3 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão e B =

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1 3 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão (a) Ache os auto-valores e auto-vetores de A = e B = (b) Mostre que λ + λ 2 + λ 3 é igual ao traço e λ λ 2 λ 3 é igual ao determinante das matrizes. (c) Construa matrizes 2 2 tais que os autovalores de AB (resp. A + B) não são produto (resp. soma) dos autovalores de A e B (d) Verifique no entanto que a soma dos autovalores de A + B é igual a soma dos autovalores de A e B, e de maneira similar para o produto. Por quê? 2. Ache o posto e os autovalores das matrizes abaixo: A = e B = Quais autovetors correspondem a autovalores diferente de zero? 3. Ache a terceira coluna da matriz A = de modo que det(a λi) = λ 3 + 4λ 2 + 5λ (a) Se A 2 = I, quais são os possíveis autovalores de A? (b) Se além da equação acima, a matriz A for 2 2 e diferente de I, I, ache seu traço. (c) Ainda no contexto do item anterior, se a primeira linha for (3, ) qual a segunda linha? 5. Se A tem como único autoespaço a reta gerada por (, 0, 0), julgue como verdadeiro ou falso os seguintes itens. (a) A não é invertível. (b) A tem um autovalor com multiplicidade > (c) A não é diagonalizável

2 6. Dizemos que uma matriz A é de Markov, ou markoviana, se seus coeficientes são não-negativos e a soma dos coeficientes em cada coluna é igual a. Se A é uma matriz markoviana e x um vetor, mostre que a soma dos componentes de Ax é igual a soma dos componentes de x. Deduza daí que se Ax = λx, com λ então a soma dos componentes de x é zero. 7. Suponha que existe uma epidemia que em todo mês (k + ) deixa doente (d) metade das pessoas sadias (s), e que mata (m) metade das doentes. Ache a distribuição invariante π da matriz markoviana que rege o processo: m k+ d k+ s k+ = (A distribuição invariante π de uma matriz markoviana A = [a ij ] n n é o autovetor (linha) que satisfaz π j = n i= a ijπ i, ou em notação matricial π = πa.) 8. Mostre que T f(x) = x 0 f(t) dt não tem autovetores em C0 (R), enquanto T f(x) = df/dx agindo em C (R) tem as funções constantes como autovetores. 9. Se A tem 0,, 2, quais são os autovalores de A(A I)(A 2I) 0. O Teorema de Cayley-Hamilton afirma que todo operador é um zero de seu polinômio característico. Prove o teorema no caso 2 2 por substituição direta.. Existe alguma matriz A tal que A + zi é invertível para todo z C? Encontre uma matriz com A + ri invertível para todo r R. 2. Mostre que a matriz A = ( não possui raiz quadrada, enquanto ( ) 4 B = 0 4 possui. 3. No espaço vetorial P n+ dos polinômios de grau n +, ache um vetor ortogonal ao espaço gerado, t,..., t n. Lembre-se do produto interno (x, y) = x(t)y(t) dt 0 4. (a) Dois vetores x e y num espaço vetorial real com produto interno são ortogonais se, e somente se, x + y 2 = x 2 + y 2 (b) Mostre que o item (a) é falso se trocarmos real por complexo. (c) Dois vetores x e y num espaço vetorial complexo com produto interno são ortogonais se, e somente se, αx+βy 2 = αx 2 + βy 2, α, β C ) m k d k s k 2

3 5. (a) Se {x, y} é um conjunto ortonormal, qual a distância entre x e y? (b) Se x, y = x y, então x e y são linearmente dependentes. 6. (a) Prove que uma condição necessária e suficiente para que uma norma. num espaço vetorial real venha de um produto interno (i.e x, x 2 = x, x ) é que para todo x, y. x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ) (b) Qual a condição para o caso complexo? (c) Prove que no caso de R 2, o conjunto (ou locus) de pontos satisfazendo x = ser um elipse também é uma condição necessária e suficiente. 7. Se M e N são subespaços de um espaço vetorial com produto interno, então prove que (M + N) = M N e (M N) = M + N 8. Seja V espaço vetorial. Defina N(A) = tr(a A) no espaço L(V ) de operadores lineares de V. (a) Mostre que N é uma norma. (b) Essa norma vem de algum produto interno? 9. Dê um exemplo de duas transformações auto-adjuntas cujo produto não é auto-adunto. 20. Se A e B são transformações lineares tais que A e AB são auto-adjuntas e tais que ker(a) ker(b), então existe uma transformação C tal que CA = B. 2. Seja A uma transformação anti-simétrica. Prove que Ax, x = 0 para todo vetor x. Há uma recíproca? 22. Considere o espaço P n dos polinômios de grau n com o produto interno usual. (a) A transformação (T (p))(x) = x(p(x)) é auto-adjunta? (b) O operador de diferenciação D é auto-adjunto? 23. Para quais valores de α a matriz é positiva? A = Seja A = ( 3 ) e seja N o núcleo de A. a) Se A é auto-adjunta, então tra é real. 3

4 b) Se A é positiva, então tra 0. (c) Dê um exemplo duma matriz positiva com todas as suas entradas negativas. 25. Uma conjugação J num espaço vetorial complexo com produto interno é uma transformação (não supostamente linear) satisafazendo J 2 = I e Jx, Jy = x, y para todo x, y. (a) Dê um exemplo de conjugação (b) Prove que Jx, y = Jy, x (c) Prove que J(x + y) = Jx + Jy (d) Prove que J(αx) = αjx 26. Uma transformação A é dita real com respeito a uma conjugação J se AJ = JA (a) Dê um exemplo de um transformação hermitiana que não é real e de uma transformação real que não é hermitiana. (b) Se A é real, então o espectro de A é simétrico com relação à reta real em C (c) Se A é real, então A também o é. 27. Dê um exemplo de uma transformação normal que não é nem hermitiana nem unitária. 28. Se A é uma transformação linear arbitrária num espaço vetorial complexo com produto interno, e se α e β são números complexos tais que α = β =, então αa + βa é normal. 29. (a) Se A é normal e idempotente (i.e. A 2 = A), então é auto-adjunta. (b) Se A é normal e nilpotente (i.e. k N tal que A k = 0), então A é o operador nulo. (c) Se A é normal e A 3 = A 2, então A é idempotente. A conclusão é a mesma se tirarmos a hipótese de normalidade? (d) Se A é auto-adjunta e se A k = I para algum k inteiro estritamente positivo, então A 2 = I 30. Sejam A, B operadores normais. Supondo AB = 0 prove: (a) A imagem de B está contida no núcleo de A; (b) A imagem de B está contida no núcleo de A ; (c) A imagem de A está contida no núcleo de B. Conclua que BA = 0 3. Se A B e se C é uma transformação positiva que comuta com A e B, então AC BC 32. (a) Dê um exemplo de uma transformação linear A que não possui raiz quadrada. 4

5 (b) Prove que toda transformação hermitiana num espaço vetorial complexo com produto interno tem raiz quadrada. (c) Vale o mesmo em espaços reais para transformações auto-adjuntas? 33. Se A e B são transformações lineares num espaço vetorial com produto interno e se 0 A B, então det A det B. (Dica: a conclusão é trivial se det B = 0. Se det B 0, então B é invertível.) 34. Se uma transformação linear A num espaço vetorial com produto interno é estritamente positiva e se A B, então B A. 35. Se 0 A B, então A B. (Dica: calcule ( B + A + ɛ)( B A + ɛ) e prove que o segundo fator é invertível ɛ > 0) 36. Prove que os operadores auto-adjuntos A, B são iguais se, e somente se, Av, v = Bv, v para todo v. Use este fato para mostrar que se A é normal se, e somente se, Av = A v para todo v. 37. Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Se A é uma transformação linear normal de V com n autovalores distintos, mostre que A é auto-adjunta. 38. Prove que uma projeção P é normal se, e somente se, P = P. 39. Seja A é um operador normal, prove que ker(a) = ker(a ). Conclua que ker(a) = Im(A ) = Im(A ) 40. Entre as matrizes abaixo, determine quais são normais A = B = C = Se A, B são operadores normais e AB = BA prove que AB é normal. 42. Seja A um operador normal. Se Au = λu e Av = µv com λ µ, prove que u, v = Se um subespaço F E é invariante pelo operador normal A, prove que F também é invariante por A e que F é ainda invariante por A e por A. 44. Seja A : R 3 R 3 o operador definido por A(x, y, z) = (x + 2y + 3z, y + 2z, 3z). Obtenha dois autovetores linearmente independentes para A e prove que qualquer outro autovetor de A é múltiplo de um desses dois. Conclua que A não é diagonalizável, embora sua matriz seja triangular. 45. Considere o operador B : R 3 R 3 dado por B(x, y, z) = (x + 2z, y + 3z, 4z). Ache uma base de R 3 formada por autovetores de B. 5

6 46. Sejam E um espaço vetorial n e U = {u,..., u n } E uma base. Para cada sequência crescente J = {j < j 2 < < j r } de r inteiros de até n, escolha um número a J. Prove que existe uma única forma r-linear alternada f : E E R tal que f(u j, u j2,..., u jr ) = a J para toda sequência J = {j < j 2 < < j r }. Conclua que ( o espaço ) das r-formas n lineares alternadas A r (E) tem dimensão igual a r 47. Dados os funcionais lineares f,..., f r : E R, defina a forma r-linear alternada f = f f r : E E R pondo f(v,..., v r ) = det(f i (v i )). Prove que f = f f r 0 se, e somente se, f,..., f r são linearmente independentes. Prove também que se {f,... f r } E é uma base, então f J = f j,..., f jr, para todo J = {j < j 2 < < j r } constituem uma base para A r (E). 48. Chama-se gramiano dos vetores v, v 2,..., v k R k ao número γ(v,..., v k ) = det( v i, v j ) determinante da matriz de Gram g(v,..., v k ). Prove (a) γ(v,..., v k ) > 0 se, e somente se, os vetores v,..., v k são linearmente independentes. (b) Se v é perpendicular a v 2,..., v k então γ(v,..., v k ) = v 2 γ(v 2,..., v k ). 49. Calcule o determinante da matriz C = a a 23 a 24 0 a 32 a 33 a 34 a 4 a 42 a 43 a 44 e generalize o resultado para uma matriz [a ij ] M(n n) na qual a ij = 0 quando i + j n. 50. Defina produto vetorial de n vetores v, v 2,..., v n R n+ como o vetor v = v v n tal que para todo w R n+, tem-se w, v = det[v,..., v n, w]= determinante da matriz cujas colunas são os vetores v,..., v n, w nessa ordem. Prove: (a) O vetor v está bem-definido e é uma função n-linear alternada dos vetores v,..., v n. (b) Seja a = [v,..., v n ]. Para cada i =,..., n +, seja a i M(n n) a matriz obtida de a pela omissão da i-ésima. Prove que a i-ésima coordenada do vetor v é igual a ( ) n+i+ det a i. (c) O produto vetorial v = v v n é ortogonal a v,..., v n. (d) Tem-se v = v v n = 0 se, e somente se, v,..., v n são linearmente dependentes. (e) Quando os vetores v,..., v n são linearmente independentes, tem-se det[v,..., v n, v v n ] > 0 6

7 5. Escalonando a matriz de Vandermonde... x x 2... x n v = x 2 x x 2 n.... x n x n 2... x n n mostre que seu determinante é igual a (x i x j ). i>j Logo v é invertível se, e somente se, os números x,..., x n são dois a dois distintos. Como aplicação, mostre que, dados n + pares de números (x 0, y 0 ),..., (x n, y n ), onde x 0 < x < < x n existe um, e somente um, polinômio p de grau n tal que p(x i ) = y i para todo i = 0,..., n 52. Verdadeiro ou Falso. Os operadores Ae A tem os mesmos autovetores Sejam a a matriz do operador A : R n R n na base canônica e p uma matriz cujas colunas são autovetores l.i. de A. Então p ap é diagonal. Se λ é autovalor do operador invertível A então λ é autovalor de A. O polinômio característico do operador A+B é a soma dos polinômios característicos de A e B. Se v é um autovetor comum aos operadores A e B então v é um autovetor de A + B e de BA. Duas matrizes triangulares semelhantes são iguais. 53. Determine o polinômio mínimo dos seguintes operadores: (a) O operador zero. (b) O operador αi, com α 0. (c) Uma projeção. (d) Uma involução. (e) O operador de derivação D : P n P n (f) O operador A(x, y) = (x + 2y, 2x + y). (g) Qualquer operador A : R 2 R 2. Em todos os casos, compare com o polinômio característico. 54. Prove que um operador é invertível se, e somente se, o termo constante de seu polinômio mínimo é Seja A : E E um operador num espaço vetorial de dimensão n. Prove: se A k = 0 para algum k > n então A n = 0. 7

8 56. Prove que um operador é nilpotente se, e somente se, todos os seus autovalores são iguais a zero. 57. Sejam E um espaço vetorial complexo e λ,..., λ n os autovalores do operador A (repetidos de acordo com suas multiplicidades algébricas). Dado um polinômio qualquer p(λ), prove que os autovalores do operador p(a) são os números p(λ ),..., p(λ n ). 58. Prove que as seguintes afirmações acerca dos operadores lineares A, B : E E são equivalentes: (a) p A (B) é invertível. (onde p A é o polinômio característico de A.) (b) A e B não têm autovalores em comum. (c) p B (A)é invertível. (d) Se m A e m B são os polinômios mínimos de A e B então m A (B) e m B (A) são invertíveis. [Sugestão: use o exercício anterior.] 8