2006/2007 EXERCÍCIOS. 2. Determine a representação decimal dos seguintes números: , ( ) 2 , (1A0F ) 16

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1 ANÁLISE NUMÉRICA 006/007 EXERCÍCIOS. Represente os números nas bases, 5 e 6. 57,,.3, 06.0, 0.7, 3.7, 5. Determine a representação decimal dos seguintes números: (00), () 3, (47) 8, (A0F ) 6, (0.000), (0.), (43.0) Os Babilónios usavam as seguintes aproximações para : (.5) 60, (.4 5 0) 60. Converta estes valores à base decimal e determine os erros absoluto e relativo cometidos. 4. A tabela seguinte apresenta aproximações (x) de alguns números reais (x). Calcule em cada caso o erro absoluto e relativo. x : 0 π x : Seja x = uma aproximação do comprimento x, com erro inferior a %. Considere ainda uma outra grandeza y [,.0]. (a) O erro referido para x é absoluto ou relativo? (b) Qual é o valor y que devemos escolher para aproximar y com a melhor precisão possível? Indique majorantes para o erro relativo e absoluto de y. (c) Com base nas alíneas anteriores, indique o número de algarismos significativos de x e y. 6. Escreva aproximações de cada um dos números 3, e e 7, (a) com cinco dígitos decimais significativos; (b) correctamente arredondadas a cinco casas decimais. 7. Mostre que são necessários aproximadamente 3.3n bits para representar um número com n dígitos decimais. 8. Obtenha as representações aproximadas dos números 4 3, π3, 9, 5 nos sistemas de ponto flutuante (0, 4,, A), (, 5, 4, T ). 9. (a) Seja x um número representável num sistema de ponto flutuante (0, p, q). Pode concluir-se que o seu dobro (x) também é representável no mesmo sistema, desde que não provoque overflow? (b) E se o sistema considerado for (, p, q)? 0. Considere os seguintes valores: a = , b = , c = Realize os seguintes cálculos no sistema de ponto flutuante (0, 4,, A): (a) (a + b) + c;

2 (b) a/c; (c) a c; (d) (ab) /c; (e) a (b/c) ; (f) b (a/c).. Pretende-se calcular o comprimento da hipotenusa de um triângulo rectângulo cujos catetos têm comprimentos a, b (a b), muito elevados mas abaixo do valor de overflow. Explique porque é preferível utilizar a fórmula ( ) b h = a +, a em vez da fórmula habitual, h = a + b. ( ) 3,. (a) Calcule o valor de y = usando o sistema de ponto flutuante (0, 4,, T ) (b) Repita a alínea anterior usando cada uma das seguintes expressões analíticamente equivalentes: i. y = ( ) 3 ; ii. y = (3+8 5) 3 ; iii. y = ( 4 5 ) 6 ; iv. y = (4+ 5) 6. (c) Qual das expressões anteriores produz melhores resultados? Justifique. 3. Quantas casa decimais precisa de utilizar na representação do número π para poder calcular π correctamente arredondado à quarta casa decimal? 4. Suponha que pretendia dividir um intervalo [a, b] em n subintervalos de igual comprimento h = b a n. Para calcular os valores das abcissas, dispõe das seguintes fórmulas, analíticamente equivalentes: com i = 0,,,..., (n ), x 0 = a, x n = b. x i+ = x i + h; x i = a + ih; x i = b (n i) h; x i = (n i) a + ib ; n (a) Qual destas fórmulas é preferível do ponto de vista da precisão do resultado? (b) Qual destas fórmulas permite realizar o cálculo com o mínimo de operações aritméticas? 5. Determine formulas de propagação de erro para os seguintes casos: (a) O quociente de dois números; (b) Uma potência de um número, em que o expoente é exacto; (c) Uma potência, em que tanto a base como o expoente são aproximados. 6. (a) Determine uma formula para a propagação de erro na função y = log x. (b) Utilize o resultado anterior para obter uma formula de propagação de erro na função f (x, x, x 3 ) = x α, x β, xγ O topo de uma chaminé é visível através de um braço de mar de uma distância de 5 ± km. Sabendo que o raio da terra é 6366±0km, calcule a altura da chaminé e obtenha uma estimativa para o erro.

3 8. Pretende-se calcular a área do triângulo representado na figura a partir de medições dos ângulos α, β e do comprimento da base (L). α β L (a) Proponha um algoritmo para calcular a àrea do triângulo; (b) Calcule a àrea do triangulo no caso α =. ± 0.05 rad, β = 0.99 ± 0.03 rad, L = 97.3 ± 0.7 m; (c) Identifique todas as fontes de erro presentes no cálculo da alínea anterior. Obtenha uma estimativa para o erro total. 9. (a) Use o primeiros 4 termos da série de Taylor sin x = aproximação do valor sin π 4. (b) Obtenha um majorante do respectivo erro de truncatura. n=0 ( ) n x n+ (n+)! (c) Quantos algarismos significativos tem a estimativa calculada na alínea (a)? para obter uma (d) Desprezando os erros de arredondamento quantos termos da série são necessários para calcular sin π 4 com erro absoluto inferior a 0? 0. Use a fórmula de Taylor para evitar erros devidos a cancelamento no cálculo de e x e x, com x próximo de zero;. Determine quais das seguintes funções são bem condicionadas. Reformule as expressões dadas de modo a evitar erros no seu cálculo devidos a cancelamento (a) sin x cos x, com x próximo de π 4 ; (b) cos x, com x próximo de zero; (c) +x, com x próximo de zero; x. Calcule os seguintes valores, correctamente arredondados a 3 dígitos decimais: (a) i= (b) i= n 3 ; ( ) n n 6 + ; (c) sin 0.; (d) e 0. ; (e) log 0. 3

4 3. Suponha que nµ < 0. e ε i µ, i =,,..., n. (a) Mostre que ( + ε ) ( + ε )... ( + ε n ) +.06nµ. (b) Obtenha uma estimativa para o erro de p n = fl (x x...x n ), em função da precisão da máquina. ( n 4. Considere o calculo do produto interno, s n = fl x i y i ), através do seguinte algoritmo: i= t i = x i y i, i =,,..., n; s = t ; s i = s i + t i, i =, 3,..., n Obtenha uma estimativa para o erro deste algoritmo, em função da precisão da máquina. ( k 5. Seja s k = fl x i ), calculado pela seguinte ordem i= x x {{} 3 x }{{ 4 x 5 x {{} 6 7 x 8... x }{{ k x k }{{}{{}}{{}{{}.. } {{ } Obtenha estimativas do erro. (a) Por análise directa. (b) Por análise reversa. 6. Considere a equação x + ax b = 0, a, b R. (a) Estude o condicionamento do problema em função dos parâmetros a, b. (b) Mostre que o algoritmo x = a + a + b é numericamente instável quando a >> b > 0. Construa um algoritmo estável. 7. O perímetro de um triângulo rectângulo pode ser calculado através da fórmula P = h (cos α + sin α + ), em que h é o comprimento da hipotenusa e α é um dos ângulos agudos. (a) Obtenha uma fórmula para a propagação do erro no uso desta fórmula. (b) Estude o condicionamento e a estabilidade do algoritmo. ( 8. A igualdade e = lim + n n n) sugere que se possam calcular aproximações do número de Neper calculando o valor de ( + n) n para valores de n suficientemente grandes. Comente este algoritmo. 9. (a) Proponha um algoritmo para calcular e 3. Descreva-o detalhadamente tendo em vista a sua realização num sistema de aritmética em ponto flutuante. (b) Qual é a precisão máxima que pode esperar obter no cálculo de e 3 executando o algoritmo que propôs numa máquina que usa o sistema de ponto flutuante (, 8, 6, A)? 4

5 L n L n L n 30. O perímetro de um polígono equilátero inscrito na circunferência de raio é igual a nl n, em que n é o número de lados do polígono e L n é o comprimento de um lado. Temos então, π = lim nl n. Além disso, o Teorema de Pitágoras fornece a relação de recorrência: L n = 4 L n () (ver figura). Temos assim um algoritmo para o cálculo aproximado do número π: π k L k. (a) Reescreva o termo do lado direito da igualdade () de modo a evitar perda de precisão devido a cancelamento. (b) Obtenha uma estimativa do erro de truncatura cometido pelo algoritmo. Sugestão: Note que o perímetro do polígono equilátero de n lados que inscreve o círculo de raio é igual a nln l n, em que l n é a distância do centro da circunferência ao ponto médio do lado L n. (c) Obtenha uma estimativa do erro de arredondamento cometido pelo algoritmo. 3. Mostre que um polinómio é uma função mal condicionada na vizinhança de um zero múltiplo. 3. Considerem-se matrizes, A R m n, B R n p e um vector x R p. (a) Mostre que o cálculo do produto matricial AB requer mpn multiplicações e mp (n ) adições. (b) Qual é a forma mais económica de calcular ABx, (AB) x ou A (Bx)? 33. Considere as matrizes do tipo A ε = ( 0 0 ε ), ε R. {, se ε 0 Note que r (A ε ) =, pelo que a característica de uma matriz não é uma 0, se ε = 0 função contínua dos elementos da matriz. Qual é a implicação deste facto na determinação numérica da característica? x 0 + 0x + 9x 3 = x 34. Considere o sistema 0 + 9x 3 = 9x 3 = (a) Obtenha a solução exacta deste sistema de equações. (b) Resolva numéricamente o sistema de equações usando o sistema de ponto flutuante (0, 3,, A). 5

6 35. Considere o sistema x x x x 4 = x x x x 4 = x x x x 4 = x x x x 4 = (a) Resolva o sistema por eliminação Gaussiana sem mudança de pivot, usando mantissas de 4 dígitos em todos os cálculos. (b) Resolva o sistema por eliminação Gaussiana com mudança parcial de pivot, usando mantissas de 4 dígitos em todos os cálculos. 36. Considere o seguinte sistema de equações lineares 0.8x +.4x + 3x 3 =.6 0.6x + 0.9x +.8x 3 = 0.8 x + x = 4 (a) Resolva-o por eliminação Gaussiana com mudança parcial de pivot. (b) Obtenha a decomposição P A = LU da matriz do sistema. 37. (a) Obtenha uma decomposição LU para a matriz A =, usando eliminação Gaussiana com mudança parcial de pivot. (b) Resolva o sistema Ax = b, com b = ( ) T. 38. Seja A, uma matriz simétrica com a 0, e seja L a matriz de eliminação Gaussiana usando a como pivot. ( ) a A (a) Mostre que L A = 0 A (), em que ( a A ) é a primeira linha de A e A () é uma matriz simétrica. (b) Mostre que se A for simétrica não singular, então é possível resolver o sistema Ax = b com cerca de metade das operações que são necessárias para resolver um sistema com uma matriz não simétrica. (c) Resolva o sistema 39. Seja A, uma matriz simétrica definida positiva x x x 3 = x +.843x x 3 = x x +.47x 3 = 0.86 (a) Prove que A admite uma decomposição A = LDL T, em que L é uma matriz triangular inferior cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a, e D é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são todos estritamente positivos. Sugestão: Resolva primeiro o exercício anterior. (b) Prove que a matriz A admite uma decomposição A = CC T, em que C é uma matriz triangular inferior (decomposição de Cholesky) (c) Calcule a decomposição LDL T da matriz B =

7 (d) Calcule a decomposição de Cholesky da matriz B. 40. Considere uma matriz tridiagonal de dimensão n 0 A = (a) Obtenha a decomposição A = LU para esta matriz. (b) A partir do resultado da alínea anterior, mostre que uma tal matriz admite uma decomposição A = LDL T, em que D é uma matriz diagonal. (c) Utilize o resultado da alínea anterior para provar que A é definida positiva. (d) Utilize a decomposição da alínea 40b para resolver o sistema Ax = b, com n = 4, b = (0, 0, 0, ). 4. (a) Ao resolver o sistema x = é conveniente trocar as colunas e 5 e as linhas e 5. Porquê? (b) Resolva o sistema com as linhas e colunas permutadas e obtenha a decomposição LU da matriz permutada. 4. Considere o sistema de equações x 6000 x + x 3 = 0 x + x + x 3 = 0 x + x + x 3 = () (a) Mostre que a matriz do sistema () é bem condicionada. (b) Resolva o sistema usando o sistema de ponto flutuante (0, 3,, A), através da decomposição A = LU (sem mudança de pivot). (c) Comente os resultados das alíneas anteriores e proponha um método mais adequado para resolver o sistema sem recorrer a um sistema de ponto flutuante com maior precisão. 43. Use o método dos mínimos quadrados para ajustar um polinómio do segundo grau aos seguintes pontos: x : f (x) : Seja, uma norma matricial gerada por uma norma vectorial. Mostre que se D for uma matriz diagonal, D = diag (d, d,..., d n ), então D = max d i. i 45. Seja P = Id ww T, em que w =. (a) Mostre que P é ortogonal. (b) Mostre que P x = x, x R n. 7

8 46. Considere o sistema ( ) ( 0. x = em que todos os valores estão correctamente arredondados à terceira casa decimal. Obtenha uma estimativa para o erro no calculo da solução. ), 47. Considere o sistema Ax = b com A = 0 3, b = , em que todos os valores estão correctamente arredondados à terceira casa decimal. (a) Obtenha uma decomposição LU da matriz A usando eliminação Gaussiana com mudança parcial de pivot. (b) Use a decomposição obtida na alínea anterior para calcular A. (c) Obtenha uma estimativa para o erro para o cálculo na solução do sistema. 48. Considere a sucessão de Fibonacci: a 0 = 0, a =, a i = a i + a i, i =, 3, 4,... { an x (a) Resolva o sistema + a n+ x = a n+. a n+ x + a n+ x = a n+3 (b) Mostre que o sistema da alínea anterior é mal condicionado quando n é grande. 49. Seja A n a matriz quadrada de ordem n definida do seguinte modo: a ii =, { i < n; i+j ( ) se i > j ou j = n, a ij = 0 se i < j < n. (a) Mostre que a inversa de A n é a matriz B n, definida por b ii = {, i < n; 0 se j < i < n, b ij = ) j i+ se i < j < n, ( (b) A n é bem condicionada. Porque? b nj = ( )n+j, j < n; j b in = ( ) n i, i < n; bnn = n. (c) Seja Â3 a matriz cujos elementos são os elementos homólogos de A 3, excepto â 3,3 = ). Mostre que alguns elementos de (Â3 diferem dos elementos homólogos de (A3 ) na primeira casa decimal. (d) Mostre que o processo de eliminação Gaussiana com mudança parcial de pivot consiste exactamente nos mesmos cálculos quando aplicado a A 3 e Â3, excepto no último passo. (e) Mostre que se os cálculos forem feitos usando um sistema de ponto flutuante com mantissa de menos de 30 bits, então as decomposições LU obtidas para A 3 e Â3 são idênticas e o mesmo se verifica para o cálculo das matrizes inversas. (f) Mostre que se o processo de eliminação Gaussiana for realizado com mudança de pivot completa, este inconveniente é eliminado. 8

9 50. Considere as seguintes aplicações com domínio em R n : x = ( n n ) x i ; x = x ; x = max x i. i=,,...,n i= i= (a) Mostre que,, definem normas em R n. (b) Mostre que i. x x n x, x R n ; ii. x x n x, x R n ; iii. x x n x, x R n. 5. Sejam,, duas normas vectoriais em R n, e sejam M, M, respectivamente, as normas matriciais induzidas por estas normas. Mostre que se existirem constantes c, c R tais que x c x, x c x, x R n, então A M c c A M, A M c c A M, A R n n. 5. Seja A R n n com rank (A) =. (a) Mostre que A é necessáriamente da forma A = uv T, com u, v R n. (b) Considere o caso u = v e u =. Mostre que nesse caso A =. 53. Seja A, uma matriz não singular. Mostre que se x indicar a solução do sitema Ax = b e x + δx indicar a solução do sistema Ax = b + δb, então δx x δb K (A) b. 54. Seja A R n n, uma matriz que verifica A <. Prove que (Id A) é não singular e que se verifica (Id A) A. 55. Considere o sistema de equações lineares 0.3x +.x 3 = 0.7x + 0.8x + 0.x 3 = 0.7.3x + 0.3x + 0.x 3 = 0 (a) Calcule a decomposição P A = LU para a matriz deste sistema usando o sistema de ponto flutuante (0, 3,, A). (b) Resolva numéricamente o sistema usando o sistema de ponto flutuante (0, 3,, A). (c) Sabendo que K (A) 5, e que os dados do problema estão correctamente arredondaddos à primeira casa decimal, estime a precisão da solução obtida na alínea anterior. 56. Seja A uma matriz definida positiva e α uma constante positiva. (a) Mostre que se Id αa < então a sucessão x n+ = x n α (Ax n b) converge para a solução do sistema Ax = b, qualquer que seja x 0 R n. (b) Mostre que a condição da alínea anterior é satisfeita sempre que α é suficientemente pequeno. Quais são, do ponto de vista numérico, os inconvenientes de usar valores de α que fazem Id αa? (c) Determine o número de operações em ponto flutuante que são necessárias para aplical uma iteração do algoritmo. 9

10 (d) Obtenha uma estimativa a priori do número de iterações necessárias para resolver um sistema com uma dada precisão (esta estimativa depende da precisão da solução inicial e do número Id αa ). (e) Baseando-se nos resultados obtidos nas alíneas anteriores, compare o algoritmo iterativo com os métodos directos. (f) Resolva o sistema 5x + 0.x + 0.x x 4 = 0.x + 5x + 0.x x 4 = 0 0.x + 0.x + 5x x 4 = 0 0.3x + 0.x + 0.x 3 + 5x 4 = 0 usando o algoritmo iterativo no sistema de ponto flutuante (0, 3,, A). 57. Considere o espaço vectorial das funções reais de variável real contínuas no intervalo [0, ], habitualmente designado por C [0, ]. Mostre que as seguintes aplicações definem normas em C [0, ]: (a) f max f (t) ; t [0,] (b) f f (t) dt Sejam f : [a, b] R, f : [a, b] R, duas funções contínuas. Sejam p, p, os aproximantes de mínimos quadrados na classe dos polinómios de grau n para f, f. Prove que α p + α p é o aproximante de mínimos quadrados na classe dos polinómios de grau n para α f + α f. 59. Sejam p e q, polinómios não nulos. (a) Mostre que deg (p + q) max (deg (p), deg (q)), deg (pq) = deg (p) deg (q). (b) Apresente um exemplo no qual a desigualdade estrita se verifica na primeira relação. 60. Sejam {ϕ i, i =,,..., n}, uma família de funções mútuamente ortogonais. (a) Mostre que n α i ϕ i = n αi ϕ i. i= i= (b) Considere uma função f, tal que f dt <. Seja f = n α i ϕ i o aproximante de mínimos quadrados na classe das combinações lineares de {ϕ i, i =,,..., n}. Prove que f f = f f. 6. Sejam x = cos ϕ, U n (x) = sin((n+)ϕ) sin ϕ, n = 0,,, 3,... (a) Prove que a sucessão {U n (x), n N} satisfaz uma fórmula de recursão Determine os coeficientes (a n, b n, c n ). i= U n+ (x) = (a n+ x b n+ ) U n (x) c n+ U n (x). (b) Prove que U n (x) é um polinómio em x de grau n. (c) Determine uma função de ponderação, w (x), em relação à qual {U n (x), n N} seja um sistema ortogonal. 6. Obtenha uma aproximação da função f (x) = 3 x no intervalo [0, ], usando o método dos mínimos quadrados com função de ponderação igual a 0

11 (a) Usando como função aproximante um polinómio do primeiro grau; (b) Usando como função aproximante um polinómio do segundo grau; (c) Determine a norma da função erro em cada um dos casos anteriores. 63. (a) Determine os polinómios ϕ i, i = 0,,, com termo constante igual a, ortogonais no intervalo [, ] em relação à função de ponderação w (x) = x. (b) Determine o polinómio de segundo grau que minimiza x (e x p (x)) (c) Calcule e x p (x) = x (e x p (x)) 64. Calcule os três primeiros polinómios cujo coeficiente do termo de maior grau é igual a, ortogonais no intervalo [0, ] em relação à função de ponderação w (x) = x. 65. Prove que não existe qualquer função de ponderação que induza um produto interno em relação ao qual os polinómios {, x, x,... } sejam ortogonais. 66. Aplique o algoritmo de Gram-Schmidt aos monómios {, x, x } para obter uma base ortogonal de P [, ], em relação à função de ponderação w (x) =. Qual a relação entre os elementos desta base e os polinómios de Legendre? 67. Pretende-se calcular uma família de polinómios ortogonais no intervalo [0, ], tais que p k (0) = 0, k = 0,,,... Determine os 4 primeiros polinómios ortogonais. 68. Considere a função f (x) = x. Determine o polinómio do quarto grau que aproxima f no intervalo [, ] com menor erro quadrático médio em relação a cada uma das seguintes funções de ponderação: (a) w (x) = ; (b) w (x) = x ; (c) w (x) = x. 69. Considere a função f (x) = sin x, x [ π, π]. (a) Determine o polinómio de segundo grau que aproxima f com menor erro quadrático médio. (b) Determine o erro quadrático médio da aproximação obtida na alínea anterior. 70. Considere as funções φ (x) =, φ (x) = x, φ 3 (x) = sin x, e seja S = span {φ, φ, φ 3 }. Considere o espaço das funções contínuas no intervalo [ π, π] provido do produto interno f, g = π f (x) g (x) dx. π (a) Construa uma base ortonormal para S. (b) Obtenha o aproximante de mínimos quadrados por uma função de S para a função f (x) = e x. (c) Determine o erro médio quadrático cometido na alínea anterior. 7. Determine a aproximação da função f (x) = e x, por um polinómio do primeiro grau, usando o método dos mínimos quadrados e cada uma das seguintes bases para o espaço P : (a) {, x}; (b) Os polinómios de Legendre, {P 0, P }. 7. Pretende-se aproximar a função f (x) = sin x no intervalo [ ] 0, π 4 por um polinómio de segundo grau que verifique p (x) = f (0), p ( ) ( π 4 = f π ) 4 (a) Determine este polinómio pelo método dos mínimos quadrados. dx. dx.

12 (b) Calcule o erro cometido em x = π 8. (c) Sugira um algoritmo para calcular sin x, x [ π 4, π ]. 73. Escreva o polinómio p (x) = + x x + x 4 na forma de Newton com centros em, 0,,. 74. Determine o quociente e o resto da divisão do polinómio p (x) = x 4 + x 3 x + 3 por x, empregando o algoritmo de Horner. 75. Considere a função f (x) = tgx. para obter uma aproximação poli- (a) Utilize o valor de f (x) nos pontos x = π nomial de f. 4, π 6, 0, π 6, π 4 (b) Obtenha uma estimativa para o erro máximo cometido na aproximação da alínea anterior. 76. Idem ao exercício 75 para a função f (x) = cos x. 77. Determine o polinómio interpolador dos valores (0, ), (, 3), (, ) (a) na forma de Lagrange; (b) na forma de Newton com centros nos nós. 78. Considere uma tabela da função f (x) = e x no intervalo [0, ], com pontos igualmente espaçados. Quantos pontos deve ter a tabela para que o erro de interpolação nesse intervalo seja inferior a 0 6? 79. Mostre que o cálculo do polinómio interpolador pela fórmula de Lagrange requer n +3n somas ou subtracções, n + n multiplicações e n + divisões. 80. Mostre que o cálculo da tabela de diferenças divididas requer n (n + ) somas ou subtracções e n(n+) divisões. 8. Considere a função f (x) = log x. (a) Calcule f (.) por interpolação cúbica, sendo dados os seguintes valores x : f (x) : (b) Obtenha um majorante para o erro de interpolação e compare-o com o erro efectivamente cometido. 8. Prove que f [x 0, x,..., x n ] = em que W (x) = (x x 0 ) (x x )... (x x k ). n k=0 f (x k ) W (x k ), 83. Sejam x 0, x,..., x n, n+ pontos distintos do intervalo [a, b]. Mostre que o polinómio interpolador de grau não superior a n para uma função f, relativamente a esses pontos pode ser representado na forma: n f (x k ) p (x) = W (x) (x x k ) W (x k ), em que W (x) = (x x 0 ) (x x )... (x x k ). 84. Considere os seguintes valores da função f: k=0 x : 0 f (x) :

13 (a) Usando a fórmula de Newton com diferenças divididas, construa o polinómio interpolador de f de grau não superior a 3. (b) Sabendo que f (x) = 4x, determine a expressão exacta de f. 85. Utilize interpolação inversa para calcular arctan 0.4 a partir dos dados da seguinte tabela x : tan x : Na tabela seguinte são apresentados valores (exactos) da função f (x) = x + x. x : f (x) : (a) Obtenha a expressão do polinómio interpoldor de f nos pontos tabelados. (b) Calcule o valor interpolado de f (.3). Obtenha um majorante do erro de interpolação e compare-o com o erro efectivamente cometido. 87. Seja f : [0, ] R, uma função de classe C que verifica f (n) (x) n!, n N, x [0, ]. Considere um número real q ]0, [, e seja p n, o polinómio interpolador de menor grau nos pontos, q, q,..., q n. Mostre que lim n p n (0) = f (0). 88. Sejam x, x,..., x n, valores reais distintos e considere uma função f : R R. Prove que existe uma única função f n da forma n f n (x) = c i e ix que verifica f n (x i ) = f (x i ), i =,,..., n. 89. (a) Construa a tabela de diferenças divididas relativas aos seguintes valores da função f (x) = ex e x : i= x : f (x) : (b) Determine o respectivo polinómio interpolador. (c) Calcule o valor do polinómio interpolador no ponto x = e compare-o com o valor de f (). 90. Considere um conjunto de pontos, {(x i, y i ), i = 0,,,..., n}. Mostre que se f for uma função interpoladora para os pontos (x i, y i ), i = 0,,,..., n e g for uma função interpoladora para os pontos (x i, y i ), i =,,..., n, então a função h (x) = x n x x n x 0 f (x) + x x 0 x n x 0 g (x) é uma função interpoladora para os pontos (x i, y i ), i = 0,,,..., n. 9. Diga se a função seguinte é um spline. No caso afirmativo, diga qual é o seu grau. x +, x [0, [ f (x) = x, x [, [ x x + 4, x [, 3]. 3

14 9. Diga se a função seguinte pode ser um spline cúbico ou não. No caso afirmativo, quais são os valores admissíveis para as constantes a, b, c? x, x [, 0[ f (x) = ax 3 + bx + cx, x [0, [ x, x [, ]. 93. Considere os seguintes pontos x : y : (a) Determine o polinómio interpolador de menor grau para este conjunto de pontos; (b) Determine o spline cúbico que interpola esses pontos. 94. Considere a função f (x) = x ( x ) ( x ). (a) Determine o spline cúbico natural de f no conjunto {, 0,, }. (b) Determine o spline cúbico interpolador de f no mesmo conjunto que verifica s ( ) = f ( ), s () = f (). 95. (a) Determine o polinómio interpolador de menor grau para a função f (x) = sin x com nós x = π, π 4, 0, π 4, π. (b) Obtenha uma estimativa do erro máximo de interpolação cometido na alínea anterior. 96. O spline cúbico de nós (x i, y i ), i = 0,,,..., n pode ser expresso em termos das primeiras derivadas nos nós, m i = S (x i ), em vez das segundas derivadas, M i = S (x i ). Nesse caso, obtêm-se as expressões S (x) = m i (x x i ) (x x i) h i + m i (x x i ) (x x i ) + h i ) +y i ( + x x i (x xi ) h i + y h i ( x x i i ) (x xi ) h i h i, x [x i, x i ]. Mostre que o spline natural pode ser obtido através do sistema de equações lineares 3 m m = y y0 ( 3h i m i + h ; 3h i + 3h i+ ) 3 m n + 3 m n = yn yn h n. m i + 3h i+ m i+ = yi+ yi h i+ + yi yi, i =,,..., n ; h i 97. Pretende-se interpolar a função f (x) = sin ( ) [ πx no intervalo 0, ] por um spline cúbico numa malha uniforme. Calcule o número mínimo de nós a usar para que os erros não excedam Determine a ordem de convergência e a constante de erro assimptótico de cada uma das seguintes sucessões: (a) x k = k ; (b) x k = k, α α < ; (c) x k = e ka, α > ; (d) x k = a bk, a ]0, [, b >. 4

15 99. Mostre que a sucessão x k = 3 k +3 k converge linearmente para zero. Calcule a sua constante de erro assimptótico. 00. Mostre que a convergência de uma sucessão não garante a existência de uma constante de erro assimptótico. { Sugestão: considere a sucessão x k = k, se k for par; 3 k, se k for ímpar. 0. Considere uma constante C ], [ e uma sucessão {x k R, k N}. x (a) Mostre que lim k+ x k+ x k x k+ x k = C se e só se existir x R tal que lim k+ x k x k x = C. (b) Mostre que o resultado da alínea anterior { não é verdadeiro sem a hipótese C <. Sugestão: considere a sucessão x k = 3k, se k for par; se k for ímpar. 3k, 0. Como reage o método da bisecção no caso de zeros múltiplos? Considere os casos de zeros de multiplicidade par e de multiplicidade ímpar. 03. Considere a função f (x) = x 3 e x. Verifique que f tem um zero no intervalo [0, ]. Calcule este zero com uma precisão de três dígitos decimais, usando cada um dos seguintes métodos: (a) bissecção; (b) falsa posição; (c) secante. 04. Considere a equação sin x e x = 0. (a) Prove que esta equação tem uma raíz z [0.5, 0.7]. (b) Efectue uma iteração do método da bissecção e indique um novo intervalo que contenha z. (c) Determine o número m de iterações necessárias para garantir que x m z < Resolva a equação x = e x : (a) pelo método de bissecção; (b) pelo método de regula falsi; (c) pelo método de newton. 06. (a) Aplicando o método de Newton à equação x = a, prove que a raíz quadrada de um número a pode ser calculada iterativamente através da formula x k+ = ) (x k + axk, k = 0,,,... (b) Apresente um algoritmo para escolher um valor razoável para x 0. Sugestão: Comece por provar que qualquer número positivo se pode representar na forma a = Ab p, em que b é a base da representação usada no computador, p Z, e A ] b, b]. 07. Considere a equação +x e x = 0. (a) Execute dois passos do algoritmo de Newton com ponto inicial x 0 =. (b) Comente o resultado da alínea anterior. Sugestão: Represente graficamente a função f (x) = +x e x. 5

16 08. Pretende-se calcular a raíz cúbica de um número real a > 0. Para isso, propõe-se o método iterativo dado pela fórmula x n+ = x3 n + a 3x. n (a) Explique um modo de obter esta fórmula. (b) Prove que o método converge, qualquer que seja a aproximação inicial, x 0 > 0. Para que valores de x 0 a convergência é monótona? (c) Escreva uma nova fórmula que permita resolver o mesmo problema, mas com base no método da secante. 09. Pretende-se determinar, usando o método de Newton, a maior raíz real da equação x 3 + 4x e x = 0. (a) Prove que se x 0 [.6, 3], estão asseguradas as condições de convergência do método. (b) Calcule um majorante para o erro da segunda iteração. 0. Considere a equação cos (βx) = x, β =.733 ± (a) Qual é a precisão máxima com que é possível resolver a equação? (b) Resolva a equação com um erro que não exceda em mais de 0% o erro absoluto mínimo determinado na alínea anterior.. Considere uma função f : R R, suficientemente derivável, e seja z, um zero de f com multiplicidade m. (a) Mostre que existe uma função g : R R, tal que (b) Mostre que z é um zero simples de f m ; (c) Mostre que z é um zero simples de f f ; g (z) 0, f (x) = (x z) m g (x), x R. (d) Mostre que a sucessão x k+ = x k m f(x k) f (x k ) converge para z, desde que x 0 seja suficientemente próximo de z. Prove que a convergência é quadrática. (e) Mostre que se a sucessão {x k }, obtida pelo método de Newton, convergir para z, então x k+ x k lim = m k x k x k m. (f) Sugira um algoritmo para calcular zeros de uma função, quando a multiplicidade desses zeros é desconhecida.. Considere uma sucessão x n+ = φ (x n ), e seja α R tal que φ (α) = α. (a) Prove que se φ (α) ]0, [, então, para todo x 0 suficientemente próximo de α se verifica lim x n = α e (x n α) (x m α) 0 n, m N. (b) Prove que se φ (α) ], 0[, então, para todo x 0 suficientemente próximo de α se verifica lim x n = α e (x n α) (x m α) 0 n, m N. (c) Prove que se φ (α) >, então, para todo x 0 suficientemente próximo de α, a sucessão x n não converge para α. 6

17 (d) Diz-se que α R é uma solução de multiplicidade p para a equação f (x) = 0 se se verificar f (i) (α) = 0, i = 0,,,..., p, f (p) (α) 0. Prove que se a multiplicidade da solução da equação for superior a, então o algoritmo de Newton ainda é convergente (pelo menos quando o valor inicial é suficientemente próximo da solução) mas a ordem de convergência é igual a. (e) Determine o valor de λ que faz com que a sucessão x n+ = λx n + sin x n + λ tenda o mais rápidamente possível para a solução da equação x + sin x =. (3) (f) Determine a solução da equação (3) correctamente arredondada a 6 casas decimais. 3. O método de Steffenson para resolver a equação f (x) = 0 traduz-se na seguinte regra de recorrência f (x n ) x n+ = x n f (x n + f (x n )) f (x n ). (a) Prove que a ordem de convergência do método de Steffenson é igual a. (b) Utilize-o para resolver a equação e x = sin x. 4. Resolva a equação cos x = x. 5. (a) Prove que a equação x + a cos x = 0 admite pelo menos uma solução, qualquer que seja a constante a R. (b) Obtenha uma solução correctamente arredondada a 3 dígitos decimais para a equação x + cos x = (a) Mostre que a equação x 3 + 3x = 5 admite duas soluções positivas. (b) Escreva a equação de modo a poder empregar o método do ponto fixo na sua resolução. (c) Escolha estimativas iniciais para o cálculo de cada uma das soluções positivas pelo método de ponto fixo. (d) Calcule as soluções positivas correctamente arredondadas a 4 dígitos decimais. 7. Pretende-se calcular a solução positiva da equação x = log (a + bx). Determine condições a satisfazer pelos parâmetros a > b > 0, de modo a garantir a convergência do algoritmo. 8. Considere uma sucessão {x k R, k N}, convergindo supralinearmente para z. x (a) Mostre que lim k+ x k k x k z =. (b) Qual é o interesse deste resultado do ponto de vista de um critério de paragem das iterações? (c) Existe algum resultado análogo para sucessões que convergem linearmente? 9. Considere o sistema de equações que admite a solução x = x =. { x 3 + (x x ) = x + x x =, 7

18 (a) Aplique duas iterações do método de Newton começando com a estimativa inicial x = x =. (b) Aplique duas iterações do método de Broyden, com a mesma estimativa inicial. 0. Seja Ω R n, um conjunto não vazio, convexo e aberto, e considere uma função f : Ω R n, de classe C, para a qual existe γ ]0, + [ tal que (a) Mostre que J f (x) J f (y) γ x y, x, y Ω. f (u) f (v) J f (x) (u v) γ ( u x + v x ), x, u, v Ω. (b) Prove que se a matriz J f (x) admitir inversa, então existem constantes C > c > 0, ε > 0, tais que. Considere o sistema de equações ( u x < ε, v x < ε) (c u v f (u) f (v) C u v ) cos x 8 + y 9 + sin z sin x 3 + cos z 3 = y 3 = x cos x 9 + y 3 + sin x 6 = z (a) Analise quanto à convergência o método iterativo (x n+, y n+, z n+ ) = ψ (x n, y n, z n ), em que ψ é o lado esquerdo do sistema. (b) Obtenha uma solução para o sistema (4).. Seja y (x), uma função definida implícitamente pela equação sin (xy) = y x. (a) Mostre que um máximo local da função y (x) pode ser determinado resolvendo o sistema de equações não lineares { sin (xy) = y x; (4) y cos (xy) + = 0. (b) Calcule uma aproximação de um máximo local de y (x) e do respectivo maximizante. 3. Considere a função f (x) = x +x +x. (a) Reescreva a expressão de f (x) de modo a evitar a perda de dígitos significativos no cálculo de f (x) quando x é próximo de zero. Nas alíneas seguintes, considere um processador que não inclui a operação raíz quadrada : (b) Apresente um algoritmo para o cálculo de f (x), x R. Descreva-o detalhadamente tendo em vista a sua realização num sistema de aritmética em ponto flutuante. (c) Calcule f (0.0), usando o sistema de ponto flutuante (0, 3, 0, 0). (d) Quantos dígitos significativos tem o resultado obtido na alínea anterior? 4. Pretende-se avaliar a função f (x) = x, x [, 4] um número muito elevado de vezes, pelo que a rapidez de cálculo é um critério fundamental na escolha do algoritmo. Consideram-se duas alternativas: 8

19 (a) os valores de f (x) são obtidos por interpolação linear entre os pontos de uma tabela de pontos equidistantes; (b) os valores de f (x) são obtidos aplicando um passo do método de Newton para a solução da equação x a = 0, usando um valor inicial lido numa tabela de pontos equidistantes. Determine o tamanho da tabela que é necessário construir em cada caso para garantir um resultado correctamente arredondado a 30 casas decimais. 5. Calcule o integral 0 xe x dx, (a) usando a regra do trapézio; (b) usando a regra de Simpson; (c) usando a regra de Gauss de dois pontos. (d) Para cada uma das alíneas anteriores, obtenha um majorante para o erro cometido na alínea anterior. Compare-o com o erro efectivamente cometido. 6. Calcule o integral 0 e x dx, correctamente arredondado a 5 casas decimais. (a) Usando a regra do trapézio; (b) Usando a regra de Simpson. 7. Idem ao exercício anterior para o integral x dx. 8. Calcule o numéricamente o integral 0 ex sin x dx e estime o respectivo erro em cada um dos seguintes casos: (a) Regra do trapézio com uma decomposição em três subintervalos à sua escolha; (b) Regra de Simpson com a mesma decomposição (acrescente os pontos intermédios necessários). 9. Considere o integral I = 0 sin ( πt 5) dt. (a) Calcule I com a maior precisão que puder, usando a regra de Simpson composta com 3 subintervalos. (b) Estime a precisão do resultado obtido na alínea anterior. 30. (a) Obtenha a regra de Gauss de 3 a ordem (usando dois pontos) para o cálculo de um integral f (x) dx. 0 (b) Calcule e x dx correctamente arredondado a casas decimais. 3. Considere uma função conhecida através da seguinte tabela x : f (x) : (a) Calcule numéricamente f (x) dx. 0 (b) Estime a precisão do resultado obtido na alínea anterior. 3. Considere uma regra de cálculo do integral I = b f (x) dx por integração de um polinómio a interpolador da função f com nós a x 0 < x <... < x n b, e suponha que o polinómio W n (x) = (x x 0 ) (x x )... (x x n ) mantém o mesmo sinal em todo o intervalo [a, b]. (a) Mostre que se f for de classe C n+, então existe ξ [a, b] tal que I Î = f (n+) (ξ) (n + )! b a W n (x) dx. 9

20 (b) Obtenha a partir deste resultado a estimativa do erro para a regra do trapézio. 33. Considere a seguinte fórmula de integração f (x) dx f ( a) + f (a). Determine o valor da coordenada a de modo que esta fórmula tenha o maior grau. 34. Mostre que a regra de Gauss de grau para integrais do tipo I (f) = é Î (f) = f ( 4), e que o respectivo erro é 0 log xf (x) dx Î (f) I (f) = 7 88 f (ξ), com ξ [0, ]. 35. Pretende-se construir uma regra de integração para integrais do tipo com a forma I (f) = 0 Î (f) = A 0 f (0) + A f xf (x) dx, f C, ( ) + A f () Determine os valores de A 0, A, A de modo que esta fórmula tenha o maior grau possível. 36. Pretende-se calcular pela regra do trapézio composta o integral I = dígitos decimais correctos. Quantos pontos se devem usar? 0 ee x dx, com quatro 37. O comprimento de uma curva de equação y = f (x) entre as abcissas x = a e x = b é dado por L = b a + f (x) dx. (a) Calcule o comprimento da curva y = e x entre x = 0 e x =, usando a regra de Simpson composta com e 4 subintervalos. (b) Apresente uma estimativa do erro cometido. 38. (a) Utilize a regra do trapézio composta com 4 subintervalos para calcular I = 0 e x(x ) (b) Esta classe de regras é particularmente interessante para este caso. Porquê? 39. Considere a equação diferencial u = tu, t [0, ], u (0) =. (a) Mostre que o segundo membro satisfaz a condição de Lipschitz e determine a respectiva constante. (b) Diga se a solução do sistema existe e é única. (c) Determine a solução do sistema, no caso afirmativo. (d) Resolva a equação pelo método de Euler progressivo com passo h = 0.. Compare o erro cometido com o majorante teórico. 40. (a) Prove que a função f (t, y) = y não satisfaz a condição de Lipschitz em relação à variável y. dx. 0

21 (b) Encontre duas soluções distintas para o problema de valor inicial 4. Considere o problema de valor inicial Determine uma solução numérica do problema (a) usando o método de Euler; (b) usando o método de Runge-Kutta. 4. Idem a o exercício anterior para o problema y = y, t [0, π], y (0) =. y = y, y (0) =. y = 000y, y (0) =. 43. Aplique o método de Runge-Kutta de segunda ordem ao problema u = + u, t [0, ], u (0) = 0, com passo h = 0.. Compare os resultados com a solução exacta. 44. Aplique um método de Runge-Kutta de terceira ordem ao problema u = tu, t [0, ], u (0) =, com passo h = 0.5. Compare os resultados com a solução exacta. 45. (a) Mostre que quando o segundo membro da equação u = f (t, u) não depende de u, o método de Runge-Kutta de terceira ordem se reduz à regra de Simpson. (b) Idem para o método de Runge-Kutta de quarta ordem. 46. Considere a equação diferencial de terceira ordem u + tu u u + u = cos t. (a) Escreva a equação sob a forma de um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. (b) Escreva as equações que permitem aplicar um método de Runge-Kutta de terceira ordem ao cálculo de soluções aproximadas para esta equação. 47. (a) Verifique que a solução exacta da equação diferencial é u (t) = e t. u = u e t, u (0) = (b) Resolva numéricamente o problema no intervalo [0, ], usando o método de Euler, com passo h = 0.. (c) Idem, usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem. (d) Idem, usando um método de Runge-Kutta de quarta ordem. 48. Resolva numéricamente o problema com valores iniciais y x y = 0, y (0) = 0, y (0) =. 49. Resolva numéricamente o problema com valores de fronteira y + y = x, y (0.4) = 0.3, y (0.8) = 0.7.

22 50. Considere o problema de valores iniciais u + k u = 0, t [, ], u ( ) = u 0, u ( ) = θ. (a) Obtenha a solução exacta do problema, dependendo de (u 0, θ). (b) Determine o valor de θ de modo que a solução obtida satisfaça as condições de fronteira u ( ) = u 0, u () = u. (c) Explicite as condições em que a solução existe e é única. 5. Considere a equação diferencial y = sin (ty), t [0, π]. Resolva-a numéricamente para cada uma das seguintes condições de fronteira: (a) y (0) = 0, y (0) = 0; (b) y (0) = 0, y (π) =.