ADVERTÊNCIA: os exercícios listados abaixo são para diversão pessoal do autor; nada substitui a resolução de problemas das referências.

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1 ADVERTÊNCIA: os exercícios listados abaixo são para diversão pessoal do autor; nada substitui a resolução de problemas das referências. (Atualizada em 7 de maio de Seja G um grupo e seja GxC C uma ação. Mostre que as órbitas são duas a duas disjuntas. Define-se o estabilizador de cada elemento c C como G c =x G xc=c. Mostre que G c é um subgrupo de G, i.e., e G c ; xy G c para todo x,y G c. Mostre que, se c,c estão na mesma órbita, então os estabilizadores G c e G c são conjugados: existe z G tal que G c ={zxz 1 x G c }. 2. Seja G=GL n o grupo das matrizes invertíveis e seja M n o espaço das matrizes nxn. Mostre que (x,y yx t (com x G, y M n define uma ação. Suponha n=2 e descreva todas as órbitas. Idem para (x,y yx Lista completa das matrizes mxn na forma escada para m=1,2; n=1,2,3. Qantos tipos existem para cada m,n? 4. Lista competa das matrizes elementares 3x3. Mostre que toda matriz elementar do tipo troca de linha pode ser escrita como produto de matrizes dos outros dois tipos. 5. Verdade ou falso: se efetuarmos na matriz identidade uma operação elementar sobre suas colunas, resulta uma matriz elementar (com respeito a operações - linhas. 6. Uma matriz diagonal é invertível se e só se nenhum elemento da diagonal é zero. Idem para matriz triangular. 7. Dizemos que uma matriz A é nilpotente se alguma potência A m =0. Se A é nilpotente, seu índice de nilpotência é o menor expoente que anula. Dê exemplos de matrizes de índices arbitrários. Ache um par de matrizes nilpotentes A,B que são l.i. tais que AB=BA. 8. Mostre que se A é nilpotente então I+A é invertível. 9. A interseção de subespaços é um subespaço. Se W e W são subespaços de V, mostra-se que a união W W só é um subespaço quando W W ou W W. 10. Mostre que se S é um subconjunto de um espaço vetorial e <S> denota o subespaço gerado por S então vale <<S>> = <S>. 11. Seja S um conjunto e K um corpo. Seja K S = f:s K, o conjunto das funções com domínio S e contradomínio K. Dadas f,g K S, definimos a soma f+g pondo (f+g(s=f(s+g(s para cada s S. Define-se multiplicação cf, c K de forma análoga. Mostre que K S é um espaço vetorial. Defina, para cada s S, a função característica χ :S K fazendo χ(s=1, χ(t=0 t s. Mostre que o subconjunto C de K S formado pelas funções características é l.i. Mostre que C é uma base de K S se e só se S é finito. 1

2 2 12. Mostre que todo subconjunto de um conjunto l.i. de vetores é l.i Mostre que, se A,B são matrizes nxn não nulas tais que A é simétrica e B é anti-simétrica, então {A,B} é l.i Seja A uma matriz nilpotente tal que A m =0 A m 1. Prove que I,A,...,A m 1 são l.i Mostre que se V é um e.v. com dimv=n então (1 todo conjunto de geradores com n elementos é uma base; (2 todo conjunto l.i. com n elementos é uma base. (3 Se B=v 1,..,v n é uma base e w 1,..,w m são l.i., então (m n e a menos de reordenação dos v i s, o conjunto w 1,..,w m,v m+1,..,v n é uma base. Em outras palavras, é sempre possível substituir m elementos adequados de uma base por quaisquer outros m vetores l.i. Em particular, todo subconjunto l.i. se estende a uma base. 16. Se W é subespaço de V então dimw dimv, valendo igualdade se e só se W=V. 17. Mostre que o subconjunto S(n do espaço das matrizes quadradas, M(n,n, formado pelas matrizes simétricas é um subespaço e calcule a sua dimensão. Idem apara as antissimétricas. Idem para as de traço nulo. Idem para as simétricas de traço nulo. Idem para as triangulares. 18. Sejam V 1,V 2 subespaços de V. Seja W= V 1 V 2 o subespaço gerado pela união. Mostre que W={v 1 +v 2 v i V i }; dizemos que V 1 V 2 é a soma dos subespaços, e escrevemos V 1 + V 2. Prove que dim(v1 + V2 = dim(v 1 + dim(v 2 dim(v 12, onde V 12 = interseção dos dois subespaços V 1, V Considere os subespaçosv 1,V 2,V 3 gerados respectivamente por (1,0, (0,1 e (1,1. Mostre que satisfazem as seguintes propriedades: (a V i +V j é uma soma direta para todo i j. (bv 1 +V 2 +V 3 não é soma direta. 20. Considere os subespaços seguintes do espaço M(n,n de matrizes T su =triangulares superiores, T sue =triangulares superiores estritas, T in =triangulares inferiores, T ine =triangulares inferiores estritas, D=diagonais. Mostre que M(n,n=T su +T in não é soma direta. Mostre que M(n,n=T sue T ine D. Calcule as dimensões de cada um desses subespaços. 21. Mostre a implicação (c (a na Prop. sobre somas diretas. 22. Considere, no espaço das matrizes reais 2x2, o subconjunto S de todas matrizes (a ij tais que a 11 =1,a 12 =t,a 21 =t 2,a 22 =1+t+t 2 para algum t real. Calcule a dimensão do subespaço gerado por S. (Note

3 que S contém um número infinito de elementos. Mesma questão, agora com matrizes da forma a 11 =1, a 12 =t, a 21 =t 2, a 22 =t Seja S=S 1 S 2 união disjunta de dois subconjuntos. Seja (K S 1 a coleção das funções f:s K tais que f(s=0 s fora de S 1. Mostre que se trata de um subespaço de K S. Idem para (K S 2. Conclua que K S= (K S 1 (K S Mostre que se T 1 :V 1 V 2 e T 2 :V 2 V 3 são lineares, então a composta T 2 T 1 :V 1 V 3 também é linear. Mostre que se T 2 T 1 é injetiva, então T 1 é injetiva, mas dê exemplo em que T 2 pode não ser injetiva. Encontre um enunciado análogo trocando inj por bij e/ou sobrej. 25. Seja A uma matriz mxm. Seja T:M(m,n M(m,n a aplicação definida por multiplicação à esquerda por A, ou seja, T(X = AX, X M(m, n. Prove que T é injetiva se e só se a matriz A é invertível. 26. Sejam V 1, V 2 espaços vetoriais. Mostre que o produto cartesiano V 1 x V 2 é naturalmente um espaço vetorial com as operações definidas coordenada a coordenada: (u 1, u 2 + (v 1, v 2 = (u 1 + v 1, u 2 + v 2 e c(v 1, v 2 = (cv 1, cv 2. Mostre que dim(v 1 x V 2 =dim(v 1 + dim(v Suponha que, no exercício anterior V 1, V 2 são ambos subespaços de um espaço V. Mostre que a aplicação T: V 1 x V 2 V definida por T(v1,v2=v1 v2 é linear e que sua imagem coincide com o subespaço V 1 + V 2 definido no exerc. (18. Seja V 12 a interseção de V 1, V 2. Mostre que a aplicação V 12 V 1 x V 2 definida por v (v,v induz um isomorfismo de V 12 no núcleo N(T. Mostre que a fórmula para dim(v 1 + V 2 dada no referido exerc. segue do TNI. 28. Sejam T i : V i V i+1 (i=0,...,m 2 transformações lineares de espaços de dimensão finita. Suponha o 1 o e o último espaços, V 0 = V m = {0} e Im(T i =N(T i+1 i. Mostre que T 1 é injetiva, T m 1 é sobrejetiva e que (-1 i dim(v i =0. Diz-se nessa situação que 0 V 1 V 2... V m 2 V m 1 0 é uma seqüência exata de transformações lineares. A soma alternada é muitas vezes chamada de característica de Euler. O exercício seguinte explora essa relação. 29. Seja V 0 o espaço vetorial de dimensão 3 com base {v 1,v 2,v 3 }. Imagine de fato V 0 como o espaço gerado por símbolos que representam os vértices de um triângulo. Seja agora V 1 o espaço vetorial de dimensão 3 com base {v 12,v 23,v 13 }, imaginados como símbolos que representam os lados do triângulo. Por fim, seja V 2 o espaço vetorial de dimensão 1 com base {v 123 }, que imaginamos representar o interior do triângulo. Definem-se transformações de bordo, d 2 :V 2 V 1, d 1 :V 1 V 0, d 0 :V 0 K, fazendo d 2 (v 123 = v 23 -v 13 +v 12 ; d 1 (v ij = v j -v i para cada i,j ; d 0 (v i = 1para cada i. Mostre que d 1 d 2 = 0, d 0 d 1 = 0, d 2 é injetiva, imagem(d 2 = núcleo(d 1, imagem(d 1 3

4 4 = núcleo(d 0. Repita a construção para um tetraedro com vértices (1(2(3(4, arestas (12(13(14(23(24(34, faces (123 (234 (134 e (124; defina os operadores de bordo d 3 (1234=(234-(134+(124- (123, d 2 (123=(23-(13+(12,..., d 1 (12=(2-(1, etc, e calcule os vários núcleos e imagens. Conclua alguma coisa Seja P k = {g em K[x] grau(g k} o espaço dos polinômios de grau no máximo k a coeficientes no corpo K. Sejam A,B polinômios de graus d-1, d. Considere a aplicação m : P d+1 P d 2 P 2d definida por m(p, q = A p B q. Mostre que m é um isomorfismo se e só se mdc(a,b= Seja V o espaço das matrizes reais 2x2 e seja A=( Seja T o operador em V definido por T(X=AX-XA, X V. Ache uma base para o núcleo e uma base para a imagem. 32. Mostre que se A=( a b a b é uma matriz real simétrica com b 0 então o polinômio característico p A (x tem duas raízes distintas. Conclua que toda matriz real simétrica é diagonalizável. 33. Ache os autovalores da matriz A=( 2i onde i= 1 é a unidade imaginária. A é diagonalizável? 34. Dê exemplos de matrizes não diagonalizáveis com todos os autovalores nulos. 35. Ache uma matriz A, nxn, não diagonal, tal que existem vetores X 1,...,X n não nulos tais que AX 1 =2X1, AX 2 = 2 2 X 2,..., AX n =2 n X n. 36. Seja V o espaço vetorial dos polinômios reais de grau 2 na variável t. Seja D operador derivação, Df=df/dt. Ache o polinômio característico de D. Quais são os autovetores de D? 37. Seja V=R 3. Fixe um vetor não nulo w e seja T o operador definido por produto vetorial por w, Tv=wxv. Ache todos os autovalores e respectivos autovetores. 38. Seja V o espaço vetorial das funções reais de uma variável x que admitem derivadas de todas as ordens. Seja D o operador derivação. Quais são os autovalores de D? Respectivos autovetores? Dimensão de V? 39. Seja V um espaço vetorial real de dimensão ímpar. Mostre que todo operador linear em V admite um autovalor real. 40. Seja A uma matriz real 3x3. Suponha A ortogonal, i.e., AA t = I. Seja X um vetor-coluna (real não nulo tal que AX=cX para algum c real. Mostre que c é não nulo. Seja Y vetor coluna tal que X t Y=0. Mostre que X t (AY=0. Interprete geometricamente. 41. Mostre que que se a matriz de um operador for simétrica com respeito a alguma base ortonormal, o mesmo ocorrerá com respeito a qualquer outra base ortonormal. Idem para operador ortogonal.

5 42. Mostre que toda matriz real ortogonal 2x2 é de um dos dois tipos seguintes: R a = ( cosa sena cosa sena sena cosa ou S a = ( sena cosa. Verifique que R a representa uma rotação anti-horária de ângulo a, enquanto S a representa uma simetria com respeito a uma certa reta (qual? passando pela origem. 43. Ache uma base ortonormal de autovetores para a matriz ( Mostre que a matriz ( 9 3 não é diagonalizável. 45. Seja T um operador em um e.v. V. Dizemos que um subespaço W de V é T-invariante se TW W. Mostre que todo subespaço gerado por autovetores de T é T-invariante. Suponha V=R 3 e defina T(x,y,z=(0, z, -y. Mostre que os únicos subespaços invariantes são {0} e R Suponha T um operador simétrico. Mostre que todo subespaço invariante é gerado por autovetores de T; se W é um subespaço invariante, então seu complemento ortogonal W também é. 47. Seja T um operador em um e.v. complexo V munido de um p.i. hermitiano. Mostre que existe uma base ortonormal B de V tal que [T] B é triangular superior. Mostre que também existe uma base ortonormal B tal que [T] B é triangular inferior. 48. Ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja triangular, onde A é a matriz do exc Ache uma matriz unitária U tal que U t A U seja triangular, onde A é a matriz do exc Leia a definição de matriz (resp. operador normal. Mostre que se A é uma matriz normal triangular então A é diagonal. 51. Seja A uma matriz real normal 2x2. Mostre que ou bem A é simétrica ou é um múltiplo escalar de uma matriz de rotação (veja o exc Seja A uma matriz real normal nxn. Mostre que existe uma matriz ortogonal real P tal que P t A P seja formada por blocos diagonais 1x1 ou 2x2 do tipo anterior. 53. Seja A uma matriz ortogonal real 3x3. Mostre que existe uma matriz ortogonal real P tal que P t A P seja da forma ( Ra 0 u 0 onde o bloco de rotação R a é como no exc. 42 e o escalar u=± Sejam S,T operadores que comutam. Mostre que todo autoespaço de S é invariante por T. Deduza que existe uma base B tal que ambas as matrizes [S] B e [T] B sejam triangulares. Encontre uma tal base para os operadores definidos pelas matrizes ( , (

6 6 55. Seja A a 1 a das matrizes do exercício anterior. Ache uma matriz B tal que B 2 =A. Sua solução é única? Seja agora A =4I+A. Mostre que existe uma única matriz B cujos autovalores são positivos e B 2 =A. 56. Mostre que a matriz A = ( não admite raiz quadrada. Mostre que a equação X n = A não admite solução para n > Seja A uma matriz 2 2 sobre um corpo K. Mostre que o o grau do polinômio mínimo de A é 2. Ache os polinômios mínimos das matrizes do exercício 54. Ache os polinômios mínimos das matrizes ( , ( , ( , ( Seja p(x = x 2 +x+1. Ache uma matriz com este polinômio mínimo. 59. Defina f : M(n, nxm(n, n R pela fórmula f(a,b=tr(ab (traço do produto. Mostre que f é simétrica, mas não é positivo-definida. Entretanto, tr( t AB é positivo-definida. 60. Seja P 2 o espaço vetorial dos polinômios de grau 2 como no exc. 30,. a coeficientes reais. Definimos β(f, g = 1 f(xg(xdx para f,g em 0 P 2. Mostre que β é bilinear. Calcule a matriz de β com respeito à base de sua preferência. Determine uma base B tal que [β] B seja diagonal. Mostre que existe um e só um g 0 P 2 tal que f(0 = 1 f(xg 0 0(xdx f P Determine os sinais dos autovalores da matriz ( Idem trocando o 7 por Seja T : V V uma transformação linear sobrejetiva e seja W seu núcleo. Prove que V é isomorfo a V/W. 63. Com a notação de devaneios..., mostre que se S = {1,..., n} então K (S é isomorfo a K n. 64. Mostre que, dados os conjuntos S 1, S 2, temos um isomorfismo K (S 1 K (S 2 = K (S 1 S 2 tal que, para cada par de funções f 1 : S 1 K, f 2 : S 2 K nulas quase sempre, corresponde a função f 12 (s 1, s 2 = f 1 (s 1 f 2 (s Mostre que existe um e um só isomorfismo V 1 V 2 = V2 V 1 tais que v 1 v 2 e v 2 v 1 se correspondem. 66. Mostre que, em K K, vale sempre u v = v u. 67. Mostre que, se u, v K m são l.i então u v v u em K m K m. 68. Seja W V um subespaço vetorial. Mostre que, para todo e.v. V, existe uma e só uma transformação linear ι : W V V V tal que ι(w v = w v, onde este último tensor é calculado em V V. Mostre que ι é injetiva.

7 69. Em virtude do exercício anterior, podemos considerar W V como subespaço de V V. Mostre que existe um e um só isomorfismo V V / W V = (V / W V tal que as classes v v = v v + W V e v v = (v + W v se correspondem. Dizemos assim que a formação do quociente comuta com o produto tensorial. 7