Trabalhos e Exercícios 1 de Álgebra Linear

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1 Trabalhos e Exercícios de Álgebra Linear Fabio Iareke <fi07@fisica.ufpr.br> 30 de março de 0 Trabalhos. Mostre que se A tem uma linha nula, então AB tem uma linha nula.. Provar as propriedades abaixo: a) A + B = B + A b) A + (B + C) = (A + B) + C c) Há uma única matrix 0 m n tal que A + 0 = A d) Para cada matri A m n, há uma única matri D m n tal que A+D = 0 Multiplicação: a) A(BC) = (AB)C b) A(B + C) = AB + AC c) (A + B)C = AC + BC Boldrini. Página [ x. Seja A = x 0 ]. Se A T = A, então x = Se A é uma matri simétrica, então A A T = Se A é uma matri triangular superior, então A T é -. [ ] [ ] [ ] x y Ache x, y,, w se =. w Dadas A = 3, B =, C = mostre que AB = AC.. Explique por que, em geral, (A+B) A +AB+B e (A+B)(A B) A B. [ ] 3 4. Se A =, ache B, de modo que B 4 3 = A.

2 . Página 49. Resolva o sistema de equações, escrevendo as matries ampliadas, associadas aos novos sistemas. x y + 3 = 4x 3y + = 0 x + y + = 6 3x + y + = 4 3. Redua as matries à forma escada reduida por linhas. 3 a) Calcule o posto e a nulidade das matries da questão Determine k, para que o sistema admita solução. 4x + 3y = 5x 4y = 0 x y = k. 4. Resolva os sistemas seguintes achando as matries ampliadas linha reduidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matries dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. { x + y + = 4 x + 5y = 3 x + x + x 3 + x 4 = 0 x + x + x 3 x 4 = 4 x + x x 3 + x 4 = 4 x x + x 3 + x 4 = 9. Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m incógnitas aquele sistema cujos termos independentes, b i, são todos nulos. a) Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Qual é ela? b) Encontre os valores de k R, tais que o sistema homogêneo x 5y + = 0 x + y + = 0 x + k = 0 tenha uma solução distinta da solução trivial (x = 0, y = 0, = 0).

3 0. Considere o sistema { x + 6y 8 = x + 6y 4 = 0 Note que podemos escrevê-lo na forma matricial [ ] x [ ] 6 8 ( ) y = a) Verifique que a matri X = sistema. x y = 3 0 é uma solução para o b) Resolva o sistema e verifique que toda matri-solução é da forma X = x y = λ onde λ R. c) Verifique λ 4 = 4λ λ λ é a solução do sistema homogêneo, associado ao sistema ( ), [ ] x [ ] 6 8 ( ) y 0 = d) Conclua, dos itens a), b) e c), que o conjunto-solução do sistema é o conjunto-solução do sistema, somado a uma solução particular do sistema.. Dado o sistema x y w = 4 8 a) Encontre uma solução dele sem resolvê-lo. (Atribua valores para x, y, e w.) b) Agora, resolva efetivamente o sistema, isto é, encontre sua matrisolução. c) Resolva também o sistema homogêneo associado. d) Verifique que toda matri-solução obtida em b) é a soma de uma matrisolução encontrada em c) com a solução particular que você encontrou em a). 3

4 . Altamente motivado pelos Exercícios 0 e, mostre que toda matrisolução de um sistema linear AX = B é a soma de uma solução do sistema homogêneo associado AX = 0 com uma solução particular de AX = B. Sugestão: siga as etapas seguintes, usando somente propriedades de matries. i) Mostre que se X 0 é uma solução dos sistema AX = 0 e X é uma solução de AX = B, então X 0 + X é solução de AX = B. ii) Se X e X são soluções de AX = B, então X X é solução de AX = 0. iii) Use i) e ii) para chegar à conclusão desejada..3 Página 90. Dê o número de inversões das seguintes permutações de,, 3, 4, 5: a) b) c) d) No determinante de uma matri 5 5, que sinal (negativo ou positivo) precederia os termos a 3 a 5 a 34 a 4 a 5 e a 5 a 4 a 33 a 4 a 5? [ ] [ ] 3 4. Dadas as matries A = e B =, calcule 0 0 a) det A + det B b) det (A + B) 5. Sejam A e B matries to tipo n n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas. a) det (AB) = det (BA) b) det (A T ) = det A c) det (A) = det A d) det (A ) = (det A) e) det A ij < det A f) Se A é uma matri 3 3, então a + a + a 3 3 = a + a + a Dada A = calcule 3 4 a) A 3 b) A 3 c) 3 d) det A 4

5 8. Calcule det A, onde a) A = b) A = c) A = π i 3 i 3 i i 0 i i 0 9. Encontre A, onde a) A = c) A =.4 Página x x x. Mostre que a área do triângulo na figura é dada pelo determinante x y x y x 3 y 3 a a. a) Mostre que a a a 3 a = (a a )(a 3 a )(a 3 a ) 3 b) Se a, a,, a n são números, mostre por indução finita que V n =. a a n a a n. a n a n n = j x i ) i<j(x O símbolo à direita significa o produto de todos os termos x j x i com i < j e i, j inteiros variando de a n. Sugestão: Para efetuar facilmente a indução, multiplique cada coluna por x e subtraia o mesmo da coluna imediatamente à direita, partindo do lado esquerdo, obtendo, então: V n = (x n x ) (x x )V n. Tal determinante é chamado determinante de Vandermonde. 5

6 3 Leon 3. Página 0 3. Cada uma das matries aumentadas a seguir está em forma escada reduida por linhas. Para cada uma delas, encontre o conjunto solução do sistema linear correspondente. 0 0 a) b) c) ( ) 0 5 d) e) f) Página 7. Considere um sistema linear cuja matri aumentada é da forma β 0 a) O sistema pode ser incompatível? Explique. b) Para que valores de β o sistema tem infinitas soluções? 8. Considere um sistema linear cuja matri aumentada tem a forma a b a) Para que valores de a e b o sistema tem uma infinidade de soluções? b) Para que valores de a e b o sistema é impossível? 6

7 3.3 Página 36. Se calcule: a) A b) A + B c) A 3B A = d) (A) T (3B) T e) AB f) BA g) A T B T h) (BA) T 3.4 Página 36(37) e B = Prove que a associatividade para a multiplicação de matries, isto é, considere ( a a A = a a e mostre que ) ( b b, B = b b ) ( c c, C = c c ) (AB)C = A(BC) 3. Encontre matries A e B diferentes da matri nula para as quais AB = Encontre matries não-nulas A, B, C tais que AC = BC e A B 3.5 Página Seja a) Verifique que A = A = b) Use A para resolver Ax = b para as seguintes escolhas de b: 7

8 i) b = (,, ) T ii) b = (,, 3) T iii) b = (,, 0) T 8. Encontre a inversa de cada uma das matries a seguir. ( ) a) g) Página 66. Use determinantes para verificar, para cada uma das matries a seguir, se a matri é ou não invertível. ( ) 3 5 a) 4 ( ) 3 6 b) 4 ( ) 3 6 c) 4 3. Calcule cada um dos determinantes a seguir: a) Calcule o determinante a seguir, escrevendo sua resposta como um polinômio em x. a x b c x 0 0 x 6. Encontre todos os valores de λ para os quais o determinante a seguir é igual a 0. λ λ 3.7 Página 77. Para cada uma das matries a seguir, calcule (i) det(a), (ii) adj A e (iii) A. ( ) a) A = 3 3 c) A = 8

9 Referências [] Boldrini, José Lui / Sueli I. Rodrigues Costa, Vera Lúcia Figueiredo e Henry G. Wetler, Álgebra Linear. 3a Edição YYYY Editora EEEE CIDADE [] Leon, Álgebra Linear com Aplicações. 4a Edição 998 Editora Prentice Hall CIDADE 9