 10,00 0 4,31 4,32 4, ,01 8,01 Utilizando resolução retroativa 3,02 1,01 2 Resíduo ,02 1,

26 Exercícoi: Resolva o sistema utilizando o método de Gauss utilizando 4 algarismos, e em seguida compara a solução obtida com a solução exata Em seguida utilize a Pivotação Parcial e compare novamente o resultado obtido com o exato. Qual método obteve um melhor resultado? 0,003 59,14 59,17 5,291 6,130 46,78

27 Algoritmo Pivotação Parcial Entrada: matriz de coeficientes A e vetor de termos independentes b [l,c] = tamanho(a); Aa = [A b]; //matriz aumentada para i=1 ate l Aa = ordenalinha(aa,i); pivo=aa(i,i); para j=i+1 ate l m = -Aa(j,i)/pivo; Aa(j,:) = Aa(j,:) + m* Aa(i,:); fim_para fim_para x = resolucaoretroativa(aa(1:l,1:l),b); saída( a solução do sistema é x);

28 Algoritmo Ordena Linha Entrada: matriz de coeficientes A e indice i [l,c] = tamanho(a); maximo = vabsoluto(a(i,i)); trocarcomlinha = i; para j=i+1 ate l se vabsoluto(a(j,i)) > maximo maximo = vabsoluto(a(j,i)) trocarcomlinha = j; fim_se fim_para linhatemp = A(i,:); A(i,:) = A(trocacomlinha,:); A(trocacomlinha,:) = A(i,:); saída(a);

29 Método do Pivotação Total Semelhante ao método da Pivotação Parcial Ao invés de escolher o maior elemento apenas da coluna, agora iremos escolher o maior elemento (em modulo) da matriz inteira para ser o pivô Ex: Resolver o sistema com precisão de 2 casas decimais

30 Solução Matriz aumentada 1,00 1,00 2,00 8,00 1,00 2,00 3,00 1,00 3,00 7,00 4,00 10,00 Trocando as linhas L 1 e L 3 3,00 7,00 4,00 10,00 1,00 2,00 3,00 1,00 1,00 1,00 2,00 8,00 Eliminando coeficientes abaixo do pivô 3,00 7,00 4,00 10,00 1,87 0 1,84 1,9 1,42 0 2,56 9,4

31 Trocando as linhas L 1 e L 3 3,00 7,00 4,00 10,00 1,42 0 2,56 9,4 1,87 0 1,84 1,9 Eliminando coeficientes abaixo do pivô 3,00 7,00 4,00 10,00 1,42 0 2,56 9,4 2, ,67 Por resolução retroativa 8,67 2,89 3,00 9,4 1,42 3 2,00 2, ,00 7 O resíduo será 0 0 0, ou seja, utilizando o mesmo número de dígitos que no exemplo resolvido com Pivotação Parcial, já obtivemos a solução exata

32 Exercício: Resolver o sistema utilizando o método da Pivotação Completa com 3 casas decimais e depois calcule o resíduo 2,11 4,21 0,921 2,01 4,01 10,2 1,21 3,09 1,09 0,987 0,832 4,21

33 Método de Jordan Semelhante ao métodos de Gauss, consiste em transformar o sistema dado não apenas em um sistema triangular, mas sim em um sistema diagonal equivalente Sistema diagonal Elimina a necessidade de resolução retroativa

34 No método de Jordan, o pivô é utilizado para zerar todos os elementos de sua coluna (acima e abaixo de pivô) Ex: Resolva o sistema abaixo utilizando o método de Jordan Quadro

35 Solução Matriz aumentada Ab Zerando os dois elementos abaixo teremos Zerando os dois elementos abaixo e acima teremos 2 0 2,5 5,

36 Zerando os dois elementos abaixo e acima teremos A partir da matriz diagonal, podemos calcular a solução

37 O método de Jordan pode ser utilizado para se calcular o determinante de uma matriz Uma vez que a matriz seja convertida em uma matriz diagonal pelo método o determinante desta será dado por det Ex: Utilizando Jordan, calcule o determinante da matriz

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