Lista de exercícios 10 Aplicações Lineares

Transcrição

1 Universidade Federal do Paraná 2 semestre Algebra Linear Olivier Brahic Lista de exercícios 10 Aplicações Lineares Exercício 1: Mostre que cada um dos operadores seguinte é linear em R 2. Descreva geometricamente o que cada transformação linear executa. a) L(x) = ( x 1, x 2 ), d) L(x) = 1 2 x, b) L(x) = x, c) L(x) = (x 2, x 1 ) T, e) L(x) = x 2 e 2. Exercício 2: Seja L o operador linear em R 2 denido por: L(x) = (x 1 cos α x 2 sin α, x 1 sin α + x 2 cos α). Exprima L em termo de cordenadas polares. Descreva geometricamente o efeito da transformação linear. Exercício 3: Seja a um vetor não nulo xo em R 2. Uma representção da forma: L(x) = x + a é chamada de translação. Mostre que uma translação não é um operador linear. Exercício 4: Seja L : R 2 R 2 um operador linear. Se: encontre o valor de L((7, 5) ). L((1, 2) ) = ( 2, 3), L((1, 1) ) = (5, 2), Exercício 5: Determine se as seguintes são transformações lineares de R 3 em R 2. a) L(x) = (x 2, x 3 ) b) L(x) = (1 + x 1, x 2 ), c) L(x) = (x 3, x 1 + x 2 ), d) L(x) = (0, 0), Exercício 6: Determine se as seguintes são transformações lineares de R 2 em R 3. a) L(x) = (x 1, x 1, 1) b) L(x) = (x 1, x 2, x 1 + 2x 2 ), c) L(x) = (x 1, 0, 0), d) L(x) = (x 1, x 2, x x2 2 ), Exercício 7: Determine se os seguintes são operadores lineares sobre R n n. 1

2 a) L(A) = 2A, b) L(A) = A, c) L(A) = A + I, d) L(A) = A A, Exercício 8: Seja C uma matrix n n xa. Determine se os seguintes são operadores lineares sobre R n n. a) L(A) = CA + AC, c) L(A) = A 2 C, b) L(A) = C 2 A, Exercício 9: Determine se os seguintes são operadores lineares de P 2 em P 3. a) L(p(x)) = xp(x), c) L(p(x)) = p(x) + xp(x) + x 2 p(x). b) L(p(x)) = x 2 + p(x), Exercício 10: Determine o núcleo e a imagem das seguintes aplicações lineares: a) L(x) = (x 3, x 2, x 1 ), c) L(x) = (x 1, x 1, x 1 ). b) L(x) = (x 1, x 2, 0), Exercício 11: Determine o núcleo e a imagem das seguintes aplicações lineares em P 3 : a) L(p(x)) = xp (x), b) L(p(x)) = p(x) p (x). 2

3 Resoluções: Resolução do Exercício 1: a) Para quaisquer x = (x 1, x 2 ) e y = (y 1, y 2 ) em R 2, e qualquer α R, calculemos L(x + y) = L(x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) = ( x 1 y 1, x 2 + y 2 ) = ( x 1, x 2 ) + ( y 1, y 2 ) L(αx) = L(αx 1, αx 2 ) = ( αx 1, αx 2 ) = α( x 1, x 2 ) Temos L(1, 0) = ( 1, 0), L(0, 1) = (0, 1) e L(1, 1) = ( 1, 1), concluemos que L é a simetria em relação ao eixo 0y, paralela a 0x. b) Para quaisquer x, y R 2, e qualquer α R, calculemos: L(x + y) = (x + y) = x y L(αx) = (αx) = α( x) Temos L(1, 0) = ( 1, 0), L(0, 1) = (0, 1) e L(1, 1) = ( 1, 1), concluemos que L é a simetria central de centro 0 R 2. c) Para quaisquer x = (x 1, x 2 ) e y = (y 1, y 2 ) em R 2, e qualquer α R, calculemos L(x + y) = L(x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) = (x 2 + y 2, x 1 + y 1 ) = (x 2, x 1 ) + (y 2, y 1 ) L(αx) = L(αx 1, αx 2 ) = (αx 2, αx 1 ) = α(x 2, x 1 ) Temos L(1, 0) = (0, 1), L(0, 1) = (1, 0) e L(1, 1) = (1, 1), concluemos que L é a simetria em relação à a reta diagonal + := R.(1, 1) paralela à reta antidiagonal := R.( 1, 1). d) Para quaisquer x, y R 2, e qualquer α R, calculemos: L(x + y) = 1 (x + y) 2 = 1 2 x y L(αx) = 1 2 (αx) = α( 1 2 x) Temos L(1, 0) = ( 1 2, 0), L(0, 1) = (0, 1 2 ) e L( 1 2, 1 2 ) = ( 1 2, 1 2 ), concluemos que L é uma dilatação de centro 0 R 2, de fator 1 2. e) Para quaisquer x = (x 1, x 2 ) e y = (y 1, y 2 ) em R 2, e qualquer α R, calculemos L(x + y) = L(x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) L(αx) = L(αx 1, αx 2 ) = (x 2 + y 2 ) e 2 = x 2 e 2 + y 2 e 2 = (αx 2 ) e 2 = α(x 2 e 2 ) Temos L(1, 0) = (0, 0), L(0, 1) = (0, 1) e L(1, 1) = (0, 1), concluemos que L é a projeção sobre o eixo 0y paralela ao eixo 0x. 3

4 Resolução do Exercício 2: Em coordenadas polares, L se escreve da forma: L(r, θ) = (r, θ + α). Segue que L é a rotação de centro 0 R 2 e de angulo α. Resolução do Exercício 3: Sejam x e y em R 2 quaisquer. Comparemos L(x + y) e L(x) + L(y), tem-se que: L(x + y) = (x + y) + a = x + y + a L(x) + L(y) = (x + a) + (y + a). = x + y + 2a. Jà que a 0 R 2, vemos que L(x+y) L(x)+L(y), segue que L não é linear. No caso a = 0 R 2, L é linear pois é a identidade. Outra maneira de ver que L não é linear (no caso a 0 R 2) segue da observação do que a imagem da origem por L não é a origem: L(0 R 2) = a 0 R 2. Resolução do Exercício 4: Vamos usar a propriedade de linearidade de L. Observemos que (7, 5) = 4(1, 2) + 3(1, 1), segue que: L((7, 5) ) = L(4(1, 2) + 3(1, 1) ) = 4L((1, 2) ) + 3L((1, 1) )) = 4( 2, 3) + 3(5, 2) = ( , ) = (7, 21) Note que foi em que foi usada a linardade de L. Resolução do Exercício 5: a) Para quaisquer x = (x 1, x 2, x 3 ) e y = (y 1, y 2, y 3 ) em R 3, e qualquer α R, calculemos L(x + y) = L(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) = (x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) = (x 3, x 3 ) + (y 2, y 3 ) L(αx + y) = L(αx 1, αx 2, αx 3 ) = (αx 2, αx 3 ) = α(x 2, x 3 ) b) Sejam x, y R 3, calculemos: L(x + y) = L(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) = (1 + x 1 + y 2, x 2 + y 2 ) = (1 + x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) (1 + x 1, x 2 ) + (1 + y 2, y 3 ) Segue que L não é linear. Tambem pode ser vericado direitamente que L(0, 0, 0) = (1, 0) (0, 0), logo L não é linear. 4

5 c) Para quaisquer x = (x 1, x 2, x 3 ) e y = (y 1, y 2, y 3 ) em R 3, e qualquer α R, calculemos L(x + y) = L(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) = (x 3 + y 3, x 1 + y 1 + x 2 + y 2 ) = (x 3, x 1 + x 2 ) + (y 3, y 1 + y 2 ) L(αx) = L(αx 1, αx 2, αx 3 ) = (αx 3, αx 1 + αx 2 ) = α(x 3, x 1 + x 2 ) d) Para quaisquer x, y R 3, e qualquer α R, calculemos: L(x + y) = (0, 0) = (0, 0) + (0, 0) L(αx) = (0, 0) = α(0, 0) Resolução do Exercício 6: a) L(0 R 2) = (0, 0, 1) logo L não é linear. b) Para quaisquer x = (x 1, x 2 ) e y = (y 1, y 2 ) em R 2, e qualquer α R, calculemos L(x + y) = L(x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 1 + y 1 + 2(x 2 + y 2 ) = (x 1, x 2, x 1 + 2x 2 ) + (y 1, y 2, y 1 + 2y 2 ) = L(x) + L(y), L(αx) = L(αx 1, αx 2, αx 3 ) = (αx 1, αx 2, αx 1 + 2αx 2 ) = α(x 1, x 2, x 1 + 2x 2 ) c) Para quaisquer x = (x 1, x 2 ) e y = (y 1, y 2 ) em R 2, e qualquer α R, calculemos L(x + y) = L(x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) = (x 1 + y 1, 0, 0) = (x 1, 0, 0) + (y 1, 0, 0) = L(x) + L(y), L(αx) = L(αx 1, αx 2, αx 3 ) = (αx 1, 0, 0) = α(x 1, 0, 0) d) Para x R 2 (x diferente de 0 R 3) e α R (α diferente de 0) temos: L(αx) = (αx 1, αx 2, (αx 1 ) 2 + (αx 2 ) 2 ) = α(x 1, x 2, α(x x 2 2)) α(x 1, x 2, x x 2 2) Segue que L não é linear. 5

6 Resolução do Exercício 7: a) Para quaisquer matrizes A, B R n n, e qualquer α R, calculemos L(A + B) = 2(A + B) = 2A + 2B = L(A) + L(B). L(αA) = 2(αA) = α(2a) = αl(a), b) Para quaisquer matrizes A, B R n n, e qualquer α R, calculemos L(A + B) = (A + B) = A + B = L(A) + L(B), L(αA) = (αa) = α(a ) = αl(a). c) Para quaisquer matrizes A, B R n n, e qualquer α R, calculemos L(A + B) = (A + B) + I = A + B + I A + B + 2I = (A + I) + (B + I) = L(A) + L(B). Segue que L não é linear. d) Para quaisquer matrizes A, B R n n, e qualquer α R, calculemos L(A + B) = (A + B) (A + B) = (A A ) + (B B ) = L(A) + L(B), L(αA) = (αa) (αa) = α(a A ) = αl(a). Resolução do Exercício 8: a) Para quaisquer matrizes A, B R n n, e qualquer α R, calculemos L(A + B) = C(A + B) + (A + B)C = (CA + AC) + (CB + BC) = L(A) + L(B), L(αA) = C(αA) + (αa)c = α(ca + AC) = αl(a). b) Para quaisquer matrizes A, B R n n, e qualquer α R, calculemos L(A + B) = C 2 (A + B) = C 2 A + C 2 B = L(A) + L(B), L(αA) = C 2 (αa) = α(c 2 A) = αl(a). 6

7 c) No caso C 0, para quaisquer matrizes A, B R n n tais que (AB + BA)C 0 R n n (por exemplo: A = B = I) temos: Segue que L não é linear. L(A + B) = (A + B) 2 C = (A 2 + AB + BA + B 2 )C = (A 2 C + ABC + BAC + B 2 C A 2 C + B 2 C = (A + I) + (B + I) = L(A) + L(B). No caso C = 0, L(A) = 0 Rn n para qualquer A, logo é linear. Resolução do Exercício 9: Sejam P, Q P 2, e α R. a) Para quaisquer p(x), q(x) em P 2, e qualquer α R, calculemos: L(p(x) + q(x)) = x(p(x) + q(x)) = x.p(x) + xq(x) = L(p(x)) + L(q(x)). L(αp(x)) = x(αp(x)) = α.(xp(x)) = αl(p(x)). Logo L é linear. b) Consideremos o polinômio nulo 0 p2. Temos: L(0 P2 ) = x P2 0 P3. Logo L não é linear. c) Para quaisquer p(x), q(x) em P 2, e qualquer α R, calculemos: L(p(x) + q(x)) = (p(x) + q(x)) + x(p(x) + q(x)) + x 2 (p(x) + q(x)) = p(x) + xp(x) + x 2 p(x) + q(x) + xq(x) + x 2 q(x) = L(p(x)) + L(q(x)). L(αp(x)) = αp(x) + x.αp(x) + x 2 αp(x) = α.(p(x) + xp(x) + x 2 p(x)) = αl(p(x)). Logo L é linear. Resolução do Exercício 10: a) Por denição do núcleo, temos: N(L) = {x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 L(x) = 0 R 3)}. Logo x = (x 1, x 2, x 3 ) pertence em N(L) se e somente se L(x) = 0 ou seja, se e somente se (x 3, x 2, x 1 ) = (0, 0, 0). Concluemos que N(L) = {(0, 0, 0)}. É claro que qualquer elemento y = (y 1, y 2, y 3 ) em R 3 é da forma y = L(x) para um certo x R 3, pois o sistema (y 1, y 2, y 3 ) = (x 1, x 2, x 3 ) sempre tem uma solução (x 1, x 2, x 3 ). Portanto, Im(L) = R 3. 7

8 b) Temos N(L) = {x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 L(x) = 0 R 3)}, logo: x = (x 1, x 2, x 3 ) N(L) L(x) = (0, 0, 0), (x 1, x 2, 0) = (0, 0, 0), x 1 = x 2 = 0, x 1 qualquer (x 1, x 2, x 3 ) = (0, 0, α) onde α R. Logo N(L) é o subespaço de dimensão 1 de R 3 dado por: N(L) = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 (x 1, x 2, x 3 ) = (0, 0, α), α R} = Cob(e 3 ) = R.e 3. Por outro lado, temos: Im(L) = {y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3 existe x R 3, y = L(x)} = {y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3 existe x R 3, y = (x 1, x 1, x 1 )} = {L(x) R 3 x R 3 } = {(x 1, x 2, 0) R 3 x 1, x 2 R} Logo Im(L) é o subespaço de dimensão 2 de R 3 dado por Im(L) = Cob(e 1, e 2 ). c) Temos N(L) = {x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 L(x) = 0 R 3)}, logo: x = (x 1, x 2, x 3 ) N(L) L(x) = (0, 0, 0), (x 1, x 1, x 1 ) = (0, 0, 0), x 1 = 0, x 2, x 3 quaisquer (x 1, x 2, x 3 ) = (0, α, β) onde α, β R. Logo N(L) é o subespaço de dimensão 2 de R 3 dado por: N(L) = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 (x 1, x 2, x 3 ) = (0, α, β), α, β R 3 } = Cob(e 2, e 3 ). Por outro lado, temos: Im(L) = {y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3 existe x R 3, y = L(x)} = {y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3 existe x R 3, y = (x 1, x 1, x 1 )} = {L(x) R 3 x R 3 } = {(x 1, x 1, x 1 ) R 3 x 1 R} Logo Im(L) é o subespaço de dimensão 1 de R 3 dado por: Im(L) = Cob(v) = R.v, onde v é o vetor denido por v := (1, 1, 1). 8

9 Resolução do Exercício 11: a) Temos por denição do núcleo que N(L) := {p(x) = a + bx + cx 2 P 3 L(p(x)) = 0 P3 }, logo: p(x) = a + bx + cx 2 N(L) L(p(x)) = 0 P3, xp (x) = 0 P3, x.(b + 2cx) = 0 P3, bx + 2cx 2 = 0 P3, b = c = 0, a qualquer p(x) = a, onde a R. Portanto N(L) é o subespaço de dimensão 1 de P 3 dos polinômios constantes, ou seja: Por outro lado, temos: N(L) = {p(x) P 3 p(x) = a, a R} = Cob(1). Im(L) = {q(x) P 3 existe p(x) P 3, q(x) = L(p(x))} = {L(p(x) P 3 p(x) P 3 } = {bx + 2cx 2 P 3 b, c R} = {bx + c.x 2 P 3 b, c R} Logo Im(L) é o subespaço de dimensão 2 de P 3 gerado pelos polinômios x e x 2 : Im(L) = Cob(x, x 2 ). b) Temos por denição do núcleo que N(L) = {p(x) = a + bx + cx 2 P 3 L(p(x)) = 0 P3 )}, logo: p(x) = a + bx + cx 2 N(L) L(p(x)) = 0 P3, p(x) p (x) = 0 P3, a + bx + cx 2 (b + 2cx) = 0 P3, (a b) + (b 2c)x + cx 2 = 0 P3, a = b = c = 0, p(x) = 0 P3. Portanto N(L) = {0 P3 } é o subespaço trivial de P 3. Por outro lado, temos: Im(L) = {q(x) P 3 existe p(x) P 3, q(x) = L(p(x))} = {q(x) P 3 q(x) = (a b) + (b 2c)x + cx 2, a, b, c R} Para qualquer q(x) = α + βx + γx 2 P 3 o sistema: a b = α, b 2c = β, c = γ tendo uma solução (a, b, c), concluemos que a imagem de L é o espaço P 3 inteiro: Im(L) = P 3. 9

10 Referências [1] Steven J. Leon, Álgebra Linear com aplicações, 8 a edição, LTC