Lista de exercícios 7 Independência Linear.

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1 Universidade Federal do Paraná semestre 6. Algebra Linear Olivier Brahic Lista de exercícios 7 Independência Linear. Exercício : Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em R : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 a) c) e) 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 b) d) Exercício : Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em R 3 : 4 a) d) 4 b) c) 3 3 e) 3 Exercício 3: Para cada um dos conjuntos de vetores no exercício descreva geometricamente a cobertura dos vetores dados. Exercício 4: Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em R : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 a) c) ( ) ( ) ( ) b) Exercício 5: Sejam x... x n vetores linearmente independentes em um espaço vetorial. a) Se adicionarmos um vetor x n+ à coleção ainda teremos uma coleção linearmente independente de vetores? Explique. b) Se eliminarmos um vetor por exemplo x da coleção ainda teremos uma coleção linearmente independente de vetores? Explique.

2 Exercício 6: Sejam x x x 3 vetores linearmente independentes em R n e seja: y = x + x y = x + x 3 y 3 = x 3 + x. São y y y 3 linearmente independentes? Demostre sua resposta. Exercício 7: Sejam x x x 3 vetores linearmente independentes em R n e seja: y = x x y = x + x + x 3 y 3 = x 3 + x. São y y y 3 linearmente independentes? Demostre sua resposta. Exercício 8: Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em P 3 : a) x x. b) x x x x + 3. c) x + x. Exercício 9: Para cada um dos itens seguintes mostre que os vetores dados são linearmente independentes em C[ ]: Para cada um dos itens seguintes mostre que os vetores dados são linearmente independentes em C[ ]: a) cos πx sin πx. b) x e x e x c) x ln(+x ) +x d) x 3 x 3 Exercício : Demostre que qualquer conjunto nito de vetores que contém o vetor nulo deve ser linearmente independente. Exercício : Demostre que qualquer subconjunto não vazio de um conjunto de vetores linearmente independentes {v... v n } é também linearmente independente. Exercício : Seja A uma matriz m n mostre que se A tem vetores colunas linearmente independentes então N(A) = {}. Exercício 3: Seja A uma matriz 3 3 e sejam x x x 3 vetores linearmente independentes em R 3. Mostre que os vetores: y = Ax y = Ax y 3 = Ax 3 são linearmente independentes.

3 Soluções Resolução do Exercício : a) Lembremos que os vetores v := ( ) e v := ( 3 ) são linearmente independentes se e somente se para escalares x x R temos a seguinte implicação: x v + x v = R = x = x =. Calculemos que a condição x v + x v = R é equivalente a: x v + x v = R x ( ) + x ( ) 3 = ( ) { x + 3x = x + x =. Logo v e v são linearmente independentes se e somente se o sistema à direita tem única solução (x x ) = ( ) o que é o caso pois a matriz de coecientes tem determinante 4 3 = diferente de. b) Os vetores v := ( 3 ) e v := ( 4 6 ) não são linearmente independentes pois eles vericam a relação não trivial: v v = R. Observação. Note que neste caso temos: x v + x v = R x ( ) + x 3 ( ) 4 = 6 ( ) { x + 3x = x + x =. É fácil resolver o sistema para ver que ele tem soluções não triviais pois o conjunto soluções é dado por: S = {(x x ) R (x x ) = α ( ) onde α R}. c) Os vetores v := ( ) v := ( 3 ) e v3 := ( 4 ) não são linearmente independentes pois vericam a seguinte relação não trivial: v v + 7v 3 = R. Apesar de ser 'evidente' esta relação é facilmente obtida resolvendo o sistema: { x + x + x 3 = x + 3x + 4x 3 =. Observação. Aqui pode se argumentar simplesmente que 3 vetores em R não podem ser linearmente independentes pois R tem dimensão. 3

4 d) Os vetores ( ) ( ) e ( 4 ) não são linearmente independentes pois vericam a seguinte relação não trivial: v + v v 3 = R. Esta relação é facilmente obtida ou por inspeção ou resolvendo o sistema: { x + x + x 3 = x x 4x 3 =. Observação. Aqui também pode se argumentar simplesmente que 3 vetores em R não podem ser linearmente independentes pois R tem dimensão. e) A matriz ( ) tem determinante diferente de logo o sistema: { x x = x + x = tem única solução (x x ) = ( ). Segue que os vetores ( ) e ( ) são linearmente independentes. Observação. Aqui pode-se concluir também resolvendo direitamente o sistema mostrando que ele tem conjunto solução S = {( )}. Porem este método da mais contas. Resolução do Exercício : a) Os vetores em R 3 dados por v := ( ) v := ( ) e v 3 := ( ) são linearmente independentes se e somente se temos a seguinte implicação: onde x x x 3 R são escalares. x v + x v + x 3 v 3 = R 3 = x = x = x 3 = Calculemos que a condição x v + x v + x 3 v 3 = R 3 é equivalente a: x v + x v + x 3 v 3 = R 3 x + x + x 3 = x + x 3 = x = x + x 3 =. Logo v v e v 3 são linearmente independentes se e somente se o sistema tem única solução (x x x 3 ) = ( ) o que é o caso como é fácil vericar resolvendo. 4

5 b) Os vetores em R 3 dados por v := ( ) v := ( ) v 3 := ( ) e v 4 := ( 3 ) são linearmente independentes se e somente se temos a seguinte implicação: x v + x v + x 3 v 3 + x 4 v 4 = R 3 = x = x = x 3 = x 4 = onde x x x 3 x 4 R são escalares. Calculemos que a condição x v + x v + x 3 v 3 + x 4 = R 3 é equivalente a: x v + x v + x 3 v 3 + x 4 v 4 = R 3 x + x + x 3 + x 4 = 3 x + x 3 + x 4 = x + x 4 = x + x 3 + 3x 4 =. Logo v v v 3 e v 4 são linearmente independentes se e somente se o sistema tem única solução (x x x 3 x 4 ) = ( ) o que não é o caso pois tem conjunto solução: S = {(x x x 3 x 4 ) R 4 (x x x 3 x 4 ) = α ( ) onde α R} Observação. Note pela sequencia que o conjunto solução admite uma variável livre. 3 c) A matriz tem determinante diferentes de logo o sistema: x + 3x + x 3 = x + x + x 3 = x x = tem única solução (x x x 3 ) = ( ). Segue que os vetores ( ) ( 3 ) ( ) são linearmente independentes. Observação. Aqui pode-se concluir também resolvendo direitamente o sistema mostrando que ele tem conjunto solução S = {( )}. Porem este método da mais contas. 4 d) Os vetores v := v := e v3 := satisfazem a seguinte relação não trivial: 4 logo não são linearmente independentes. v v + v 3 = R 3 5

6 Observação. Note que não é a unica relação que v v v 3 satisfazem por exemplo temos: v v = R 3 v + v 3 = R 3 Neste caso resolvendo o sistema: x x + 4x 3 = x x + x 3 = x + x 4x 3 = obtemos um conjunto solução com duas variáveis livres: S = {(x x x 3 ) R 3 (x x x 3 ) = (α α + β β) onde α β R}. e) Os vetores ( 3 ) e ( ) são linearmente independentes pois o sistema: x = x + x = 3x + x = tem única solução (x x ) = ( ). Resolução do Exercício 3: a) A maneira mais rápida de argumentar é a seguinte. Os vetores v := ( ) v := ( ) e v 3 := ( ) são 3 vetores linearmente independentes (como vimos) no R 3 que tem dimensão 3 logo Cob{v v v 3 } = R 3. Pode-se argumentar também que Cob{v v v 3 } = R 3 da seguinte maneira que talvez é mais instrutiva. A matriz: tendo determinante diferente de zero sabemos que para quaisquer escalares b b b 3 R o sistema: x + x 3 = b x = b x + x 3 = b 3. admite uma solução (sabemos também que esta solução é única mas não se precisa aqui so a existência nos importa). Assim vemos que para qualquer vetor b = (b b b 3 ) R 3 existem escalares x x x 3 R tais que: x v + x v + x 3 v 3 = b. Segue que qualquer vetor de R 3 é combinação linear de v v v 3 ou seja: Cob{v v v 3 } = R 3. 6

7 b) Lembremos que v v v 3 e v 4 são os vetores em R 3 dados por v := ( ) v := ( ) v 3 := ( ) v 4 := ( 3 ). Vimos que v v v 3 são linearmente independentes em R 3 logo dim Cob{v v v 3 v 4 } 3 e : 3 = dim R 3 dim Cob{v v v 3 v 4 } 3 Cob{v v v 3 v 4 } = R 3. Pode ser justicado de maneira mais 'pedestre' assim. Observe que para qualquer vetor b = (b b b 3 ) em R 3 b é combinação linear de v v v 3 v 4 se e somante se o seguinte sistema admite uma solução: x v + x v + x 3 v 3 + x 4 v 4 = b x + x + x 3 + x 4 = 3 x + x 3 + x 4 = b x + x 4 = b x + x 3 + 3x 4 = b 3. Agora segue do item a) que este sistema sempre tem soluções (com x 4 =...). Segue que: Cob{v v v 3 v 4 } = R 3. 3 c) A matriz tendo determinante diferente de sabemos que para qualquer triplo de escalares b b b 3 R o seguinte sistema: x + 3x + x 3 = b x + x + x 3 = b x x = b 3 admite uma solução (S ). Assim vemos que para qualquer vetor b = (b b b 3 ) R 3 existem escalares x x x 3 R tais que: x v + x v + x 3 v 3 = b. Segue que qualquer vetor de R 3 é combinação linear de v v v 3 ou seja Cob{v v v 3 } = R 3. Aqui podemos argumentar de outra maneira assim: os vetores v = ( ) v = ( 3 ) e v 3 = ( ) sendo linearmente independentes Cob{v v v 3 } tem dimensão 3 sendo um subespaço de R 3 conclua-se que Cob{v v v 3 } = R 3. d) Vimos que os vetores v := ( ) v := ( ) e v 3 := ( 4 4 ) são colineares entre deles pois temos por exemplo: v + v = R 3 v v 3 = R 3. b b b 3 7

8 logo parece lógico que eles cobram só uma reta em R 3 e que temos as seguinte igualdades de subconjuntos em R 3 : Cob{v v v 3 } = Cob{v v } = Cob{v v 3 } = Cob{v 3 v } = Cob{v } = Cob{v } = Cob{v 3 } = {(b b b 3 ) R 3 (b b b 3 ) = λ v onde λ R} = {(b b b 3 ) R 3 (b b b 3 ) = ( λ λ λ ) onde λ R} Para justicar isto de maneira rigorosa: consideremos b = (b b b 3 ) Cob{v v v 3 } isso é uma combinação linear de v v e v 3 então por denição b é da forma: b = x v + x v + x 3 v 3. onde x x x 3 R são escalares. Usando as relações v = v e v 3 = v obtemos: b = x v + x v + x 3 v 3 = x v x v x 3 v = (x x + x 3 ) v. Logo b é da forma b = λv onde λ = x x + x 3 R isso é b Cob{v }. Segue que: Cob{v v v 3 } Cob{v }. A inlusão inversa Cob{v } Cob{v v v 3 } sendo evidente concluamos que Cob{v v v 3 } = {(b b b 3 ) R 3 (b b b 3 ) = ( λ λ λ ) onde λ R} = Cob{v } e) É claro que dois vetores v := ( 3 ) e v := ( ) so não podem gerar o R 3 inteiro. Alem disso v e v sendo linearmente independentes é claro também que Cob{v v } é um plano em R 3 pois tem dimensão. Para descrever esse espaço olhemos pela denição: Cob{v v } = {(b b b 3 ) R 3 (b b b 3 ) = x v + x v onde x x R} = {(b b b 3 ) R 3 (b b b 3 ) = (x x + x 3x + x ) onde x x R}. Agora a descrição de Cob{v v } acima não é muito satisfatória pois dado um vetor (b b b 3 ) R 3 ela não deixa claro se b pertence em Cob{v v } ou não. Mais satisfatória é a seguinte descrição: para determinar Cob{v v } temos que encontrar todos os vetores (b b b 3 ) R 3 tal que o seguinte sistema: x = b x + x = b 3x + x = b 3 8

9 seja consistente. Efetuando as operações em linhas (L 3 L 3 3L =: L 3 ) e (L L L =: L ) pois (L L L 3 ) obtemos o seguinte systema equivalente: x = b x + x = b 3x + x = b 3 x = b + = b + b b 3 x = 3b + b 3. Portanto o sistema admite uma solução se e somente se b + b b 3 =. Segue que: Cob{v v } = {(b b b 3 ) R 3 b + b b 3 = } que determine um plano em R 3 como expectado. Resolução do Exercício 4: Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em R : ( ) ( ) a) Aplicando a denição os vetores v := e v := são linearmente independentes se e somente se para escalares x x R temos a seguinte implicação: x v + x v = M (R) = x = x =. Calculemos que a condição x v + x v = M (R) é equivalente a: ( ) ( ) ( ) x v + x v = R x + x = ( ) ( ) ( ) x x + = x x ( ) ( ) x x = x x { x = x =. Logo v e v são linearmente independentes. ( ) ( ) ( ) b) Aplicando a denição os vetores v := v := e v 3 := são linearmente independentes se e somente se para quaisquer escalares x x x 3 R temos a seguinte implicação: x v + x v + x 3 v 3 = M (R) = x = x = x 3 =. 9

10 Calculemos que a condição x v + x v + x 3 v 3 = M (R) é equivalente a: ( ) ( ) ( ) ( ) x v + x v = R x + x + x 3 = ( ) ( ) ( ) ( ) x x + + = x x x 3 ( ) ( ) x x = x + x 3 x x = x = x + x 3 =. x = x = x 3 =. Portanto v v e v 3 são linearmente independentes. ( ) ( ) ( ) 3 c) Os vetores v := v := e v 3 := não são linearmente independentes pois satifazem a seguinte relação não trivial: v + 3v v 3 = M (R). Resolução do Exercício 5: a) Se adicionarmos um vetor x n+ à coleção tem que discernir dois casos: se x n+ Cob{x... x n } então a coleção {x... x n x n+ } não ca linearmente independente. De fato neste caso x n é da forma x n+ = λ x + + λ n x n onde λ... λ n R são escalares. Segue que x... x n x n+ não são linearmente independentes pois satisfazem a seguinte relação: λ x + + λ n x n + λ n+ x n+ = V onde λ n+ =. Note que a relação acima não é trivial pois λ n+ =. se x n+ / Cob{x x n } então a coleção {x x n x n+ } ca linearmente independente. De fato sejam escalares λ... λ n R tais que λ x + + λ n x n + λ n+ x n+ = V. Então necessariamente λ n+ = pois caso contrario teríamos: x n+ = λ x + + λ n x n x n+ Cob{x... x n } λ n+ λ n+ o que é contrario a nossa hipótese. Segue de λ n+ = que: λ x + + λ n x n = V logo λ = = λ n = também pois x... x n são linearmente independentes por hipótese.

11 b) Se eliminarmos um vetor por exemplo x a coleção {x x n } ca linearmente independente. De fato sejam escalares λ... λ n R tais que λ x + + λ n x n = V. Em particular temos: λ x + + λ n x n = V onde λ =. Os vetores x... x n sendo linearmente independentes isto implica que λ = = λ n =. Em particular λ = = λ n =. Portanto x... x n são linearmente independentes. Resolução do Exercício 6: Sejam λ λ λ 3 R escalares tais que λ y + λ y + λ 3 y 3 = V. Então usando as igualdades obtemos: λ y + λ y + λ 3 y 3 = V λ (x + x ) + λ (x + x 3 ) + λ 3 (x 3 + x ) = V (λ 3 + λ ) x + (λ + λ ) x + (λ + λ 3 ) x 3 = V. Os vetores x x x 3 sendo linearmente independentes esta relação implica que λ λ λ 3 satisfazem o seguinte sistema: λ 3 + λ = λ + λ = λ + λ 3 =. Reolvendo o sistema obtemos que λ = λ = λ 3 =. Portanto y y y 3 são linearmente independentes. Resolução do Exercício 7: Sejam λ λ λ 3 R escalares tais que λ y + λ y + λ 3 y 3 = V. Então usando as igualdades obtemos: λ y + λ y + λ 3 y 3 = V λ (x x ) + λ (x + x + x 3 ) + λ 3 (x 3 + x ) = V ( λ + λ + λ 3 ) x + (λ + λ ) x + (λ + λ 3 ) x 3 = V. Os vetores x x x 3 sendo linearmente independentes esta relação implica que λ λ λ 3 satisfazem o seguinte sistema: λ + λ + λ 3 = λ + λ = λ + λ 3 =. Resolvendo o sistema obtemos por exemplo que (λ λ λ 3 ) = ( ) é solução não trivial. Portanto y y y 3 satisfazem a seguinte relação não trivial: logo não são linearmente independentes. y y + y 3 = Observação. A relação y y + y 3 = era também fácil encontrar por inspeção. também que o resultado não depende do fato que x x x 3 sejam linearmente independentes. Pode observar Resolução do Exercício 8:

12 a) Os vetores x e x em P 3 não são linearmente independentes pois satisfazem a seguinte relação não trivial: x + (x ) =. b) Os vetores x x x e x + 3 não são linearmente independentes pois são 4 vetores no P 3 que é um espaço de dimensão 3. Outra maneira de argumentar é de encontrar uma relação não trivial. Por isso calculemos que para λ λ λ 3 λ 4 R escalares temos: λ + λ x + λ 3 x + λ 4 (x + 3) = P3 λ x (λ 3 + 3λ 4 )x(λ + 3λ 4 ) = P3 λ + λ + λ 3 = λ + λ = λ + λ 3 =. Resolvendo o sistema obtemos por exemplo que (λ λ λ 3 ) = ( ) é solução não trivial. Portanto y y y 3 satisfazem a seguinte relação não trivial: logo não são linearmente independentes. y y + y 3 = c) Sejam λ λ R escalares tais que λ (x + ) + λ (x ) = P3 temos: λ (x + ) + λ (x ) = P3 λ x + λ x + (λ λ ) = P3 λ = λ = λ λ =. O sistema tendo conjunto solução S = {( )} conclua-se que x + e x são linearmente independentes. Resolução do Exercício 9: a) O wronskiano vale W (cos πx sin πx) = π logo não se anula identicamente em [ ] portanto cos πx sin πx são linearmente independentes. b) O wronskiano vale W (x e x e x ) = (x )e 3x logo não se anula identicamente em [ ] portanto x e x e e x são linearmente independentes. c) O wronskiano vale W (x ln( + x ) + x ) = 8x3 (+x ) logo não se anula identicamente em [ ] portanto x ln( + x ) e + x são linearmente independentes.

13 d) Neste caso o wronskiano vale W (x 3 x 3 ) = ele se anula identicamente em [ ] e não podemos determinar se x 3 x 3 são linearmente independentes ou não. Voltando à denição sejam λ λ R escalares tais que λ x 3 +λ x 3 = avaliando em x [ ) e x ( ] obtemos: { λ λ = λ + λ =. logo λ = λ = agora pode-se concluir que x 3 e x 3 são linearmente independentes em [ ]. Observação. Note que x 3 e x 3 são linearmente dependentes em C[ ] e em C[ ]! Resolução do Exercício : Seja {v... v k } um conjunto de vetores em V tais que v k = V. Então v... v k satisfazem a relação não trivial: λ v + + λ n v n = V onde λ = λ n = e λ n = portanto são linearmente dependentes. Resolução do Exercício : Consideremos {v... v k } {v... v n } um subconjunto de vetores não vazio onde {v... v n } são linearmente independentes. Sejam λ... λ k R escalares tais que λ v + + λ n v k = V então temos: λ v + + λ n v n = V onde λ n+ = = λ n =. Os vetores {v... v n } sendo linearmente independentes esta relação implica que λ = = λ n = em particular λ = = λ k =. Portanto {v... v k } são linearmente independentes. Resolução do Exercício : Seja A uma matriz m n da forma: A = a a n onde a ȧ n R m são vetores linearmente independentes. Por denição N(A) = {x R n A x = R m} ou seja: x = (x... x n ) N(A) A x = R m x a + + x n a n = R m Os vetores a... a n R m sendo linearmente independentes esta ultima equação implica que x = = x n = logo x = V. Segue que N(A) { V }. A inclusão inversa sendo evidente conclua-se que N(A) = { V }. Observação. É fácil ver que de fato N(A) = { V } se e somente se as colunas de A são linearmente independentes. 3

14 Resolução do Exercício 3: Notemos X Y M 3 (R) as matrizes 3 3 dadas por: X = x x x 3 Y = y y y 3. Note que agora a hipotese que y = A x y = A x e y 3 = A x 3 se escreva simplesmente: A X = Y. Podemos fazer qualquer um dos dois raciocinos que seguem para provar que y y 3 y 3 são linearmente independentes: usando determinantes: a matriz A sendo invertível det A e x x x 3 sendo linearmente independentes det X. Logo: A X = Y det(a) det(x) = det Y det(y ). }{{}}{{} o que implica que y y y 3 são linearmente independentes. usando algebra matricial: sejam λ λ λ 3 escalares tais que λ y +λ y +λ 3 = R 3 e notemos L a matriz linha L = (λ λ λ 3 ) M(R) 3. Então temos: λ y + λ y + λ 3 y 3 = R 3 Y L = R 3. Os vetores x x x 3 sendo linearmente independentes a matrix X é invertível logo: Y L = R 3 A X L = R 3 A A X L = A R 3 X L = R 3 X X L = X R 3 L = R 3. Portanto y y y 3 são linearmente independentes. Observação. É fácil generalizar este resultado a n vetores x... x n linearmente independentes no R n e para qualquer matriz A M n (R) invertível. Referências [] Steven J. Leon Álgebra Linear com aplicações 8 a edição LTC. 4