Lista de exercícios 4 Inversão de Matrizes

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1 Universidade Federal do Paraná 2 semestre 216. Algebra Linear Olivier Brahic Lista de exercícios 4 Inversão de Matrizes Exercício 1: quais das matrizes seguintes são elementares? Classifique cada matriz por tipo. ( ( 1 2 a b 3 c d Exercício 2: Encontre inversa de cada matriz no exercício 1. Para cada matriz elementar, verifique que sua inversa é elementar do mesmo tipo. Exercício 3: Para cada um dos pares de matrizes seguintes, ache uma matriz elementar E tal que EA B. ( 2 a A 5 3 ( 4 2 B 5 3 b A B c A B Exercício 4: Para cada um dos pares de matrizes seguintes, ache uma matriz elementar E tal que AE B. a A B Exercício 5: Seja A : ( 2 4 b A 1 6 ( 2 2 B c A B a Ache matrizes elementares E 1, E 2, E 3 de tipo III tais que E 3 E 2 E 1 A U, onde U é uma matriz triangular superior. b Determine as matrizes inversas de E 1, E 2, E 3 e faça L E é L? Verifique que A LU. 1 E 2 E 3. Que tipo de matriz 1

2 Exercício 6: Calcule a fatoração LU de cada uma das seguintes matrizes: ( ( a b c d Exercício 7: Seja A : Verifique que A para resolver Ax b para os seguintes escolhas de b: i b (1, 1, 1, ii b ( 2, 1,, iii b (1, 2, e use A Exercício 8: Ache a inversa de cada uma das seguintes matrizes: ( ( 1 3 a d 9 3 g ( e 1 1 b 1 3 h ( f 3 c Exercício 9: Para cada um dos seguintes sistemas de equações, encontre as matrizes associadas A, x e b, ache a inversa de A, e use-a para resolver o sistema. x 1 π 2x 1 x 2 4 x 1 + 2x 2 + 3x 3 a 5x 1 + x 2 2 b x 1 + 2x 2 x 3 2 c x 2 + 4x 3 2x 1 4x 2 + x 3 4. x 2 + 2x x 1 + 6x 2 1. Exercício 1: Dados A : ( e B : a achar uma matriz 2 2, X, tal que AX B. ( Calcule A e use-a para: b achar uma matriz 2 2, Y, tal que: Y A B. ( 5 2 Exercício 11: Sejam A : 3 3 matriz X M 2,2 (R tal que: ( 6 2, B : 2 4 C : ( Encontre uma a AX + B C b AX + B X c XA + B C d AX + C X Exercício 12: Seja A uma matriz 3 3 cujas colunas a 1, a 2, a 3 verificam 2a 1 + a 2 4a 3. Quantas soluções tem o sitema Ax? Explique. A é não singular? Explique. Exercício 13: Seja A uma matriz 3 3 cujas colunas a 1, a 2, a 3 verificam a 1 3a 2 2a 3. O sistema Ax tem uma única soluça o? A é não singular? Explique suas respostas. 2

3 Soluções Resolução do Exercício 1: ( 1 a A matriz é elementar, do tipo 1 (troca de linha/coluna, neste caso: A P 1,2 M (L1 L 2 M (C1 C 2. ( 2 b A matriz não é elementar. 3 c A matriz é elementar do tipo 3, neste caso: A M (L3 L 3 +5L 1 M (C1 C 1 +5C d A matriz 5 é elementar do tipo 2, neste caso: A M (L2 5L 2 M (C2 5C 2. Resolução do Exercício 2: a A matriz tem inversa: ( 1 ( 1 a qual tambem é elementar do tipo 1 tambem, i.e. troca de linha/coluna A P 2,1 M (L1 L 2 M (C1 C 2 A. b A matriz tem inversa: a qual tambem não é elementar. c A matriz tem inversa: ( , ( 1/2 1/3 5 1 a qual é elementar do tipo 3 tambem, neste case A M (L3 L 3 5L 1 M (C1 C 1 5C 3. d A matriz tem inversa: 5 1/5 a qual é elementar do tipo 2 tambem, neste caso A M (L2 L 2 /5 M (C2 C 2 /5. 3

4 Resolução do Exercício 3: a Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, multiplicando a primeira linha L 1 por 2L 1. Tal operação em linha coresponde a multiplicar A à esquerda pela matriz elementar: ( 2 E 1 Podemos verificar que, de fato, temos: ( ( 2 2 EA ( B. b Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, trocando as linhas L 2 e L 3. Tal operação em linha coresponde a multiplicar A à esquerda pela matriz elementar: E. Podemos verificar que, de fato, temos: EA B. c Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, adicionando a linhas L 3 por um multiplo 2L 2 de L 2. Tal operação em linha coresponde a multiplicar A à esquerda pela matriz elementar: E. 2 1 Podemos verificar que, de fato, temos: EA B. Resolução do Exercício 4: a Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, trocando a colunas C 1 com C 1. Tal operação em linha coresponde a multiplicar A à direita pela matriz elementar: 1 E Podemos verificar que, de fato, temos: AE B. 4

5 b Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, adicionando 3C 1 à coluna C 3. Tal operação em linha coresponde a multiplicar A à direita pela matriz elementar: ( 1 3 E. 1 Podemos verificar que, de fato, temos: ( ( AE 1 6 ( B. c Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, multiplicando a coluna C 1 por 1/2. Tal operação em linha coresponde a multiplicar A à direita pela matriz elementar: 1/2 E. Podemos verificar que, de fato, temos: AE B. Resolução do Exercício 5: a Basta efetuar tres operações em linhas de tipo III para passar de A a uma matriz triangular superior. A cada passo, obtemos uma matriz elementar E i (de tipo III. Neste caso: A : (L 1 (L 2 (L 3 passo 1 A : passo 2 A : passo 3 A : (L 1 L 1 (L 2 L 2 2L 1 (L 3 L 3 (L (L (L 1 L 1 2 L 2 3 L 3 3L 1 (L 1 L 1 2 (L 2 L (L 3 L 3 + L A cada passo, a nova matriz é obtida por operação em linhas, ou seja, por multiplicação à esquerda por uma matriz elementar, temos mais especificamente: A E 1 A, onde : E 1 : 2, A E 2 A, onde : E 2 :, 3 1 A E 3 A, onde : E 3 :

6 Concluemos que: U A E 3.A, O que pode ser verificado fazendo a conta: E 3.E 2.A, E 3.E 2.E 1.A. 3 1 b Calculemos as matrizes inversas das matrizes elementares acima: E 1 E 2 E 3 Efuetuando o cálculo, obtemos: L E1 E 2 E 3 2 Assim, temos que: ,,. 1 LU (E1.E 2.E 3 (E 3.E 2.E 1.A E1.E 2.E 3.E 3.E 2.E 1.A A. Verifiquemos que isto é correto, pelo cálculo: Resolução do Exercício 6: De maneira semalhante ao exercício precedente, calculemos que: Calcule a fatoração LU de cada uma das seguintes matrizes: ( 3 1 a A fatoração LU da matriz A é dada por: 9 5 A LU, onde L : ( 3 1 ( 3 1, e U : 2. 6

7 ( 2 4 b A fatoração LU da matriz A 2 1 A LU, onde L : c A fatoração LU da matriz A A LU, onde L : d A fatoração LU da matriz A é dada por: ( A LU, onde L : ( 2 4, e U : 5 é dada por:, e U : é dada por:, e U : Resolução do Exercício 7: Calculemos que: logo a inversa de A : é a matriz A, Usemos A para resolver Ax b para os seguintes escolhas de b: a matriz A sendo invertível, com inversa A, o sistema tem uma única solução x, dada por: i Temos: x A b ii Temos: x A b iii Temos: x A b Resolução do Exercício 8: Encontramos as inversas seguintes: ( ( 1 a

8 b c d e f g h ( ( ( ( ( 4 3 3/2 ( 1/3 1/ / /5 6/5 2/5 /5 /2 1/2 2 3/2 1 1/2 Resolução do Exercício 9: a O sistema: x 1 π 5x 1 + x 2 2 2x 1 4x 2 + x 3 4 é equivalente a A x b, onde as matrizes associadas são dadas por: π x 1 A 5, b 2, e x x x 3 A matriz A é invertivel, com inversa: A Logo o sistema tem uma única solução x, dada por x A b, isso é: x 1 π π x π + 2. x

9 b O sistema: 2x 1 x 2 4 x 1 + 2x 2 x 3 2 x 2 + 2x 3 4. é equivalente a A x b, onde as matrizes associadas são dadas por: 2 4 x 1 A 2, b 2, e x x x 3 A matriz A é invertível, com inversa: A /4 1/2 1/4 1/2 1 1/2 1/4 1/2 3/4 Logo o sistema tem uma única solução x, dada por x A b, isso é: x 1 3/4 1/2 1/4 4 6 x 2 1/2 1 1/ x 3 1/4 1/2 3/4 4 6 c O sistema: x 1 + 2x 2 + 3x 3 x 2 + 4x 3 5x 1 + 6x 2 1. é equivalente a A x b, onde as matrizes associadas são dadas por: x 1 A 1 4, b, e x x x 3... A matriz A é invertível, com inversa: A Logo o sistema tem uma única solução x, dada por x A b, isso é: x x x

10 Resolução do Exercício 1: Calculemos que ( A 3 1 : 5 2 ( Usemos A para encontrar as matrizes X, Y M 2,2 (R: a Temos: AX B A AX A B, Logo: X ( X A B, ( b Temos: Y A B Y AA BA, Logo: Y ( Resolução do Exercício 11: Y BA, ( ( 4 2 ( a A matriz A sendo invertível, com inversa: ( A ( 1/3 2/9 /3 5/9, podemos calcular que: AX + B C AX C B, A AX A (C B, X A (C B. Logo existe uma única matriz X satisfazendo a equação AX + B C, dada por: ( ( ( 1/3 2/ /9 1/9 X. /3 5/ /9 7/9 b A matriz A I 2 sendo invertível, com inversa: (A I 2 : podemos calcular que: (( ( 1 ( ( 1 3/2 2, AX + B X AX X B, (A I 2 X B (A I 2 (A I 2 X (A I 2 ( B, X (A I 2 B. Logo existe uma unica matriz X tal que AX + B X, dada por: ( ( ( X 3/

11 c A matriz A sendo invertível, com inversa: A : ( ( 1/3 2/9 /3 5/9, podemos calcular que: XA + B C XA C B, XAA (C BA, X (C BA. Logo existe uma única matriz X tal que XA + B C, dada por: (( ( ( ( /3 2/9 2/3 6/9 X /3 5/9 7/3 11/9. d A matriz A I 2 sendo invertível, com inversa: (A I 2 podemos calcular que: (( ( 1 ( ( 1 3/2 2, AX + C X AX X C, (A I 2 X C, (A I 2 (A I 2 X (A I 2 C, X (A I 2 C. Logo existe uma unica matriz X tal que QX + C X, dada por: ( ( ( X 3/ Resolução do Exercício 12: Se A é uma matriz 3 3 cujas colunas a 1, a 2, a 3 verificam 2a 1 + a 2 4a 3, é fàcil verificar que o sistema Ax tem solução x (2, 1, 4, pois: 2 2 A 1 a 1 a 2 a 3 1 2a 1 + a 2 4a É fácil verificar tambem que (2α, α, 4α é solução para qualquer α R, pois: 2 2α A 1 a 1 a 2 a 3 1α 2αa 1 + αa 2 4αa 3 α(2a 1 + a 2 α 4a α Logo o sistema tem uma infinidade de soluções. A matriz A não pode ser invertível, pois se for, o sistema teria uma única solução (que serià x (,,. Resolução do Exercício 13: Neste caso, as colunas de A satisfazem a equação: a 1 + 3a 2 2a 3. 11

12 De maneira semelhante ao exercício precedente, é fàcil verificar que o sistema Ax tem solução x (, 3, 2. É fácil verificar tambem que ( α, 3α, 2α é solução para qualquer α R. Logo o sistema tem uma infinidade de soluções. A matriz A não pode ser invertível, pois se for, o sitema teria uma única solução (que serià x (,,. Referências [1] Steven J. Leon, Álgebra Linear com aplicações, 8 a edição, LTC