11 a LISTA DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark, LERCI, LEGI, LEE 1 o semestre 2003/04 - semana de

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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA a LISTA DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark LERCI LEGI LEE o semestre 23/4 - semana de Diga justificando quais dos seguintes ternos (V ) são espaços lineares reais (V representa um conjunto e e representam as operações de adição e multiplicação por um número real respectivamente): a) O conjunto de ternos ordenados (x y z) de reais com as operações: (x y z) (x y z ) = (x + x y + y z + z ) e k (x y z) = (kx y z). b) O conjunto de ternos ordenados (x y z) de reais com as operações: (x y z) (x y z ) = (x + x y + y z + z ) e k (x y z) = ( ). c) O conjunto de ternos ordenados (x y z) de reais com as operações: (x y z) (x y z ) = (x + x y + y z + z ) e k (x y z) = (2kx 2ky 2kz). d) O conjunto de pares ordenados (x y) de reais tais que x com as operações usuais em R 2. e) O conjunto de pares ordenados (x y) de reais com as operações: (x y) (x y ) = (x + x + y + y + ) e k (x y) = (kx ky). f) O conjunto dos reais positivos com as operações x x = xx e k x = x k. g) O conjunto das matrizes da forma: c com as operações usuais de adição matricial e multiplicação por um número real. h) O conjunto das matrizes da forma: a b com as operações usuais de adição matricial e multiplicação por um número real. i) O conjunto das matrizes singulares n n considerando as operações matriciais usuais. j) O conjunto das matrizes n n que comutam com uma dada matriz A com as operações matriciais usuais. k) O conjunto das funções reais de variável real tais que f(x) = f( x) (funções ímpares) considerando as operações usuais de adição de funções e multiplicação por um número real (definidas ponto a ponto).

2 l) O conjunto das funções reais de variável real tais que f() = considerando as operações usuais de adição de funções e multiplicação por um número real (definidas ponto a ponto). m) O conjunto dos polinómios reais p(x) que se anulam em x =. n) O conjunto das funções reais de variável real tais que f tem segunda derivada contínua e f (x) + af (x) + bf(x) = cos x onde a e b são dois números reais dados. Resposta: os ternos que verificam a totalidade dos axiomas de espaço linear são o das alíneas (b) (c) (d) (e) (f) (i) (l) e (n). 2. Diga justificando quais dos seguintes conjuntos com as operações definidas como sendo as operações usuais nos respectivos espaços lineares são subespaços lineares. Nos casos afirmativos indique a dimenso e umase para o respectivo subespaço. I. de M(2 2 R): a) O conjunto de matrizes da forma com a b inteiros b) O conjunto de matrizes da forma anterior em que a + d = c) O conjunto de matrizes 2 2 tais que A = A T em que A T representa a matriz transposta d) O conjunto de matrizes 2 2 tais que deta = e) O conjunto de matrizes 2 2 tais que A = A T Solução: (a) não é subespaço linear porque não é fechado para a multiplicação por escalar; (b) é o subespaço linear das { matrizes 2 2 com traço igual } a zero e uma base pode ser dada pelo conjunto temos que a dimensão deste subespaço é igual a 3. (c) é o subespaço { linear das matrizes } 2 2 anti-simétricas e umase pode ser dada pelo conjunto temos que a dimensão deste subespaço é igual a. (d) é o subespaço { linear das matrizes 2 2 } simétricas e umase pode ser dada pelo conjunto concluimos que a dimensão deste subespaço é igual a 3. (e) não é subespaço linear porque não é fechado para a soma. II. de P 3 : a) O conjunto dos polinómios de variável real a + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 tais que a = b) O conjunto dos polinómios de variável real a + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 tais que a + a + a 2 + a 3 = c) O conjunto dos polinómios de variável real a + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 tais que a a a 2 a 3 são inteiros d) O conjunto dos polinómios de variável real a + a x tais que a a são reais Solução: (a) é o subespaço linear de polinómios com grau menor ou igual a 3 e com termo constante igual a zero e umase pode ser dada pelo conjunto {x x 2 x 3 } temos assim que a dimensão deste subespaço é igual a 3. (b) é subespaço linear de polinómios

3 com grau menor ou igual a 3 em que a soma dos coeficientes se anula e umase pode ser dada pelo conjunto { x x 2 x 3 } temos assim que a dimensão deste subespaço é igual a 3. (c) não é subespaço linear porque não é fechado para a multiplicação por escalar. (d) é o subespaço linear de polinómios com grau menor ou igual a e umase pode ser dada pelo conjunto { x} temos assim que a dimensão deste subespaço é igual a Quais dos vectores seguintes são combinações lineares de 6 8 (a) 8 4 A = B = 2 2 (b) 2 3 (c) C = ? 5 (d) 7 Solução: os vectores das alíneas (b) (com os coeficientes c i = i = 2 3) e (c) (com os coeficientes c = c 2 = 2 c 3 = ). 4. Exprima os vectores p seguintes como combinações lineares de p = 2 + x + 4x 2 p 2 = x + 3x 2 e p 3 = 3 + 2x + 5x 2. (a) p = 9 7x 5x 2 (b) p = 6 + x + 6x 2 (c) (d) p = 7 + 8x + 9x 2 Solução: (a) p = 3 p p 2 p 3 ; (c) p = p + p 2 + p Diga justificando quais dos seguintes conjuntos constituem bases I. de M(2 2 R): a) O conjunto das matrizes b) O conjunto das primeiras três matrizes 2 c) O conjunto formado pelas matrizes da alínea a) e a matriz 3 Resposta: (a) é base de M(2 2 R) (b) não gera M(2 2 R) (c) não é base porque L.D. II. de P 2 : a) B = { 3x + 2x 2 + x + 4x 2 7x} b) B 2 = { 3x + 2x 2 + x + 4x 2 7x 2 + x 3x 2 } c) B 3 = { + x + x 2 x + x 2 x 2 } d) B 4 = { 4 + x + 3x x + 2x x + x 2 } Resposta: (a) e (b) não são bases porque L.D. (no primeiro caso nem geram P 2 ) (c) e (d) s ão bases dep Seja V o espaço constituido pela expansão linear dos vectores u = cos 2 x v = sin 2 x e w = cos(2x). (a) Mostre que S = {u v w} não é umase de V. (b) Encontre umase para V. Solução: (a) de facto temos w = u v; (b) por exemplo {u v}.

4 7. Escreva o vector v nas seguintes bases B = {v v 2 v 3 } de P 2 : a) v = 4 3x + x 2 ; v = v 2 = x v 3 = x 2 b) v = 2 x + x 2 ; v = + x v 2 = + x 2 v 3 = x + x 2 Solução: (a) (v) B = (4 3 ); (b)(v) B = ( 2 ). 8. Exprima as coordenadas do vector A relativamente às seguintes bases B = {A A 2 A 3 A 4 }. 2 a) A = ; A 3 = A 2 = A 3 = A 4 = b) A = 2 ; A = A 2 = A 3 = A 4 = Solução: (a) (v) B = ( 3). 9. Diga justificando quais das seguintes funções constituem transformações lineares. a) T : M(2 2 R) M(2 3 R) tal que T (A) = AB em que B é uma matriz fixa 2 3. b) T : M(n n R) R tal que T (A) = tra em que tra representa o traço da matriz A. c) T : M(m n R) M(n m R) tal que T (A) = A T em que A T representa a matriz transposta da matriz A. ( ) d) T : M(2 2 R) R tal que T = 3a 4b+c d em que a b R. ( ) e) T : M(2 2 R) R tal que T = a 2 + b 2 em que a b R. f) T : P 2 P 2 tal que T (a + bx + cx 2 ) = a + b(x + ) + c(x + ) 2 em que a b c R. g) T : P 2 P 2 tal que T (a + bx + cx 2 ) = (a + ) + (b + )x + (c + )x 2 em que a b c R. Resposta: as funções que são transformações lineares são as das alíneas (a) (b) (c) (d) (f).. Considere o espaço linear P 2 dos polinómios reais de variável real de grau menor ou igual a 2 e a transformação linear T : P 2 P 2 definida por onde f designa a derivada de f. f(t) 2f (t) f(t) a) Determine a matriz que representa a transformação linear T em relação à base { t t 2 } (base canónica) de P 2. Diga justificando se a transformação linear T é invertível.

5 b) Encontre a função g P 2 tal que (T (g))(t) = (t + ) 2 t R. Solução: (a) A = M(T B P 2 c B P 2 c ) = 2 4. (b) (g)(t) = 3 6t t 2.. Considere as transformações lineares T : M(2 2 R) M(2 2 R) e T 2 : M(2 2 R) M(2 2 R) em que M(2 2 R) representa o espaço vectorial das matrizes 2 2 com entradas reais dadas por T (A) = A+AT e T (A) = A AT. 2 a) Determine as matrizes que representam T e T 2 respectivamente relativamente à base canónica de M(2 2 R) no espaço de partida e de chegada. Indique os valores próprios de T e T 2. b) Calcule T ( 2 ) e T 2 ( 2 ) c) Mostre que as imagens de T e T 2 são complementos ortogonais quando se considera o produto interno usual em M(2 2 R).. Solução: a) M(T Bc M(2 2) Bc M(2 2) ) = M(T 2 Bc M(2 2) Bc M(2 2) ) = temos então o polinómio característico de T : p(λ) = ( λ) ( 2 3 ( 2 λ) + 2 λ) (va.p. λ = 3) e o polinómio característico de T 2: p(λ) = (λ )λ 3 (va.p. ( ) ( ) 2 5 λ = ); b) T = T 4 2 = 2

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