INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Licenciatura em Engenharia Física Tecnológica Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial Ano Lectivo: 2002/

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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Licenciatura em Engenharia Física Tecnológica Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial Ano Lectivo: / ANÁLISE NUMÉRICA Exercícios Considere o sistema linear 6 x 5 y = a) Resolva o sistema pelo método da eliminação de Gauss b) Suponha que o sistema é resolvido numa calculadora onde os números são representados num sistema de vírgula flutuante, apenas com 6 dígitos na mantissa Que solução obteria nesse caso? Compare com a solução exacta c) Suponha que o sistema é resolvido na mesma máquina, mas usando pesquisa parcial de pivot Qual é o resultado nestas condições? Compare com o resultado da alínea anterior e comente Considere o sistema linear 6 x 5 6 y = a) Verifique que este sistema é equivalente ao do exercício anterior b) Será que, neste caso, a pesquisa parcial de pivot permite superar os efeitos dos erros de arredondamento, como acontecia no exercício anterior? Justifique c) Resolva o sistema, utilizando os métodos da pesquisa total de pivot Comente Devido ao uso de aritmética não exacta, o método de eliminação de Gauss pode conduzir a soluções totalmente erradas Como exemplo, considere o seguinte sistema de equações : 59 x 597 =, 59 6 y 678 com solução exacta x = e y = Suponha que efectua os cáculos no sistema VF(,, -, ), com arredondamento simétrico Compare os resultados obtidos pelo método de eliminação de Gauss, sem e com pesquisa parcial de pivot Considere os seguintes dois sistemas de equações equivalentes: 5 x 5 x =, = y y

2 Supondo que efectua os cáculos no sistema decimal com dígitos, analise as vantagens da selecção de pivot na resolução de cada um dos sistemas Qual o tipo de selecção que deveria utilizar em cada um dos casos? 5 Considere o sistema linear Ax = b, onde 6 6, b = Representando os números com seis dígitos na mantissa, resolva este sistema pelo método da eliminação de Gauss, sem e com pesquisa parcial de pivot Compare os resultados e comente 6 Considere uma matriz A L n, tridiagonal, isto é tal que os seus elementos satisfazem a a ij =, se i j > Mostre que as matrizes L e U da sua factorização pelo métodos de Doolittle ou Crout satisfazem as condições l ij =, se i < j ou i > j + ; u ij =, se i > j ou i < j 7 Seja A L n uma matriz tridiagonal Suponha que A admite uma factorização triangular LU a) Mostre que a factorização de Crout de A pode ser calculada pelas fórmulas l = a, l i,i = a i,i, i =,, n, l ii = a ii l i,i u i,i, i =,, n, l ij =, se i < j ou i > j + ; u ii =, i =,, n, u i,i = a i,i l i,i, i =,, n, u ij =, se i > j ou i < j b) Prove que neste caso é preciso efectuar apenas 8n 7 operações aritméticas para resolver o sistema Ax = b c) Calcule a factorização de Crout da matriz

3 8 Seja A L n uma matriz tridiagonal tal que a) Verifique que det n + b) Obtenha a factorização de Crout de A c) Resolva o sistema Ax = b, em que b = T R n d) Calcule o número de condição de A, para n = 6,, 9 Seja A L n uma matriz simétrica e definida positiva Mostre que a) A é não singular; b) a ii > i =,, n; c) max k,j n a kj max i n a ii ; d) a ij < a ii a jj i j Seja A L n uma matriz simétrica e suponha que todos os seus menores principais A k, k =,, n, são não-singulares Neste caso existe uma e uma só decomposição LDL T, onde L L n é triangular inferior de diagonal principal unitária e D L n é uma matriz diagonal a) Mostre que a factorização LDL T de A é obtida pelas fórmulas d = a, l i = a i, i =,, n, d i d ii = a ii likd kk, i =,, n, ( k= ) l ij = j j =,, n, a ij l ik l jk d kk, d jj i = j +,, n k= b) Mostre que A é definida positiva se e só se d ii >, i =,, n c) Calcule a factorização LDL T da matriz de Hilbert (de ordem ) H = 5

4 d) Obtenha a factorização de Cholesky de H Considere a matriz quadrada de ordem n com a forma geral a) Obtenha a forma geral da factorização de Crout desta matriz b) Com base na factorização obtida, calcule deta c) Resolva o sistema Ax = b, onde b = T d) Prove que esta matriz é definida positiva e determine a sua factorização de Cholesky Considere a matriz = a) Resolva o sistema Ax = b com b = T e com b = T b) Obtenha a decomposição de Cholesky da matriz A Considere a matriz a) Deduza a decomposição de Cholesky da matriz A b) Resolva o sistema Ax = b com b = T Pretende-se resolver um sistema linear Ax = b em que os elementos da matriz A são definidos da seguinte forma: M, se i j, C i + Cj a ij = C M, se i = j, C

5 5 em que C >, M a) Mostre que a matriz é definida positiva e conclua que é possível decompô-la na forma LL T b) Considere uma matriz, com M = 6, C = Determine a inversa, usando o método de Cholesky 5 A matriz A L n diz-se estritamente diagonal dominante (por linhas) se a ii > n a ij, i {,, n} j= j i Mostre que uma matriz estritamente diagonal dominante é não-singular 6 Seja A L n uma matriz triangular inferior, não singular Pretende-se resolver um certo sistema Ax = b, partindo de uma aproximação inicial arbitrária a) Se aplicarmos o método de Gauss-Seidel, podemos garantir que a solução exacta é obtida com um número finito de iterações Justifique e diga quantas b) A mesma pergunta, em relação ao método de Jacobi 7 Considere o sistema linear Ax = b, com a a, b = a a b b, onde a a a a a) Mostre que os métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel convergem para qualquer aproximação inicial x () se e só se ρ <, onde ρ = a a a a b) Suponha que para ambos os métodos, a convergência está garantida e que existe o limite Determine c para cada um dos métodos c = lim k e (k+) e (k) c) Nas condições da alínea b), partindo de uma aproximação inicial arbitrária x (), quantas iterações é necessário efectuar (utilizando cada um dos métodos) para obter uma aproximação x (k), tal que e (k) ε? d) No caso do método de Jacobi, mostre que se a matriz do sistema tiver a diagonal estritamente dominante, por linhas, se verifica x (k+) x α α x(k+) x (k) ( onde x é a solução do sistema, x (k) a é a k-ésima iterada e α = max a, a a )

6 6 e) Considere o sistema x 8 x = Efectue a primeira iteração do método de Jacobi, partindo da aproximação inicial x () = T Com base na alínea d) determine um majorante do erro do resultado obtido 8 Considere o sistema linear x y z = a) Prove que o método de Jacobi converge para a solução exacta deste sistema, qualquer que seja a aproximação inicial b) Mostre que, caso utilizar o método de Gauss-Seidel, a convergência depende da aproximação inicial Indique uma aproximação inicial (diferente da solução exacta) para a qual o método é convergente e uma aproximação inicial para a qual o método é divergente 9 Seja A L n uma matriz simétrica e definida positiva a) Mostre que o método de Gauss-Seidel converge para a solução do sistema Ax = b, qualquer que seja x () R n b) Considere o sistema linear Ax = b, com, b = Verifique que embora A seja simétrica e definida positiva, o método de Jacobi não converge c) Mostre que se, além de A L n ser simétrica e definida positiva, também a matriz D A, onde D = diag(a, a,, a nn ) é definida positiva, então o método de Jacobi converge para a solução do sistema Ax = b, qualquer que seja x () R n Considere a matriz + cos θ a) Mostre que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel convergem para a solução do sistema Ax = b (com b R qualquer), dado x () = 5 T

7 7 b) Estabeleça uma estimativa de erro para o método de Jacobi, efectuando a primeira iteração com x () = 5 6 T c) Ao fim de quantas iterações n é possível garantir um erro e n 6 Considere as matrizes da forma α β α β β α, β β α onde < β < α a) Mostre que, qualquer que seja a iterada inicial, o método de Jacobi converge e o de Gauss-Seidel não converge para a solução de um sistema Ax = b b) Considere β =, α =, e b = T A solução única do sistema Ax = b será x = T (i) Mostre que se começar com x () = T ou outro vector qualquer, ao fim de três iterações obtemos a solução exacta pelo método de Jacobi (Verifique que o raio espectral da matriz C associada ao método de Jacobi é ) (ii) Mostre que se começar com x () = T, aplicando o método de Gauss-Seidel, obtém x () = x () = T Verifique que esse vector é um vector próprio associado ao valor próprio da matriz C (do método de Gauss-Seidel) e não é solução do sistema Considere o sistema de equações lineares x x x = a) Reordene as linhas de modo a que matriz do novo sistema tenha a diagonal estritamente dominante b) Aplique o método de Jacobi ao novo sistema e efectue iterações Calcule um majorante para o erro na a iterada Considere x () = T c) Aplique o método de Gauss-Seidel até que x (k) x (k ) < Conclua sobre o erro da iterada x (k) Considere o sistema x x x = 8 a) É possível reordenar as linhas do sistema de modo que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel sejam convergentes? Justifique

8 8 b) Escreva o sistema na forma iterativa e determine iteradas do método de Gauss- Seidel com x () = T Considere o sistema linear Ax = b, onde 7 5 5, b = 8 Verifique que este sistema pode ser resolvido por um processo iterativo da forma x (k+) = Bx (k) + c, k =,, Identifique a matriz B e o vector c Se x () = T estime a norma do erro de x (k) 5 Pretende-se determinar a solução do sistema n x n x n n x n x n = n n a) Mostre que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel convergem para a solução do sistema b) Estabeleça uma estimativa de erro para o método de Jacobi, assumindo que e () = n T c) Comente quanto à rapidez de convergência quando n 6 Seja A uma matriz real quadrada, de ordem, tal que os seus valores próprios são complexos: λ, = a ± ib Considerando a solução de um sistema linear com a matriz A, pelo método da iteração simples, determine: a) o intervalo de valores de ω, para os quais está garantida a convergência do método; b) o valor ω opt, para o qual se obtém, em princípio, a maior rapidez de convergência, e o valor correspondente do raio espectral de C(ω) 7 Considere o sistema linear Ax = b, com

9 , b = 5 a) Sabendo que os valores próprios de A satisfazem λ i 5, 5+, i =,, 5, determine os valores de ω para os quais o método iterativo x (k+) = x (k) ω(ax (k) b), k =,, converge para x qualquer que seja a aproximação inicial x () b) Seja ω = Partindo de x () = T, calcule as três primeiras iteradas pelo método da alínea a) Estime o erro da iterada x () na norma 8 Considere o sistema linear Ax = b com ω ω onde ω R, b = a) Mostre que tanto o método iterativo de Jacobi como o de Gauss-Seidel convergem para a solução deste sistema, qualquer que seja a aproximação inicial x () R, se e só se ω < Prove também que o método de Gauss-Seidel converge mais rapidamente, desde que ω Como é que os dois métodos convergem quando ω =? b) Seja ω = e x() = T Calcule as três primeiras iteradas pelo método de Gauss-Seidel Obtenha uma estimativa para o erro x x () c) Determine os valores de ω para os quais a matriz A é definida positiva, 9 O sistema de equações lineares, a a x = b pode, sob certas condições, ser resolvido pelo método iterativo ω ωa x (k+) = x (k) + ωb ωa ω a) Para que valores de a o método converge se ω =? b) Será que o o método converge para a = e ω =?

10 a) Mostre que a condição ω (, ) é necessária para que o método das relaxações sucessivas convirja para a solução do sistema Ax = b b) Prove que, se A L n for simétrica e definida positiva, então a condição ω (, ) é suficiente Seja A L n uma matriz não-singular e seja C L n uma aproximação de A Considere o seguinte método iterativo para a resolução numérica do sistema linear Ax = b, conhecido por método de correcção residual: x (k+) = x (k) + Cr (k), k =,, r (k) = b Ax (k), k =,, x () R n a) Mostre que se I CA <, então o método converge para x qualquer que seja x () R n b) Seja A(ε) = A + εb, com A =, B = onde < ε Aproxime a solução do sistema A(ε)x = b, com b = T e ε = pelo método de correcção residual com um erro inferior a 5 Tome C = A, isto é, C =,