Álgebra Linear - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho

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1 Álgebra Linear - a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho - Considere as matrizes abaixo e faça o que se pede: M N O 7 P Q R 8 4 T S a b a Determine quais destas matrizes são simétricas. E antisimétricas? b Ache a transposta de N e de T ; c Calcule P + Q; d Calcule os produtos N M, P Q, T N e N T ; e Uma potência da matriz M é um produto da forma M M... M. Calcule as seguintes potências: M, M e M 4. f Uma matriz quadrada A é dita ortogonal se sua transposta é igual a sua inversa, isto é, se A A t I, onde I é a matriz identidade. Quais das matrizes acima são ortogonais? Determine para quais valores de a e b a matriz S é ortogonal. g Calcule a inversa, quando existir, das matrizes R, P e O. h Calcule 4O R + P. - a Seja A uma matriz inversível de ordem n n. Mostre que para qualquer matriz B de ordem n m existe uma matriz X de ordem n m tal que A X B. b Ache X tal que R X N, onde R e N são como no exercício. c Seja A uma matriz inversível de ordem n n. Mostre que para qualquer matriz B de ordem m n existe uma matriz X de ordem m n tal que X A B. d Ache X tal que X R T, onde R e T são como no exercício. - Calcule o determinante das matrizes abaixo e decida quais são inversíveis. M P U V Ache uma forma escalonada para cada matriz abaixo. Lembre que a forma escalonada não é única, então você pode obter uma resposta diferente do gabarito! N T P 7 8 4

2 W 8 Z Ache o conjunto-solução dos sistemas lineares abaixo e classifique-os com respeito à existência { e número de soluções. x + y a x + y 7 x +y +w b x +y +z +w z +w c d e f x y +z 4 x +y z x +z 5 x +y z 4x y +z x y x +y z 4 y +z +w +v x +y +7w +v x y +z +v x +y +z 7w +v y +4z +w v x + y + z x + 4y + z + w y + z + w x + y w - Considere as matrizes: A 4 B D 4 E C F 4

3 a Usando operações elementares, calcule o determinante das matrizes acima. b Determine quais das matrizes acima são inversíveis e, neste caso, encontre sua matriz inversa. 7 - O sistema linear dado em forma matricial por D X é possível? Caso afirmativo, ele é determinado ou indeterminado? Justifique. 8 - Resolva os sistemas lineares abaixo colocando-os na forma matricial e usando inversão de matrizes. { Nos itens c e d, use informações da questão a. x + y a x + 4y 7 { 4x + y 5 b x + 5y x +y +z c y +z 4 x +y +4z d 4y +w x y +w y +z +w y +z 9 - Seja A uma matriz quadrada de ordem n n. Sabendo que uma matriz que tem uma linha inteiramente nula não é inversível verifique, usando as operações elementares, que: a Se a linha L i é um múltiplo da linha L j de A, então A não é inversível; b Se a linha L i é soma das linhas L j e L k de A, então A não é inversível. c O mesmo ocorre com as colunas? Isto é, se uma matriz A tem uma coluna que é um múltiplo de outra ou igual a soma de duas outras, então A é não inversível?

4 Gabarito: - a As matrizes O e S são simétricas. A matriz S é antisimétrica se a b. b N t e T t. 7 c P + Q. 8 d N M e P Q 5 7 T N 4 4 e N T 4 7 e M e M e M 4 4 f O é ortogonal já que o produto O O t é a matriz identidade. Note que O t O. a Além disso, S é ortogonal se a ± e b ±, já que S S t b. g R / / P não é inversível pois detp e O O h Como O R R O e ambas estas inversas já foram calculadas, temos 4O R + P a Se A é inversível então existe A tal que AA A A I, a matriz identidade. Logo temos AX B A AX A B X A B e como A tem ordem n n e B tem ordem n m então X tem ordem n m. b Pelo item a, temos que X R N. Logo X 5/ / 7/ 7 / / 7/ c Se A é inversível então existe A tal que AA A A I, a matriz identidade. Logo temos XA B XAA BA X BA 4

5 e como A tem ordem n n e B tem ordem m n então X tem ordem m n. d Pelo item c, temos que X T R. Logo X - detm, detp, detu, detv 8. Assim, M, U e V são inversíveis Fazendo L L e L L + L temos N ; 7 4 Fazendo L L e L L L e L L L temos T ; Fazendo L L 4L temos P Fazendo L L e L L L e L L e L L L temos 8 W 8 ; Fazendo L L e L L + L e L 4 L 4 + L e L L L e L 4 L 4 L e L 5 L 5 L e L L 4 e L 4 L 4 + L e L 5 L 5 L e L 4 L 4 5 e L 5 L 5 + 4L 4 7 temos Z. 5- a O conjunto-solução é { {, } e o sistema é possível e determinado. b O conjunto-solução é t, t, 4, t R} e o sistema é possível e indeterminado. c O conjunto-solução é vazio e o sistema é impossível. d O conjunto-solução é {,, 7} e o sistema é possível e determinado. 4t e O conjunto-solução é, t, t,, t R} e o sistema é possível e indeterminado. { s + t f O conjunto-solução é, s t }, s, t s, t R e o sistema é possível e indeterminado. 5 ;

6 - a deta, detb, detc, detd, dete 8, detf. b Apenas as matrizes B, C e E são inversíveis, com inversas 7/ / / B / / / 7 / / C E 5/ 7/ 7/9 / / /9 / / /9 / / / Como o sistema é homogêneo, ele possui ao menos a solução trivial x y z w. Mais ainda, como a matriz D não é inversível, temos que o sistema tem na verdade um número infinito de soluções. Assim o sistema é possível e indeterminado. 8- a Como a matriz M é inversível com inversa M 4 então temos X M. Assim x e y. 7 4 b Como a matriz M é inversível com inversa M 5 5 então temos X M 8. Assim x 8 e y c Como a matriz B é inversível com inversa B 4 então temos X B E d Como a matriz E 4 5/ 7/ 7/9 / / /9 / / /9 / / /9 x, y, z e w. 4. Assim x, y e z. é inversível com inversa, então temos X E 4 5 4,, 7/ / / / / / / /. Assim,

7 9- a Suponha que L i é igual a k L j para algum k R. Fazendo a operação elementar L i L i k L j, obteremos uma linha nula, e portanto A não será inversível. b Fazendo as operações L i L i L j e L i L i L k, obtemos uma linha nula e portanto A não é inversível. c Sim. Se A é desta forma então sua transposta A T é como em a ou como em b e portanto A T não é inversível. Então A T tem determinante nulo. Ora, o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da própria matriz, mostrando que A também tem determinante nulo. Portanto A não é inversível. 7