UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 2 a Lista - MAT Introdução à Álgebra Linear II/ Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método da Matriz Inversa: { 2x y 3z = 5 5x 2y = 4 (a) 3x y = 3 (b) 3x 2y + 2z = 5 5x 3y z = 16 (c) 2x + 3y z = 1 3x + 5y + 2z = 8 x 2y 3z = 1 2 Resolva os seguintes sistemas utilizando a Regra de Cramer: { 2x + 3y z = 1 2x 3y = 7 (a) 3x + 5y = 1 (b) 3x + 5y + 2z = 8 x 2y 3z = 1 3 Determine os valores reais de k em cada um dos casos tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução: kx + y + z = 1 x + y + kz = 2 (a) x + ky + z = 1 (c) 3x + 4y + 2z = k x + y + kz = 1 2x + 3y z = 1 { x + 2y + kz = 1 (b) 2x + ky + 8z = 3 4 Determine os valores reais de k em cada um dos casos para que o sistema linear dado admita solução não-trivial: x y z = 0 2x 5y + 2z = 0 (a) x 2y 2z = 0 (b) x + y + z = 0 2x + ky + z = 0 2x + kz = 0 x + y 2z = 0 5 Determine os valores reais de a e b para que o sistema linear 2x + y + z = b x + ay + z = 0 tenha: (a) uma única solução; (b) infinitas soluções; (c) nenhuma solução: 6 Considere a matriz A = λ λ λ + 1 o sistema homogêneo AX = 0 admite apenas a solução trivial encontre os valores reais de λ para os quais 1

2 7 Sejam A = X = x 1 x 2 x 3 B 1 = B 2 = B 3 = (a) Determine se possível a inversa de A (b) Utilize o item (a) para resolver a equação matricial AXB k para k = Determine a condição que os números reais a b e c devem satisfazer para que em cada um dos casos abaixo o sistema dado tenha solução x + 2y 3z = a x 2y + 4z = a (a) 3x y + 2z = b (b) 2x + 3y z = b x 5y + 8z = c 3x + y + 2z = c (c) 3x 7y = a x + y = b 5x + 3y = 5a + 2b x + 2y = a + b 1 (d) a + 3b = x 2a b = y 2a + b = z 3a + b = t 9 Considere o sistema linear { ax + by = e cx + dy = f Mostre que: (a) se ad bc 0 então o sistema tem uma única solução dada por x = de bf ad bc af ce e y ad bc ; (b) se ad bc = 0 e a c = b d e então o sistema não tem solução f (c) se ad bc = 0 e a c = b e então o sistema tem infinitas soluções d f 10 Dado o sistema linear S : { 2x + 3y z = 0 x 4y + 5z = 0 (a) Verifique que x 1 = 1 y 1 = 1 e z 1 = 1 é uma solução de S; (b) Verifique que x 2 = 2 y 1 = 2 e z 1 = 2 também é uma solução de S; (c) É verdade que x = x 1 + x 2 y = y 1 + y 2 e z = z 1 + z 2 é uma solução de S? (d) É verdade que 3x 3y e 3z onde x y e z são como no item (c) é uma solução de S? (e) Se as respostas de (c) e (d) forem afirmativas então responda: Por que isso ocorre? 11 Encontre a b e c tais que a parábola y = ax2 + bx + c passe pelos pontos (1 4) ( 1 0) e (2 3) 2

3 12 Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método do Escalonamento Classifique-os x + 2y + z = 0 x + 3y + 2z = 2 (a) 2x + y z = 0 (b) 3x + 5y + 4z = 4 3x y 2z = 0 5x + 3y + 4z = 10 (c) x + 2y z + w = 0 x y + 2z 3t + w = 0 x + y 2z w = 0 z + t + w = 0 (d) 13 Determine k nos seguintes casos de acordo com o que se pede (a) De modo que o sistema linear admita solução 4x 1 + 3x 2 = 2 5x 1 4x 2 = 0 2x 1 x 2 = k (b) De modo que o sistema linear homogêneo 2x 1 5x 2 + 3x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 2x 1 + kx 3 = 0 tenha uma solução distinta da solução trivial 2x + 3y = 13 x 2y = 3 5x + 2y = 27 (c) Que torne o sistema linear 3x 1 + 5x x 3 x 4 = 3 x 1 + x 2 + 4x 3 x 4 = 6 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 5 2x 3 + kx 4 = 9 incompatível 14 Decida se a afirmação dada é verdadeira ou falsa Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo (a) ( ) Se o sistema linear AX = 0 admite as soluções X 1 e X 2 então também admite k 1 X 1 + k 2 X 2 como solução quaisquer que sejam os números reais k 1 e k 2 (b) ( ) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema linear AX = 0 tenha somente a solução trivial é que det A 0 (c) ( ) Se X 1 e X 2 são soluções do sistema linear AX = 0 então X 1 X 2 é solução de AX = 0 (d) ( ) Se C é uma matriz invertível tal que CA = CB então os sistemas lineares AX = b e BX = b são equivalentes 3

4 (e) ( ) Se A é uma matriz tal que A T A = A então os sistemas lineares AX = b e A 2 X = b são equivalentes 15 Uma refinaria de petróleo processa dois tipos de petróleo: com alto teor de enxofre e com baixo teor de enxofre Cada tonelada de petróleo de baixo teor necessita de 5 minutos no setor de mistura e 4 minutos no setor de refinaria; já o petróleo com alto teor são necessários 4 minutos no setor de mistura e 2 minutos no setor de refinaria Se o setor de mistura está disponível por 3 horas e o setor de refinaria por 2 horas quantas toneladas de cada tipo de combustível devem ser processadas de modo que os dois setores não fiquem ociosos? 16 Um fabricante de plástico produz dois tipos de plástico: o normal e o especial Para produzir uma tonelada de plástico normal são necessárias duas horas na fábrica A e 5 horas na fábrica B; já na produção de uma tonelada de plástico especial são necessárias 2 horas na fábrica A e 3 horas na fábrica B Se a fábrica A funciona 8 horas por dia e a fábrica B funciona 15 horas por dia quantas toneladas de cada tipo de plástico devem ser produzidas diariamente para que as duas fábricas se mantenham totalmente ocupadas? 17 Um nutricionista está elaborando uma refeição que contenha os alimentos A B e C Cada grama do alimento A contém 2 unidades de proteína 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidrato Cada grama do alimento B contém 3 unidades de proteína 2 unidades de gordura e 1 unidade de carboidrato Já o alimento no alimento C encontramos 3 unidades de proteína 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidrato Se a refeição deve fornecer exatamente 25 unidades de proteína 24 unidades de gordura e 21 unidades de carboidrato quantos gramas de cada tipo de alimento devem ser utilizados? 18 Determine para que valores de k os vetores do R 3 abaixo são LI ou LD (a) u = (1 1 2) v = ( 1 2 3) e w = (k 1 1); (b) u = ( 1 0 7) v = ( 4 5 3k) w = (0 4 2) e z = (2k 3 1) 19 Determine que condições a b e c devem satisfazer para que o vetor v = (a b c) seja combinação linear dos vetores u = (1 3 2) e w = (2 1 1) 20 Quais dos seguintes vetores são combinação linear de: u = ( ) v = ( ) w = ( ) e p = ( ) (a) ( ) (b) ( ) {[ ] [ ] [ Determine [S] onde S = ] [ Os conjuntos abaixo são linearmente independente ou linearmente dependentes? Justifique (Faça contas somente quando for realmente necessário!) (a) ( ) {1 2t 2t + t 2 2t + 2t 2 } P 2 (IR); (b) ( ) {(1 1) (0 1) ( 1 5)} IR 2 ; {[ ] [ ] 0 0 π (c) ( ) [ ]} M (IR); 4 ]}

5 (d) ( ) { ( ) ( )} IR 5 ; (e) ( ) {1} IR 23 Coloque V ou F justificando sua resposta (a) ( ) Se dim W = 3 e B é um subconjunto de W com 4 vetores então B é LD (b) ( ) Se dim W = 3 e B é um subconjunto de W com 2 vetores então B é LI (c) ( ) Todo subconjunto de um espaço vetorial contendo o vetor nulo é LD (d) ( ) Se dim W = 3 e v 1 v 2 W então [v 1 v 2 ] W (e) ( ) Se dim W = 3 e v 1 v 2 v 3 W então [v 1 v 2 v 3 ] = W 24 Verifique que se u v V e u = λv para algum λ IR então {u v} é LD 25 Encontre um sistema homogêneo cujo conjunto das soluções seja gerado por {( ) ( ) ( )} 26 Suponha que {u v w} é um conjunto LI então {u + v u v u 2v + w} é LI ou LD? {[ ] } 2a a + 2b 27 Seja W = : a b IR 0 a b (a) Mostre que W é subespaço vetorial de M 2 2 (IR) [ ] [ ] (b) W? W? (c) Determine uma base para W 28 Seja W 2 = {A M 3 3 (IR); A t = A} isto é W 2 é o conjunto de todas as matrizes antisimétricas de ordem 3 (a) Mostre que W 2 é subespaço vetorial de M 3 3 (IR) (b) Determine uma base de W 2 29 Considerando W 1 e W 2 os subespaços dos exercícios anteriores Mostre que M 3 3 (IR) = W 1 + W 2 e que W 1 W 2 = {0} 30 Determine uma base e a dimensão do subespaço de M 3 3 (IR) formado por todas as matrizes diagonais 31 Determine a dimensão e uma base do espaço solução dos seguintes sistemas homogêneos: x + 2y + z 3t = 0 x + 2y + 2z s + 3t = 0 (a) 2x + 4y + 4z t = 0 (b) x + 2y + 3z + s + t = 0 3x + 6y + 7z + t = 0 3x + 6y + 8z + s + 5t = 0 32 Sejam U e W os subespaços do IR 4 gerados por {( ) ( ) ( )} e {( ) ( ) ( )} respectivamente Determine: (a) dim U; (b) dim W ; (c) dim(u W ) e (d) dim(u + W ) 5

6 33 Sejam V = IR 4 W 1 = {(a 1 a 2 a 3 a 4 ) V ; a 1 + a 3 = 0} e W 2 = {(b 1 b 2 b 3 b 4 ) V ; b 2 + b 4 = 0} (a) Demonstrar que W 1 é subespaço de V (b) Determinar bases de W 1 W 2 e W 1 W 2 (c) W 1 + W 2 = V? Justifique sua resposta 34 Considere o subespaço W de R 4 gerado pelos vetores v 1 = ( ) v 2 = ( ) v 3 = ( ) v 4 = ( ) Pede-se: (a) Determine uma base para W Qual é a dim W? (b) O vetor u = ( ) pertence a W? (c) Determine um sistema linear homogêneo cujo espaço das solução seja W 35 Seja S = {u v w r s t} um subconjunto LI de um espaço vetorial V Seja R S R com 3 elementos Determine dim [S] dim [R] dim ([S] [R]) e dim ([S] + [R]) 36 Considere o subconjunto γ = {(1 0 2) (0 1 1) (1 0 1)} do IR 3 Pede-se: (a) Mostre que γ é uma base para o IR 3 e calcule a matriz mudança da base γ para a base canônica C (b) Dado o vetor u = (1 1 1) determine suas coordenadas em relação à base γ 37 No espaço vetorial P 2 (IR) dos polinômios em t de grau menor ou igual a 2 considere o seguinte conjunto B = {1 1 t (1 t) 2 } (a) Mostre que B é uma base de P 2 (b) Encontre as coordenadas dos seguintes vetores com relação à base ordenada B: (i) v = 2 3t + t 2 ; (ii) w = 3 2t 38 Sejam U e W os seguintes subespaços do IR 4 : U = {(x y z w) IR 4 ; y + z + w = 0} W = {(x y z w) IR 4 ; x + y = 0 z = 2w} Determine uma base e a dimensão de U W U W e U + W 39 Seja U o subespaço de IR 5 gerado por {( ) ( ) ( )} e seja W o subespaço gerado por {( ) ( ) ( )} (a) Encontre dois sistemas homogêneos cujos espaços das soluções são U e W respectivamente (b) Encontre uma base e a dimensão de U W (c) Encontre a dimensão de U + W 40 Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas Caso sejam falsas dê um contra-exemplo Justifique cada sentença verdadeira 6

7 (a) ( )Todo espaço vetorial tem pelo menos dois vetores (b) ( )Todo espaço vetorial tem pelo menos um vetor (c) ( )O conjunto formado pelo vetor nulo é um subespaço de qualquer espaço vetorial (d) ( )Todo espaço vetorial tem pelo menos dois subespaços distintos (e) ( )Todo espaço vetorial com um vetor não nulo tem pelo menos dois subespaços distintos (f) ( )Se {v 1 v 2 v n } é um subconjunto de um espaço vetorial V então v i está no subespaço [v 1 v 2 v n ] (subespaço gerado por v 1 v 2 v n ) para cada i = 1 2 n (g) ( )Se {v 1 v 2 v n } é um subconjunto de um espaço vetorial V então v i + v j está no subespaço [v 1 v 2 v n ] (subespaço gerado por v 1 v 2 v n ) para toda escolha de i e j variando de 1 até n (h) ( )Se o vetor soma u + v pertence a um subespaço W de um espaço vetorial V então ambos u e v pertencem a este subespaço W (i) ( )A intersecção de dois subespaços de um espaço vetorial pode ser vazia (j) ( )A soma de dois vetores solução de um sistema de equações lineares é também vetor solução desse mesmo sistema (k) ( )A soma de dois vetores solução de um sistema linear homogêneo é também um vetor solução desse sistema (l) ( )Um múltiplo escalar de um vetor solução de um sistema linear homogêneo é também um vetor solução desse sistema (m) ( )Toda reta em IR 2 é um subespaço de IR 2 gerado por um único vetor (n) ( )Em IR 2 toda reta que passa pela origem é um subespaço de IR 2 gerado por um único vetor (o) ( )Se o conjunto {v 1 v 2 v n } gera o espaço vetorial V então cada vetor em V pode ser escrito como combinação linear dos vetores deste conjunto 41 Seja P o espaço vetorial de todos os polinômios na indeterminada x com coeficientes reais Mostre que [1 x] = [1 + 2x x] ( Sugestão: Mostre que cada um desses subespaços é um subconjunto do outro) 42 Seja V um espaço vetorial e sejam v 1 v 2 vetores em V Utilizando a sugestão do exercício anterior mostre que: (a) [v 1 v 2 ] = [v 1 2v 1 + v 2 ] (b) [v 1 v 2 ] = [v 1 + v 2 v 1 v 2 ] 43 Sejam v 1 v 2 v n e w 1 w 2 w k vetores num espaço vetorial V Dê condições necessárias e suficientes envolvendo combinações lineares para que [v 1 v 2 v n ] = [w 1 w 2 w k ] 44 Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas Caso sejam falsas dê um contra-exemplo 7

8 (a) ( )Um sistema linear com menos equações do que incógnitas tem um número infinito de soluções (b) ( )Um sistema linear consistente (compatível) com menos equações do que incógnitas tem um número infinito de soluções (c) ( )Se um sistema linear quadrado AX = 0 tem somente a solução trivial então AX = B tem uma única solução para cada vetor coluna B com o numero de componentes apropriado (d) ( )Todo sistema linear com o mesmo número de equações que incógnitas tem uma única solução (e) ( )Todo sistema linear com o mesmo número de equações que incógnitas tem pelo menos uma solução (f) ( )Um sistema linear com mais equações que incógnitas pode ter uma infinidade de soluções (g) ( )Um sistema linear com menos equações que incógnitas pode não ter soluções 45 Dê um critério geométrico para que um conjunto de dois vetores distintos em IR 2 seja line-armente dependente 46 Dê um critério geométrico para que um conjunto de dois vetores distintos e não nulos em IR 3 seja linearmente independente 47 Dê uma descrição geométrica do subespaço de IR 3 gerado por um conjunto independente de dois vetores 48 Encontre uma base para os seguintes subespaços gerados (a) [( 3 1) (6 4)] em IR 2 (b) [( 3 1) (9 3)] em IR 2 (c) [( ) ( ) ( ) ( )] em IR 4 49 Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independentes (LI) (a) {x 2 1 x x 2x 3} em P 2 (b) {x x (x 1) 2 } em P 2 { ( ) ( ) (c) { ( ) ( (d) em M 2 3 (IR) ( ) ) ( ( Verifique quais das aplicações abaixo são lineares: (a)t : IR 2 IR 2 T (x y) = (x 2 y) (b)t : IR 2 IR 3 T (x y) = (x y 3x 2y) 8 ) } em M 2 2 (IR) ) ( ) ( ) }

9 (c)t : IR 3 IR T (x y z) = 3x + 2y z [ ] 2y 3x (d)t : IR 2 M 2 2 T (x y) = y x + 2y ([ ]) a b (e)t : M 2 2 IR 2 T = (a c b + c) c d ([ ]) [ ] a b a b (f)t : M 2 2 IR T = det c d c d (g)t : IR 3 IR 3 T (x y z) = (x cos(y) z) (h)t : P 2 P 3 T (ax 2 + bx + c) = ax 3 + bx 2 + cx ([ ]) a b (i)t : M 2 2 P 3 T = ax c d 3 + bx 2 + cx + d 51 Dada a transformação linear T : V W tal que T (u) = 3u e T (v) = u v calcular em função de u e v T (u + v) T (3v) e T (3u 5v) 52 Determine qual é o operador linear no IR 3 que satisfaz T (1 0 0) = (0 2 0) T (0 1 0) = (0 0 2) e T (0 0 1) = ( 1 0 3) Determine qual é o vetor v IR 3 tal que T (v) = (5 4 9) 53 Determine a transformação linear T : P 2 P 2 tal que T (1) = x T (x) = 1 x 2 e T (x 2 ) = x + 2x 2 54 Em IR 3 sejam α 1 = (1 0 1) α 2 = (0 1 2) e α 3 = ( 1 1 0) (a) Se f : IR 3 IR é uma transformação linear tal que f(α 1 ) = 1 f(α 2 ) = 1 e f(α 3 ) = 3 e se α = (a b c) determinar f(α) (b) Dar um exemplo de uma transformação linear g : IR 3 IR tal que g(α 1 ) = g(α 2 ) e g(α 3 ) 0 55 Seja T : IR 3 IR 2 a transformação linear definida por T (1 1 1) = (1 2) T (1 1 0) = (2 3) e T (1 0 0) = (3 4) (a) Determine T (x y z) (b) Determine v IR 3 tal que T (v) = ( 3 2) (c) Determine v IR 3 tal que T (v) = (0 0) 9

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