11 a LISTA DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark, LERCI, LEGI, LEE 1 o semestre 2003/04 - semana de

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "11 a LISTA DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark, LERCI, LEGI, LEE 1 o semestre 2003/04 - semana de 2003-12-08"

Transcrição

1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA a LISTA DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark LERCI LEGI LEE o semestre 23/4 - semana de Diga justificando quais dos seguintes ternos (V ) são espaços lineares reais (V representa um conjunto e e representam as operações de adição e multiplicação por um número real respectivamente): a) O conjunto de ternos ordenados (x y z) de reais com as operações: (x y z) (x y z ) = (x + x y + y z + z ) e k (x y z) = (kx y z). b) O conjunto de ternos ordenados (x y z) de reais com as operações: (x y z) (x y z ) = (x + x y + y z + z ) e k (x y z) = ( ). c) O conjunto de ternos ordenados (x y z) de reais com as operações: (x y z) (x y z ) = (x + x y + y z + z ) e k (x y z) = (2kx 2ky 2kz). d) O conjunto de pares ordenados (x y) de reais tais que x com as operações usuais em R 2. e) O conjunto de pares ordenados (x y) de reais com as operações: (x y) (x y ) = (x + x + y + y + ) e k (x y) = (kx ky). f) O conjunto dos reais positivos com as operações x x = xx e k x = x k. g) O conjunto das matrizes da forma: c com as operações usuais de adição matricial e multiplicação por um número real. h) O conjunto das matrizes da forma: a b com as operações usuais de adição matricial e multiplicação por um número real. i) O conjunto das matrizes singulares n n considerando as operações matriciais usuais. j) O conjunto das matrizes n n que comutam com uma dada matriz A com as operações matriciais usuais. k) O conjunto das funções reais de variável real tais que f(x) = f( x) (funções ímpares) considerando as operações usuais de adição de funções e multiplicação por um número real (definidas ponto a ponto).

2 l) O conjunto das funções reais de variável real tais que f() = considerando as operações usuais de adição de funções e multiplicação por um número real (definidas ponto a ponto). m) O conjunto dos polinómios reais p(x) que se anulam em x =. n) O conjunto das funções reais de variável real tais que f tem segunda derivada contínua e f (x) + af (x) + bf(x) = cos x onde a e b são dois números reais dados. Resposta: os ternos que verificam a totalidade dos axiomas de espaço linear são o das alíneas (b) (c) (d) (e) (f) (i) (l) e (n). 2. Diga justificando quais dos seguintes conjuntos com as operações definidas como sendo as operações usuais nos respectivos espaços lineares são subespaços lineares. Nos casos afirmativos indique a dimenso e umase para o respectivo subespaço. I. de M(2 2 R): a) O conjunto de matrizes da forma com a b inteiros b) O conjunto de matrizes da forma anterior em que a + d = c) O conjunto de matrizes 2 2 tais que A = A T em que A T representa a matriz transposta d) O conjunto de matrizes 2 2 tais que deta = e) O conjunto de matrizes 2 2 tais que A = A T Solução: (a) não é subespaço linear porque não é fechado para a multiplicação por escalar; (b) é o subespaço linear das { matrizes 2 2 com traço igual } a zero e uma base pode ser dada pelo conjunto temos que a dimensão deste subespaço é igual a 3. (c) é o subespaço { linear das matrizes } 2 2 anti-simétricas e umase pode ser dada pelo conjunto temos que a dimensão deste subespaço é igual a. (d) é o subespaço { linear das matrizes 2 2 } simétricas e umase pode ser dada pelo conjunto concluimos que a dimensão deste subespaço é igual a 3. (e) não é subespaço linear porque não é fechado para a soma. II. de P 3 : a) O conjunto dos polinómios de variável real a + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 tais que a = b) O conjunto dos polinómios de variável real a + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 tais que a + a + a 2 + a 3 = c) O conjunto dos polinómios de variável real a + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 tais que a a a 2 a 3 são inteiros d) O conjunto dos polinómios de variável real a + a x tais que a a são reais Solução: (a) é o subespaço linear de polinómios com grau menor ou igual a 3 e com termo constante igual a zero e umase pode ser dada pelo conjunto {x x 2 x 3 } temos assim que a dimensão deste subespaço é igual a 3. (b) é subespaço linear de polinómios

3 com grau menor ou igual a 3 em que a soma dos coeficientes se anula e umase pode ser dada pelo conjunto { x x 2 x 3 } temos assim que a dimensão deste subespaço é igual a 3. (c) não é subespaço linear porque não é fechado para a multiplicação por escalar. (d) é o subespaço linear de polinómios com grau menor ou igual a e umase pode ser dada pelo conjunto { x} temos assim que a dimensão deste subespaço é igual a Quais dos vectores seguintes são combinações lineares de 6 8 (a) 8 4 A = B = 2 2 (b) 2 3 (c) C = ? 5 (d) 7 Solução: os vectores das alíneas (b) (com os coeficientes c i = i = 2 3) e (c) (com os coeficientes c = c 2 = 2 c 3 = ). 4. Exprima os vectores p seguintes como combinações lineares de p = 2 + x + 4x 2 p 2 = x + 3x 2 e p 3 = 3 + 2x + 5x 2. (a) p = 9 7x 5x 2 (b) p = 6 + x + 6x 2 (c) (d) p = 7 + 8x + 9x 2 Solução: (a) p = 3 p p 2 p 3 ; (c) p = p + p 2 + p Diga justificando quais dos seguintes conjuntos constituem bases I. de M(2 2 R): a) O conjunto das matrizes b) O conjunto das primeiras três matrizes 2 c) O conjunto formado pelas matrizes da alínea a) e a matriz 3 Resposta: (a) é base de M(2 2 R) (b) não gera M(2 2 R) (c) não é base porque L.D. II. de P 2 : a) B = { 3x + 2x 2 + x + 4x 2 7x} b) B 2 = { 3x + 2x 2 + x + 4x 2 7x 2 + x 3x 2 } c) B 3 = { + x + x 2 x + x 2 x 2 } d) B 4 = { 4 + x + 3x x + 2x x + x 2 } Resposta: (a) e (b) não são bases porque L.D. (no primeiro caso nem geram P 2 ) (c) e (d) s ão bases dep Seja V o espaço constituido pela expansão linear dos vectores u = cos 2 x v = sin 2 x e w = cos(2x). (a) Mostre que S = {u v w} não é umase de V. (b) Encontre umase para V. Solução: (a) de facto temos w = u v; (b) por exemplo {u v}.

4 7. Escreva o vector v nas seguintes bases B = {v v 2 v 3 } de P 2 : a) v = 4 3x + x 2 ; v = v 2 = x v 3 = x 2 b) v = 2 x + x 2 ; v = + x v 2 = + x 2 v 3 = x + x 2 Solução: (a) (v) B = (4 3 ); (b)(v) B = ( 2 ). 8. Exprima as coordenadas do vector A relativamente às seguintes bases B = {A A 2 A 3 A 4 }. 2 a) A = ; A 3 = A 2 = A 3 = A 4 = b) A = 2 ; A = A 2 = A 3 = A 4 = Solução: (a) (v) B = ( 3). 9. Diga justificando quais das seguintes funções constituem transformações lineares. a) T : M(2 2 R) M(2 3 R) tal que T (A) = AB em que B é uma matriz fixa 2 3. b) T : M(n n R) R tal que T (A) = tra em que tra representa o traço da matriz A. c) T : M(m n R) M(n m R) tal que T (A) = A T em que A T representa a matriz transposta da matriz A. ( ) d) T : M(2 2 R) R tal que T = 3a 4b+c d em que a b R. ( ) e) T : M(2 2 R) R tal que T = a 2 + b 2 em que a b R. f) T : P 2 P 2 tal que T (a + bx + cx 2 ) = a + b(x + ) + c(x + ) 2 em que a b c R. g) T : P 2 P 2 tal que T (a + bx + cx 2 ) = (a + ) + (b + )x + (c + )x 2 em que a b c R. Resposta: as funções que são transformações lineares são as das alíneas (a) (b) (c) (d) (f).. Considere o espaço linear P 2 dos polinómios reais de variável real de grau menor ou igual a 2 e a transformação linear T : P 2 P 2 definida por onde f designa a derivada de f. f(t) 2f (t) f(t) a) Determine a matriz que representa a transformação linear T em relação à base { t t 2 } (base canónica) de P 2. Diga justificando se a transformação linear T é invertível.

5 b) Encontre a função g P 2 tal que (T (g))(t) = (t + ) 2 t R. Solução: (a) A = M(T B P 2 c B P 2 c ) = 2 4. (b) (g)(t) = 3 6t t 2.. Considere as transformações lineares T : M(2 2 R) M(2 2 R) e T 2 : M(2 2 R) M(2 2 R) em que M(2 2 R) representa o espaço vectorial das matrizes 2 2 com entradas reais dadas por T (A) = A+AT e T (A) = A AT. 2 a) Determine as matrizes que representam T e T 2 respectivamente relativamente à base canónica de M(2 2 R) no espaço de partida e de chegada. Indique os valores próprios de T e T 2. b) Calcule T ( 2 ) e T 2 ( 2 ) c) Mostre que as imagens de T e T 2 são complementos ortogonais quando se considera o produto interno usual em M(2 2 R).. Solução: a) M(T Bc M(2 2) Bc M(2 2) ) = M(T 2 Bc M(2 2) Bc M(2 2) ) = temos então o polinómio característico de T : p(λ) = ( λ) ( 2 3 ( 2 λ) + 2 λ) (va.p. λ = 3) e o polinómio característico de T 2: p(λ) = (λ )λ 3 (va.p. ( ) ( ) 2 5 λ = ); b) T = T 4 2 = 2

ficha 3 espaços lineares

ficha 3 espaços lineares Exercícios de Álgebra Linear ficha 3 espaços lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 3 Notação Sendo

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2013/I

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2013/I 1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 013/I 1 Sejam u = ( 4 3) v = ( 5) e w = (a b) Encontre a e b tais

Leia mais

4 a LISTA DE EXERCÍCIOS Valores Próprios e Vectores Próprios Álgebra Linear - 1 o Semestre - 2013/2014 LEE, LEGI, LEIC-TP, LETI

4 a LISTA DE EXERCÍCIOS Valores Próprios e Vectores Próprios Álgebra Linear - 1 o Semestre - 2013/2014 LEE, LEGI, LEIC-TP, LETI 4 a LISTA DE EXERCÍCIOS Valores Próprios e Vectores Próprios Álgebra Linear - 1 o Semestre - 2013/2014 LEE, LEGI, LEIC-TP, LETI Problema 1 Considere a matriz A = 1 0 0 0 2 1 2 0 3 Diga quais dos seguintes

Leia mais

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013 Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante

Leia mais

Recordamos que Q M n n (R) diz-se ortogonal se Q T Q = I.

Recordamos que Q M n n (R) diz-se ortogonal se Q T Q = I. Diagonalização ortogonal de matrizes simétricas Detalhes sobre a Secção.3 dos Apontamentos das Aulas teóricas de Álgebra Linear Cursos: LMAC, MEBiom e MEFT (semestre, 0/0, Prof. Paulo Pinto) Recordamos

Leia mais

Aulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear

Aulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear Aulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear Nuno Martins Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Maio de Índice Parte I (Aulas teóricas e chas de exercícios) Matrizes e sistemas de equações

Leia mais

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa

Leia mais

Notas de Aula. Álgebra Linear I

Notas de Aula. Álgebra Linear I Notas de Aula Álgebra Linear I Rodney Josué Biezuner 1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula da disciplina Álgebra Linear

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR ISBN 978-85-915683-0-7

ÁLGEBRA LINEAR ISBN 978-85-915683-0-7 . ÁLGEBRA LINEAR ISBN 978-85-915683-0-7 ROBERTO DE MARIA NUNES MENDES Professor do Departamento de Matemática e Estatística e do Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica da PUCMINAS Belo Horizonte

Leia mais

5 Transformações Lineares e Matrizes

5 Transformações Lineares e Matrizes Nova School of Business and Economics Prática Álgebra Linear 5 Transformações Lineares e Matrizes 1 Definição Função de em Aplicação que faz corresponder a cada elemento de um conjunto (domínio), denominado

Leia mais

Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing)

Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) ISCTE, Escola de Gestão Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) Diana Aldea Mendes 29 de Outubro de 2008 Espaços Vectoriais Definição (vector): Chama-se vector edesigna-sepor v um objecto matemático caracterizado

Leia mais

2 Matrizes. 3 Definição Soma de duas matrizes, e ( ) 4 Propriedades Propriedades da soma de matrizes ( )

2 Matrizes. 3 Definição Soma de duas matrizes, e ( ) 4 Propriedades Propriedades da soma de matrizes ( ) Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Matriz ( ) Conjunto de elementos dispostos em linhas e colunas. Ex.: 0 1 é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas. 2 Definição

Leia mais

NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR

NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇO VETORIAL REAL NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS Seja um conjunto V φ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar, tais que u, v V, u+v V e α R, u V, αu V

Leia mais

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Álgebra Linear André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Janeiro/2006 Índice 1 Sistemas Lineares 1 11 Corpos 1 12 Sistemas de Equações Lineares 3 13 Sistemas equivalentes 4 14 Operações elementares

Leia mais

Capítulo 5: Transformações Lineares

Capítulo 5: Transformações Lineares 5 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 5: Transformações Lineares Sumário 1 O que são as Transformações Lineares?...... 124 2 Núcleo e Imagem....................

Leia mais

Cálculo. Álgebra Linear. Programação Computacional. Metodologia Científica

Cálculo. Álgebra Linear. Programação Computacional. Metodologia Científica UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL Cálculo Álgebra Linear Programação Computacional Metodologia Científica Realização: Fortaleza, Fevereiro/2012 UNIVERSIDADE

Leia mais

Revisão para a Bimestral 8º ano

Revisão para a Bimestral 8º ano Revisão para a Bimestral 8º ano 1- Quadrado da soma de dois termos Observe: (a + b)² = ( a + b). (a + b) = a² + ab+ ab + b² = a² + 2ab + b² Conclusão: (primeiro termo)² + 2.(primeiro termo). (segundo termo)

Leia mais

Expansão linear e geradores

Expansão linear e geradores Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 4 Expansão linear e geradores Se u ; u ; :::; u n são vectores de um espaço vectorial V; como foi visto atrás, alguns vectores de V são combinação linear de u ; u ; :::;

Leia mais

Mestrados Integrados em Engenharia Mecânica e em Eng Industrial e Gestão ANÁLISE MATEMÁTICA III DEMec 010-11-0 1ºTESTE A duração do exame é horas + 30minutos. Cotação: As perguntas 1 e 6 valem valores,

Leia mais

Resolução dos Exercícios 8 e 10 da lista 7.

Resolução dos Exercícios 8 e 10 da lista 7. Resolução dos Exercícios 8 e 10 da lista 7. 8) Seja T : R 3 R 3 a transformação linear tal que T (e 3 ) = 3e 1 + e 2 2e 3, T (e 2 + e 3 ) = e 1, T (e 1 + e 2 + e 3 ) = e 2 + e 3, a) Calcule T (2e 1 e 2

Leia mais

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 11/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 11/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 11/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A FICHA 8 APLICAÇÕES E COMPLEMENTOS Sistemas Dinâmicos Discretos (1) (Problema

Leia mais

Tópicos Matriciais Pedro Henrique O. Pantoja Natal / RN

Tópicos Matriciais Pedro Henrique O. Pantoja Natal / RN 1. Traço de Matrizes. Definição 1.1: O traço de uma matriz quadrada A a de ordem n é a soma dos elementos da diagonal principal. Em símbolos, TrA a a a a. Daqui em diante, A denotará uma matriz quadrada

Leia mais

2. O número de vectores da base de L construída na alínea anterior é a soma do número de vectores das bases de M e N.

2. O número de vectores da base de L construída na alínea anterior é a soma do número de vectores das bases de M e N. 2.4. PROJECÇÕES 2. dim(l)=dim(m)+dim(n) Demonstração. Se L=M N, qualquer vector x L se pode escrever de forma única como a soma de um vector x M M e outro vector x N N. 1. Dada uma base de M, x M pode

Leia mais

Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz

Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz setor 08 080509 080509-SP Aula 35 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A = A A = I n

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Álgebra Linear e Geometria Analítica Álgebra Linear e Geometria Analítica Departamento de Matemática para a Ciência e Tecnologia Universidade do Minho 2005/2006 Engenharia e Gestão Industrial Engenharia Electrónica Industrial e de Computadores

Leia mais

Este apêndice resume os conceitos de álgebra matricial, inclusive da álgebra de probabilidade,

Este apêndice resume os conceitos de álgebra matricial, inclusive da álgebra de probabilidade, D Resumo de Álgebra Matricial Este apêndice resume os conceitos de álgebra matricial, inclusive da álgebra de probabilidade, necessária para o estudo de modelos de regressão linear múltipla usando matrizes,

Leia mais

Ex 4.3 O anel é construído pelos polinômios S 1 1 S 2. x S 3. x 1 S 4. x 2 S 5. x 2 1 S 6. x 2 x S 7. x 2 x 1 S 8. x 3 S 9

Ex 4.3 O anel é construído pelos polinômios S 1 1 S 2. x S 3. x 1 S 4. x 2 S 5. x 2 1 S 6. x 2 x S 7. x 2 x 1 S 8. x 3 S 9 Ex. 4.1 As palavras código são c 0 = [0 0 0 0 0 0 0], c 1 = [0 0 0 1 1 0 1], c 2 = [0 0 1 1 0 1 0], c 3 = [0 0 1 0 1 1 1], c 4 = [0 1 1 0 1 0 0], c 5 = [0 1 1 1 0 0 1], c 6 = [0 1 0 1 1 1 0], c 7 = [0

Leia mais

UNIV ERSIDADE DO EST ADO DE SANT A CAT ARINA UDESC CENT RO DE CI ^ENCIAS T ECNOLOGICAS DEP ART AMENT O DE MAT EMAT ICA DMAT

UNIV ERSIDADE DO EST ADO DE SANT A CAT ARINA UDESC CENT RO DE CI ^ENCIAS T ECNOLOGICAS DEP ART AMENT O DE MAT EMAT ICA DMAT UNIV ERSIDADE DO EST ADO DE SANT A CAT ARINA UDESC CENT RO DE CI ^ENCIAS T ECNOLOGICAS CCT DEP ART AMENT O DE MAT EMAT ICA DMAT Professora Graciela Moro Exercícios sobre Matrizes, Determinantes e Sistemas

Leia mais

Códigos Lineares CAPÍTULO 4

Códigos Lineares CAPÍTULO 4 CAPÍTULO 4 Códigos Lineares 1. Definição, pârametros e peso mínimo Seja F q o corpo de ordem q. Portanto, pelo Teorema 3.24, q = p m para algum primo p e inteiro positivo m. Definição 4.1. Um código linear

Leia mais

Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas

Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos : conjunto dos números racionais : conjunto dos números reais : conjunto dos números inteiros = {0,,, 3,...} * = {,, 3,...} Ø: conjunto vazio A\B =

Leia mais

Aula: Equações polinomiais

Aula: Equações polinomiais Aula: Equações polinomiais Turma 1 e 2 Data: 05/09/2012-12/09/2012 Tópicos Equações polinomiais. Teorema fundamental da álgebra. Raízes reais e complexas. Fatoração e multiplicação de raízes. Relações

Leia mais

MATEMÁTICA. y Q. (a,b)

MATEMÁTICA. y Q. (a,b) MATEMÁTICA 1. Sejam (a, b), com a e b positivos, as coordenadas de um ponto no plano cartesiano, e r a reta com inclinação m

Leia mais

Marília Brasil Xavier REITORA. Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

Marília Brasil Xavier REITORA. Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA Marília Brasil Xavier REITORA Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA MATERIAL DIDÁTICO EDITORAÇÃO ELETRONICA Odivaldo Teixeira Lopes ARTE FINAL DA CAPA Odivaldo Teixeira

Leia mais

2.2 Subespaços Vetoriais

2.2 Subespaços Vetoriais 32 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS 2.2 Subespaços Vetoriais Sejam V um espaço vetorial sobre R e W um subconjunto de V. Dizemos que W é um subespaço (vetorial) de V se as seguintes condições são satisfeitas:

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares

Leia mais

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA CAPÍULO 6 ANSFOMAÇÃO LINEA Introdução Muitos problemas de Matemática Aplicada envolvem o estudo de transformações, ou seja, a maneira como certos dados de entrada são

Leia mais

(os números, que constituirão os corpos numéricos) (os vetores, que constituirão os espaços vetoriais)

(os números, que constituirão os corpos numéricos) (os vetores, que constituirão os espaços vetoriais) Os objetos que serão considerados aqui são de duas natureza: Escalar: Vetorial: (os números, que constituirão os corpos numéricos) (os vetores, que constituirão os espaços vetoriais). Corpos Numéricos

Leia mais

Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação

Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação Gustavo Sousa Pavani Universidade Federal do ABC (UFABC) 3º Trimestre - 2009 Aulas 1 e 2 Sobre o curso Bibliografia: James Stewart, Cálculo, volume I,

Leia mais

. Determine os valores de P(1) e P(22).

. Determine os valores de P(1) e P(22). Resolução das atividades complementares Matemática M Polinômios p. 68 Considere o polinômio P(x) x x. Determine os valores de P() e P(). x x P() 0; P() P(x) (x x)? x (x ) x x x P()? 0 P() ()? () () 8 Seja

Leia mais

Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma:

Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma: Sistemas Lineares Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma: s: 2 3 6 a) 5 2 3 7 b) 9 2 3 Resolução de sistemas lineares Metodo da adição 4 100

Leia mais

GLOSSÁRIO: UM DICIONÁRIO PARA ÁLGEBRA LINEAR

GLOSSÁRIO: UM DICIONÁRIO PARA ÁLGEBRA LINEAR GLOSSÁRIO: UM DICIONÁRIO PARA ÁLGEBRA LINEAR Matriz de adjacência de um grafo. Matriz quadrada com a ij = 1 quando existe uma arestado nodo i para o nodo j; caso contrário a ij = 0. A = A T para um grafo

Leia mais

E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO

E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO Dizemos que uma equação é linear, ou de primeiro grau, em certa incógnita, se o maior expoente desta variável for igual a um. Ela será quadrática, ou

Leia mais

Parte 2. Polinômios sobre domínios e corpos

Parte 2. Polinômios sobre domínios e corpos Parte Polinômios sobre domínios e corpos Pressupomos que o estudante tenha familiaridade com os anéis comutativos com unidade, em particular com domínios e corpos. Alguns exemplos importantes são Z Q R

Leia mais

Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas

Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas 2 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas Sumário 1 Transformação de Matrizes.............. 3 1.1

Leia mais

Transformações Lineares. Carlos Luz, Ana Matos, Sandra Nunes Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal

Transformações Lineares. Carlos Luz, Ana Matos, Sandra Nunes Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Transformações Lineares Carlos Luz, Ana Matos, Sandra Nunes Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Ano Lectivo 2004/2005 Índice Definição Representação Matricial 2 AComposiçãodeTransformaçõesLineareseoProdutoMatricial

Leia mais

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é:

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é: Aluno(a) Nº. Ano: º do Ensino Médio Exercícios para a Recuperação de MATEMÁTICA - Professores: Escossi e Luciano NÚMEROS COMPLEXOS 1) Calculando-se corretamente as raízes da função f(x) = x + 4x + 5, encontram-se

Leia mais

INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS FACTORIAIS

INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS FACTORIAIS Capítulo II INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS FACTORIAIS A Análise Factorial de Correspondências é uma técnica simples do ponto de vista matemático e computacional. Porém, devido ao elevado suporte geométrico desta

Leia mais

Capítulo 1: Sistemas Lineares e Matrizes

Capítulo 1: Sistemas Lineares e Matrizes 1 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 1: Sistemas Lineares e Matrizes Sumário 1 O que é Álgebra Linear?............... 2 1.1 Corpos.........................

Leia mais

A ideia de coordenatização (2/2)

A ideia de coordenatização (2/2) 8 a : aula (1h) 12/10/2010 a ideia de coordenatização (2/2) 8-1 Instituto Superior Técnico 2010/11 1 o semestre Álgebra Linear 1 o ano das Lics. em Engenharia Informática e de Computadores A ideia de coordenatização

Leia mais

QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS

QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS LENIMAR NUNES DE ANDRADE INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA: QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS 1 a edição ISBN 978-85-917238-0-5 João Pessoa Edição do Autor 2014 Prefácio Este texto foi elaborado para a disciplina Introdução

Leia mais

Lógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO

Lógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO 5 FUNÇÃO 5.1 Introdução O conceito de função fundamenta o tratamento científico de problemas porque descreve e formaliza a relação estabelecida entre as grandezas que o integram. O rigor da linguagem e

Leia mais

1ª Parte Questões de Múltipla Escolha

1ª Parte Questões de Múltipla Escolha MATEMÁTICA 11 a 1ª Parte Questões de Múltipla Escolha A soma dos cinco primeiros termos de uma PA vale 15 e o produto desses termos é zero. Sendo a razão da PA um número inteiro e positivo, o segundo termo

Leia mais

POLINÔMIOS. x 2x 5x 6 por x 1 x 2. 10 seja x x 3

POLINÔMIOS. x 2x 5x 6 por x 1 x 2. 10 seja x x 3 POLINÔMIOS 1. (Ueg 01) A divisão do polinômio a) x b) x + c) x 6 d) x + 6 x x 5x 6 por x 1 x é igual a:. (Espcex (Aman) 01) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que A x B x x x x 1. Sabendo-se que 1 é raiz

Leia mais

Exercícios de Matemática Matrizes

Exercícios de Matemática Matrizes Exercícios de Matemática Matrizes ) (Unicamp-999) Considere as matrizes: cos sen x sen cos y M=, X = z e Y = a) Calcule o determinante de M e a matriz inversa de M. b) Resolva o sistema MX = Y. ) (ITA-6)

Leia mais

Capítulo 3. Cálculo Vetorial. 3.1 Segmentos Orientados

Capítulo 3. Cálculo Vetorial. 3.1 Segmentos Orientados Capítulo 3 Cálculo Vetorial O objetivo deste capítulo é o estudo de vetores de um ponto de vista geométrico e analítico. De acordo com a necessidade, a abordagem do assunto será formal ou informal. O estudo

Leia mais

Título: Sistemas Lineares no CAp UFRJ: Interpretações Algébrica e Gráfica

Título: Sistemas Lineares no CAp UFRJ: Interpretações Algébrica e Gráfica Autor Letícia Guimarães Rangel Co-autor(es): Fernando Celso Villar Marinho Lílian Káram Parente Cury Spiller Rita Maria Cardoso Meirelles Tipo de Pesquisa Ensino Médio Números e Operações Componente Curricular

Leia mais

Soluções abreviadas de alguns exercícios

Soluções abreviadas de alguns exercícios Tópicos de cálculo para funções de várias variáveis Soluções abreviadas de alguns exercícios Instituto Superior de Agronomia - 2 - Capítulo Tópicos de cálculo diferencial. Domínio, curva de nível e gráfico.

Leia mais

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 3. alternativa D. alternativa A. alternativa D. alternativa C

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 3. alternativa D. alternativa A. alternativa D. alternativa C Questão TIPO DE PROVA: A Se a circunferência de um círculo tiver o seu comprimento aumentado de 00%, a área do círculo ficará aumentada de: a) 00% d) 00% b) 400% e) 00% c) 50% Aumentando o comprimento

Leia mais

Álgebra Linear Resumo das aulas teóricas e práticas Paulo R. Pinto http://www.math.ist.utl.pt/ ppinto/ Lisboa, Novembro de 2011

Álgebra Linear Resumo das aulas teóricas e práticas Paulo R. Pinto http://www.math.ist.utl.pt/ ppinto/ Lisboa, Novembro de 2011 Álgebra Linear Resumo das aulas teóricas e práticas Paulo R Pinto http://wwwmathistutlpt/ ppinto/ Lisboa, Novembro de 2011 Conteúdo 1 Matrizes e sistemas lineares 1 11 Álgebra das Matrizes 1 12 Operações

Leia mais

R é o conjunto dos reais; f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range).

R é o conjunto dos reais; f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range). f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range). R é o conjunto dos reais; R n é o conjunto dos vetores n-dimensionais reais; Os vetores

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL Realização: UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL Álgebra Linear Realização:

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE. VESTIBULAR 2013 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE. VESTIBULAR 2013 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE VESTIBULAR 0 a Fase Profa. Maria Antônia Gouveia. 0. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6cm. A, B, C e D são os vértices indicados do cubo, E é o centro da

Leia mais

NIVELAMENTO MATEMÁTICA 2012

NIVELAMENTO MATEMÁTICA 2012 NIVELAMENTO MATEMÁTICA 202 Monitor: Alexandre Rodrigues Loures Monitor: Alexandre Rodrigues Loures SUMÁRIO. LOGARITMOS... 3.. Mudança de base... 3.2. Propriedades dos logaritmos... 4 2. DERIVADAS... 4

Leia mais

Matrizes e Determinantes

Matrizes e Determinantes Capítulo 1 Matrizes e Determinantes 11 Generalidades Iremos usar K para designar IR conjunto dos números reais C conjunto dos números complexos Deste modo, chamaremos números ou escalares aos elementos

Leia mais

Explorações de alunos

Explorações de alunos A partir dos exemplos sugeridos e explorados pelos alunos pretende-se que possam conjecturar que, dadas duas funções reais de variável real f e g, o domínio da função quociente pode ser dado por: f f g

Leia mais

esse determinante se anula. Tomemos a matriz ampliada do sistema, com a 2 :

esse determinante se anula. Tomemos a matriz ampliada do sistema, com a 2 : 1. Sobre o sistema de equações lineares apresentado abaixo, analise as proposições a seguir, sendo a um parâmetro real. x y z x ay z 1 x y z 3 ( ) Se a, então o sistema admite infinitas soluções. ( ) O

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...

Leia mais

Álgebra linear algorítmica

Álgebra linear algorítmica Álgebra linear algorítmica S. C. Coutinho Este arquivo reúne as provas do curso álgebra linear algorítmica (MAB 5) oferecido pelo Departamento de Ciência da Computação da UFRJ. Primeira Prova200/. Seja

Leia mais

Introdução MATRIZES. O que vocês acham? Onde podemos usar Matrizes além dos estudos de matemática?

Introdução MATRIZES. O que vocês acham? Onde podemos usar Matrizes além dos estudos de matemática? PROBBILIDDES Professora Rosana Relva Números Inteiros e Racionais Introdução rrelva@globo.com O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada. Onde

Leia mais

Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa TÓPICOS DE CORRECÇÃO DO EXAME DE CÁLCULO I. Ano Lectivo 2007-08 - 1 o Semestre

Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa TÓPICOS DE CORRECÇÃO DO EXAME DE CÁLCULO I. Ano Lectivo 2007-08 - 1 o Semestre Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa TÓPICOS DE COECÇÃO DO EXAME DE CÁLCULO I Ano Lectivo 7-8 - o Semestre Exame Final em 7 de Janeiro de 8 Versão B Duração: horas e 3 minutos Não é permitido

Leia mais

Álgebra Linear I Solução da 5ª Lista de Exercícios

Álgebra Linear I Solução da 5ª Lista de Exercícios FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Graduação em Engenharia de Produção Curso de Graduação em Engenharia Ambiental e Sanitária

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior

Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=disc jc Aula 02 ATIVIDADE 01 Para poupar esforço de digitação, você pode usar o tradicional

Leia mais

MATRIZES Matriz quadrada Matriz linha e matriz coluna Matriz diagonal Matriz identidade

MATRIZES Matriz quadrada Matriz linha e matriz coluna Matriz diagonal Matriz identidade MATRIZES Matriz quadrada matriz quadrada de ordem. diagonal principal matriz quadrada de ordem. - 7 9 diagonal principal diagonal secundária Matriz linha e matriz coluna [ ] colunas). (linha e matriz linha

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Pesquisa Operacional Prof. José Luiz Resolver um problema de Programação Linear significa basicamente resolver sistemas de equações lineares; Esse procedimento, apesar de correto, é bastante trabalhoso,

Leia mais

CPV O cursinho que mais aprova na GV

CPV O cursinho que mais aprova na GV O cursinho que mais aprova na GV FGV ADM Objetiva 06/junho/010 MATemática 01. O monitor de um notebook tem formato retangular com a diagonal medindo d. Um lado do retângulo mede 3 do outro. 4 A área do

Leia mais

FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA

FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA E N A D E 005 LICENCIATURA MATEMÁTICA QUESTÕES RESOLVIDAS I N T R O D U Ç Ã O Estamos apresentando a prova do ENADE aplicada em 005 para os cursos de Licenciatura em Matemática. Este trabalho tem o objetivo

Leia mais

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES MATEMÁTICA MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES. UFMT Um projeto de pesquisa sobre dietas envolve adultos e crianças de ambos os sexos. A composição dos participantes no projeto é dada pela matriz

Leia mais

Espaços vectoriais com produto interno. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Biomédica Espaços vectoriais com produto interno 1 / 15

Espaços vectoriais com produto interno. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Biomédica Espaços vectoriais com produto interno 1 / 15 Capítulo 6 Espaços vectoriais com produto interno ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Biomédica Espaços vectoriais com produto interno 1 / 15 Definição e propriedades Seja V um espaço vectorial real. Chama-se

Leia mais

Breve referência à Teoria de Anéis. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204

Breve referência à Teoria de Anéis. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204 Breve referência à Teoria de Anéis Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204 Anéis Há muitos conjuntos, como é o caso dos inteiros, dos inteiros módulo n ou dos números reais, que consideramos

Leia mais

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%)

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Distribuição das 1.048 Questões do I T A 94 (8,97%) 104 (9,92%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais 23 (2, 101 (9,64%) Geo. Espacial Geo. Analítica Funções Conjuntos 31 (2,96%)

Leia mais

Prof. José Carlos Morilla

Prof. José Carlos Morilla 1 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Santos 009 1 CÁLCULO VETORIAL... 4 1.1 Segmentos Orientados... 4 1. Vetores... 4 1..1 Soma de um ponto com um vetor... 5 1.. Adição de vetores... 5 1..3 Diferença

Leia mais

Podemos concluir: Todas as funções desse tipo passam pelos pontos: (0,0),(-1,-1) e (1,1). Todas as funções desse tipo são exemplos de funções ímpares.

Podemos concluir: Todas as funções desse tipo passam pelos pontos: (0,0),(-1,-1) e (1,1). Todas as funções desse tipo são exemplos de funções ímpares. 4.3 Funções potência Uma função da forma f(x)=x n, onde n é uma constante, é chamada função potência. Os gráficos de f(x)=x n para n=1,2,3,4 e 5 são dados a seguir. A forma geral do gráfico de f(x)=x n

Leia mais

Universidade Estadual de Santa Cruz. Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas. Especialização em Matemática. Disciplina: Estruturas Algébricas

Universidade Estadual de Santa Cruz. Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas. Especialização em Matemática. Disciplina: Estruturas Algébricas 1 Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Especialização em Matemática Disciplina: Estruturas Algébricas Profs.: Elisangela S. Farias e Sérgio Motta Operações

Leia mais

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA. Programa da Unidade Curricular INTRODUÇÃO À ANÁLISE MATEMÁTICA Ano Lectivo 2014/2015

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA. Programa da Unidade Curricular INTRODUÇÃO À ANÁLISE MATEMÁTICA Ano Lectivo 2014/2015 Programa da Unidade Curricular INTRODUÇÃO À ANÁLISE MATEMÁTICA Ano Lectivo 2014/2015 1. Unidade Orgânica Ciências da Economia e da Empresa (1º Ciclo) 2. Curso Engenharia Informática 3. Ciclo de Estudos

Leia mais

Provas de. Manuel Ricou Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico

Provas de. Manuel Ricou Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Provas de Introdução à Álgebra Manuel Ricou Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico 19 de Janeiro de 2008 Conteúdo 1 Enunciados de Testes 3 1.1 1 o Teste: 12/4/2000.......................

Leia mais

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul Resolução da Prova da Escola Naval 29. Matemática Prova Azul GABARITO D A 2 E 2 E B C 4 D 4 C 5 D 5 A 6 E 6 C 7 B 7 B 8 D 8 E 9 A 9 A C 2 B. Os 6 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova

Leia mais

PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-2011 DA MACKENZIE RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. 13 / 12 / 2010

PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-2011 DA MACKENZIE RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. 13 / 12 / 2010 PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-0 DA MACKENZIE Profa. Maria Antônia Gouveia. / / 00 QUESTÃO N o 9 Dadas as funções reais definidas por f(x) x x e g(x) x x, considere I, II, III e IV abaixo. I) Ambas

Leia mais

6 O Formalismo Matemático da Mecânica Quântica I

6 O Formalismo Matemático da Mecânica Quântica I 6-1 6 O Formalismo Matemático da Mecânica Quântica I 6.1 Espaços Vetoriais Nesta seção expomos as noções básicas dos espaços vetoriais, pois o formalismo da mecânica quântica se baseia nestes conceitos.

Leia mais

Sistemas Lineares e Escalonamento

Sistemas Lineares e Escalonamento Capítulo 1 Sistemas Lineares e Escalonamento Antes de iniciarmos nos assuntos geométricos da Geometria Analítica, vamos recordar algumas técnicas sobre escalonamento de matrizes com aplicações na solução

Leia mais

José Álvaro Tadeu Ferreira

José Álvaro Tadeu Ferreira UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Departamento de Computação José Álvaro Tadeu Ferreira Cálculo Numérico Notas de aulas Resolução de Equações Não Lineares Ouro

Leia mais

Os postulados da Mecânica Quântica. Aplicação: o sistema a dois níveis

Os postulados da Mecânica Quântica. Aplicação: o sistema a dois níveis Os postulados da Mecânica Quântica. Aplicação: o sistema a dois níveis Miguel A. N. Araújo Departamento de Física Universidade de Évora 005 Contents i Capítulo 1 Preliminar Do ponto de vista matemático,

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

M : ( ( é um LVRPRUILVPR M -1 : ( ( também é um LVRPRUILVPR.

M : ( ( é um LVRPRUILVPR M -1 : ( ( também é um LVRPRUILVPR. &DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV47 Å (VSDoRV,VRPRUIRV Sejam ( e ( dois espaços vectoriais sobre. Dizemos que ( e ( são LVRPRUIRV se H[LVWLUXPLVRPRUILVPR M : ( ( e escrevemos, (! ( Por eemplo, o espaço dos vectores

Leia mais

Método de Eliminação de Gauss. Eduardo Camponogara

Método de Eliminação de Gauss. Eduardo Camponogara Sistemas de Equações Lineares Método de Eliminação de Gauss Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação

Leia mais

MÉTODOS DISCRETOS EM TELEMÁTICA

MÉTODOS DISCRETOS EM TELEMÁTICA 1 MÉTODOS DISCRETOS EM TELEMÁTICA MATEMÁTICA DISCRETA Profa. Marcia Mahon Grupo de Pesquisas em Comunicações - CODEC Departamento de Eletrônica e Sistemas - UFPE Outubro 2003 2 CONTEÚDO 1 - Introdução

Leia mais

Vetores, Matrizes e Gráficos

Vetores, Matrizes e Gráficos Programação de Computadores I UFOP DECOM 2013 2 Aula prática 3 Vetores, Matrizes e Gráficos Resumo Nesta aula você irá utilizar vetores para resolver diversos tipos de problemas. Para expressar a solução

Leia mais

1. O conjunto dos polinômios de grau m, com 2 m 5, acrescido do polinômio nulo, é um subespaço do espaço P 5.

1. O conjunto dos polinômios de grau m, com 2 m 5, acrescido do polinômio nulo, é um subespaço do espaço P 5. UFPB/PRAI/CCT/DME - CAMPUS II DISCIPLINA: Álgebra Linear ALUNO (A): 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS 1 a PARTE: QUESTÕES TIPO VERDADEIRO OU FALSO COM JUSTI- FICATIVA. 1. O conjunto dos polinômios de grau m com

Leia mais