CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

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1 CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

2 Aula 13 04/2014 Sistemas de Equações Lineares Parte 3

3 MÉTODOS ITERATIVOS Cálculo Numérico 3/44

4 MOTIVAÇÃO Os métodos iterativos ou de aproximação fornecem uma alternativa aos métodos de eliminação vistos. Eles utilizam menos memória dos computadores; Podem reduzir os erros de arredondamento na solução obtida por métodos exatos; Em alguns casos, podem ser aplicados para resolver conjuntos de equações não-lineares; No caso da matriz dos coeficientes ser esparsa, darão boas aproximações. Cálculo Numérico 4/44

5 Os método iterativos são semelhantes às técnicas de obtenção de raízes de uma única equação. Consistem em escolher um valor e, então, usar um método sistemático para obter uma estimativa refinada da raiz. Cálculo Numérico 5/44

6 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL Cálculo Numérico 6/44

7 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL Este é o método iterativo mais comumente usado. Vamos supor, por simplicidade, um sistema de 3 equações e 3 incógnitas: E 1 : a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 E 2 : a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 E 3 : a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 Cálculo Numérico 7/44

8 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL Se os elementos da diagonal forem todos não-nulos, é possível isolar x 1 em E 1 ; x 2 em E 2 e x 3 em E 3 ; x 1 = b 1 a 12 x 2 a 13 x 3 a 11 x 2 = b 2 a 21 x 1 a 23 x 3 a 22 x 3 = b 3 a 31 x 1 a 32 x 2 a 33 Cálculo Numérico 8/44

9 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL Podemos, então, escolher aproximações iniciais para os x s e resolver estas equações. Uma forma simples é supor que os valores de x são todos nulos. Estes zeros são usados para calcular um novo valor para: x 1 = b 1 a 11 Então, substitui-se este novo x 1 junto com x 3 = 0, para obter um novo x 2, e repete-se o processo para calcular uma nova estimativa para x 3. Cálculo Numérico 9/44

10 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL Em seguida, volta-se para a primeira equação e todo o processo é repetido até que a solução convirja para valores suficientemente próximos dos valores verdadeiros. Cálculo Numérico 10/44

11 Critério de Parada Como saber se os valores estão próximos dos valores verdadeiros? ε a,i = x j j 1 i x i j x i 100% < ε s Para todo i, onde j e j 1 representam a iteração atual e a anterior. Cálculo Numérico 11/44

12 Exemplo 1 Considere o sistema: " $ # $ % $ 3x 1 0,1x 2 0, 2x 3 = 7,85 0,1x 1 + 7x 2 0,3x 3 = 19,3 0,3x 1 0, 2x 2 +10x 3 = 71, 4 A solução verdadeira é: x 1 = 3, x 2 = 2, 5, x 3 = 7 Use o Método de Gauss-Seidel para obter a solução aproximada com ε s = 0, 01% Cálculo Numérico 12/44

13 Exemplo 1 Iteração (j) x (j) 1 x (j) 2 x (j) 3 1 2, , , , , , , , , , , , ε t iteração 4 5,55% 0,10% 0,007% ε a iteração 4 0,008% 0,009% 0,00006% Cálculo Numérico 13/44

14 Algoritmo do método de Gauss-Seidel ENTRADA: A (matriz n n com a jj 0, j = 1,..., n), b, aproximação inicial x (0), precisão ε, número máximo de iterações N. SAÍDA: solução aproximada x (m) = [x j (m) ] ou mensagem de falha. Passo 1: Para m = 0,..., N 1, faça: Passo 2: Para j = 1,..., n, faça: ( m+1 x ) j = 1 a jj novos antigos # j 1 n ( m+1) b j m % a jk x k a jk x k $ k=1 k= j+1 ( ) & ( ' FIM Passo 2 Cálculo Numérico 14/44

15 Algoritmo do método de Gauss-Seidel Passo 3: Se máx j ( m+1 x ) ( m) j x j < ε, então: FIM Passo 1 SAÍDA: x (m+1) PARE (Procedimento concluído com sucesso). SAÍDA:. PARE (Procedimento concluído sem sucesso). Cálculo Numérico 15/44

16 À medida que cada novo valor de x é calculado pelo método de Gauss-Seidel, ele é imediatamente usado na próxima equação. Assim, se a solução estiver convergindo, a melhor estimativa disponível será empregada. Uma abordagem alternativa é dada pelo Cálculo Numérico 16/44

17 MÉTODO DE GAUSS-JACOBI Cálculo Numérico 17/44

18 Método de Gauss-Jacobi Neste método, em vez de usar os últimos x s disponíveis, esta técnica usa as equações: x 1 = b 1 a 12 x 2 a 13 x 3 a 11 x 2 = b 2 a 21 x 1 a 23 x 3 a 22 x 3 = b 3 a 31 x 1 a 32 x 2 a 33 Cálculo Numérico 18/44

19 Método de Gauss-Jacobi Para calcular um conjunto de novos x s com base no conjunto de antigos x s. Método de Gauss-Seidel Método de Gauss-Jacobi Cálculo Numérico 19/44

20 CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA Cálculo Numérico 20/44

21 Critérios de convergência Nos métodos iterativos são necessários os critérios que garantam a convergência: Critério das linhas; Critério de Sassenfeld. Estes critérios são suficientes, mas não necessários para a convergência. Cálculo Numérico 21/44

22 Critério das Linhas Dado o sistema Ax = b, seja: α k = # % % $ n j=1 j k a kj & ( ( ' a kk Se α = máxα k <1 1 k n, então os métodos de geram uma sequência {x (k) } convergente para a solução do sistema, independente da escolha de x (0). Cálculo Numérico 22/44

23 Exemplo 2 Considere o sistema do Exemplo 1: " $ # $ % $ 3x 1 0,1x 2 0, 2x 3 = 7,85 0,1x 1 + 7x 2 0,3x 3 = 19,3 0,3x 1 0, 2x 2 +10x 3 = 71, 4 Vamos aplicar o critério das linhas para verificar a convergência. Cálculo Numérico 23/44

24 Critério de Sassenfeld Sejam: e β i = β 1 = n j=2 a 1 j a 11 # i 1 n & % a ij β j + a ij ( $ % j=1 j=i+1 '(, a ii = a 12 + a 13 +!+ a 1n a 11 i = 2,3,!, n = a i1 β 1 + a i2 β 2 +!+ a ii 1 β i 1 + a ii+1 +!+ a in a ii Cálculo Numérico 24/44

25 Critério de Sassenfeld Seja: β = máx 1 i n { } β i Se β < 1, o sequência convergente para qualquer x (0). gera uma Quanto menor β, mais rápida a convergência. Cálculo Numérico 25/44

26 Exemplo 3 Seja o sistema: " $ # $ % $ 3x 1 + x 3 = 3 x 1 x 2 =1 3x 1 + x 2 + 2x 3 = 9 Verifique se este sistema convergirá ao aplicarmos o Método de Gauss-Seidel. Cálculo Numérico 26/44

27 Exemplo 4 Para o sistema linear: " x 1 + x 2 = 3 # $ x 1 3x 2 = 3 O Método de Gauss-Jacobi gera uma sequência convergente para a solução exata:! # x = # # " $ & & & % VERIFIQUE!!!!!! Cálculo Numérico 27/44

28 Exemplo 4 Aplique o critério das linhas para verificar se ele é satisfeito para este sistema. Vimos que α 1 = 1. Isto mostra que, o critério das linhas é uma condução, mas para a convergência dos Métodos de Gauss-Seidel e Gauss Jacobi. Cálculo Numérico 28/44

29 Exemplo 5 Para o sistema linear: " $ # $ % $ x 1 + 3x 2 + x 3 = 2 5x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 3 6x 2 +8x 3 = 6 Veremos que o critério das linhas não é satisfeito, porém uma permutação de equações faz com que o critério seja satisfeito. Cálculo Numérico 29/44

30 Exemplo 5 Como o critério das linhas é satisfeito quando fazemos a permutação entre as equações 1 e 2, é conveniente aplicarmos o a esta nova disposição do sistema, pois desta forma a convergência está assegurada. Podemos, então, concluir que sempre que o critério das linhas não for satisfeito, devemos tentar uma permutação de linhas e/ou colunas de forma a obtermos uma disposição para a qual a matriz dos coeficientes satisfaça o critério das linhas. No entanto, nem sempre é possível obter tal disposição. Cálculo Numérico 30/44

31 Em relação ao, podemos fazer permutações nas linhas e colunas para encontrar uma disposição que satisfaça o critério das linhas ou o critério de Sassenfeld. Cálculo Numérico 31/44

32 Exemplo 6 Seja o sistema linear: " $ # $ % $ 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 9 x 2 + x 3 =1 x 1 + 3x 3 = 3 Verifique se o critério de Sassenfeld pode ser aplicado à este sistema. Se não, faça as permutações necessárias para que o critério seja satisfeito. Cálculo Numérico 32/44

33 COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS Cálculo Numérico 33/44

34 Convergência Métodos Diretos Convergência garantida para qualquer sistema não-singular Métodos Iterativos Convergência assegurada apenas sob determinadas condições. Cálculo Numérico 34/44

35 Esparsidade Métodos Diretos Durante o processo de eliminação podem surgir elementos não-nulos em posições a ij que originalmente eram nulas. Métodos Iterativos Principal vantagem é não alterar a estrutura da matriz A dos coeficientes, então, neste caso é muitas vezes preferível Cálculo Numérico 35/44

36 Erros de Arredondamento Métodos Diretos Sérios problemas com erros de arredondamento, para amenizar usamos técnicas de pivoteamento Métodos Iterativos Somente os erros cometidos na última iteração afetam a solução. Erros cometidos nas iterações anteriores não levarão à divergência do processo, nem à convergência a um outro vetor que não a solução Cálculo Numérico 36/44