Nota importante: U é a matriz condensada obtida no processo de condensação da matriz

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1 Decomposição P T LU A denominada decomposição P T L U é um processo que pode ser extremamente útil no cálculo computacional, na resolução de sistemas de equações lineares. Propriedade Seja A uma matriz do tipo m n. Então existem matrizes P, L e U tais que A = P T L U em que P é uma matriz de permutação de ordem m, L é uma matriz quadrada triangular inferior de ordem m com elementos diagonais iguais a um e U é uma matriz em escada de linhas do tipo m n. Nota importante: U é a matriz condensada obtida no processo de condensação da matriz A. Graças a esta decomposição, o sistema AX = b pode ser resolvido nos seguintes passos: AX = b P T L UX = b P P T L UX = P b L UX = P b Y A = P T L U P T = P P P T = P P = I m. Resolver o sistema (triangular) L Y = P b ; 2. Resolver o sistema (condensado) U X = Y ; A vantagem fundamental deste processo reside no facto de a resolução de um sistema de equações lineares com uma matriz A dos coeficientes qualquer poder ser feita à custa da resolução de um sistema triangular e de um sistema condensado (no caso particular de A ser quadrada, então o sistema U X = Y é também um sistema triangular). Por outro lado, a decomposição P T L U é particularmente útil em processos em que temos que resolver um elevado número de sistemas de equações lineares com a mesma matriz dos coeficientes e em que apenas o vector dos termos independentes muda. Neste caso, para cada novo sistema, apenas temos que resolver um sistema triangular e um sistema condensado, uma vez que a decomposição P T L U é sempre a mesma.

2 Seguidamente, apresentamos algumas definições e propriedades, assim como os passos necessários à obtenção da decomposição P T L U de uma matriz: Definição Chama-se matriz elementar de ordem n a uma matriz, habitualmente denotada por E ij (α), com i, j =, 2,..., n, i j e α R, que se obtém da matriz identidade de ordem n substituíndo o zero na posição (i, j) por α. Exemplos:. Nas matrizes de ordem, podemos considerar as seguintes matrizes elementares: E 2 ( ) = E (2) = 2 2. Nas matrizes de ordem 4, podemos considerar as seguintes matrizes elementares: E () = E 4 ( 2 ) = 2 Propriedade 2 Seja A uma matriz do tipo m n.. O produto E ij (α) A corresponde a efectuar a operação elementar por linhas L i L i + α L j ; 2. O produto A E ij (α) corresponde a efectuar a operação elementar por colunas C j C j + α C i ;. E ij (α) = E ij ( α). Definição 2 Chama-se matriz de permutação de ordem n a uma matriz, habitualmente denotada por P ij, com i, j =, 2,..., n, i j, que se obtém da matriz identidade de ordem n por troca das suas linhas i e j. Exemplos:. Nas matrizes de ordem, podemos considerar as seguintes matrizes de permutação: P = P 2 = 2

3 2. Nas matrizes de ordem 4, podemos considerar as seguintes matrizes de permutação: P = P 24 = Propriedade Seja A uma matriz do tipo m n.. O produto P ij A corresponde a efectuar a operação elementar por linhas L i L j ; 2. O produto A P ij corresponde a efectuar a operação elementar por colunas C i C j ;. P T ij = P ij (ou seja, a matriz P ij é simétrica) e P ij = P ij. Observação: Por, tem-se portanto P ij = P T ij. De acordo com as definições e propriedades apresentadas anteriormente, constata-se facilmente que o processo de condensação, que transforma uma matriz numa matriz em escada de linhas, pode ser descrito à custa de multiplicações por matrizes elementares e por matrizes de permutação. Podemos então escrever, sem perda de generalidade, E i j (α ) E i2 j 2 (α 2 ) P k l E im j m (α m )... P kt l t E ip j p (α p ) A = U Atendendo a que E i j (α ) = E i j ( α ), temos que E i2 j 2 (α 2 ) P k l E imj m (α m )... P ktl t E ipj p (α p ) A = E i j e então também P k l E im j m (α m )... P kt l t E ip j p (α p ) A = E i2 j 2 ( α 2 ) E i j Uma vez que P k l = P k l, E im j m (α m )... P kt l t E ip j p (α p ) A = P k l E i2 j 2 ( α 2 ) E i j e assim sucessivamente. Este processo termina com A = E ip j p ( α p ) P kt l t... E im j m ( α m ) P k2 l 2... ( α ) P k l E i2 j 2 ( α 2 ) E i j

4 Sendo A uma matriz do tipo m n, é possível mostrar que se podem multiplicar as sucessivas matrizes elementares pelas matrizes de permutação, de forma a obter A = P kt l t... P k2 l 2 P k l E ipjp ( α p )... E i2j2 ( α 2 ) E ij ( α ) P T em que P T (de ordem m) se escreve como produto de matrizes de permutação e L (de ordem m) se escreve como produto de matrizes elementares da forma E ij (α), com i > j, que são matrizes triangulares inferiores com elementos diagonais iguais a um e cujo produto é também uma matriz triangular inferior com elementos diagonais iguais a um. Tem-se então A = P T L U Nota importante: P T = I m se não houve trocas (de linhas ou colunas) no processo de condensação da matriz A. Exemplos:. Determinar a decomposição P T L U da matriz A = Procedamos à condensação desta matriz: L 2. U A = 2 L 2 L 2 L 2 L 2 L 2 = U Podemos então concluir que Então P 2 E 2 ( ) A = U P 2 E 2 ( ) A = U E 2 ( ) A = P 2 U A = E 2 () P 2 U P2 = P 2 E 2 ( ) = E 2 () 4

5 Portanto A = E 2 () P 2 U = P 2 U = U Primeiro trocar colunas (2 e ) = P 2 Depois trocar linhas (2 e ) U Temos então com P T = P 2 = A = P T L U e L = x + y = 2. Resolver o sistema x + y + z = 2 y + z = matriz dos coeficientes do sistema. x + y = x + y + z = 2 y + z = forma matricial } 2 {{ } A., usando a decomposição P T L U da x y z X = b Observação: A matriz A dos coeficientes do sistema é a matriz do exemplo anterior; tem-se portanto A = 2 P T (=P 2 ) L U

6 Então. Resolver o sistema L Y = P b L Y = P b y y 2 y y = y 2 = y + y = = P 2 y = y 2 = y =, ou seja, Y = 2. Resolver o sistema U X = Y U X = Y 2 x y z = x + y = 2 y + z = z = x = 2 y = z =, ou seja, X = O sistema é portanto possível determinado e tem como solução X = 2. 2 Cálculo de A usando a decomposição P T L U de A n n (regular): A = P T L U = P L U A = (P L U) = U L P P T = P Caso particular: Se não houve trocas (de linhas ou colunas) no processo de condensação, P T = I n e tem-se A = L U A = (L U) = U L 6