Inversão de Matrizes

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1 Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial de setembro de / 24

2 Sumário 1 Elemento Inverso 2 Equações Matriciais 3 Condição de existência da Matriz Inversa 4 Determinação da Inversa 2 / 24

3 Sumário 1 Elemento Inverso 2 Equações Matriciais 3 Condição de existência da Matriz Inversa 4 Determinação da Inversa 3 / 24

4 Elemento Inverso Na soma de matrizes, vimos o inverso aditivo A = [a ij ] C n m Elemento neutro da soma: 0 = [0] C n m Inverso aditivo: A = [ (a ij )], pois A + ( A) = 0 4 / 24

5 Elemento Inverso Para o produto, no caso de números complexos: Elemento neutro do produto: 1; se α 0 então a equação αx = 1 tem exatamente uma solução: x = α 1 Portanto, o inverso multiplicativo de α é o complexo α 1 ou 1 α. 5 / 24

6 Elemento Inverso Para o produto de Matrizes em C n n : Elemento neutro do produto: I n ; Definição (Inverso Multiplicativo de uma matriz) Seja A uma matriz quadrada de ordem n n. Se existir uma matriz quadrada B também de ordem n n tal que AB = I n e BA = I n dizemos que A é inversível ou não singular e que B é a inversa de A. Notação B = A 1. 6 / 24

7 Exemplo Considerando as matrizes [ ] 2 1 A =, B = 4 3 temos = [ 3/2 ] 1/2 2 1 [ ] A1 B A.B = 1 A 1 B 2 A 2 B 1 A 2 B 2 [ ] (2.(3/2) + 1.( 2)) (2.( 1/2) + 1.1) = (4.(3/2) + 3.( 2)) (4.( 1/2) + 3.1) Da mesma forma, B.A = I 2 ; Portanto, A é não singular com A 1 = [ 3/2 ] 1/2 2 1 [ ] 1 0 = I / 24

8 Observação Assim como no caso dos números complexos, quando uma matriz A possuir uma inversa, esta será única. Com efeito, suponha que B 1 e B 2 sejam inversas de A. Então AB 1 = AB 2 = I = B 1 A = B 2 A e B 1 = B 1.I = B 1 (AB 2 ) = (B 1 A)B 2 = IB 2 = B 2 8 / 24

9 Sumário 1 Elemento Inverso 2 Equações Matriciais 3 Condição de existência da Matriz Inversa 4 Determinação da Inversa 9 / 24

10 Equações Matriciais Considere as matrizes A n n e B n p. Suponha que A seja não singular. Se desejarmos encontrar X tal que AX = B então AX = B A 1 (AX ) = A 1 B = (A 1 A)X = A 1 B = (I )X = A 1 B = X = A 1 B Todos os produtos acima são compatíveis, uma vez que A 1 tem ordem n n assim como a matriz identidade I. Quando se trata da equação matricial de um sistema com número de equações igual ao número de variáveis, digamos, A n n.x n 1 = B n 1 então (caso A seja uma matriz não singular) a solução será dada por X = A 1 B 10 / 24

11 Sumário 1 Elemento Inverso 2 Equações Matriciais 3 Condição de existência da Matriz Inversa 4 Determinação da Inversa 11 / 24

12 Condição de existência da Matriz Inversa A questão agora é determinar se a inversa existe ou não. Teorema Seja A uma matriz quadrada de ordem n n. São equivalentes: (i) A 1 existe; (ii) posto(a) = n; (iii) A pode ser transformada em I n através do método de Gauss-Jordan; (iv) Se AX = 0 então X = 0 12 / 24

13 Exemplo Considere a matriz A = Aplicando o método de Gauss-Jordan, obtemos: Portanto, A I foi possível ou, posto(a) = n = 3. Pelo Teorema, existe A 1. Ainda pelo Teorema, A.X = 0 implica que X = 0. Isso significa que qualquer sistema homogêneo que tenha A como matriz dos coeficientes, tem solução única! 13 / 24

14 Exemplo Considerando, agora, a matriz identidade A = Aplique em I as mesmas operações elementares (e na mesma ordem) que foram aplicadas na matriz A do exemplo anterior. Chame a matriz resultante de B. Faça os produtos A.B e B.A. Qual o resultado? Qual a conclusão? 14 / 24

15 Exemplo Dada a matriz A = 1 2 2, determine a sua inversa da seguinte forma: Escreva lado a lado as matrizes A e I, obtendo uma matriz de ordem 3 6; Aplique o método de Gauss Jordan de modo a obter a matriz identidade nas 3 primeiras colunas da matriz [A I ]; A matriz resultante, isto é, [I B], traz nas 3 últimas colunas, a inversa de A: B = A 1 = / 24

16 Observação B é a inversa de A se A.B = I e também B.A = I No entanto, quando A for inversível, A.B = I = B.A = I. Seja B uma matriz tal que A n n.b n n = I n. Afirmação: B é não singular. Suponha, por absurdo, que B é singular. Então, pelo Teorema, o produto B.X = 0 ocorre para alguma matriz X não nula. Por outro lado, X = I.X = (AB)X = A(BX ) = A.0 = 0. O que é um absurdo! Portanto, existe, sim, a inversa de B e AB = I (AB)B 1 = I.B 1 A(BB 1 ) = B 1 AI = B 1 A = B 1 BA = BB 1 BA = I 16 / 24

17 Sumário 1 Elemento Inverso 2 Equações Matriciais 3 Condição de existência da Matriz Inversa 4 Determinação da Inversa 17 / 24

18 Determinação da Inversa Nosso objetivo é resolver a equação sendo A inversível. A n n X n n = I n (A 1.X 1 ) (A 1.X 2 )... (A 1.X n ) (A 2.X 1 ) (A 2.X 2 )... (A 2.X n ) = (A n.x 1 ) (A n.x 2 )... (A n.x n ) ou seja, A.X 1 = I 1, A.X 2 = I 2,..., A.X n = I n que são n sistemas, cada um deles com n variáveis. 18 / 24

19 Determinação da Inversa Usando a notação matricial e resolvendo esses sistemas pelo método de Gauss-Jordan, teremos: A.X 1 = I 1 [A I 1 ] [I B 1 ] A.X 2 = I 2 [A I 2 ] [I B 2 ]. A.X n = I n [A I n ] [I B n ] As operações elementares empregadas foram as mesmas nos n sistemas. Por outro lado, com essas mesmas operações elementares, cada coluna de I foi transformada em uma nova coluna: I 1 B 1, I 2 B 2,..., I n B n 19 / 24

20 Determinação da Inversa Como se tratam de matrizes colunas de ordem n 1, podemos dizer que exatamente com as mesmas operações elementares: A I I B onde B é a reunião das colunas de I depois de transformadas! Retomando os sistemas, A.X k = I k significa que X k = A 1.I k (1) Já [I B k ] representa o sistema I.X k = B k, ou seja, X k = I 1 B k = B k (2) 20 / 24

21 De (1) e (2), temos A 1.I k = B k (3) Para encontrarmos de vez a inversa de A, lembremos que Lema Se M é uma matriz de ordem n n e I k a k-ésima coluna da matriz identidade I n, então M.I k é a k-ésima coluna de M Assim, a igualdade em (3) equivale a (A 1 ) k = B k ou seja, cada coluna da matriz B obtida a partir da transformação da matriz identidade (usando-se o método de Gauss-Jordan) equivale a uma coluna da matriz inversa de A. Portanto, A 1 = B 21 / 24

22 Determinação da Inversa Resumindo: Seja A uma matriz não singular. O Teorema de Caracterização garante que A pode ser transformada na matriz identidade através de operações elementares; Transforme A n n em I n ; Usando exatamente as mesmas operações elementares, transforme I. Você encontrará uma outra matriz. Chame-a de B. A 1 = B. 22 / 24

23 Exemplo Idem para a matriz B = Resposta B 1 = / 24

24 Exemplo Idem para a matriz C = Resposta... (2/5) 1 (3/5) (3/10) C 1 = (1/3) (2/3) ( 1/3) ( 1/3) ( 1/15) ( 1/3) (1/15) (11/30) ( 1/5) 0 (1/5) (1/10) 24 / 24