CM005 Algebra Linear Lista 1

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "CM005 Algebra Linear Lista 1"

Transcrição

1 CM005 Algebra Linear Lista Alberto Ramos. Para cada um dos sistemas de equações lineares, use o método de Gauss para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes esteja na forma escada. Indique se o sistema é consistente ou não (isto é, se o sistema possue solução ou não). Se o sistema for possível e determinado (isto é, sem variáveis livres), use susbtitução para encontrar a única solução. Se o sistema for possível e indeterminado (isto é, com variáveis livres) coloque-o em forma escada reduzida por linhas e encontre o conjunto solução. (a) (c) x x 2x 2 = 3 + x 2 = 0 4x + x 2 = 8 (b) 2x + 3x 2 = 0 3x 2x 2 = 0 3x + 2x 2 x 3 = 4 x 2x 2 + 2x 3 = x + 2x 2 + x 3 = 4 (d) x x 2 + 2x 3 = 4 2x + 3x 2 x 3 = 7x + 3x 2 + 4x 3 = 7 (e) (g) x + x 2 + x 3 + x 4 = 0 2x + 3x 2 x 3 x 4 = 2 3x + 6x 2 x 3 x 4 = 4 3x + 2x 2 + x 3 + x 4 = 5 x + 3x 2 + x 3 + x 4 = 3 2x 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 8 3x + x 2 + 2x 3 x 4 = (f) x + x 2 + x 3 = 0 x x 2 x 3 = 0 (h) 5x 8x 2 + 2x 3 = 5 x 3x 2 + x 3 = 2x + x 2 x 3 = 2 x + 4x 2 2x 3 = 2. Considere o sistema de equações lineares ax + x 2 = b cx + x 2 = d Prove que o sistema tem uma única solução se e somente se a c; Se a = c. Mostre que o sistema tem solução, se e somente se b = d.

2 3. Dado α R e β R, considere o sistema de equações cuja matriz aumentada é 2 2 α β 0 α 0 α β α 0. Para quais valores de α e β (a) o sistema não tem solução; (b) o sistema tem uma única solução; (c) o sistema tem infinitas soluções. 4. Utilize a eliminação de Gauss-Jordan para calcular a inversa de A 0 0 A = 2 3, A = 2 2, A = ( ) Sejam as matrizes A = e B = Escrevendo a matriz B em termos das suas colunas, B = [B B 2 ], em que B = (2 2 0) T e B 2 = ( 0 3) T. Verifique que o produto AB pode ser escrito como AB = A[B B 2 ] = [AB AB 2 ]. Generalize para matrizes arbitrárias, isto é, se A M m n (K) e B M n p (K), com B = [B... B p ] onde B i é a i-ésima coluna de B. Então, AB = A[B... B p ] = [AB... AB p ]. 6. Sejam A uma matriz invertível n n e B uma matriz n p. Mostre que a forma escada reduzida por linhas de (A B) é (I C) onde C = A B. ( ) ( ) ( ) Considere as matrizes A = B = C = Encontre matrizes X M 2 (R) tal que AX + B = C XA + B = C AX + B = X XA + C = X 8. Prove que se B é equivalente por linhas a A se e somente se existe uma matriz invertível M tal que B = MA. 9. Determine os coeficientes a, b, c e d da função polinomial p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, cujo gráfico passa pelos pontos q = (0, 0), q 2 = (, 7), q 3 = (3, ) e q 4 = (4, 4). Dica: Escreva um sistema linear associado. 2

3 0. Verifique (multiplicando corretamente) que a inversa da matriz M está dada por (a) M = I + uv T /( v T u) se M = I uv T e v T u (b) M = I + U(I V U) V se M = I UV e (I V U) é invertível. (c) M = A + A U(W V A U) V A se M = A UW V e W V A U é invertível.. Considere as matrizes A = 0 0, A 2 = 0 0 0, A 3 = 0 0 0, A 4 = Verifique que os sistemas homogêneos associados às matrizes A, A 2, A 3 e A 4 admite uma solução não trivial. Isto é, verifique para cada matriz A j, j =,..., 4, que existe um x R 4 diferente do vetor zero, tal que A j x = 0 R 3. Agora, seja A M m n (R) tal que n > m (número de incógnitas é maior que o número de equações). Mostre que o sistema linear homogêneo A x = 0, x R n, tem solução diferente da solução trivial (isto é, x 0). Dica: Use a forma escada reduzida por linhas. 2. Se A e B são matrizes quadradas. Mostre que I AB é invertível se I BA for invertível. Dica: Use B(I AB) = (I BA)B. 3. Quais dos seguintes subconjuntos são sub-espaços vetoriais de R 2? Esboçe. (a) W = {(x, y) R 2 : x 0, y 0} (b) W = {(x, y) R 2 : xy 0} (c) W = {(x, y) R 2 : y x 2 } (d) W = {(x, y) R 2 : y x, x y} (e) W = {(x, y) R 2 : x = y 3 } 4. Dado dois subespações vetoriais W e W 2 de V. A interseção W W 2 é um subespaço vetorial? e a união W W 2? 5. Considere os subespaços vetoriais { W = (x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : e W 2 = { (x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : Calcule o subespaço vetorial W W 2. x + 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 0 2x + 5x 2 + 4x 3 + 8x 4 = 0 x + 3x 2 + 2x 3 + 5x 4 = 0 2x 2 + 4x 4 = 0 } }. 3

4 6. Dado uma matriz A = (a ij ) M m n (K), i =,..., m, j =,..., n. A trasposta de A, denotada A T M n m (K), é a matriz definida por (A T ) ij = a ji para i =,..., m, j =,..., n. Mostre: (A + B) T = A T + B T ; (AB T ) T = BA T ; Suponha adicionalmente que n = m, então (AB) T = B T A T. 7. Usando as seguintes propriedades do determinante det(a): (i) det(ab) = det(a)det(b), (ii) det(αa) = α n det(a) e (iii) det(i) = para todo A, B M n (K). Calcule det(adj(a)) e det(a ). Dica: Use adj(a)a = det(a)i. 8. Calcule o determinante das matrizes ( ) A = B = α C = 3 3 α Para a matriz C, encontre todos os valores de α para os quais o determinante é igual a zero. 9. Para as seguintes matrizes determine se o vetor b está em col(a) (espaçocoluna de A), se w está em lin(a) (espaço-linha de A) e se v Nuc(A), onde Nuc(A) é o núcleo da matriz A. ( ) ( ) 0 3 A = b = w = ( ) v = A = 0 2 b = w = ( 4 ) 7 v = Determine se os seguintes vetores são linearmente independente em R 3 e esboçe o correspondente espaço gerado. 0, 0, , 2, ,

5 2. Determine se as seguintes matrizes são linearmente independente em M 2 (R) ( ) ( ) ( ) ,, ( ) ( ) ( ) ,, ( ) ( ) 0, Determine se as seguintes funções são linearmente independente em C[0, ] (conjunto de todas as funções reais contínuas definidas em [0, ]) cos(πx), sen(πx) e x, e x, e 2x cos(x),, sen 2 (x/2) 23. Seja A M n (R) uma matriz. Mostre que se {v,..., v p } R n é linearmente dependente, então {Av,..., Av p } é também linearmente dependente. Agora suponha que A é invertível. Então, se {v,..., v p } R n é linearmente independente, então {Av,..., Av p } é linearmente independente. 24. Dados W e W 2 dois subespaços vetoriais de V. Defina: W + W 2 := {v V : v = w + w 2, onde w W e w 2 W 2 }. Mostre que W +W 2 é um subespaço vetorial de V. W +W 2 é chamado de soma dos espaços vetoriais W e W 2. Se adicionalmente, W W 2 = { 0}, W + W 2 é denotado por W W 2. W W 2 é chamado de soma direta de W e W 2. Dados os vetores w = (2 3) T, w 2 = (3 V = R 3. 4) T e w 3 = ( 3 2) T em (a) Calcule os seguintes subespaços: Span(w, w 2, w 3 ), Span(w, w 2 )+Span(w 3 ), Span(w, w 2 )+Span(w 3, w 2 ). (b) Descreva geometricamente cada ums dos subespaços mencionados. (c) Quais das somas descritas são somas diretas? 25. Considere os subconjuntos W e W 2 de M n (K), e W := {A M n (K) : A = A T } W 2 := {A M n (K) : A = A T }. W é o subconjunto de todas as matrizes simétricas (A = A T ) e W 2 é o subconjunto das matrizes antisimétricas (A = A T ). 5

6 Mostre que M n (K) = W W 2, isto é, (i) M n (K) = W + W 2 e (ii) W W 2 = { 0}, onde 0 representa a matrix zero em M n (K). Dica: Dado A M n (K), considere B := (A + A T )/ Um espaço vetorial V possui dimensão k, dim(v ) = k, se existem k vetores, {v,..., v k } em V, tais que: I Os vetores v,..., v k são linearmente independente, isto é, sempre que α v +..., α k v k = 0, com α,..., α k K, necessariamente temos que todos os α,..., α k devem ser iguais ao zero. II Span(v,..., v k ) = V, ou seja, todo vetor v em V se escreve como combinação linear dos vetores v,..., v k. Um conjunto {v,..., v k } satisfazendo as propriedades acimas mencionadas é chamada de base. Temos as seguintes propriedades: (a) Todo espaço vetorial possui uma base. (b) Se {w,..., w p } é uma base de V, com dim(v ) = k. Então, p = k. (c) O espaço n-dimensional R n tem dimensão n, dim(r n ) = n. O espaço das matrizes M m n (R) tem dimensão m n. (d) Se W é um subespaço vetorial de V. Então, dim(w ) dim(v ). Ainda mais, se dim(w ) = dim(v ), então W = V. (e) Se W e W 2 são dois subespações vetoriais de V. Então temos que, dim(w + W 2 ) + dim(w W 2 ) = dim(w ) + dim(w 2 ). Usando essas informações responda, prove ou calcule: Se S, S 2 são subespaços tridimensional de R 5, então devem possuir um vetor não nulo em comum. Dica: O que acontece se S S 2 = {0}? Se w = (4 2 6) T, w 2 = (3 4) T e w 3 = ( 3 2) T. Calcule a dimensão de Span(w, w 2, w 3 ). Se {v,..., v k } é uma base de V, se e somente se, todo vetor v V é escrito de maneira única como combinação linear de {v,..., v k }. Dê exemplo de três vetores v, v 2 e v 3 sendo {v } l.i., {v 2, v 3 } l.i., v 2 e v 3 não são múltiplos de v e {v, v 2, v 3 } l.d. Dados v = ( ) T e v 2 = ( 2 2) T. (i) Por que v e v 2 não pode gerar R 4? (ii) Encontre vetores v 3 e v 4 que complete junto com v e v 2 uma base de R Encontre bases para lin(a) (espaço-linha de A), col(a) (espaço-coluna) e para Nuc(A) (núcleo de A) A = 0 2 A = 0 A =

7 28. Para quais números c e d as seguintes matrizes têm posto 2? Lembre que o posto de uma matriz A, posto(a), é a dimensão do espaço-linha, posto(a) = dim(lin(a)) ( ) A = 0 0 c 2 2 c d, B = d c d Ache todos os valores possíveis para posto(a) em função dos valores de α. 2 α A = 2 4α 2 A = 2 α α 2 α Seja A M m n (R). Prove que todo vetor em Nuc(A) é ortogonal a todo vetor em lin(a). 3. Para toda matriz A M m n (K), temos (a) posto(a) = dim(col(a)) = dim(lin(a)). Essa propriedade é geralmente abreviado como posto linha = posto coluna. (b) Sempre, n = dim(nuc(a))+dim(col(a)). Perceba que n é o número de coluna de A. Então, com essas informações responda: Se m = n. Prove que A é invertível se e somente se posto(a) = n. Qual é o posto(a) e a dim(nuc(a)), em função da variável α α α 3 A = α, A = α 3 α 32. Sejam A e B M n (K). Mostre que AB = O, se e somente se o espaçocoluna de B é um subespaço de Nuc(A). 33. Seja A M m n (K) e B M n p (K). Considere C = AB M m p (K). Mostre que: (a) O espaço coluna de C está contido no espaço coluna de A. (b) O espaço linha de C está contido no espaço linha de B (c) posto(c) min(posto(a), posto(b)) (d) Se as coluna de A e B são l.i, então as colunas de C também são l.i. (e) Se as linhas de A e B são l.i, então as linhas de C também são linearmente independente (f) Se as colunas de B são linearmente dependente, então as colunas de C também são linearmente dependente 7

8 (g) Se as linhas de A são linearmente dependente, então as linhas de C também são linearmente dependente (h) O núcleo de B está contido no núcleo de C 34. Seja A M m n (R). A matriz A tem posto, se e somente se A = uv T para algum u R m, v R n. Dica: Toda linha é multiplo de alguma linha não nula. Se A = uv T, prove que u é uma base para o espaço-coluna de A e v T é uma base para o espaço-linha de A. Qual a dimensão de Nuc(A)? 8

Parte 2 - Espaços Vetoriais

Parte 2 - Espaços Vetoriais Espaço Vetorial: Parte 2 - Espaços Vetoriais Seja V um conjunto não vazio de objetos com duas operações definidas: 1. Uma adição que associa a cada par de objetos u, v em V um único objeto u + v, denominado

Leia mais

Aula 25 - Espaços Vetoriais

Aula 25 - Espaços Vetoriais Espaço Vetorial: Aula 25 - Espaços Vetoriais Seja V um conjunto não vazio de objetos com duas operações definidas: 1. Uma adição que associa a cada par de objetos u, v em V um único objeto u + v, denominado

Leia mais

CM005 Álgebra Linear Lista 2

CM005 Álgebra Linear Lista 2 CM005 Álgebra Linear Lista 2 Alberto Ramos 1. Seja M M n (R) uma matriz. Mostre que se {v 1,..., v p } R n é linearmente dependente, então {Mv 1,..., Mv p } é também linearmente dependente. Agora suponha

Leia mais

1 a Lista de Exercícios MAT 3211 Álgebra Linear Prof. Vyacheslav Futorny

1 a Lista de Exercícios MAT 3211 Álgebra Linear Prof. Vyacheslav Futorny 1 a Lista de Exercícios MAT 3211 Álgebra Linear - 213 - Prof. Vyacheslav Futorny 1 a parte: Resolução de sistemas de equações lineares, matrizes inversíveis 1. Para cada um dos seguintes sistemas de equações

Leia mais

CM005 Álgebra Linear Lista 3

CM005 Álgebra Linear Lista 3 CM005 Álgebra Linear Lista 3 Alberto Ramos Seja T : V V uma transformação linear. Se temos que T v = λv, v 0, para λ K. Dizemos que λ é um autovalor de T e v autovetor de T associado a λ. Observe que λ

Leia mais

(x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2 ); e α (x, y) = (x α, y α ), α R.

(x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2 ); e α (x, y) = (x α, y α ), α R. INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-2457 Álgebra Linear para Engenharia I Terceira Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS 1. Considere as retas

Leia mais

ficha 1 matrizes e sistemas de equações lineares

ficha 1 matrizes e sistemas de equações lineares Exercícios de Álgebra Linear ficha matrizes e sistemas de equações lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2/2

Leia mais

5. Considere os seguintes subconjuntos do espaço vetorial F(R) das funções de R em R:

5. Considere os seguintes subconjuntos do espaço vetorial F(R) das funções de R em R: MAT3457 ÁLGEBRA LINEAR I 3 a Lista de Exercícios 1 o semestre de 2018 1. Verique se V = {(x, y) : x, y R} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e de multiplicação por escalar dadas por:

Leia mais

exercícios de álgebra linear 2016

exercícios de álgebra linear 2016 exercícios de álgebra linear 206 maria irene falcão :: maria joana soares Conteúdo Matrizes 2 Sistemas de equações lineares 7 3 Determinantes 3 4 Espaços vetoriais 9 5 Transformações lineares 27 6 Valores

Leia mais

MAT Álgebra Linear para Engenharia II - Poli 2 ō semestre de ā Lista de Exercícios

MAT Álgebra Linear para Engenharia II - Poli 2 ō semestre de ā Lista de Exercícios MAT 2458 - Álgebra Linear para Engenharia II - Poli 2 ō semestre de 2014 1 ā Lista de Exercícios 1. Verifique se V = {(x, y) x, y R} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e de multiplicação

Leia mais

Aulas práticas de Álgebra Linear

Aulas práticas de Álgebra Linear Ficha Matrizes e sistemas de equações lineares Aulas práticas de Álgebra Linear Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores o semestre 6/7 Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento

Leia mais

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017 º Sábado - Matrizes - //7. Plano e Programa de Ensino. Definição de Matrizes. Exemplos. Definição de Ordem de Uma Matriz. Exemplos. Representação Matriz Genérica m x n 8. Matriz Linha 9. Exemplos. Matriz

Leia mais

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017 º Sábado - Matrizes - //7. Plano e Programa de Ensino. Matrizes. Exemplos. Ordem de Uma Matriz. Exemplos. Representação 7. Matriz Genérica m x n 8. Matriz Linha 9. Exemplos. Matriz Coluna. Exemplos. Diagonal

Leia mais

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0 Lista de exercícios. AL. 1 sem. 2015 Prof. Fabiano Borges da Silva 1 Matrizes Notações: 0 para matriz nula; I para matriz identidade; 1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC calcule A(B + C) B t A

Leia mais

CM 005 Álgebra Linear: Prova 1 22 de Setembro de 2016

CM 005 Álgebra Linear: Prova 1 22 de Setembro de 2016 CM 5 Álgebra Linear: Prova 1 22 de Setembro de 216 Orientações gerais 1) As soluções devem conter o desenvolvimento e ou justicativa. Questões sem justicativa ou sem raciocínio lógico coerente não pontuam.

Leia mais

Legenda. Questões. 2ª Lista de Exercícios (ALI0001) Prof. Helder G. G. de Lima 1. Cálculos Conceitos Teoria

Legenda. Questões. 2ª Lista de Exercícios (ALI0001) Prof. Helder G. G. de Lima 1. Cálculos Conceitos Teoria 2ª Lista de Exercícios (ALI0001) Prof. Helder G. G. de Lima 1 Legenda Cálculos Conceitos Teoria Questões 1. Revise todos os axiomas da definição de espaço vetorial V sobre o corpo de escalares R, verificando

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática 1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática Lista 4 - MAT 137 -Introdução à Álgebra Linear 2017/II 1. Entre as funções dadas abaixo, verifique quais

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Espaços Vetoriais Reais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Espaços Vetoriais Reais universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 4 Espaços Vetoriais Reais Definição de espaço vetorial real [4 01] O conjunto

Leia mais

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO LEEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO LEEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO LEEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA Exercícios vários. Considere o conjunto C =, e a operação binária definida por a b = min(a, b). O conjunto C é, relativamente

Leia mais

Questão Para o sistema linear dado, encontre o conjunto solução em função do parâmetro β R.

Questão Para o sistema linear dado, encontre o conjunto solução em função do parâmetro β R. CM 5 Álgebra Linear: Prova 1 (EQ) 27 de Setembro de 216 Orientações gerais 1) As soluções devem conter o desenvolvimento e ou justicativa. Questões sem justicativa ou sem raciocínio lógico coerente não

Leia mais

GAAL Exercícios 6: Umas soluções

GAAL Exercícios 6: Umas soluções GAAL Exercícios 6: Umas soluções. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de u = (5, 3, ), v = (, 4, 3), w = (, 8, 7)? (a) (, 2, 5) (b) (, 2, 8) (c) ( 2, ) (d) (, 2, 3). O conjunto {u, v, w}

Leia mais

Notas para o Curso de Algebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009

Notas para o Curso de Algebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009 Notas para o Curso de Álgebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009 2 Sumário 1 Matrizes e Sistemas Lineares 5 11 Matrizes 6 12 Sistemas Lineares 11 121 Eliminação Gaussiana 12 122 Resolução

Leia mais

6. Verifique detalhadamente que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais(com a soma e produto por escalar usuais):

6. Verifique detalhadamente que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais(com a soma e produto por escalar usuais): a Lista. Sejam u = ( 4 ) v = ( 5) e w = (a b). Encontre a e b tais que (a)w = u + v (b)w = 5v (c)u + w = u v. Represente os vetores acima no plano cartesiano.. Sejam u = (4 ) v = ( 4) e w = (a b c). Encontre

Leia mais

ESPAÇOS LINEARES (ou vetoriais)

ESPAÇOS LINEARES (ou vetoriais) Álgebra Linear- 1 o Semestre 2018/19 Cursos: LEIC A Lista 3 (Espaços Lineares) ESPAÇOS LINEARES (ou vetoriais) Notações: Seja A uma matriz e S um conjunto de vetores Núcleo de A: N(A) Espaço das colunas

Leia mais

Primeira prova de Álgebra Linear - 06/05/2011 Prof. - Juliana Coelho

Primeira prova de Álgebra Linear - 06/05/2011 Prof. - Juliana Coelho Primeira prova de Álgebra Linear - 6/5/211 Prof. - Juliana Coelho JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS! Questões contendo só a resposta, sem desenvolvimento ou justificativa serão desconsideradas! QUESTÃO 1 (2, pts)

Leia mais

Álgebra Linear

Álgebra Linear Álgebra Linear - 0191 Lista 3 - Dependência e Independência Linear Bases e Soma Direta 1) Exiba três vetores u v w R 3 com as seguintes propriedades: nenhum deles é múltiplo do outro nenhuma das coordenadas

Leia mais

Álgebra Linear. Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 2006/07

Álgebra Linear. Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 2006/07 Álgebra Linear Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores ō ano/ ō S 6/7 a Lista: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E ÁLGEBRA DE MATRIZES Sistemas de equações lineares. Quais das seguintes equações

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 2 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear II/2005 1 Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método

Leia mais

1 a Lista de Exercícios de MAT3458 Escola Politécnica 2 o semestre de 2016

1 a Lista de Exercícios de MAT3458 Escola Politécnica 2 o semestre de 2016 1 a Lista de Exercícios de MAT3458 Escola Politécnica o semestre de 16 1 Para que valores de t R a função definida por (x 1, x ), (y 1, y ) = x 1 y 1 + tx y é um produto interno em R? Para cada par de

Leia mais

Álgebra Linear - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho

Álgebra Linear - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho Álgebra Linear - a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho - Considere as matrizes abaixo e faça o que se pede: M N O 7 P Q R 8 4 T S a b a Determine quais destas matrizes são simétricas. E antisimétricas?

Leia mais

Espaços Vetoriais e Produto Interno

Espaços Vetoriais e Produto Interno Universidade Federal do Vale do São Francisco Engenharia Civil Álgebra Linear Prof o. Edson 1 o Semestre 1 a Lista de Exercícios 2009 Data: Sexta-feira 27 de Fevereiro Prof o. Edson Espaços Vetoriais e

Leia mais

UFPB - CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS PERÍODO

UFPB - CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS PERÍODO UFPB - CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA a LISTA DE EXERCÍCIOS PERÍODO 0 Os exercícios 0 8 trazem um espaço vetorial V e um seu subconjunto W Sempre que W for um subespaço

Leia mais

Álgebra Linear. Cursos: Química, Engenharia Química, Engenharia de Materiais,Engenharia Biológica, Engenharia do Ambiente 1 ō ano/1 ō Semestre 2006/07

Álgebra Linear. Cursos: Química, Engenharia Química, Engenharia de Materiais,Engenharia Biológica, Engenharia do Ambiente 1 ō ano/1 ō Semestre 2006/07 Álgebra Linear Cursos: Química, Engenharia Química, Engenharia de Materiais,Engenharia Biológica, Engenharia do Ambiente ō ano/ ō Semestre 2006/07 a Lista: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E ÁLGEBRA DE MATRIZES

Leia mais

Revisão: Matrizes e Sistemas lineares. Parte 01

Revisão: Matrizes e Sistemas lineares. Parte 01 Revisão: Matrizes e Sistemas lineares Parte 01 Definição de matrizes; Tipos de matrizes; Operações com matrizes; Propriedades; Exemplos e exercícios. 1 Matrizes Definição: 2 Matrizes 3 Tipos de matrizes

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032

ÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032 UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032 11 a Lista de

Leia mais

(a) 1 (b) 0 (c) 2 (d) 3. (a) 6 (b) 8 (c) 1. (d) H = {p P 2 p(1) = p(2)} (c) H = {p P 2 p(1) + p(2) = 0} 8. Seja H o subespaço definido por

(a) 1 (b) 0 (c) 2 (d) 3. (a) 6 (b) 8 (c) 1. (d) H = {p P 2 p(1) = p(2)} (c) H = {p P 2 p(1) + p(2) = 0} 8. Seja H o subespaço definido por UFRJ Instituto de Matemática Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125 Professor: Bruno, Cesar, Flavio, Luiz Carlos, Mario, Milton, Monique e Paulo Data: 25 de setembro de 2013 Primeira Prova 1. Podemos

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Álgebra Linear e Geometria Analítica Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Departamento: Matemática Álgebra Linear e Geometria Analítica Curso: Engenharia Electrotécnica Ano: 1 o Semestre: 1 o Ano Lectivo: 007/008 Ficha

Leia mais

MAT Resumo Teórico e Lista de

MAT Resumo Teórico e Lista de MAT 0132 - Resumo Teórico e Lista de Exercícios April 10, 2005 1 Vetores Geométricos Livres 1.1 Construção dos Vetores 1.2 Adição de Vetores 1.3 Multiplicação de um Vetor por um Número Real 2 Espaços Vetoriais

Leia mais

Parte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares

Parte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares Parte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares Matrizes: Uma matriz de tipo m n é uma tabela com mn elementos, denominados entradas, e formada por m linhas e n colunas. A matriz identidade de ordem 2, por exemplo,

Leia mais

Soluções dos trabalhos de 1 a 7

Soluções dos trabalhos de 1 a 7 Universidade Federal Rural do Semiárido-UFERSA Departamento de Ciências Exatas e Naturais Curso: Bacharelado em Ciência e Tecnologia e Computação Disciplina: Álgebra Linear Aluno(a): Soluções dos trabalhos

Leia mais

Lista de Exercícios 05 Álgebra Matricial

Lista de Exercícios 05 Álgebra Matricial Lista de Exercícios 05 Álgebra Matricial - 016.1 1. Determine a quantidade desconhecida em cada uma das expressões: ( ) ( ) ( ) T 0 3 x + y + 3 3 w (a) 3.X = (b) = 6 9 4 0 6 z. Uma rede de postos de combustíveis

Leia mais

Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho

Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho 1 - Verifique que os conjuntos V abaixo com as operações dadas não são espaços vetoriais explicitando a falha em alguma das propriedades.

Leia mais

Referências principais (nas quais a lista foi baseada): 1. G. Strang, Álgebra linear e aplicações, 4o Edição, Cengage Learning.

Referências principais (nas quais a lista foi baseada): 1. G. Strang, Álgebra linear e aplicações, 4o Edição, Cengage Learning. 1 0 Lista de Exercício de Mat 116- Álgebra Linear para Química Turma: 01410 ( 0 semestre 014) Referências principais (nas quais a lista foi baseada): 1. G. Strang, Álgebra linear e aplicações, 4o Edição,

Leia mais

. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1

. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1 QUESTÕES ANPEC ÁLGEBRA LINEAR QUESTÃO 0 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Os vetores (,, ) (,,) e (, 0,) formam uma base de,, o espaço vetorial gerado por,, e,, passa pela origem na direção de,,

Leia mais

Interbits SuperPro Web

Interbits SuperPro Web 1 (Ita 018) Uma progressão aritmética (a 1, a,, a n) satisfaz a propriedade: para cada n, a soma da progressão é igual a n 5n Nessas condições, o determinante da matriz a1 a a a4 a5 a 6 a a a 7 8 9 a)

Leia mais

1 Subespaços Associados a uma Matriz

1 Subespaços Associados a uma Matriz 1 Subespaços Associados a uma Matriz Seja V = R n e para quaisquer u, v, e w em V e quaisquer escalares r,s em R 1, 1. u + v é um elemento de V sempre que u e v são elementos de V a adição é fechada, 2.

Leia mais

I Lista de Álgebra Linear /02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple

I Lista de Álgebra Linear /02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple 1 I Lista de Álgebra Linear - 2012/02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple 1. Determine os valores de x e y que tornam verdadeira a igualdade ( x 2 + 5x x 2 ( 6 3 2x y 2 5y y 2 = 5 0

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR - MAT0024

ÁLGEBRA LINEAR - MAT0024 UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR - MAT0024 10 a Lista de exercícios

Leia mais

MAT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de 2018

MAT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de 2018 MAT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I a Lista de Exercícios - o semestre de 8 Exercícios -8: os espaços V e V 3. Exercícios 9-7: dependência, independência linear, bases. Exercícios 8-48: sistemas lineares.

Leia mais

3 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão e B =

3 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão e B = 3 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão 2008. (a) Ache os auto-valores e auto-vetores de A = 3 4 2 0 2 0 0 0 e B = 0 0 2 0 2 0 2 0 0 (b) Mostre que λ + λ 2 + λ 3 é igual ao

Leia mais

Questão 1: Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Denamos a adição e a multiplicação por escalar em V por

Questão 1: Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Denamos a adição e a multiplicação por escalar em V por Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA7B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Dra. Diane Rizzotto Rossetto LISTA 4 - Espaços Vetoriais Desenvolvidas

Leia mais

EXERCÍCIOS DE ELEMENTOS DE MATEMÁTICA II (BQ, CTA, EFQ, Q) 2002/2003. Funções reais de várias variáveis

EXERCÍCIOS DE ELEMENTOS DE MATEMÁTICA II (BQ, CTA, EFQ, Q) 2002/2003. Funções reais de várias variáveis EXERCÍCIOS DE ELEMENTOS DE MATEMÁTICA II (BQ, CTA, EFQ, Q) 2002/2003 Funções reais de várias variáveis 1. Faça um esboço de alguns conjuntos de nível das seguintes funções: (a) f (x,y) = 1 + x + 3y, (x,y)

Leia mais

Exercícios sobre Espaços Vetoriais II

Exercícios sobre Espaços Vetoriais II Exercícios sobre Espaços Vetoriais II Prof.: Alonso Sepúlveda Castellanos Sala 1F 104 1. Seja V um espaço vetorial não trivial sobre um corpo infinito. Mostre que V contém infinitos elementos. 2. Sejam

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 2016/17 MIEI+MIEB+MIEMN Slides da 4 a Semana de aulas Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 1 / 27 Programa 1 Matrizes 2 Sistemas de Equações Lineares

Leia mais

Aulas práticas de Álgebra Linear

Aulas práticas de Álgebra Linear Ficha 3 Aulas práticas de Álgebra Linear Licenciatura em Engenharia Naval e Oceânica Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica 1 o semestre 2018/19 Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática,

Leia mais

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017 º Sábado - Matrizes - //7 Plano e Programa de Ensino Matrizes Exemplos Ordem de Uma Matriz Exemplos Representação 7 Matriz Genérica m x n 8 Matriz Linha 9 Exemplos Matriz Coluna Exemplos Diagonal de Uma

Leia mais

MAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 3 a Prova - 1 o semestre de (a) 3; (b) 2; (c) 0; (d) 1; (e) 2.

MAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 3 a Prova - 1 o semestre de (a) 3; (b) 2; (c) 0; (d) 1; (e) 2. MAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 3 a Prova - 1 o semestre de 2018 Questão 1. Seja U = [(2, 1, 1), (1, 0, 2)], subespaço vetorial de R 3 e ax + by + z = 0 uma equação de U, isto é U = { (x, y, z)

Leia mais

Lista 1: sistemas de equações lineares; matrizes.

Lista 1: sistemas de equações lineares; matrizes. Lista : sistemas de equações lineares; matrizes. Obs. As observações que surgem no fim desta lista de exercícios devem ser lidas antes de resolvê-los. ) Identifique as equações que são lineares nas respectivas

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032

ÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032 UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR I - MAT003 10 a Lista de

Leia mais

MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Dra. Diane Rizzotto Rossetto. LISTA 5 - Espaços Vetoriais

MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Dra. Diane Rizzotto Rossetto. LISTA 5 - Espaços Vetoriais Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA7B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Dra. Diane Rizzotto Rossetto LISTA 5 - Espaços Vetoriais Desenvolvidas

Leia mais

Curso de Álgebra Linear

Curso de Álgebra Linear Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações Terceira Edição 25 de Outubro de 2012 Marco Cabral PhD Indiana University, EUA Paulo Goldfeld PhD Courant Institute, EUA Departamento de Matemática Aplicada

Leia mais

1 a Lista de Exercícios de MAT2457 Escola Politécnica 1 o semestre de (b)

1 a Lista de Exercícios de MAT2457 Escola Politécnica 1 o semestre de (b) a Lista de Exercícios de MAT457 Escola Politécnica o semestre de 04 Resolva os seguintes sistemas: x + x x 3 + 3x 4 = a 3x + x x 3 + x 4 = 4 3x + 3x + 3x 3 3x 4 = 5 c x + x 3 + x 5 = x + x 3 + x 5 + x

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 1 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Geometria anaĺıtica em R 3 [1 01]

Leia mais

Aulas práticas de Álgebra Linear

Aulas práticas de Álgebra Linear Ficha 2 Determinantes Aulas práticas de Álgebra Linear Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores 1 o semestre 2016/17 Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto

Leia mais

5 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão Encontre os autovalores, os autovetores e a exponencial e At para

5 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão Encontre os autovalores, os autovetores e a exponencial e At para 5 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão 2008 1. Encontre os autovalores, os autovetores e a exponencial e At para [ ] 1 1 1 1 2. Uma matriz diagonal Λ satisfaz a regra usual

Leia mais

Ficha de Trabalho 02 Sistemas. Matriz Inversa. (Aulas 4 a 6).

Ficha de Trabalho 02 Sistemas. Matriz Inversa. (Aulas 4 a 6). F I C H A D E R A B A L H O 0 Ficha de rabalho 0 Sistemas. Matriz Inversa. (Aulas 4 a 6). Sistemas de equações lineares. Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema.

Leia mais

Álgebra Linear 1 o Teste

Álgebra Linear 1 o Teste Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática 1 o Semestre 2008-2009 6/Janeiro/2008 Prova de Recuperação Álgebra Linear 1 o Teste MEMec, MEAer Nome: Número: Curso: Sala: A prova que vai realizar

Leia mais

Matemática I. Licenciatura em Economia. 1 Álgebra Linear. 1 o semestre 2012/13. Vectores e Matrizes Sejam 3 A = Determinar as matrizes:

Matemática I. Licenciatura em Economia. 1 Álgebra Linear. 1 o semestre 2012/13. Vectores e Matrizes Sejam 3 A = Determinar as matrizes: Matemática I 1 o semestre 1/1 Licenciatura em Economia Exercícios com soluções 1 Álgebra Linear Vectores e Matrizes 1.1. Sejam 1 A = 5, B = 1 1 1 Determinar as matrizes: 1 4 5, C = a) A + B; b) A B; c)

Leia mais

Sistemas de Equações Lineares e Matrizes

Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Sistemas de Equações Lineares e Matrizes. Quais das seguintes equações são lineares em x, y, z: (a) 2x + 2y 5z = x + xy z = 2 (c) x + y 2 + z = 2 2. A parábola y = ax 2 + bx + c passa pelos pontos (x,

Leia mais

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocabaunespbr Matrizes Inversas 1 Matriz Inversa e Propriedades 2 Cálculo da matriz

Leia mais

ficha 2 determinantes

ficha 2 determinantes Exercícios de Álgebra Linear ficha 2 determinantes Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 Determinantes 2 Sendo

Leia mais

Lista de Exercícios 3 (Matrizes e Sistemas Lineares) b) B 4 2, tal que b ij =

Lista de Exercícios 3 (Matrizes e Sistemas Lineares) b) B 4 2, tal que b ij = UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT Geometria Analítica e Álgebra Linear (MA71B) Profa. Dra. Nara Bobko Lista de Exercícios 3 (Matrizes e Sistemas Lineares)

Leia mais

1 NOTAS DE AULA FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA. Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos

1 NOTAS DE AULA FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA. Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA 1 NOTAS DE AULA Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos (i) Matrizes Reais Uma matriz real é o seguinte arranjo de números reais : a 11 a 12 a 13 a 1m a 21

Leia mais

Renato Martins Assunção

Renato Martins Assunção Análise Numérica Renato Martins Assunção DCC - UFMG 2012 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 1 / 84 Equação linear Sistemas de equações lineares A equação 2x + 3y = 6 é chamada linear

Leia mais

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 17 1. Suponha que uma força de 1 newtons é aplicada em um objeto ao longo do

Leia mais

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 7 II SEMESTRE DE 00 Professores: Flávia, Gustavo e Lana. Suponha que uma força

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 1 a Lista - MAT 17 - Introdução à Álgebra Linear II/2005 1 Considere as matrizes A, B, C, D e E com respectivas ordens,

Leia mais

(d) Seja W um espaço vetorial de dimensão 4 e sejam U e V subespaços de W tais que U V = 0. Assinale. Gabarito Pág. 1

(d) Seja W um espaço vetorial de dimensão 4 e sejam U e V subespaços de W tais que U V = 0. Assinale. Gabarito Pág. 1 UFRJ Instituto de Matemática Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125 Professor: Bruno, Gregório, Luiz Carlos, Mario, Milton, Monique e Umberto Data: 15 de maio de 2013 Primeira Prova 1. Os valores de (a,

Leia mais

Sistema de Equaçõs Lineares

Sistema de Equaçõs Lineares Summary Sistema de Equaçõs Lineares Hector L. Carrion ECT-UFRN Agosto, 2010 Summary Equações Lineares 1 Sistema de Eq. Lineares 2 Eliminação Gaussiana-Jordan 3 retangular 4 5 Regra de Cramer Summary Equações

Leia mais

Métodos Matemáticos II

Métodos Matemáticos II Sumário Métodos Matemáticos II Nuno Bastos Licenciatura em Tecnologias e Design Multimédia Escola Superior de Tecnologia de Viseu Gabinete 4 nbastos@mat.estv.ipv.pt http://www.estv.ipv.pt/paginaspessoais/nbastos.

Leia mais

Trabalhos e Exercícios 1 de Álgebra Linear

Trabalhos e Exercícios 1 de Álgebra Linear Trabalhos e Exercícios de Álgebra Linear Fabio Iareke 30 de março de 0 Trabalhos. Mostre que se A tem uma linha nula, então AB tem uma linha nula.. Provar as propriedades abaixo:

Leia mais

Resolução de Sistemas Lineares. Ana Paula

Resolução de Sistemas Lineares. Ana Paula Resolução de Sistemas Lineares Sumário 1 Introdução 2 Alguns Conceitos de Álgebra Linear 3 Sistemas Lineares 4 Métodos Computacionais 5 Sistemas Triangulares 6 Revisão Introdução Introdução Introdução

Leia mais

Notas de Aula Álgebra Linear II IFA Prof. Paulo Goldfeld Versão

Notas de Aula Álgebra Linear II IFA Prof. Paulo Goldfeld Versão Notas de Aula Álgebra Linear II IFA 2007.1 Prof. Paulo Goldfeld Versão 2007.03.29 1 2 Contents 2 Espaços Vetoriais 5 2.1 Espaços e Subespaços....................... 5 2.2 Independência Linear.......................

Leia mais

ic Mestrado Integrado em Bioengenharia

ic Mestrado Integrado em Bioengenharia ic Mestrado Integrado em Bioengenharia MATEMÁTICA I 01-11- 1º Teste de Avaliação Álgebra Linear e Geometria Analítica Justifique convenientemente todos os cálculos que efetuar. O teste tem a duração de

Leia mais

Análise multivariada

Análise multivariada UNIFAL-MG, campus Varginha 6 de Setembro de 2018 Matriz inversa Já discutimos adição, subtração e multiplicação de matrizes A divisão, da forma como conhecemos em aritmética escalar, não é definida para

Leia mais

Instituto Universitário de Lisboa

Instituto Universitário de Lisboa Instituto Universitário de Lisboa Departamento de Matemática Exercícios extra de Álgebra Linear Ano Lectivo 204/205 . Sejam A = 0 2 0 0 2 e B = 0 0 0 0. (a) Calcule, se possível, as matrizes AB, BA e B

Leia mais

Álgebra linear A Primeira lista de exercícios

Álgebra linear A Primeira lista de exercícios Álgebra linear A Primeira lista de exercícios Prof. Edivaldo L. dos Santos (1) Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o conjunto V com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre R. {[ ] a b

Leia mais

Álgebra Linear 1 ō Teste - 16/ 11/ 02 Cursos: Eng. Ambiente, Eng. Biológica, Eng. Química, Lic. Química

Álgebra Linear 1 ō Teste - 16/ 11/ 02 Cursos: Eng. Ambiente, Eng. Biológica, Eng. Química, Lic. Química Código do Teste: 105 Álgebra Linear 1 ō Teste - 16/ 11/ 02 Cursos: Eng. Ambiente, Eng. Biológica, Eng. Química, Lic. Química 1. Para as matrizes A = ( 1 0 3 1 ) B = ( 5 4 1 0 2 1 3 1 ) C = 1 1 1 0 5 1

Leia mais

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocabaunespbr Espaços Vetoriais 1 Definição; 2 Subespaços; 3 Combinação Linear, dependência

Leia mais

Álgebra Linear. André Arbex Hallack

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Álgebra Linear André Arbex Hallack 2017 Índice 1 Sistemas Lineares 1 1.1 Corpos............................................. 1 1.2 Sistemas de Equações Lineares............................... 3 1.3 Sistemas

Leia mais

Dou Mó Valor aos Autovalores

Dou Mó Valor aos Autovalores 1. Definições Preliminares Dou Mó Valor aos Autovalores 21ª Semana Olímpica Maceió, AL Prof. Davi Lopes Nível U Dada uma matriz quadrada A n n de entradas complexas, podemos definir os conceitos a seguir,

Leia mais

Avaliação e programa de Álgebra Linear

Avaliação e programa de Álgebra Linear Avaliação e programa de Álgebra Linear o Teste ( de Março): Sistemas de equações lineares e matrizes. Espaços lineares. o Teste ( de Maio): Matriz de mudança de base. Transformações lineares. o Teste (

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr. PUCRS FAMAT: Departamento de Estatística

Prof. Lorí Viali, Dr. PUCRS FAMAT: Departamento de Estatística f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range). R é o conjunto dos reais; R n é o conjunto dos vetores n-dimensionais reais; Os vetores

Leia mais

ESPAÇO VETORIAL REAL. b) Em relação à multiplicação: (ab) v = a(bv) (a + b) v = av + bv a (u + v ) = au + av 1u = u, para u, v V e a, b R

ESPAÇO VETORIAL REAL. b) Em relação à multiplicação: (ab) v = a(bv) (a + b) v = av + bv a (u + v ) = au + av 1u = u, para u, v V e a, b R ESPAÇO VETORIAL REAL Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, isto é: u, v V, u + v V a R, u V, au V O conjunto V com estas duas operações

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR I - MAT Em cada item diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifiquei sua resposta.

ÁLGEBRA LINEAR I - MAT Em cada item diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifiquei sua resposta. UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032 2 a Lista de

Leia mais

de adição e multiplicação por escalar definidas por: 2. Mostre que o conjunto dos polinômios da forma a + bx com as operações definidas por:

de adição e multiplicação por escalar definidas por: 2. Mostre que o conjunto dos polinômios da forma a + bx com as operações definidas por: Lista de Exercícios - Espaços Vetoriais. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por: i. u + v (x y) + (s

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática 1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2017/II 1. Sejam u = ( 4 3) v = (2 5) e w = (a b).

Leia mais