Lista de exercícios 11 Representação Matricial de Aplicações Lineares

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1 Universidade Federal do Paraná Algebra Linear Olivier Brahic Lista de exercícios Representação Matricial de Aplicações Lineares Exercício : Para cada transformação linear seguinte, encontre a representação matricial padrão de L a Lx = x, x, b Lx = x, c Lx = x, x T, d Lx = x, e Lx = x e Exercício : Para cada uma das seguintes transformações lineares L representando R 3 em R, encontre uma matriz A tal que Lx = Ax para todo x em R 3 a Lx, x, x 3 = x + x,, c Lx, x, x 3 = x x, x 3 x T, b Lx, x, x 3 = x, x, Exercício 3: Para cada uma das operadores lineares L em R 3 seguintes, encontre uma matriz A tal que Lx = Ax para todo x em R 3 a Lx, x, x 3 = x 3, x, x, b Lx, x, x 3 = x, x + x, x + x + x 3, c Lx, x, x 3 = x 3, x + 3x, x x 3 Exercício 4: Seja L um operador linear em R 3 definido por: x x x 3 Lx = x x x 3 x 3 x x Determine a representação matricial padrão A de L e use A para encontrar Lx para cada um dos seguintes vetores x a x =,, b x =,, c x = 5, 3, Exercício 5: Encontre a representação matricial parão para cada um dos seguintes operadores lineares: a L é o operador que gira todo x em R por 45 no sentido horário, b L é o operador linear que refleta cada vetor x em R em relação ao eixo x, e então gira-o 9 no sentido trigonométrico c L dobra o comprimento de x e então gira-o de 3 no sentido trigonométrico,

2 d L reflete cada vetor x em R em relação à linha x = x, e então o projeta sobre o eixo x Exercício 6: Seja b =, b =, b 3 = e seja L a transformação linear de R em R 3 definida por: Lx = x b + x b + x + x b 3 Encontra a matriz A de L em relação às bases {e, e } e {b, b, b 3 } Exercício 7: Seja y =, y =, y 3 = e seja T o operador identidade em R 3 a Encontre as coordenadas de T e, T e, T e 3 em relação a {y, y, y 3 } b Encontre uma matriz A tal que Ax é o vetor coordenadas de x em relação a {y, y, y 3 } Exercício 8: Sejam y, y, y 3 definidos como no problema 7, e seja L o operador linear definido por: Lc y + c y + c 3 y 3 = c + c + c 3 y + c + c 3 y c + c 3 y 3 a Encontre a matriz de L em relação à base ordenada {y, y, y 3 } b Para cada um dos seguintes vetores, escreve o vetor x em relação a {y, y, y 3 }, e use a matriz da parte a para determinar Lx i x = 7, 5,, ii x = 3,,, iii x =,, 3 Exercício 3: Seja L a transformação linear representando P em R, definida por: Lpx = pxdx p Encontre uma matriz A tal que: Lα + βx = A α β Exercício 4: A transformação linear L definida por Lpx = p x + p representa P 3 em P Encontre a representação matricial de L em relação às bases ordenadas {x, x, } e {, x} Para cada um dos vetores seguintes, encontre as coordenadas de Lpx em relação a {, x} i x + x 3, ii x +, iii 3x, iv 4x + x

3 Resoluções: Resolução do Exercício : a Calculemos os vetores de coordenadas das imagens dos elementos da base padrão B := {e, e } por L, obtemos: [ ] L, =,, logo [Le ] B = [ ] L, =,, logo [Le ] B = A representação matricial de L na base padrão senda dada para a matriz cujas colunas são os vetores de coordenadas na base padrão das imagens dos elementos da base padrão, concluemos que: ML B = [Le ] B [Le ] B = b De maneira semelhante, temos: { L, =,, L, =,, c De maneira semelhante, temos: { L, =,, L, =,, d De maneira semelhante, temos: L, =,, L, =,, segue que: ML B = segue que: ML B = segue que: ML B = e De maneira semelhante, temos: { L, =,, L, =,, segue que: ML B = Resolução do Exercício : a A matriz A := é tal que: Ax = x x x 3 x + x = = Lx 3

4 b A matriz A := c A matriz A := é tal que: Ax = é tal que: Ax = x x x 3 x x x 3 x = = Lx x = x x x 3 x = Lx Resolução do Exercício 3: a A matriz A := é tal que: x x 3 Ax = x = x = Lx x 3 x b A matriz A := é tal que: x x Ax = x = x + x = Lx x 3 x + x + x 3 c A matriz A := 3 é tal que: x x 3 Ax = 3 x = x + 3x = Lx x 3 x x 3 Resolução do Exercício 4: Calculemos as imagens dos elementos da base padrão B : L,, =,,, L,, =,,, L,, =,, Logo a representação matricial de L na base padrão é dada por: A = ML B = 4

5 Podemos verificar que para qualquer vetor x = x, x, x 3, temos: x x x x 3 Lx = A x = x = x x x 3 x 3 x 3 x x Usando A, calculemos a imagem Lx de x nos casos seguintes: a Lx = Ax = = b Lx = Ax = = 5 5 c Lx = Ax = 3 = 3 Resolução do Exercício 5: a Notemos R π/4 : R R a rotação de centro,, de angulo 45 no sentido horário Calculemos as imagens dos vetores da base padrão: R π/4, =,, R π/4, =, Logo a matriz de R π/4 na base padrão é dada por: MR π/4 B = Aqui, é bom saber que de maneira geral, a matriz da rotação de angulo θ qualquer é : cos θ sin θ MR θ B = sin θ cos θ b Notemos S x : R R a refleção em relação ao eixo x, e R π/ : R R a rotação de centro, e de angulo 9 no sentido trigonométrico Calculemos as representação matricial padrão de S x, temos: { Sx, =,, S x, =, segue que: MS x B =, Calculemos de maneira semelhante a matriz de R π/ na base padrão: { Rπ/, =,, R π/, =,, segue que: MR π/ B = 5

6 O operador L é obtido por composição de S x com R π/, isso é L = R π/ S x, pois Lx = R π/ S x x Segue que a matriz de L na base padrão pode ser obtida por multiplicaccão das matrizes de R π/ e S x, da maneira seguinte: ML B = MR π/ S x B = MR π/ B MS x B = = Aplicando a definição de L, podemos verificar que Le = e e Le = e Observação: para não fazer confusões na ordem, entre R π/ S x e S x R π/, podemos escrever a composta de maneira mais explicita, da maneira seguinte: R L=R π/ S x S x R R π/ R x S x x R π/ S x x Aqui, aplicamos primeiro a simetria, pois a rotação, logo L = R π/ S x o que é diferente de S x R π/ S x! c Notemos D : R R a aplicação que dobra o comprimento isso é, D é a dilatação de fator e R π/6 a rotação de centro,, de angulo 3 no sentido trigonométrico Calculemos as representação matricial padrão de D, temos: { D, =,, D, =,, segue que: MD B = Calculemos de maneira semelhante a matriz de R π/6 na base padrão: 3/ / Segue que MR π/6 B = / 3/ R π/6, = cosπ/6, sinπ/6 = 3/, / R π/6, = sinπ/6, cosπ/6 = /, 3/, O operador L é obtido por composição de D com R π/6, isso é L = R π/6 D, pois Lx = R π/6 D dx por definição Segue que a matriz de L na base padrão pode ser obtida por multiplicaccão das matrizes de R π/6 e D, da maneira seguinte: ML B = MR π/6 D B = MR π/6 B MD B 3/ / = 3 = / 3/ 3 Aplicando a definição de L, podemos verificar que Le = e e Le = e 6

7 Obeserve que aqui, a composta pode ser escrita mais explicitamente assim: R L=R π/6 D D R R π/6 R x D x = x R π/6 x d De maneira semelhante, notemos S : R R a refleção em relação à diagonal = {x, x R, x = x }, e p x : R R a projeção sobre o eixo x É fácil calcular as matrizes de S e p x na base padrão, temos: MS B = e Mp x B = A matriz de L é dada para multiplicação das matrizes de S e p x, da maneira seguinte: ML B = Mp x S B = Mp x B MS B = = Resolução do Exercício 6: Denotemos B := {e, e } a base padrão de R, e B a base B := {b, b, b 3 } Estamos procurando a matriz A = M B L de L em relação a B e B Pela sua definição, M B L tem colunas os vetores de coordenadas em relação a B das imagens por L dos elementos da base B, ou seja: ML B B = [Le ] B [Le ] B Falta calcular os vetores de coordenadas de Le! e Le Para isto, temos pelo enunciado: Le = b + b + b 3, Le = b + b + b 3 isso é, os vetores coordenadas na base B := {b, b, b 3 } das imagens dos elementos da base {e, e } sã o dados por: [Le ] B = [Le ] B = Segue que a matriz A de L em relação às bases {e, e } e {b, b, b 3 } é dada por: A := ML B B = [Le ] B [Le ] B = Observa que aqui, nem se usou das valores explícitas para b, b, b 3! Resolução do Exercício 7: 7

8 a Basta exprimir T e i em relação a B := {y, y, y 3 }, o que pode ser feito direitamente por inspeção, obtemos: T e = e = y + y + y 3, T e = e = y + y y 3, T e 3 = e 3 = y y + y 3 Logo os vetores coordenadas de T e, T e, T e 3 em relação a B sã o dados por: [T e ] B = [T e ] B = [T e 3 ] B = Outra maneira de fazer seria de inverter a matriz M B B, onde B denota a base padrão, obtemos: M B B = M B B = = [] = Pela definição de M B B, as colunas são os vetores coordenadas de T e = e, T e = e, T e 3 = e 3 na base B b Estamos procurando uma matriz A tal que Ax seja o vetor coordenadas de x em relação a B Ou seja, a matriz A tal que: Ax = [T x] B Identificando o vetor x com o seu vetor de coordenadas [x] B na base canonônica temos x = [x] B, e usando o fato que T x = x pela definição de T ser o operador identidade vemos que a exoressão acima se escreve na forma: A[x] B = [x] B = [T x] B Segue que A é a matriz da identidade T em relação às bases B e B, ou seja: A = MT B B Por isso, A tem colunas os vetores de coordenadas [T e ] B, [T e ] B, [T e 3 ] B Concluemos que: A = Observe que a matriz da identidade em relação às bases B e B é exatamente a matriz de transição de B para B : A = MT B B = M T B B Resolução do Exercício 8: a Notemos B a base ordenada B := {y, y, y 3 } Estamos procurando a matriz ML B de L em relação à base B Pela sua definição, ML B tem colunas os vetores de coordenadas em relação a B das imagens por L dos elementos de B, ou seja: ML B = [Ly ] B [Ly ] B [Ly 3 ] B 8

9 Logo basta encontrar os vetores de coordenadas [Ly ] B, [Ly ] B e [Ly ] B Para isto, temos que exprimir Ly, Ly B e Ly em relação a B Usando a relação: Lc y + c y + c 3 y 3 = c + c + c 3 y + c + c 3 y c + c 3 y 3 definindo L com c =, c =, c 3 =, depois com c =, c =, c 3 =, e depois com c =, c =, c 3 = obtemos successivamente: Ly = y + y + y 3, Ly = y + y y 3, Ly 3 = y + y y 3, logo os vetores de coordenadas [Ly ] B, [Ly ] B e [Ly ] B são dados por: [Ly ] B = [Ly ] B = [Ly 3 ] B = Segue que a matriz de L na base B é dada por: ML B = [Ly ] B [Ly ] B [Ly 3 ] B = b Jà calculámos no exercício 7 a matriz de transição M B B de B para B : M B B = Para obter o vetor de coordenadas de x em relação a B, basta aplicar a formula fórmula de mudança de base: [x] B = M B B [x] B Usando esta fórmula, obtemos sucessivamente: 7 i [x] B = 5 = 3 3 ii [x] B = = 3 iii [x] B = = 3 Foi tambem calculada no item a a matriz de L em relação à base B, ML B = 9

10 Logo podemos obter o vetor de coordenadas de Lx em relação a B usando a formula: [Lx] B = ML B [x] B Usando esta fórmula, com os valores de [x] B encontradas acima, obtemos successivemente: 3 8 i [Lx] B = = ii [Lx] B = = iii [Lx] B = = 5 3 Note que as equações acima dão cada vez o vetor de coordenadas de Lx em relação à base B e não B! ou seja, elas dizem cada vez que: i Lx = 7v + 6v 8v 3 ii Lx = 3v + 3v 3v 3 iii Lx = v + 5v + 3v 3 Para encontrar os valores de Lx, temos que voltar para a base canônica Para isto, pode substituir nas equações acima as expressões de v, v, v 3 em relação a e, e, e 3 ou, equivalentemente usar a fórmula de mudança de base de B para B : [Lx] B = M B B [Lx] B onde M B B é a matriz de mudança de B para B, dada segundo o exercício 7 por: M B B := [y ] B [y ] B [y 3 ] B = encontradas acima, obtemos successive- Usando a fórmula com os valores de [Lx] B mente: 8 7 i [Lx] B = 6 = ii [Lx] B = 3 = iii [Lx] B = 5 = 6 3

11 Observação: o objetivo do exercício é de ilustrar por contas a seguint formula: De fato, se olha as várias etapas calculemos: ML B = M B B ML B M B B M B B ML B M B B [x] }{{ B } } {{ =[x] B } } =[Lx] B {{ } =[Lx] B A única matriz A tal que A [x] B = [Lx] B sendo a matriz A = ML B, a conta acima mostra que necessariamente ML B = M B B ML B M B B Resolução do Exercício 3: Notemos u o polinômio constante, e u os polinômio x: u :=, u := x Qualquer polinômio px de grão pode ser escrito de maneira única como combinação linear de u e u, pois px = α + βx = αu + βu De maneira equivalente, diz-se que B := {u, u } = {, x} é uma base de P Alem disso, as coordenadas de px = α + βx em B são dadas por: [px] B = α, β É fàcil ver que a aplicação L é linear Calculemos as imagens por L de u, u, temos: Lu = L = dx = Lu = Lx = xdx / = / Por linearidade de L, segue que Lα+βx = A α, β, onde: A := ML B B = Aqui, B denota a base padrão de R Resolução do Exercício 4: Notemos B a base ordenada de P 3 dada por B := {x, x, }, e B a base ordenada de P dada por B := {, x} Calculemos as imagens por L dos vetores da base B, e exprimemos eles na base B : Lx = x + = x, Lx = + = + x L = + = + x Concluemos que a matriz de L em relação a B e B é dada por: ML B B = [Lx ] B [Lx] B [L] / / B = Podemos obter o vetor de coordenadas de Lpx na base B usando a formula seguinte: [Lpx] B = ML B B [px] B Aplicando a formula acima, podemos calcular que:

12 i para x + x 3, tem-se que [x + x 3] B =,, 3, logo: [Lx + x 3] B = / / ii x +, para x +, tem-se que [x + ] B =,,, logo: [Lx + x 3] B = / / iii 3x, para 3x, tem-se que [3x] B =, 3,, logo: [Lx + x 3] B = / / iv para 4x + x, tem-se que [4x + x] B = 4,,, logo: Referências [Lx + x 3] B = / / 3 = = 3 = 4 = / 3/ 3/ 5 8 [] Steven J Leon, Álgebra Linear com aplicações, 8 a edição, LTC