Método de Gauss-Jordan e Sistemas Homogêneos

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1 Método de Gauss-Jordan e Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial de agosto de / 21

2 Sumário 1 Método de Gauss-Jordan 2 2 / 21

3 Sumário 1 Método de Gauss-Jordan 2 3 / 21

4 Considere o sistema x + 2y 3z = 7 S 2x 3y + z = 7 3x + y + 2z = 6 Vimos que uma solução para S é x = 1, y = 1 e z = 2 ou, equivalentemente, x = 1 S y = 1 z = 2 isto é, um sistema cuja matriz ampliada é [E ] = Vejamos que [E ] é uma forma escalonada para o sistema original S. 4 / 21

5 Uma Forma Escalonada para o sistema original S é [E b ] = O pivot da segunda linha aparece indicado abaixo. Para zerarmos os demais coeficientes desta coluna, devemos realizar as operações elementares como se segue: L 1 2L Passando ao terceiro pivot, temos: L 1 + L 3 L 2 + L / 21

6 Daí, obtemos [E A ] = onde é precisamente a solução do sistema original S. A matriz [E A ] é chamada Forma Escalonada Reduzida do sistema S. 6 / 21

7 [A b] [E b ] [E A ] E.G. G-J Matriz Aumentada Forma Escalonada F. E. Reduzida Substituição Reversa = solução 7 / 21

8 Exemplo: Determinar a solução do sistema abaixo usando o Método de Gauss-Jordan 3x + 4y + 2z + w = 2 4x + y z + 2w = 1 S 2x + 2y + z + w = 2 x + 4y + 2z + w = 2 Resposta... (0, 1, 2, 2). 8 / 21

9 Exemplo: Considere o sistema cuja matriz aumentada é [A b] = e encontre sua solução pelo Método de Gauss-Jordan. Resposta... ( α, 8 ) 2α, α, α onde α R. 9 / 21

10 Exemplo: Encontre a solução para o sistema abaixo usando o Método de Gauss-Jordan 3x + 2y + z + w + t = 2 S 2x + 2y + z + 3w + 2t = 4 x + y + z + 2w + 2t = 1 Resposta... ( 2α + β 2, 5 α, β R ) 3α + β + 13, α 2β 2, α, β com 5 10 / 21

11 No exemplo anterior, encontramos a seguinte solução: α ( 2 5, 3 5, 1, 1, 0 ) + β ( 1 5, 1 5, 2, 0, 1 ) + ( 2 5, 13 5, 2, 0, 0 ) ou, ainda, escrevendo as listas em forma de coluna, X = α β é a solução geral do sistema. 11 / 21

12 Sumário 1 Método de Gauss-Jordan 2 12 / 21

13 Quando os termos independentes das equações de um sistema linear são todos nulos, diremos que o sistema é homogêneo. A primeira coisa a observar a respeito desses sistemas é que são sempre possíveis. De fato, se toda equação do sistema é da forma a i1 x 1 + a i2 x a im x m = 0 então a sequência formada por m zeros (0, 0,..., 0) satisfaz a igualdade acima. Tal sequência, portanto, será solução do sistema, mas podem existir (infinitas) outras. 13 / 21

14 Considere o sistema homogêneo 3x + 2y z = 0 4x 3y + 2z = 0 5x + 5y 3z = 0 Sua Forma Escalonada Reduzida é: [E A ] = e portanto sua única solução é X = (0, 0, 0). Importante Quando um sistema homogêneo tem apenas uma solução, a saber, a sequência formada apenas por zeros, diremos que o sistema possui solução trivial. 14 / 21

15 Agora, considere o sistema não homogêneo 2x + 3y 4z + w = 4 S x 2y + z w = 7 x + y z + 5w = 15 Sua Forma Escalonada Reduzida é e sua solução geral: ( 23α X = [E A ] = ) 31α 13, 4α 22, 6 24, α ( 23 6 ) 13 ou X = α 4 ( 31 6 ) / 21

16 Agora, vamos considerar a versão homogênea deste sistema: 2x + 3y 4z + w = 0 S x 2y + z w = 0 x + y z + 5w = 0 Sua Forma Escalonada Reduzida é [E A ] = que resulta na solução geral ( ) ( α X 31α =, 4α, 6 6, α ) ou X = α 4 ( 31 6 ) 1 16 / 21

17 Comparando Matriz Ampliada: [A b] e [A 0] Forma Escalonada Reduzida: [E A ] e [E A 0] Solução: ( 23 6 ) 13 ( 23 6 X = α 4 ( 31 6 ) + 22 ) 24 e X = α 4 ( 31 6 ) / 21

18 Teorema Seja S um sistema não homogêneo cuja solução geral é X = α 1 h 1 + α 2 h α r h r + p então, a solução do sistema homogêneo associado é X = α 1 h 1 + α 2 h α r h r 18 / 21

19 Exemplo A matriz ampliada de um sistema não homogêneo S é: [A b] = Forma Escalonada Reduzida ( 8 3 ) ( 17 3 ) ( 35 9 ) ( 10 3 ) [E A ] = ( 20 3 ) ( 2 3 ) ( 5 3 ) ( 2 9 ) ( 1 3 ) Solução geral: ( 8 3 ) ( ) ( 35 9 X = α. ( 2 3 ) 9 ) ( β. ( 5 3 ) ( 20 3 ) 3 ) 0 + θ. ( 2 9 ) ( 1 3 ) / 21

20 Exemplo A matriz ampliada do sistema homogêneo associado: [A b] = Forma Escalonada Reduzida ( 8 3 ) ( 17 3 ) ( 35 9 ) 0 [E A 0] = ( 20 3 ) ( 2 3 ) ( 5 3 ) ( 2 9 ) 0 Solução geral: ( 8 3 ) ( ) ( 35 9 X = α. ( 2 3 ) 9 ) 1 + β. ( 5 3 ) ( 20 3 ) 0 + θ. ( 2 9 ) / 21

21 Exemplo Encontre a solução do sistema abaixo e do sistema homogêneo associado. x + 2y 3z = 4 S 2x y + 5z = 7 4x + 3y z = 14 S é impossível. Mas... para α R 1 0 ( 7 5 ) 0 [E A 0] = 0 1 ( 11 5 ) ( X = 7α 5, 11α ) 5, 0, α 21 / 21

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