Sistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear Pedro A. Santos

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1 Sistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear

2 MEG Operações Elementares Trocar a posição de duas equações Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero Não alteram as Somar a uma equação um múltiplo de outra soluções do sistema

3 Sistema <-> Matriz Matriz Aumentada Matriz dos Coeficientes

4 Matriz Arranjo de expressões em m linhas e n colunas entrada-ij da matriz A linha i coluna j

5 MEG Operações Elementares Trocar a posição de duas linhas Multiplicar uma linha por uma constante diferente de zero Não alteram as Somar a uma linha um múltiplo de outra soluções do sistema

6 MEG - Exemplo pivot L1 <> L4 L2 <= L2 + L1 L3 <= L3 + 2L1 L3 <= L3-5/2 L2 L4 <= L4 + 3/2 L2 Matriz em escada L3 <> L4 colunas com pivot É possível agora resolver o sistema por substituição

7 Algoritmo 1. Procurar a coluna não nula mais à esquerda 2. Selecionar o pivot na primeira linha; se necessário trocar linhas 3. Somando às outras linhas multiplos da linha do pivot, criar zeros por debaixo do pivot 4. Ignorar linha do pivot e todas as linhas acima desta; aplicar os passos 1-3 à submatriz resultante; repetir o processo até obter uma matriz em escada de linhas

8 Matriz em escada (de linhas) Uma matriz diz-se em escada de linhas se: 1. Linhas nulas aparecem abaixo das linhas não nulas 2. A primeira entrada não nula de cada linha (pivot), se existir, está numa coluna à direita do pivot da linha anterior 3. Todas as entradas na coluna por baixo de cada pivot são zero

9 Exemplos (escada) (a) (b) (c)

10 Matriz em escada reduzida (Gauss-Jordan) L1 <= L1-...L3 L2 <= L2 -...L3 L3 <= L3/(-5) L2 <= L2 /2 L1 <= L1-4L2 Matriz em escada reduzida

11 Matriz em escada reduzida (de linhas) Uma matriz diz-se em escada reduzida de linhas se: 1. Linhas nulas aparecem abaixo das linhas não nulas 2. A primeira entrada não nula de cada linha (pivot), se existir, está numa coluna à direita do pivot da linha anterior 3. Todas as entradas na coluna por baixo de cada pivot são zero 4. Os pivots são iguais a 1 5. As colunas com pivot têm todas as entradas acima e abaixo do pivot iguais a zero

12 Exemplos (escada reduzida) (a) (b) (c)

13 Resolução de Sistemas de Equações Lineares Matriz Aumentada variáveis dependentes MEGJ variáveis livres colunas sem Matriz pivot em escada reduzida Representação paramétrica

14 Verificação?

15 A vossa vez... x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 x 1 = 29 x 2 = 16 x 3 = 3

16 Existência e Unicidade de soluções Basta a matriz em escada de linhas Sistema possível e indeterminado colunas sem pivot Não há pivots no termo independente

17 Existência e Unicidade de soluções Não há variáveis livres Não há pivots no termo independente Sistema possível e determinado Solução única!!

18 Existência e Unicidade de soluções Sistema impossível pivot no termo independente!! Não tem Solução

19 Teorema Existência e unicidade de solução 1. Um sistema linear é possível se e só se a coluna correspondente ao termo independente na matriz aumentada não possui pivot. 2. Se um sistema é possível então tem (I) apenas uma solução, se não existirem variáveis livres (II) infinitas soluções, se existirem variáveis livres

20 Sistemas de Equações Lineares Sistema Existem soluções Uma só solução Infinitas soluções Possível Determinado Possível Indeterminado Não existem soluções Impossível ou Inconsistente

21 Colunas como Vectores A um elemento de vamos chamar Vector Podemos também representar como um vector-coluna 2014 Pedro A. Santos

22 Igualdade e Operações Dois vectores dizem-se iguais se tiverem o mesmo tamanho e as entradas correspondentes forem iguais Soma de dois vectores: Multiplicação por escalar: Soma de vectores Soma de números (escalares) 2014 Pedro A. Santos

23 Representação Geométrica x x Pedro A. Santos

24 Regra do Paralelogramo x x Pedro A. Santos

25 Múltiplos de um vector Exemplo: x x Pedro A. Santos

26 Combinação Linear Exemplos de combinações lineares de e 2014 Pedro A. Santos

27 Combinações lineares Exemplo: 2014 Pedro A. Santos

28 Combinações lineares 2014 Pedro A. Santos

29 Combinações lineares [ ] 2 v 1 = 1 [ ] -2 v 2 = Pedro A. Santos

30 Combinação Linear? Será que b é combinação linear de 2014 Pedro A. Santos

31 Combinação Linear? Será que b é combinação linear de Escrever a equação vectorial: Equivalente ao sistema: 2014 Pedro A. Santos

32 Problemas Equivalentes A equação vectorial tem a mesma solução que o sistema representado pela matriz aumentada 2014 Pedro A. Santos

33 Expansão Linear Qual é o conjunto de todos os vectores que são combinações lineares de um dado vector? 4 x 2 2 Uma recta!!! x Pedro A. Santos

34 Expansão Linear E se tivermos dois vectores? Pedro A. Santos

35 Expansão linear de um conjunto de vectores Span = Todas as possíveis combinações lineares dos vectores 2014 Pedro A. Santos

36 Expansão Linear Exemplo: Solução: Está b na expansão linear das colunas de A? A resposta é NÃO! Impossível ou Inconsistente 2014 Pedro A. Santos

37 Resumo Vectores Igualdade, Soma, Multiplicação por escalar Combinação linear de vectores Existência de Comb. <=> Existência de sol. SEL Interpretação de um SEL por colunas quais os pesos para a combinação linear de vectores dar o vector no termo independente. Expansão linear de um conjunto de vectores Estar na E.L. <=> ser comb. linear dos vectores do conjunto 2014 Pedro A. Santos

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