- identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "- identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;"

Transcrição

1 DISCIPLINA: ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADA UNIDADE 3: ÁLGEBRA LINEAR. OPERADORES OBJETIVOS: Ao final desta unidade você deverá: - identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades; - identificar operadores simétricos e hermitianos e conhecer as suas propriedades; - resolver problemas de autovalores e autovetores de matrizes e operadores. 1 INTRODUÇÃO Nesta unidade, definiremos e estudaremos operadores ortogonais, unitários, simétricos e hermitianos a partir de suas propriedades e das propriedades das matrizes desses operadores em bases ortogonais com vários exemplos. Também abordaremos o problema de autovalores e autovetores de matrizes e operadores. Definiremos o polinômio e a equação característica e veremos a sua relação com o problema de diagonalização de matrizes e operadores. 2 OPERADORES ORTOGONAIS, UNITÁRIOS, SIMÉTRICOS E HERMITIANOS. Estudaremos nesta seção um tipo especial de transformações lineares definidas sobre espaços com produto interno. Elas possuem propriedades que fazem com que elas sejam de muita utilidade em aplicações físicas. Na linguagem utilizada na Mecânica Quântica, usa-se o termo operador ao invés de transformação linear, embora representem o mesmo objeto matemático. De agora em diante, é assim que chamaremos as transformações lineares: operadores. 2.1 Algumas Definições Operadores ortogonais e unitários: Seja um espaço de Hilbert e um operador. Esse operador é chamado de ortogonal (no caso ), ou unitário (no caso ), desde que preserve o produto interno. Isso quer dizer que vale que 1

2 Exemplo 1: Seja a rotação definida na unidade anterior, tal que, se, então Se tomarmos um vetor, e aplicamos a rotação, obtemos: Para ver que é ortogonal devemos mostrar que. Aplicando a definição de produto interno nesse espaço, juntamente com a definição de, vemos que Desse modo podemos afirmar que o operador de ver, preserva o produto interno. é ortogonal pois, como acabamos Exemplo 2: Seja tal que 2

3 Para ver se esse operador é realmente unitário, vamos calcular portanto, como, podemos afirmar que é um operador unitário. É fácil ver que como consequência da preservação do produto interno dos operadores unitários, eles também preservam a norma de um vetor, a distância entre vetores, e o ângulo entre vetores. Isso quer dizer que: onde é o ângulo entre e. Exemplo 3: Seja o operador unitário do exemplo anterior e seja e, vamos ver que, assim: 3

4 Por outro lado, temos que 4

5 Portanto verificamos que. Deixamos para o leitor interessado verificar que. Em relação à norma dos vetores, podemos apreciar, no desenvolvimento do exemplo, que ficou verificado que e. É interessante estudar o que acontece com as matrizes associadas a operadores unitários em bases ortonormais. Para isso vamos enunciar e demonstrar a seguinte propriedade: Seja um espaço de Hilbert e um operador unitário (ou ortogonal, se for o caso de ), seja uma base ortonormal de, então é uma matriz unitária (ou ortogonal, se for o caso de ). As definições de matrizes unitárias e ortogonais foram dadas nos exercícios 20 e 21 do final da Unidade 1. Vale a pena relembrar: uma matriz quadrada real é chamada de ortogonal desde que a sua inversa seja a sua transposta, e uma matriz quadrada complexa é chamada de unitária desde que a sua inversa seja a sua transposta conjugada. Para demonstrar a propriedade acima, vamos escrever, segundo a definição de matriz associada a um operador numa dada base, que e onde ( ) representa o elemento de matriz da linha ( ) e da coluna ( ) da matriz temos. Logo, pelas propriedades de base ortonormal e de operador unitário, ou seja Conjugando ambos dois membros, e sabendo que como,, temos que 5

6 ou, equivalentemente, segundo a definição de produto de matrizes,. Deixamos ao leitor interessado completar a demonstração, provando que. Sendo assim, fica mostrado que é, efetivamente, uma matriz unitária. A demonstração no caso que seja um espaço vetorial real, está contida na demonstração anterior, já que, se, temos que porque. Nesse caso, segundo a definição de matrizes ortogonais, temos que. Exemplo 1: Seja tal que e seja uma base ortonormal de. Vamos determinar primeiramente : portanto 6

7 e Operadores simétricos e hermitianos Seja um espaço de Hilber,t e um operador. Esse operador é chamado de simétrico (no caso ), ou hermitiano (no caso ), desde que, se satisfaça que Vale a pena relembrar que o produto interno Exemplo 1: Seja com o produto interno definido por e seja tal que Vamos tomar os polinômios e pertencentes a, tal que vamos calcular e com, e 7

8 onde temos definido como,, com. As integrais e são nulas, porque o intervalo de integração é simétrico e o integrando é uma função ímpar da variável de integração. Sendo assim, temos que INICIO DE BOXE SAIBA MAIS As integrais do tipo com e, são muito usadas na área de Probabilidade e Estatística e são resolvidas com técnicas que aprenderemos na unidade dedicada a Funções de 8

9 Variável Complexa. Mas, no caso particular de seguinte maneira:, ela pode ser calculada da Usando coordenadas polares, e, com, essa integral fica Fazendo a substituição, e. Temos assim, que Portanto,. No nosso caso. Logo, observando os limitantes de integração, vemos que dessas integrais:. Seguidamente apresentamos algumas FIM DE BOXE Por outro lado a integral vale, já vale. Substituindo acima, obtemos Seguidamente, calculamos 9

10 Vemos assim que,, podendo afirmar desse modo que o operador é um operador hermitiano. É interessante estudar o que acontece com as matrizes associadas a operadores simétricos ou hermitianos em bases ortonormais. Para isso, vamos enunciar e demonstrar a seguinte propriedade: Seja um espaço de Hilbert e um operador hermitiano (ou simétrico, se for o caso de ), seja uma base ortonormal de, então é uma matriz hermitiana (ou simétrica, se for o caso de ). Para dar inicio à demonstração, vamos escrever onde são o elementos de matriz de. Calculemos agora o produto interno 10

11 onde temos usado a definição de operador hermitiano. Vemos assim que. Portanto, e é uma matriz hermitiana. Se o espaço vetorial é real, o resultado é e se satisfaz a igualdade, o que define uma matriz simétrica. Exemplo 1: Seja e seja tal que e seja. Calculemos o produto interno e verifiquemos que é igual a : Sendo assim, o operador é hermitiano. Vamos calcular, a seguir, a sua matriz associada a base ortonormal de : 11

12 portanto Logo, podemos concluir que é uma matriz hermitiana, como queríamos verificar. 3 PROBLEMA DE AUTOVALORES E AUTOVETORES. O problema de autovalores e autovetores de um operador,, é muito importante em diversas áreas da Física. Trata-se de encontrar vetores não nulos de um espaço vetorial e escalares de tal que, se satisfaça a seguinte relação: com e. A equação acima é conhecida pelo nome de equação de autovalores e autovetores do operador. Embora não seja necessário, suporemos que o nosso espaço vetorial possui produto interno, já que é esse o caso de maior interesse na Física. 3.1 Autovalores e Autovetores de uma Matriz Como vimos nas seções anteriores, um operador admite uma representação matricial. Por conta disso vamos introduzir o problema em termos de matrizes Definição Dada uma matriz, dizemos que a matriz coluna (ou vetor coluna, que é outra terminologia usada mais frequentemente) não nula, é autovetor da matriz desde que se satisfaça a relação onde é conhecido pelo nome de autovalor de correspondente (ou associado) ao autovetor. A equação acima pode ser escrita também, da forma onde é a matriz coluna nula de, ou ainda 12

13 sendo que é a matriz identidade de. Explicitamente, podemos escrever: onde temos usado a notação,. Desenvolvendo o produto de matrizes, encontramos o seguinte sistema de equações homogêneo para as incógnitas,,... : Tal sistema só terá solução diferente da solução..., desde que Se, teríamos 13

14 ou seja, um polinômio de segundo grau na variável, igualado a zero. Em geral, a equação grau. equivale ao problema de achar as raízes de um polinômio de A equação é chamada equação característica da matriz, e o polinômio e conhecido pelo nome de polinômio característico da matriz. As raízes do polinômio característicos são os autovalores da matriz. Em general são um conjunto de valores de,,. INICIO DE BOXE ATENÇÃO É importante salientar duas questões: a primeira é que, mesmo no caso, os autovalores podem ser complexos porque os polinômios com coeficientes reais podem ter raízes complexas, e a segunda é que podemos ter dois ou mais autovalores iguais porque os polinômios pode ter raízes iguais. Por exemplo, o polinômio, que é um polinômio de grau 6, possui 3 raízes,,, ; só que aparece três vezes e aparece duas vezes. Em termos das multiplicidades,, das raízes, isso se escreve, e. Notar também que a somatória de todas as multiplicidades é igual ao grau do polinômio, ou seja, onde é o grau do polinômio e é o número de raízes distintas. FIM DE BOXE exemplo. Para cada valor de teremos um autovetor. Vejamos isso com um por Exemplo 1: Achar os autovalores e os autovetores da matriz, dada 14

15 A equação característica é dada por Os autovalores dessa matriz são as raízes dessa equação, ou seja, e. Para achar os autovetores devemos resolver o sistema de equações dado por para cada um dos autovalores achados. Se, obtemos que e pode tomar qualquer valor. Portanto, qualquer vetor coluna da forma pode ser um autovetor associado ao autovalor. Se temos que a primeira das equações acima fica e a segunda. Sendo assim, qualquer vetor coluna com as duas componentes iguais, como por exemplo, pode ser um autovetor associado ao autovalor. Verifiquemos a seguir a equação de autovalores para a matriz. Tomemos os vetores e e multipliquemos por : Portanto podemos afirmar que os vetores e são autovetores da matriz correspondentes aos autovalores e, respetivamente Diagonalização de Matrizes Os autovetores de uma matriz podem ser arranjados em forma de uma matriz, que chamaremos, da seguinte maneira: 15

16 Ou seja, que. Pode-se mostrar que é inversível e que a matriz é uma matriz diagonal. Mais ainda, os elementos da diagonal são os autovalores de. Vamos verificar isso com um exemplo. Exemplo 1:vamos agora formar a matriz com os autovetores e da matriz, e definamos a matriz. Logo 16

17 Vemos assim que, a matriz é uma matriz diagonal onde, na diagonal, estão os autovalores de. Portanto, temos diagonalizado a matriz. É interessante observar que. Facilmente vemos que,. 3.2 Autovalores e AutoVetores de um Operador Pelo que acabamos de ver, o problema de achar os autovalores e autovetores de um operador pode-se reduzir a achar os autovalores e autovetores da matriz desse operador numa dada base. Isso quer dizer que o problema pode ser abordado a partir da relação Exemplo 1: Seja e definido por e seja. Primeiro achemos a matriz de na base : Portanto Por outro lado, levando em conta o fato de que, a equação característica é, ou ainda,. Sendo assim, vemos que os autovalores são e. O sistema de equações a ser resolvido é: Se temos que 17

18 Isso quer dizer que qualquer vetor do tipo serve como autovetor. Já, se, podemos apreciar que Neste caso, o autovetor deverá ter a forma. Tomemos, por exemplo, os vetores coluna de e, formado pelas componentes, na base termos de matrizes, verificamos que, dos vetores de e, respectivamente. Em Já, em termo de operadores, verificamos que Verificamos assim que, achar os autovalores e os autovetores do operador, equivale a achar os autovalores e os autovetores da matriz. Exemplo 2: Seja o mesmo operador do exemplo anterior, e seja a base. Primeiro achemos a matriz de na base : Facilmente vemos que, e. Por outro lado, e. Sendo assim, temos que A equação característica,, fica. Logo, e. Notar que, em relação ao exemplo anterior, mudamos a base, mas os autovalores continuaram os mesmos. Vejamos agora o que acontece com os autovetores. O sistema de equações a ser resolvido é 18

19 No caso, temos que Isso quer dizer, como no exemplo anterior, que qualquer vetor do tipo serve como autovetor. Consideremos agora, o caso. O sistema fica: Portanto, neste caso, o autovetor deverá ter a forma. Vemos assim que, embora os autovalores sejam os mesmos, ante uma mudança de base, os autovetores, em geral, não são os mesmos. Tomemos, por exemplo, os vetores coluna de e, formado pelas componentes, na base termos de matrizes, verificamos que, dos vetores de e, respectivamente. Em Olhando para estes dois últimos exemplos, podemos afirmar que acabamos de verificar a seguinte propriedade: os autovalores de um operador não mudam frente a mudanças de base. Escrevamos agora os vetores e na base do exemplo anterior na base. Sabendo que na base as componentes de são e são e, respectivamente, podemos escrever 19

20 Sendo assim, vemos que e, que são da forma dos autovetores de, e, na base (com e ), como deve ser. É interessante esclarecer que diagonalizar um operador é digonalizar a sua matriz, ou seja, achar a base de autovetores que deixa a matriz na sua forma diagonal. INICIO DE BOXE EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Considerar o operador tal que e Determinar se é um operador ortogonal com o produto interno definido por. 2. Considerar o operador tal que e Determinar se é um operador unitário com o produto interno definido por. 3. Seja a rotação tal que se então Mostrar que, definida por, é uma transformação ortogonal correspondente a uma rotação de ângulo. 4. Determinar se os seguintes operadores, de, são ortogonais: 20

21 5. Achar as matrizes dos operadores,, e do exercício anterior nas bases e. Calcular os respectivos determinantes. 6. Seja com o produto interno definido por e seja tal que Determinar se é hermitiano. 7. Seja o conjunto de funções complexas de variáveis reais e definido por com o produto interno definido por. Achar a matriz do operador, definido por, na base e mostre que se trata de um operador hermitiano. 8. Achar a matriz do operador do exercício anterior na base 9. Seja com o produto interno definido da maneira usual para esse espaço, e seja tal que 21

22 Mostre que é hermitiano. 10. Seja com o produto interno definido da maneira usual para esse espaço, e seja tal que Mostre que é hermitiano. 11. Seja com o produto interno definido da maneira usual para esse espaço, e seja tal que Mostre que é hermitiano. 12. Achar os polinômios característicos das seguintes matrizes: 13. Achar os autovalores e auto-vetores das seguintes matrizes: 22

23 14. Diagonalizar as matrizes, e do exercício anterior. 15. Achar os autovalores e auto-vetores do operador do exercício Achar os autovalores e auto-vetores do operador do exercício Achar os autovalores e auto-vetores do operador do exercício Mostrar que os autovalores de um operador hermitiano são reais. RESUMINDO Nesta unidade, definimos operadores ortogonais, unitários, simétricos e hermitianos e estudamos as suas propriedades e as propriedades das matrizes desses operadores em bases ortogonais com vários exemplos. Também abordamos o problema de autovetores e autovalores de matrizes e operadores. Definimos polinômio e equação característica e vimos a sua relação com o problema de diagonalização de matrizes e operadores. 23

24 Referências BUTKOV, E. Mathematical Physics, Addison Wesley Publishing Company Inc., United States of America, BOLDRINI, J. L.; RODRIGUES, COSTA S. I.; FIQUEREDO, V. L.; WETZLER H. G. Álgebra Linear, São Paulo, HARBRA Ltda.,

Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis

Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Diagonalização Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Nosso objetivo neste capítulo é estudar aquelas transformações lineares de R n para as quais existe pelo menos uma base em que elas são representadas

Leia mais

Produto Interno - Mauri C. Nascimento - Depto. de Matemática - FC UNESP Bauru

Produto Interno - Mauri C. Nascimento - Depto. de Matemática - FC UNESP Bauru 1 Produto Interno - Mauri C. Nascimento - Depto. de Matemática - FC UNESP Bauru Neste capítulo vamos considerar espaços vetoriais sobre K, onde K = R ou K = C, ou seja, os espaços vetoriais podem ser reais

Leia mais

Aula 1 Autovetores e Autovalores de Matrizes Aula 2 Autovetores e Autovalores de Matrizes Casos Especiais 17

Aula 1 Autovetores e Autovalores de Matrizes Aula 2 Autovetores e Autovalores de Matrizes Casos Especiais 17 Sumário Aula 1 Autovetores e Autovalores de Matrizes.......... 8 Aula 2 Autovetores e Autovalores de Matrizes Casos Especiais 17 Aula 3 Polinômio Característico................. 25 Aula 4 Cálculo de Autovalores

Leia mais

Provas. As notas da primeira e segunda prova já foram digitadas no Minha UFMG. Caso você não veja sua nota, entre em contato com o professor.

Provas. As notas da primeira e segunda prova já foram digitadas no Minha UFMG. Caso você não veja sua nota, entre em contato com o professor. Provas As notas da primeira e segunda prova já foram digitadas no Minha UFMG. Caso você não veja sua nota, entre em contato com o professor. Terceira prova. Sábado, 15/junho, 10:00-12:00 horas, ICEx. Diagonalização

Leia mais

OPERADORES LINEARES ESPECIAIS: CARACTERIZAÇÃO EM ESPAÇOS DE DIMENSÃO DOIS*

OPERADORES LINEARES ESPECIAIS: CARACTERIZAÇÃO EM ESPAÇOS DE DIMENSÃO DOIS* OPERADORES LINEARES ESPECIAIS: CARACTERIZAÇÃO EM ESPAÇOS DE DIMENSÃO DOIS* FABIANA BARBOSA DA SILVA, ALINE MOTA DE MESQUITA ASSIS, JOSÉ EDER SALVADOR DE VASCONCELOS Resumo: o objetivo deste artigo é apresentar

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR. Valores Próprios (Autovalores) e Vetores Próprios (Autovetores) Prof. Susie C. Keller

ÁLGEBRA LINEAR. Valores Próprios (Autovalores) e Vetores Próprios (Autovetores) Prof. Susie C. Keller ÁLGEBRA LINEAR Valores Próprios (Autovalores) e Vetores Próprios (Autovetores) Prof. Susie C. Keller Autovalores e Autovetores de um Operador Linear Seja T:V V um operador linear. Um vetor v V, v 0, é

Leia mais

Universidade Federal de Alagoas UFAL Centro de Tecnologia - CTEC Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - PPGEC

Universidade Federal de Alagoas UFAL Centro de Tecnologia - CTEC Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - PPGEC Universidade Federal de Alagoas UFAL Centro de Tecnologia - CTEC Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - PPGEC Introdução à Mecânica do Contínuo Tensores Professor: Márcio André Araújo Cavalcante

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula 21

Álgebra Linear I - Aula 21 Álgebra Linear I - Aula 1 1. Matrizes ortogonalmente diagonalizáveis: exemplos. Matrizes simétricas. Roteiro 1 Matrizes ortogonalmente diagonalizáveis: exemplos Exemplo 1. Considere a matriz M = 4 4 4

Leia mais

PLANO DE ENSINO E APRENDIZAGEM

PLANO DE ENSINO E APRENDIZAGEM SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA PARFOR PLANO E APRENDIZAGEM I IDENTIFICAÇÃO: PROFESSOR (A) DA DISCIPLINA:

Leia mais

Geovan Tavares, Hélio Lopes e Sinésio Pesco PUC-Rio Departamento de Matemática Laboratório Matmidia

Geovan Tavares, Hélio Lopes e Sinésio Pesco PUC-Rio Departamento de Matemática Laboratório Matmidia Álgebra Linear Computacional Geovan Tavares, Hélio Lopes e Sinésio Pesco PUC-Rio Departamento de Matemática Laboratório Matmidia http://www.matmidia.mat.puc-rio.br 1 Álgebra Linear Computacional - Parte

Leia mais

AUTOVALORES E AUTOVETORES: CONCEITOS E UMA APLICAÇÃO A UM SISTEMA DINÂMICO

AUTOVALORES E AUTOVETORES: CONCEITOS E UMA APLICAÇÃO A UM SISTEMA DINÂMICO AUTOVALORES E AUTOVETORES: CONCEITOS E UMA APLICAÇÃO A UM SISTEMA DINÂMICO Patrícia Eduarda de Lima 1, Luciane de Fátima Rodrigues de Souza 2* 1 Departamento de Exatas, Faculdades Integradas Regionais

Leia mais

Elementos de Matemática Avançada

Elementos de Matemática Avançada Elementos de Matemática Avançada Prof. Dr. Arturo R. Samana Semestre: 2012.2 Conteúdo - Objetivos da Disciplina - Ementa curricular - Critérios de avaliação - Conteúdo programático - Programação Objetivos

Leia mais

Aula 19 Operadores ortogonais

Aula 19 Operadores ortogonais Operadores ortogonais MÓDULO 3 AULA 19 Aula 19 Operadores ortogonais Objetivos Compreender o conceito e as propriedades apresentadas sobre operadores ortogonais. Aplicar os conceitos apresentados em exemplos

Leia mais

Álgebra Linear (MAT-27) Ronaldo Rodrigues Pelá. 21 de outubro de 2011

Álgebra Linear (MAT-27) Ronaldo Rodrigues Pelá. 21 de outubro de 2011 APLICAÇÕES DA DIAGONALIZAÇÃO Álgebra Linear (MAT-27) Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 21 de outubro de 2011 Roteiro 1 2 3 Roteiro 1 2 3 Introdução Considere a equação de uma cônica: Forma Geral Ax 2 + Bxy

Leia mais

n. 35 AUTOVALORES e AUTOVETORES ou VALORES e VETORES PRÓPRIOS ou VALORES CARACTERÍSTICOS e VETORES CARACTERÍSTICOS

n. 35 AUTOVALORES e AUTOVETORES ou VALORES e VETORES PRÓPRIOS ou VALORES CARACTERÍSTICOS e VETORES CARACTERÍSTICOS n. 35 AUTOVALORES e AUTOVETORES ou VALORES e VETORES PRÓPRIOS ou VALORES CARACTERÍSTICOS e VETORES CARACTERÍSTICOS Aplicações: estudo de vibrações, dinâmica populacional, estudos referentes à Genética,

Leia mais

1 Matrizes Ortogonais

1 Matrizes Ortogonais Álgebra Linear I - Aula 19-2005.1 Roteiro 1 Matrizes Ortogonais 1.1 Bases ortogonais Lembre que uma base β é ortogonal se está formada por vetores ortogonais entre si: para todo par de vetores distintos

Leia mais

. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1

. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1 QUESTÕES ANPEC ÁLGEBRA LINEAR QUESTÃO 0 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Os vetores (,, ) (,,) e (, 0,) formam uma base de,, o espaço vetorial gerado por,, e,, passa pela origem na direção de,,

Leia mais

EXEMPLOS Resolva as equações em : 1) Temos uma equação completa onde a =3, b = -4 e c = 1. Se utilizarmos a fórmula famosa, teremos:

EXEMPLOS Resolva as equações em : 1) Temos uma equação completa onde a =3, b = -4 e c = 1. Se utilizarmos a fórmula famosa, teremos: EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU INTRODUÇÃO Equação é uma igualdade onde há algum elemento desconhecido Como exemplo, podemos escrever Esta igualdade é uma equação já conhecida por você, pois é de primeiro grau

Leia mais

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017 º Sábado - Matrizes - //7. Plano e Programa de Ensino. Definição de Matrizes. Exemplos. Definição de Ordem de Uma Matriz. Exemplos. Representação Matriz Genérica m x n 8. Matriz Linha 9. Exemplos. Matriz

Leia mais

Matrizes hermitianas e unitárias

Matrizes hermitianas e unitárias Matrizes hermitianas e unitárias Amit Bhaya, Programa de Engenharia Elétrica COPPE/UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro amit@nacad.ufrj.br http://www.nacad.ufrj.br/ amit Matrizes complexas O produto

Leia mais

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS CONSELHO DE GRADUAÇÃO

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS CONSELHO DE GRADUAÇÃO DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA VETORIAL CÓDIGO: 2DB.004 VALIDADE: Início: 01/2013 Término: Eixo: Matemática Carga Horária: Total: 75 horas/ 90 horas-aula Semanal: 06 aulas Créditos: 6 Modalidade:

Leia mais

[ ] EXEMPLOS: Muitas vezes precisamos montar uma Matriz a partir de uma lei geral. Analise os exemplos a seguir:

[ ] EXEMPLOS: Muitas vezes precisamos montar uma Matriz a partir de uma lei geral. Analise os exemplos a seguir: MATRIZES CONCEITO: Um conjunto de elementos algébricos dispostos em uma tabela retangular com linhas e colunas é uma Matriz. A seguir, vemos um exemplo de Matriz de 3 linhas e 4 colunas, e que representaremos

Leia mais

0.1 Matrizes, determinantes e sistemas lineares

0.1 Matrizes, determinantes e sistemas lineares SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PARFOR MATEMÁTICA Lista de Exercícios para a Prova Substituta de Álgebra Linear 0.1 Matrizes, determinantes e sistemas lineares 1. Descreva explicitamente

Leia mais

Produto Misto, Determinante e Volume

Produto Misto, Determinante e Volume 15 Produto Misto, Determinante e Volume Sumário 15.1 Produto Misto e Determinante............ 2 15.2 Regra de Cramer.................... 10 15.3 Operações com matrizes............... 12 15.4 Exercícios........................

Leia mais

Álgebra Linear Exercícios Resolvidos

Álgebra Linear Exercícios Resolvidos Álgebra Linear Exercícios Resolvidos Agosto de 001 Sumário 1 Exercícios Resolvidos Uma Revisão 5 Mais Exercícios Resolvidos Sobre Transformações Lineares 13 3 4 SUMA RIO Capítulo 1 Exercícios Resolvidos

Leia mais

Método de Gauss-Jordan e Sistemas Homogêneos

Método de Gauss-Jordan e Sistemas Homogêneos Método de Gauss-Jordan e Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 14 de agosto

Leia mais

APLICAÇÃO DE AUTOVALORES E AUTOVETORES NAS POTÊNCIAS DE MATRIZES

APLICAÇÃO DE AUTOVALORES E AUTOVETORES NAS POTÊNCIAS DE MATRIZES Universidade Federal de Goiás Câmpus de Catalão Departamento de Matemática Seminário Semanal de Álgebra APLICAÇÃO DE AUTOVALORES E AUTOVETORES NAS POTÊNCIAS DE MATRIZES Aluno: Ana Nívia Pantoja Daniela

Leia mais

Capítulo 2. Ortogonalidade e Processo de Gram-Schmidt. Curso: Licenciatura em Matemática

Capítulo 2. Ortogonalidade e Processo de Gram-Schmidt. Curso: Licenciatura em Matemática Capítulo 2 Ortogonalidade e Processo de Gram-Schmidt Curso: Licenciatura em Matemática Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves de Melo Disciplina: Álgebra Linear II Unidade II Aula

Leia mais

0 1. Assinale a alternativa verdadeira Q1. Seja A = (d) Os autovalores de A 101 são i e i. (c) Os autovalores de A 101 são 1 e 1.

0 1. Assinale a alternativa verdadeira Q1. Seja A = (d) Os autovalores de A 101 são i e i. (c) Os autovalores de A 101 são 1 e 1. Nesta prova, se V é um espaço vetorial, o vetor nulo de V será denotado por 0 V. Se u 1,...,u n forem vetores de V, o subespaço de V gerado por {u 1,...,u n } será denotado por [u 1,...,u n ]. O operador

Leia mais

Equação Geral do Segundo Grau em R 2

Equação Geral do Segundo Grau em R 2 8 Equação Geral do Segundo Grau em R Sumário 8.1 Introdução....................... 8. Autovalores e autovetores de uma matriz real 8.3 Rotação dos Eixos Coordenados........... 5 8.4 Formas Quadráticas..................

Leia mais

Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores Autovalores e Autovetores Maria Luísa B. de Oliveira SME0300 Cálculo Numérico 24 de novembro de 2010 Introdução Objetivo: Dada matriz A, n n, determinar todos os vetores v que sejam paralelos a Av. Introdução

Leia mais

Autovalores e Autovetores Determinante de. Motivando com Geometria Definição Calculando Diagonalização Teorema Espectral:

Autovalores e Autovetores Determinante de. Motivando com Geometria Definição Calculando Diagonalização Teorema Espectral: Lema (determinante de matriz ) A B A 0 Suponha que M = ou M =, com A e D 0 D C D matrizes quadradas Então det(m) = det(a) det(d) A B Considere M =, com A, B, C e D matrizes C D quadradas De forma geral,

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral 2 Formas Quadráticas

Cálculo Diferencial e Integral 2 Formas Quadráticas Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral 2 Formas Quadráticas 1 Formas quadráticas Uma forma quadrática em R n é um polinómio do

Leia mais

Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita;

Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita; META Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. OBJETIVOS Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita; determinar

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula 19

Álgebra Linear I - Aula 19 Álgebra Linear I - Aula 19 1. Matrizes diagonalizáveis. 2. Matrizes diagonalizáveis. Exemplos. 3. Forma diagonal de uma matriz diagonalizável. 1 Matrizes diagonalizáveis Uma matriz quadrada T = a 1,1 a

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula Autovetores e autovalores de uma transformação

Álgebra Linear I - Aula Autovetores e autovalores de uma transformação Álgebra Linear I - Aula 18 1. Autovalores e autovetores. 2. Cálculo dos autovetores e autovalores. Polinômio característico. Roteiro 1 Autovetores e autovalores de uma transformação linear Considere uma

Leia mais

Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x

Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x EQUAÇÃO POLINOMIAL Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x C a incógnita e a n, a n 1,..., a

Leia mais

Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho

Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho 1 - Verifique que os conjuntos V abaixo com as operações dadas não são espaços vetoriais explicitando a falha em alguma das propriedades.

Leia mais

. Repare que ao multiplicar os vetores (-1,1) e

. Repare que ao multiplicar os vetores (-1,1) e Álgebra Linear II P1-2014.2 Obs: Todas as alternativas corretas são as representadas pela letra A. 1 AUTOVETORES/ AUTOVALORES Essa questão poderia ser resolvida por um sistema bem chatinho. Mas, faz mais

Leia mais

Capítulo 4 Séries de Fourier

Capítulo 4 Séries de Fourier Capítulo 4 Séries de Fourier Dizemos que representamos uma função real ela se expressa na série em série de Fourier quando os coeficientes são chamados de coeficientes de Fourier. Claro, a série de Fourier

Leia mais

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A REVISÃO DA PARTE III Parte III - (a) Ortogonalidade Conceitos: produto

Leia mais

linearmente independentes se e somente se: Exercícios 13. Determine o vetor X, tal que 3X-2V = 15(X - U).

linearmente independentes se e somente se: Exercícios 13. Determine o vetor X, tal que 3X-2V = 15(X - U). 11 linearmente independentes se e somente se: 1.4. Exercícios 1. Determine o vetor X, tal que X-2V = 15(X - U). Figura 21 14. Determine os vetores X e Y tais que: 1.4.2 Multiplicação por um escalar. Se

Leia mais

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Capítulo 9 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Agora, estamos interessados em estudar sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem: Definição 36. Um sistema da linear da forma x

Leia mais

Dependência linear e bases

Dependência linear e bases Dependência linear e bases Sadao Massago 2014 Sumário 1 Dependência linear 1 2 ases e coordenadas 3 3 Matriz mudança de base 5 Neste texto, introduziremos o que é uma base do plano ou do espaço 1 Dependência

Leia mais

Sequencias e Series. Exemplo 1: Seja tal que. Veja que os dez primeiros termos estão dados por: ,,,,...,, ou seja que temos a

Sequencias e Series. Exemplo 1: Seja tal que. Veja que os dez primeiros termos estão dados por: ,,,,...,, ou seja que temos a Sequencias e Series Autor: Dr. Cristian Novoa MAF- PUC- Go cristiancalculoii@gmail.com Este texto tem como objetivo principal, introduzir alguns conceitos de Sequencias e Series,para os cursos de Engenharia,

Leia mais

A primeira coisa a fazer é saber quais são as equações das curvas quando elas já se encontram na melhor

A primeira coisa a fazer é saber quais são as equações das curvas quando elas já se encontram na melhor Identificação de Cônicas Uma equação do segundo grau ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 define de maneira implícita uma curva no plano xy: o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a equação. Por exemplo,

Leia mais

Unidade 1 - O que é Álgebra linear? A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa. 9 de agosto de 2013

Unidade 1 - O que é Álgebra linear? A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa. 9 de agosto de 2013 MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 1 - O que é Álgebra linear? A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 9 de agosto de 2013 O que é Álgebra linear? Atualmente,

Leia mais

Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0

Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0 Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0 Robinson Alves Lemos 14 de janeiro de 2017 Introdução Este material é um roteiro/apoio para o curso de álgebra linear da engenharia civil na UNEMAT de Tangará

Leia mais

Exponencial de uma matriz

Exponencial de uma matriz Exponencial de uma matriz Ulysses Sodré Londrina-PR, 21 de Agosto de 2001; Arquivo: expa.tex Conteúdo 1 Introdução à exponencial de uma matriz 2 2 Polinômio característico, autovalores e autovetores 2

Leia mais

CSE-020 Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia

CSE-020 Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia CSE-020 Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia Engenharia e Tecnologia Espaciais ETE Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais L.F.Perondi Engenharia e Tecnologia Espaciais ETE Engenharia

Leia mais

Pode-se mostrar que da matriz A, pode-se tomar pelo menos uma submatriz quadrada de ordem dois cujo determinante é diferente de zero. Então P(A) = P(A

Pode-se mostrar que da matriz A, pode-se tomar pelo menos uma submatriz quadrada de ordem dois cujo determinante é diferente de zero. Então P(A) = P(A MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES AULA 03: ÁLGEBRA LINEAR E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES TÓPICO 02: SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Considere o sistema linear de m equações e n incógnitas: O sistema S pode

Leia mais

étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO

Leia mais

EAD DETERMINANTES CONCEITO:

EAD DETERMINANTES CONCEITO: 1 EAD DETERMINANTES CONCEITO: Dada uma Matriz Quadrada de ordem n, dizemos que Determinante de ordem n é um número associado a essa Matriz conforme determinadas leis. Representamos o Determinante de uma

Leia mais

PLANO DE ENSINO e APRENDIZAGEM Álgebra Linear

PLANO DE ENSINO e APRENDIZAGEM Álgebra Linear UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PLANO NACIONAL DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO BÁSICA PARFOR CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA PLANO DE ENSINO e APRENDIZAGEM Álgebra Linear I IDENTIFICAÇÃO 1.1. Disciplina:

Leia mais

Notas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

Notas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares FATEC Notas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Prof Dr Ânderson Da Silva Vieira 2017 Sumário Introdução 2 1 Matrizes 3 11 Introdução 3 12 Tipos especiais de Matrizes 3 13 Operações

Leia mais

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior  1 Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 07 Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. Conteúdo 7. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares...2 7.1. Matrizes...2

Leia mais

Notas em Álgebra Linear

Notas em Álgebra Linear Notas em Álgebra Linear 1 Pedro Rafael Lopes Fernandes Definições básicas Uma equação linear, nas variáveis é uma equação que pode ser escrita na forma: onde e os coeficientes são números reais ou complexos,

Leia mais

Álgebra Matricial - Nota 03 Eliminação Gaussiana e Método de Gauss-Jordan

Álgebra Matricial - Nota 03 Eliminação Gaussiana e Método de Gauss-Jordan Álgebra Matricial - Nota 03 Eliminação Gaussiana e Método de Gauss-Jordan Márcio Nascimento da Silva Universidade Estadual Vale do Acaraú Curso de Licenciatura em Matemática marcio@matematicauva.org 8

Leia mais

Álgebra Linear. Determinantes, Valores e Vectores Próprios. Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia

Álgebra Linear. Determinantes, Valores e Vectores Próprios. Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia Álgebra Linear Determinantes, Valores e Vectores Próprios Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia - 200 - ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 2 Conteúdo Determinantes 5 2 Valores e vectores próprios

Leia mais

Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental

Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes Nono Ano do Ensino Funcamental Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio

Leia mais

Lista de Álgebra Linear Aplicada

Lista de Álgebra Linear Aplicada Lista de Álgebra Linear Aplicada Matrizes - Vetores - Retas e Planos 3 de setembro de 203 Professor: Aldo Bazán Universidade Federal Fluminense Matrizes. Seja A M 2 2 (R) definida como 0 0 0 3 0 0 0 2

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS (UFMG) ADÉLIO DANIEL DE SOUSA FREITAS

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS (UFMG) ADÉLIO DANIEL DE SOUSA FREITAS UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS (UFMG) ADÉLIO DANIEL DE SOUSA FREITAS O ESTUDO DA DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES SIMETRICAS DE 2º ORDEM. BELO HORIZONTE 2012 ADÉLIO DANIEL DE SOUSA FREITAS O ESTUDO DA

Leia mais

Módulos. Volume 2ª edição. Hernando Bedoya Ricardo Camelier. Álgebra Linear II

Módulos. Volume 2ª edição. Hernando Bedoya Ricardo Camelier. Álgebra Linear II Módulos 1e2 Volume 2ª edição Hernando Bedoya Ricardo Camelier Álgebra Linear II 1 Álgebra Linear II Volume 1 - Módulos 1 e 2 2ª edição Hernando Bedoya Ricardo Camelier Apoio: Fundação Cecierj / Consórcio

Leia mais

PARTE I EQUAÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE I EQUAÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE I EQUAÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL. Introdução Considere f uma função, não constante, de uma variável real ou complexa, a equação f(x) = 0 será denominada equação de uma incógnita. EXEMPLO e x + senx

Leia mais

Mudança de bases. Juliana Pimentel. juliana.pimentel. Sala Bloco A, Torre 2

Mudança de bases. Juliana Pimentel.  juliana.pimentel. Sala Bloco A, Torre 2 Mudança de bases Juliana Pimentel juliana.pimentel@ufabc.edu.br http://hostel.ufabc.edu.br/ juliana.pimentel Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2 Um corpo se movendo no plano xy, com trajetória descrita pela

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 1 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Geometria anaĺıtica em R 3 [1 01]

Leia mais

MAT Poli Cônicas - Parte I

MAT Poli Cônicas - Parte I MAT2454 - Poli - 2011 Cônicas - Parte I Uma equação quadrática em duas variáveis, x e y, é uma equação da forma ax 2 +by 2 +cxy +dx+ey +f = 0, em que pelo menos um doscoeficientes a, b oucénão nulo 1.

Leia mais

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0 Lista de exercícios. AL. 1 sem. 2015 Prof. Fabiano Borges da Silva 1 Matrizes Notações: 0 para matriz nula; I para matriz identidade; 1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC calcule A(B + C) B t A

Leia mais

Aula 3 A Reta e a Dependência Linear

Aula 3 A Reta e a Dependência Linear MÓDULO 1 - AULA 3 Aula 3 A Reta e a Dependência Linear Objetivos Determinar a equação paramétrica de uma reta no plano. Compreender o paralelismo entre retas e vetores. Entender a noção de dependência

Leia mais

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira:

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira: Aula 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r se define da seguinte maneira: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, Se as retas são concorrentes, isto

Leia mais

Método prático para extrair uma base de um conjunto de geradores de um subespaço de R n

Método prático para extrair uma base de um conjunto de geradores de um subespaço de R n Método prático para extrair uma base de um conjunto de geradores de um subespaço de R n 1. Descrição do método e alguns exemplos Colocamos o seguinte problema: dado um conjunto finito: A = {a 1, a 2,...,

Leia mais

Matrizes e Sistemas Lineares

Matrizes e Sistemas Lineares MATEMÁTICA APLICADA Matrizes e Sistemas Lineares MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. Matrizes Uma matriz de ordem mxn é uma tabela, com informações dispostas em m linhas e n colunas. Nosso interesse é em matrizes

Leia mais

Prof. MSc. David Roza José 1/30

Prof. MSc. David Roza José 1/30 1/30 Autovalores e Autovetores Objetivos: Compreender a definição matemática de autovalores e autovetores; Compreender a interpretação física de autovalores e autovetores entro do contexto de sistemas

Leia mais

Aula 4 Colinearidade, coplanaridade e dependência linear

Aula 4 Colinearidade, coplanaridade e dependência linear Aula 4 Colinearidade, coplanaridade e dependência linear MÓDULO 1 - AULA 4 Objetivos Compreender os conceitos de independência e dependência linear. Estabelecer condições para determinar quando uma coleção

Leia mais

Espaços vectoriais reais

Espaços vectoriais reais ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 49 Introdução Espaços vectoriais reais O que é que têm em comum o conjunto dos pares ordenados de números reais, o conjunto dos vectores livres no espaço, o conjunto das

Leia mais

Ajuste de mínimos quadrados

Ajuste de mínimos quadrados Capítulo 5 Ajuste de mínimos quadrados 5 Ajuste de mínimos quadrados polinomial No capítulo anterior estudamos como encontrar um polinômio de grau m que interpola um conjunto de n pontos {{x i, f i }}

Leia mais

Aula 22 Produto vetorial, produto misto e volume

Aula 22 Produto vetorial, produto misto e volume Aula 22 Produto vetorial, produto misto e volume MÓDULO 2 - AULA 22 Objetivos Definir o produto misto de três vetores no espaço a partir do cálculo de volumes de paralelepípedos. Exprimir o produto vetorial

Leia mais

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR IST - 1 o Semestre de 016/17 MEBiol, MEAmbi EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR FICHA - Vectores e valores próprios 1 1 Vectores e valores próprios de transformações lineares Dada uma transformação linear T V!

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR: aplicações de sistemas lineares

ÁLGEBRA LINEAR: aplicações de sistemas lineares ÁLGEBRA LINEAR: aplicações de sistemas lineares SANTOS, Cleber de Oliveira dos RESUMO Este artigo apresenta algumas aplicações de sistemas lineares, conteúdo estudado na disciplina de Álgebra linear da

Leia mais

Ficha de Exercícios nº 3

Ficha de Exercícios nº 3 Nova School of Business and Economics Álgebra Linear Ficha de Exercícios nº 3 Transformações Lineares, Valores e Vectores Próprios e Formas Quadráticas 1 Qual das seguintes aplicações não é uma transformação

Leia mais

Capítulo 6: Transformações Lineares e Matrizes

Capítulo 6: Transformações Lineares e Matrizes 6 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 6: Transformações Lineares e Matrizes Sumário 1 Matriz de uma Transformação Linear....... 151 2 Operações

Leia mais

Matrizes - Transpostas e Simetrias

Matrizes - Transpostas e Simetrias Matrizes - Transpostas e Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.1 29 de julho

Leia mais

7 Formas Quadráticas

7 Formas Quadráticas Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Forma quadrática em variáveis Função polinomial, de grau, cuja expressão tem apenas termos de grau. Ex. 1: é uma forma quadrática

Leia mais

Matrizes - Transpostas e Simetrias

Matrizes - Transpostas e Simetrias Matrizes - Transpostas e Simetrias Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 20152

Leia mais

4.4 Autovalores e Autovetores

4.4 Autovalores e Autovetores 4.4-1 4.4 Autovalores e Autovetores 4.4.1 A Equação de Euler O vetor do momento angular pode ser representado como onde os e i o são os vetores unitários ao longo dos eixos principais, denominados com

Leia mais

Matemática 1 INTRODUÇÃO 1 TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS 3 TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS 2 TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS. Exercício Resolvido 2

Matemática 1 INTRODUÇÃO 1 TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS 3 TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS 2 TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS. Exercício Resolvido 2 Matemática Frente II CAPÍTULO 22 EQUAÇÕES POLINOMIAIS 1 INTRODUÇÃO Nos capítulos anteriores, durante o estudo de polinômios, já estudamos alguns teoremas que nos ajudam a encontrar as raízes de polinômios.

Leia mais

Produtos de potências racionais. números primos.

Produtos de potências racionais. números primos. MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA n o 4 Dezembro/2006 pp. 23 3 Produtos de potências racionais de números primos Mário B. Matos e Mário C. Matos INTRODUÇÃO Um dos conceitos mais simples é o de número natural e

Leia mais

Resolução das Questões Discursivas

Resolução das Questões Discursivas COMISSÃO PERMANENTE DE SELEÇÃO COPESE PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO PROGRAD CONCURSO PISM III - TRIÊNIO 008-010 Prova de Matemática Resolução das Questões Discursivas São apresentadas abaixo possíveis soluções

Leia mais

Aula 10 Produto interno, vetorial e misto -

Aula 10 Produto interno, vetorial e misto - MÓDULO 2 - AULA 10 Aula 10 Produto interno, vetorial e misto - Aplicações II Objetivos Estudar as posições relativas entre retas no espaço. Obter as expressões para calcular distância entre retas. Continuando

Leia mais

1. Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares: x y z

1. Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares: x y z MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 657- - VIÇOSA - MG BRASIL a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 8 I SEMESTRE DE Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações

Leia mais

Definição (6.1): Definimos equação diferencial como uma qualquer relação entre uma função e as suas derivadas.

Definição (6.1): Definimos equação diferencial como uma qualquer relação entre uma função e as suas derivadas. Capítulo 6 Definição (6.1): Definimos equação diferencial como uma qualquer relação entre uma função e as suas derivadas. Definição (6.2): Seja e uma função real incógnita definida num intervalo aberto.

Leia mais

cederj Fundação Álgebra II CECIERJ Luiz Manoel Figueiredo Marisa Ortegoza da Cunha Hernando Bedoya Ricardo Camelier Volume 2 Consórcio

cederj Fundação Álgebra II CECIERJ Luiz Manoel Figueiredo Marisa Ortegoza da Cunha Hernando Bedoya Ricardo Camelier Volume 2 Consórcio Álgebra II Volume 2 Luiz Manoel Figueiredo Marisa Ortegoza da Cunha Hernando Bedoya Ricardo Camelier Material gratuitamente cedido pela Consórcio cederj Fundação CECIERJ Álgebra II Volume 2 SUMÁRIO Aula

Leia mais

Revisão: Matrizes e Sistemas lineares. Parte 01

Revisão: Matrizes e Sistemas lineares. Parte 01 Revisão: Matrizes e Sistemas lineares Parte 01 Definição de matrizes; Tipos de matrizes; Operações com matrizes; Propriedades; Exemplos e exercícios. 1 Matrizes Definição: 2 Matrizes 3 Tipos de matrizes

Leia mais

Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo:

Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo: Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo: Este sistema pode ser representado através de uma representação matricial da forma: A.x = b onde: A matriz de coeficientes de ordem x vetor

Leia mais

I Lista de Álgebra Linear /02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple

I Lista de Álgebra Linear /02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple 1 I Lista de Álgebra Linear - 2012/02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple 1. Determine os valores de x e y que tornam verdadeira a igualdade ( x 2 + 5x x 2 ( 6 3 2x y 2 5y y 2 = 5 0

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga EMENTA Vetores Dependência Linear Bases Produto Escalar Produto Vetorial Produto Misto Coordenadas Cartesianas

Leia mais

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que Capítulo 11 1. Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que AP = t AB Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto

Leia mais

1) A seguir são dados operadores lineares T em IR e em IR. Verificar quais são inversíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T.

1) A seguir são dados operadores lineares T em IR e em IR. Verificar quais são inversíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T. Lista de Exercícios cap 5 1) A seguir são dados operadores lineares T em IR e em IR. Verificar quais são inversíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T. a) T: IR²IR², T(x, y) = (3x

Leia mais

PARES DE SUBESPAÇOS EM R n. Luciana Cadar Chamone

PARES DE SUBESPAÇOS EM R n. Luciana Cadar Chamone PARES DE SUBESPAÇOS EM R n Luciana Cadar Chamone Monografia apresentada ao Departamento de Matemática do Instituto de Ciências Exatas da Universidade Federal de Minas Gerais como parte dos requisitos para

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula 9. Roteiro

Álgebra Linear I - Aula 9. Roteiro Álgebra Linear I - Aula 9 1. Distância de um ponto a uma reta. 2. Distância de um ponto a um plano. 3. Distância entre uma reta e um plano. 4. Distância entre dois planos. oteiro 1 Distância de um ponto

Leia mais