7. Sejam U, W subespaços vetoriais de um espaço vetorial V sobre um corpo K. Prove que U W é um subespaço vetorial de V se e somente se U W ou W U.

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1 Lista de Álgebra Linear - Prof. Edson Iwaki 1. Quais dos subconjuntos são R subespaços vetoriais? Ache uma base para os que forem. (a) S = {(x, y, z) R 3 x 0} R 3 (b) S = {(x, y, z) R 3 x = 0} R 3 (c) S = {(x, y, z) R 3 x + y = 0} R 3 (d) S = {A M 2 (R) A 2 = A} M 2 (R) (e) S = {(a 1, a 2,, a n ) R n a 2 2 = 0} R n (f) S = {(a 1, a 2,, a n ) R n a 1 a 2 = 0} R n (g) S = {(a 1, a 2,, a n ) R n a 1 Q} R n 2. Seja V = F (R) o espaço vetorial das funções de R em R. Quais dos seguintes subconjuntos de V são subespaços de V? (a) {f V f(x 2 ) = f(x) 2 } (b) {f V f(0) = f(1)} (c) {f V f é derivável} 3. Mostre que A = {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} e B = {(1, 1, 1), ( 1, 1, 1)} subconjuntos de R 3, geram o mesmo subespaço vetorial de R Quais dos subconjuntos abaixo são LI em P 2 (R)? (a) {1 + x, 1 x, x 2, 1} (b) {x x 2, x 2 x} (c) {1, 1 x, 1 x 2 } 5. Seja S o subespaço de R 5 gerado por A = {1, 1, 0, 0, 1); (1, 1, 0, 1, 1); (0, 1, 1, 1, 1); (2, 1, 1, 0, 1)}. Ache uma base para S. 6. Seja {cos(x), sen(x), sen(x + π )} C(R), onde C(R) = {f : R R 3 f é função contínua}. Tal conjunto é LI ou LD em C(R)? 7. Sejam U, W subespaços vetoriais de um espaço vetorial V sobre um corpo K. Prove que U W é um subespaço vetorial de V se e somente se U W ou W U.

2 2 8. Sejam V = M n (R), U = {A V A t = A} e W = {B V B t = B}. Prove que U e W são subespaços de V e que V = U W. A é denotado o conjunto das matrizes simétricas de V e B é o conjunto das matrizes anti-simétricas de V. 9. Sejam V = F (R), U = {f V f(x) = f( x), x R} e W = {f V f( x) = f(x), x R}. Prove que U e W são subespaços de V e que V = U W. U é denotado o conjunto das funções pares de V e W é o conjunto das funções ímpares de V. 10. Encontre três vetores em R 3 que sejam LD, mas que sejam 2 a 2 sejam LI. { (x ) } { ( ) } x x y 11. Sejam V = M 2 (R), W 1 = x, y, z R e W y z 2 = x, y, z R x z Ache uma base de cada um dos subespaços W 1, W 2, W 1 W 2, W 1 + W 2. { (a11 ) } a 12. Sejam V = M 2 (C), W = 12 a a 21 a 11 + a 22 = 0 22 (a) Mostre que W é um R espaço vetorial. (b) Ache uma base desse espaço vetorial. (c) Seja W = {A W a 21 = a 12 }. Prove que W é um subespaço vetorial e determine uma base de W. 13. Seja W o subespaço de C 3 gerado por v 1 = (1, 0, i), v 2 = (1 + i, 1, 1). Mostre que: (a) Mostre que {v 1, v 2 } é uma base de W. (b) Se w 1 = (1, 1, 0) e w 2 = (1, i, 1 + i) então w 1, w 2 W e {w 1, w 2 } é outra base de W. 14. Seja V = p(t) P n (R) p(0) = 0 = p (0)}. Mostre que V é um subespaço vetorial de P n (R) e ache uma base e a dimensão de V. 15. Sejam V = M n (C) e W = {A M n (C) tr(a) = 0}. Prove que W é um subespaço de V e ache uma base e a dimensão de W. (Obs.: Se A = (a ij M n (C), tr(a) = n i=1 a ii). 16. Seja V = F (R, C) o conjunto de todas as funções de R em C. Sejam f 1 (x) = 1, f 2 (x) = e ix = cos(x) + isen(x), f 3 (x) = e ix. (a) Prove que {f 1, f 2, f 3 } é LI sobre C.

3 (b) Se g 1 (x) = 1, g 2 (x) = cos(x), g 3 (x) = sen(x), determine uma matriz inversível P = (p ij ), 1 i, j 3 tal que g j = 3 i=1 p ijf i. 17. Seja T : R 3 R definida por T (x, y, z) = x + 3y 2z linear. Ache uma base do Ker(T ) e de Im(T ). 18. Ache o kernel e a imagem das seguintes transformações lineares: (a) T : R 2 R 3, T (x, y) = (x y, y, x + y). (b) T : R 4 R 2, T (x, y, z, t) = (x + y + 2z, x + 2t). (c) D : P n (R) P n (R), Df = f. 19. Existe uma transformação linear T : R 3 R 2 tal que T (1, 1, 1) = (1, 0) e T (1, 1, 1) = (0, 1)? 20. Ache uma aplicação linear T : R 4 R 4 tal que Ker(T ) = [(1, 0, 1, 0); ( 1, 0, 0, 1)]. 21. Ache uma aplicação linear T : R 4 R 4 tal que Im(T ) = [(1, 1, 0, 2); (0, 1, 1, 0)]. 22. Seja T : C 3 C 3 tal que: T (x, y, z) = (x y +2z, 2x+y, x 2y +2z). (a) Mostre que T é linear. (b) Seja (a, b, c) C 3. Que condições temos que ter em a, b, c para que (a, b, c) Im(T )? Qual é o posto de T (i.e., dim Im(T ))? (c) Qual é o Ker(T )? 23. Seja A M n (K) fixada e T : M n (K) M n (K) dada por T (X) = AX XA. Mostre que T é linear. 24. Seja V um K espaço vetorial e T : V V um operador linear. Prove que são equivalentes: (a) Ker(T ) Im(T ) = {0}. (b) Se T (T v) = 0 então T v = Seja V um K espaço vetorial de dimensão finita n e seja T um operador linear em V tal que Im(T ) = Ker(T ). Prove que n é par. Dê um exemplo de tal operador linear. 26. Sejam T : R 3 R 2 e S : R 2 R 3 transformações lineares. Provar que ST não é inversível. 3

4 4 27. Seja T : C 2 C 2 dado por T (x, y) = (x, 0). Sejam B = {e 1, e 2 } base canônica de C 2, e B = {(1, i), ( i, 2)} outra base de C 2. Determine [T ] B,B, [T ] B,B, [T ] B, [T ] B Seja T : R 3 R 3 tal que [T ] can = Ache uma base de Im(T ) e uma base de Ker(T ). 29. Seja T : R 3 R 3 definida por T (x, y, z) = (3x + z, 2x + y, x + 2y + 4z). (a) ache [T ] can. (b) ache [T ] B, onde B = {(1, 0, 1); ( 1, 2, 1); (2, 1, 1)}. (c) Prove que T é inversível e determine T Sejam V um K espaço vetorial e T L(V ). Suponha que existe um h K[x] tal que h(t ) = 0 e com termo constante de h não-nulo. Mostre que T é inversível. Qual é o inverso de T? ( ) A Sejam A =, onde A 0 A 1 e A 2 são matrizes quadradas com 2 entradas em um corpo K. Mostre que o polinômio característico de A é o produto dos polinômios característicos de A 1 e A 2. ( ) A Sejam A =, onde A 0 A 1 e A 2 são matrizes quadradas com 2 entradas em um corpo K. Mostre que o polinômio minimal de A é igual ao mínimo múltiplo comum entre os polinômios minimais de A 1 e A 2, (i.e, m A = mmc(m A1, m A2 ). 33. Verifique se as matrizes abaixo são ou não diagonalizáveis, se consideradas como matrizes reais e como matrizes complexas : (Ache p A e m A em cada caso:) (a) A = (b) A =

5 (c) A = Seja A = ( ) 1 2. Calcule A 3 4 n, onde n é um inteiro positivo qualquer Seja T L(R 3 ) tal que [T ] can = Verifique que T é diagonalizável e determine uma base do R 3 formada por autovetores de T. 36. Seja V um K espaço vetorial de dimensão finita e seja T um operador linear em V tal que posto(t ) = dimim(t ) = 1. Mostre que T é diagonalizável ou T é nilpotente. (Definição: T L(V ) é nilpotente se existir um inteiro positivo m tal que T m = 0.) 37. Seja A M n (R), A = (a ij ) tal que a ij = a, i, j = 1, 2,, n. Determine o polinômio minimal de A e prove que A é diagonalizável Seja A = Determine o polinômio característico de A Ache uma matriz 3 3 cujo polinômio minimal é x Seja T L(R 4 ) tal que [T ] can = a b d 2 0 T, o c e f 2 polinômio minimal de T. Determine condições sobre a, b, c, d, e, f para que T seja diagonalizável Seja A = a 0 a 1. a a 1 (a) Para quais valores de a, a matriz A é diagonalizável? (b) Nos casos em que A é diagonalizável, ache uma matriz P tal que P 1 AP seja diagonal. 5

6 6 42. Seja V = C(R) = {f : R R f é função contínua}. Considere T L(V ) definido por T f(x) = x f(t)dt. Prove que T não admite 0 autovetores. 43. Sejam V um K espaço vetorial de dimensão finita n e T L(V ) tal que T é nilpotente. Prove que o polinômio característico de T é x n. 44. Seja A M n (K) fixa e T : M n (K) M n (K) o operador linear definido por T (X) = AX. (a) Prove que m A = m T. (b) Conclua que T é diagonalizável se e somente se, A é diagonalizável. 45. Sejam V um K espaço vetorial de dimensão finita e T L(V ) tal que T 2 = I. T é diagonalizável? Justifique sua resposta. 46. Sejam V um K espaço vetorial de dimensão finita e T L(V ) tal que T 2 = T. T é diagonalizável? Justifique sua resposta. 47. Seja T : M n (K) M n (K) o operador linear definido por T (A) = A t, onde A t indica a matriz transposta de A. Mostre que T é diagonalizável. (Observe que este exercício é um caso particular do Ex. 45.) Sejam A = e B = Prove que p A = p B, mas m A m B ( portanto, A e B não são semelhantes). Dê exemplo de duas matrizes A e B que têm o mesmo polinômio minimal, mas seus polinômios característicos são distintos. 49. Mostre que não existe A M 3 (R) tal que A 2 + I = Seja T L(R 3 ) tal que [T ] B = , onde B = {( 7, 13, 2); (3, 5, 1); (5, 10, 1)}. T é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine uma base B de R 3 tal que [T ] B seja diagonal. 51. (a) Sejam A, B M n (K), K corpo. Mostre que tr(ab) = tr(ba). (b) Sejam A, B M n (K) tais que A e B são semelhantes. Verifique que tr(a) = tr(b).

7 7 52. Sejam A, B M n (C). É possível ter-se que AB BA = I? 53. Seja A M m n (R). Mostre que A = 0 se e somente se, tr(a t A) = Sejam α 1 = (1, 0, 1, 2) e (2, 3, 1, 1) R 4. Considere W = [α 1, α 2 ]. Determine W 0. ( ) Seja B = M (R) e considere W = {A M 2 (R) AB = 0}. ( ) 0 0 Seja f W 0 e suponha que f(i 2 ) = 0 e f = 3. Calcule f(b) Seja W um subespaço próprio de um espaço V de dimensão finita. Considere f W. Mostre que existe g V tal que g(w) = f(w), w W. 57. Sejam V um espaço vetorial e f V, com f 0; mostre que existe v 0 V, v 0 0 tal que V = Ker(f) + [v 0 ]. 58. Pelo exercício 51b, matrizes semelhantes possuem o mesmo traço. Assim, podemos definir o traço de um operador linear sobre um espaço vetorial de dimensão finita, como sendo o traço de qualquer matriz que represente tal operador, relativamente a uma base ordenada. Seja A M 2 (K) fixada. Considere o operador T definido em M 2 (K) por T (X) = AX, X M 2 (K). Mostre que tr(t ) = 2tr(A). É possível generalizar? Como? (Dica: Use a base canônica de M 2 (K) para escrever a matriz de T ). 59. Sejam V = M n (C) e f V tal que f(ab) = f(ba), A, B V. Mostre que f é um múltiplo da função traço. (Dica: Considere a base canônica de V = {E ij 1 i, j n}. Mostre primeiro que f(e ij ) = 0, se i j e depois que f(eii) = c C, i = 1, 2,, n.) 60. Sejam B M n (K) e f B : M n (K) K, dada por f B (A) = tr(b t A). Mostre que f B (M n (K)). 61. (a) Sejam f (M n (K)). Mostre que existe uma matriz B M n (K) tal que f(a) = tr(b t A), A (i.e. f(a) = f B (A), A). (b) Seja T : M n (K) (M n (K)) que a cada B associa o funcional linear f B. Mostre que T é um isomorfismo. 62. Seja K corpo e f (K 2 ) dado por f(x, y) = ax + by, onde a, b K. Para cada T : K 2 K 2, abaixo, considere g = T t f. Determine g(x, y).

8 8 (a) T (x, y) = (x, 0); (b) T (x, y) = ( y, x); (c) T (x, y) = (x y, x + y) 63. Sejam V um K espaço vetorial de dimensão finita e T L(V ). Seja c K e suponha que exista um v V, v 0 tal que T v = cv. Mostre que existe f V, f 0 tal que T t f = cf. 64. Seja V espaço das funções polinomiais sobre R. Considere f V dado por f(p(x)) = b p(x)dx, onde a, b R(a b). Se D é o operador a diferenciação de V, determine D t f. 65. Sejam V = {a 0 + a 1 x + + a n x n a i R, i = 1, 2,, n}. e D o operador diferenciação em V. Ache uma base de KerD t. 66. Seja V um K espaço vetorial e W 1, W 2 subespaços vetoriais de V. (a) Mostre que (W 1 + W 2 ) 0 = W 0 1 W 0 2. (b) Mostre que se W 1 W 2 então W 0 2 W 0 1. (c) Mostre que W W 0 2 (W 1 W 2 ) 0. (d) Suponha que dim K V <. Mostre que (W 1 W 2 ) 0 = W W Sejam v 1 = (1, 0, 1); v 2 = (0, 1, 2); v 3 = ( 1, 1, 0) em R 3. (a) Seja f (R 3 ) tal que f(v 1 ) = 0; f(v 2 ) = 1; f(v 3 ) = 3. v = (x, y, z) R 3, determine f(v). (b) Descreva explicitamente f (R 3 ) tal que f(v 1 ) = 0; f(v 2 ) = 0 mas f(v 3 ) 0. (c) Nas condições do ítem anterior, se v = (2, 3, 1), mostre que f(v) Seja B = {(1, 0, 1); (1, 1, 1); (2, 2, 0)} uma base de C 3 sobre C. Ache B a base dual de B. 69. Seja V = P 2 (R), que é um R espaço vetorial. Em V estão definidos os funcionais lineares f 1 (p) = 1 p(x)dx, 2 p(x)dx, f 0 0 3(p) = 1 p(x)dx. 0 Prove que {f 1, f 2, f 3 } é uma base de V. 70. Seja f : M n (R) R um funcional linear tal que f(ab) = f(ba), para toda A, B M n (R). Prove que f é um múltiplo escalar da função traço. Se

9 71. Sejam V um K espaço vetorial e f, g V tais que g(v) = 0 implica f(v) = 0 para todo v V. Mostre que f = cg para algum c K Sejam V um K espaço vetorial de dimensão finita n; c 1, c 2,, c n escalares arbitrários em K e g 1, g 2,, g n funcionais lineares de V linearmente independentes. Prove que existe um único v V tal que g i (v) = c i, i = 1, 2,, n. 73. Seja V = M n (K) e A, B V (K = R ou C). Defina: < A, B >= tr(ab ). (a) Mostre que <, > é um produto interno sobre V. B = (b ij ) M n (C), B = (b ij), onde b ij = b ji.). (Obs: Dada (b) Mostre que < A, B >= n i,j=1 a ijb ij, onde A = (a ij ), B = (b ji ). 74. Sejam V, W espaços vetoriais e <, > W um produto interno sobre W. Seja T L(V, W ) com T injetiva. Defina: < u, v > V :=< T u, T v > W, u, v V. Mostre que <, > V é um produto interno sobre V. 75. Sejam V = R 2 e u = (x 1, x 2 ) e v = (y 1, y 2 ) e < u, v >= x 1 y 1 3x 1 y 2 3x 2 y 1 + 5x 2 y 2. Verifique que <, > não define um produto interno sobre R Seja V um K-espaço vetorial (K = R ou C) com produto interno <, >. Dados u, u V tais que < u, v >=< u, v >, v V, então u = u. 77. Seja V um K-espaço vetorial (K = R ou C) com produto interno <, >. Considere W V subespaço vetorial de V. Mostre que W W = (0). 78. Seja V = C([0, 1], R) = {f : [0, 1] R f é contínua } e defina < f, g >= 1 f(t)g(t)dt, f, g V. Mostre que <, > define um produto 0 interno sobre V. 79. Seja V um K-espaço vetorial (K = R ou C) com produto interno <, >. Mostre que vale a lei do paralelogramo. u + v 2 + u v 2 = 2 u v Seja V um K-espaço vetorial (K = R ou C) com produto interno <, >. Mostre que: (a) Se K = R, < u, v >= 0 se e somente se u + v 2 = u 2 + v 2. (b) Verifique o ítem anterior é falso, se K = C.

10 10 (c) Se K = C, < u, v >= 0 se e somente se au+bv 2 = au 2 + bv 2, a, b C. (d) Se K = R e se u = v então u + v e u v são ortogonais. Discuta essa afirmação para o caso em que K = C. 81. Considere C 3 com o produto interno canônico. Ache uma base ortonormal para o subespaço gerado por (1, 0, i) e (2, 1, 1 + i). 82. Seja V = M n (C) com o produto interno < A, B >= tr(ab ), A, B V. Considere W o subespaço de V formado pelas matrizes diagonais. Determine W. (Obs: Dada B = (b ij ) M n (C), B = (b ij), onde b ij = b ji.). 83. Seja V um K-espaço vetorial com produto interno <, >. Sejam A, W subespaços de V tais que A W e W +A = V. Mostre que W = A. 84. Seja V = C([ 1, 1], R) = {f : [ 1, 1] R f é contínua } com o produto interno < f, g >= 1 f(t)g(t)dt. Seja W = {f V f( t) = 1 f(t), t [ 1, 1]}= espaço das funções pares de V. Ache W. (Dica: Mostre que A = {f V f( t) = f(t)}=espaço das funções ímpares é tal que A W. A seguir mostre que V = A + W e conclua daí que A = W ). 85. Seja V um K-espaço vetorial com produto interno. Então < u, v > u v, u, v V. A igualdade vale se, e somente se {u, v} é L.D. 86. Seja V espaço vetorial real de dimensão ímpar n. Seja T : V V um operador linear. (a) Mostre que T possui pelo menos um autovalor real. (b) Mostre que se det(t ) > 0 (respectivamente, det(t ) < 0) então T possui pelo menos um autovalor positivo (respectivamente, negativo). 87. Seja V um espaço vetorial com base {v i } i I. Para cada i I, seja f i o funcional linear de V definido for f i (v i ) = 1 e f i (v j ) = 0 se j i. Mostre que F = {f i } i I é linearmente independente. Mostre que F gera V se e somente se I é um conjunto finito.