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1 Nova School of Business and Economics Prática Álgebra Linear 5 Transformações Lineares e Matrizes 1 Definição Função de em Aplicação que faz corresponder a cada elemento de um conjunto (domínio), denominado objecto, um e um só elemento de um conjunto (espaço de chegada), denominado imagem. : Domínio de ; : Espaço de chegada de Ex.: é uma função de em porque a cada vector de faz corresponder um único vector de, que corresponde à soma das suas coordenadas. 2 Definição Transformação linear de em Função cujos domínio e contra-domínio são espaços vectoriais e que é: ; e espaços vectoriais Linear na soma: A imagem da soma de quaisquer dois objectos de é a soma das imagens desses objectos. Linear na multiplicação por escalares (ou números reais): A imagem do produto de qualquer objecto de por qualquer número real é o produto desse número real pela imagem desse objecto. Ex.: é uma transformação linear porque os seus domínio e contradomínio ( e, respectivamente) são espaços vectoriais e porque é: Linear na soma: 1

2 ,- ( ) Linear na multiplicação por escalares (ou números reais): :, - 3 Definição Núcleo de uma transformação linear ( ) Conjunto de objectos de cuja imagem é o vector nulo do seu espaço de chegada. * + Ex.: { } * + * + 4 Definição Imagem de uma transformação linear ( ) Conjunto de elementos do espaço de chegada de que são imagens de pelo menos um dos objectos de. Contra-domínio de. * ( )+ Ex.: { ( )} * + 2

3 5 Definição Função composta após de duas funções e Função que aplica cada objecto, pertencente ao domínio de, à função, obtendo uma imagem,, aplicando-a depois à função, para obter a sua imagem, ( ). ( ) ( ) 6 Definição Função inversa de uma função Função, cujo domínio é o contra-domínio de, e cujo contra-domínio é o domínio de, que faz corresponder a cada imagem de o único objecto que lhe deu origem. ( ) ( ). /. /. /. / 7 Definição Função bijectiva Função cujo contra-domínio coincide com o espaço de chegada e em que cada imagem corresponde a um único objecto. { 3

4 Ex. 1: é bijectiva porque todos os vectores de são imagens de um e apenas um vector de. Ex. 2: não é bijectiva porque, por exemplo, é imagem de e de. Ex. 3: não é bijectiva porque, por exemplo, não é imagem de nenhum vector de. 8 Definição Matriz de transformação de uma transformação linear Matriz que permite obter a imagem de qualquer objecto de através da multiplicação à esquerda por esse objecto Facto Matriz de transformação de uma transformação linear e vectores da base canónica A matriz de transformação de uma transformação linear tem como colunas as imagens segundo dos vectores ordenados da base canónica de. * + * +, - { 0 1 * + 4

5 10 Facto Transformação linear composta e matrizes de transformação A matriz de transformação da transformação linear composta de duas transformações lineares e, se existir, é o produto entre as matrizes de transformação de e de, por esta ordem Facto Invertibilidade de uma transformação linear Seja uma transformação linear. As seguintes afirmações são equivalentes: é invertível é bijectiva * + Ex. 1: *+ Ex. 2: * + *+ 5

6 *+ 12 Definição Matriz de mudança de base da base para a base de um espaço vectorial Matriz que permite obter as coordenadas de qualquer vector na base de através da multiplicação à esquerda pelas coordenadas desse vector na base de. * + * + Ex.: * + * + 13 Facto Matriz de mudança de base e vectores de bases A matriz de mudança da base para a base de é o produto entre e, por esta ordem, sendo as matrizes cujas colunas são os vectores da base e, respectivamente. * + * +, -, - Ex.: * + * + 6

7 14 Facto Matrizes de mudança de base e base canónica A matriz de mudança de base da base para a base canónica de é e a matriz de mudança de base da base canónica para a base de é, sendo a matriz cujas colunas são os vectores ordenados da base. * + * +, - Ex.: * + * + 15 Definição Matriz de transformação, da base de para a base de, de uma transformação linear Matriz que permite obter as coordenadas na base de da imagem de qualquer objecto de através da multiplicação à esquerda pelas coordenadas na base de desse objecto. * + * + { 7

8 * + * + 16 Facto Matrizes de transformação de uma transformação linear e vectores de bases A matriz de transformação, da base de para a base de, de uma transformação linear tem como colunas as coordenadas na base de das imagens dos vectores ordenados da base. * + * + * + * + 8

9 17 Fórmula Cálculo da matriz de transformação, da base de para a base de, de uma transformação linear * +, - * +, - * + * Fórmula Cálculo da matriz de transformação, na base, de uma transformação linear * +, - * + 9

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