Lista de exercícios 2 Sistemas de equações lineares II

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1 Universidade Federal do Paraná 2 semestre Algebra Linear, CM 005 Olivier Brahic Lista de exercícios 2 Sistemas de equações lineares II Exercício 1: As matrizes aumentadas seguintes estão na forma linha degrau. Em cada caso, indique se o sistema linear corespondente é consistente. Se o sistema tiver uma solução única, encontre-a c) d) e) f) Exercício 2: As matrizes aumentadas seguintes estão na forma linha degrau reduzida. Em cada caso, encontre o conjunto solução dos sistemas lineares corespondentes c) d) ( ) e) f) Exercício 3: encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares. { x1 2x 2 = 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 1 x 1 2x 2 = 3 2x 1 x 2 = 9. e) x 1 + x 2 + x 3 = 3 h) 2x 1 + x 2 = 1 3x { 1 + 4x 2 + 2x 3 = 4. 5x 1 + 8x 2 = 4. 2x1 3x 2 = 5 4x 1 + 6x 2 = 8. x 1 x 2 + 2x 3 = 4 x 1 + 2x 2 x 3 = 2 f) 2x 1 + 3x 2 x 3 = 1 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 1 + x 2 = 0 i) 7x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 7. 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 5 c) 2x 1 + 3x 2 = 0 3x 1 + 8x 2 + 5x 3 = 17. 3x 1 2x 2 = 0. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 3x 1 + 2x 2 x 3 = 4 2x 1 + 3x 2 x 3 x 4 = 2 g) x 1 + 2x 2 3x 3 + x 4 = 1 d) x 1 2x 2 + 2x 3 = 1 3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 = 5 j) x 1 x 2 + 4x 3 x 4 = 6 11x 1 + 2x 2 + x 3 = 14. 3x 1 + 6x 2 x 3 x 4 = 4. 2x 1 4x 2 + 7x 3 x 4 = 1. 1

2 x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 = 3 k) 2x 1 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 8 x 1 5x 2 + x 4 = 5. l) x 1 3x 2 + x 3 = 1 2x 1 + x 2 x 3 = 2 x 1 + 4x 2 2x 3 = 1 5x 1 8x 2 + 2x 3 = 5. m) ix 1 + (1 + i)x 2 = i, (1 i)x 1 + x 2 ix 3 = 1, i.x 2 +x 3 = 1. Exercício 4: Use a redução Gauss-Jordan para resolver cada um dos seguintes sistemas: { { x1 + x 2 = 1 4ix1 8x c) 2 = 0 x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 3 4x 1 3x 2 = 3. 2x 1 4ix 2 = 0 e) 2x 1 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 8 3x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 = 1. { x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 x 2 x 3 = 0. d) { 4ix1 8x 2 = 0 2x 1 + 4ix 2 = 0 f) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 2x 1 + x 2 x 3 + 3x 4 = 0 x 1 2x 2 + x 3 + x 4 = 0. Exercício 5: Considere um sistema linear cuja matriz aumentada tem a forma: a 3 Para que valores de a o sistema tem uma única solução? Exercício 6: Considere um sistema linear cuja matriz aumentada é da forma: β 0 É possível que o sistema seja inconsistente? Explique. Para que valores de β o sistema terá um número infinito de soluções? Exercício 7: Considere um sistema linear cuja matriz aumentada é da forma: a b Para que valores de a e b o sistema tem um número infinito de soluções? Para que valores de a e b o sistema é inconsistente? 2

3 Soluções: Resolução do Exercício 1: o sistema é inconsistente: S =. o sistema tem uma solução única: S = {(4, 1)} R 2 c) o conjunto solução é uma reta em R 3 : S = { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 (x 1, x 2, x 3 ) = ( α, α, 3) onde α R }. Observação. Note que em general, jà que um sistema admite soluções diferentes, tem várias maneiras de escrever o conjunto solução. Por exemplo, neste caso, as seguintes descrevem o mesmo conjunto solução: S = { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 (x 1, x 2, x 3 ) = ( α, α, 3 ) onde α R } = { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 (x 1, x 2, x 3 ) = ( 11 + α, α /2, 3 ) onde α R } = { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 (x 1, x 2, x 3 ) = ( 10 + α, 1/2 + α /2, 3 ) onde α R }. Neste caso, é facil passar de uma linha a outra, definindo α = 2α, e α = α + 1. Note que quando o sistema tem mais de uma variável livre, pode ser bastante complicado passar de uma maneira de descrever S à outra: caso tem duas variaveis livres α, β, ambos α e β podem depender de α e β (por exemplo: α = α + β e β = α β). Parte do programa deve permitir entender isto, como varios escolhos de bases para um mesmo núcleo. d) o sistema tem uma solução única: S = {(4, 5, 2)} R 3 e) o sistema é inconsistente: S =. f) o sistema tem uma solução única: S = {(5, 3, 2)} R 3 Resolução do Exercício 2: o sistema tem uma solução única: S = {( 2, 5, 3)} R 3 o sistema é inconsistente: S =. c) o conjunto solução é uma reta em R 3 : S = { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 (x 1, x 2, x 3 ) = (2 + 3α, α, 2) onde α R } = { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 (x 1, x 2, x 3 ) = (2, 0, 2) + α(3, 1, 0) onde α R }. d) o conjunto solução é um plano em R 4 : S = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (5 2α β, α, 4 3β, β) onde α, β R } = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (5, 0, 4, 0) + α( 2, 1, 0, 0) + β( 1, 0, 3, 1) onde α, β R }. 3

4 e) o conjunto solução é um plano em R 4 : S = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (3 5α + 2β, α, β, 6) onde α, β R } = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (3, 0, 0, 6) + α( 5, 1, 0, 0) + β(2, 0, 1, 0) onde α, β R }. f) o conjunto solução é uma reta em R 3 : S = { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 (x 1, x 2, x 3 ) = (0, 2, 1) + α(1, 0, 0) onde α R }. Resolução do Exercício 3: o sistema tem uma solução única: S = {(5, 1)} R 2 o sistema é inconsistente: S =. c) o sistema tem uma solução única: S = {(0, 0)} R 2 d) o conjunto solução é uma reta em R 3 : S = { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 (x 1, x 2, x 3 ) = (1 2α, 1 + 7α, 1 + 8α) onde α R } = { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 (x 1, x 2, x 3 ) = (1, 1, 1) + α( 2, 7, 8) onde α R } e) o conjunto solução é uma reta em R 3 : S = { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 (x 1, x 2, x 3 ) = (8 2α, 5 + 7α, 7) onde α R } = { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 (x 1, x 2, x 3 ) = (8, 5, 7) + α( 2, 7α 7) onde α R }. f) o sistema é inconsistente: S =. g) o sistema é inconsistente: S =. h) o sistema é inconsistente: S =. i) o sistema tem uma solução única: S = {(0, 3/2, 1)} R 3 j) o conjunto solução é uma reta em R 4 : S = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = ( α, 7 α, α, 3 α) onde α R } = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = ( 16, 7, 0, 3) + α(6, 1, 1, 1) onde α R }. k) o conjunto solução é uma reta em R 4 : S = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (5 α, 0, 2, α) onde α R }. l) o conjunto solução é uma reta em R 3 : S = { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 (x 1, x 2, x 3 ) = (1 + 2α, 3α, 7α) onde α R }. m) o sistema tem uma solução única: S = {( i, 1, 1 i)} C 3 4

5 Resolução do Exercício 4: o sistema tem uma solução única: S = {(0, 1)} R 2 o conjunto solução é uma reta em R 3 : S = { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 (x 1, x 2, x 3 ) = (0, α, α) onde α R }. c) o conjunto solução é uma reta complexa em C 2 : S = { (x 1, x 2 ) C 2 (x 1, x 2 ) = (2α, iα ) onde α C }. d) o conjunto solução é uma reta complexa em C 2 : S = { (x 1, x 2 ) C 2 (x 1, x 2 ) = (2α, iα ) onde α C }. e) o conjunto solução é uma reta em R 4 : S = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = ( 1 + 5α, α, 2 8α, 6) onde α R }. 5

6 Resolução do Exercício 5: Por operações elementares em linhas, obtemos o sistema equivalente triangular da seguinte maneira: (L 1 ) 1 (L 1 := L 1) 1 (L 2 ) (L 2 := L 2 + L 1 ) (L 3 ) 2 4 a 3 (L 3 := L 3 2L 1 ) 0 6 a := L 1 ) 2 := L 2 ) 3 := L 3 + L 2 ) a Deduzemos facilmente da linha L 3, e efetuando a substituição reversa quando for possível, que: se a = 2, o sistema é inconsistente, se a 2, o sistema tem uma única solução. Resolução do Exercício 6: Considere um sistema linear cuja matriz aumentada é da forma: β 0 Por causa da coluna direita de zeros, é fácil ver que o sitema sempre admite (x 1, x 2, x 3 ) = (0, 0, 0) como solução, logo não pode ser inconsistente (S ). Por operações elementares em linhas, obtemos o sistema equivalente triangular da seguinte maneira: (L 1 ) 0 (L 1 := L 1) 0 (L 2 ) (L 2 := L 2 2L 1 ) (L 3 ) 1 1 β 0 (L 3 := L 3 L 1 ) 0 1 β := L 1 ) 2 := L 2 ) 3 := L 3 + L 2 ) β 0 Deduzemos facilmente da linha L 3, e efetuando a substituição reversa que: se β 0, o sistema tem uma única solução (0, 0, 0), i.e: S = {(0, 0, 0)}. se β = 0, o sistema tem infinidade de soluções: S = { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 (x 1, x 2, x 3 ) = (α, α, α) onde α R } Resolução do Exercício 7: Por operações elementares em linhas, obtemos o sistema equivalente triangular da seguinte maneira: (L 1 ) 0 (L 1 := L 1) 0 (L 2 ) (L 2 := L 2 L 1 ) (L 3 ) 1 1 a b (L 3 := L 3 + L 1 ) 0 3 a + 1 b 1 := L 1 ) 2 := L 2 ) 3 := L 3 L 2 ) a 1 b Deduzemos facilmente da linha L 3, e efetuando a substituição reversa quando for possível que: 6

7 se a = 1 e β = 0, o sistema tem uma infinidade de soluções, com x 3 variavel livre, se a = 1 e b 0, o sistema é inconsistente, S =, se a 1, o sistema tem uma solução única: {( S = Referências b 3(a 1), 2b 3(a 1), b 3(a 1) )}. [1] Steven J. Leon, Álgebra Linear com aplicações, 8 a edição, LTC

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