A ideia de coordenatização (2/2)

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1 8 a : aula (1h) 12/10/2010 a ideia de coordenatização (2/2) 8-1 Instituto Superior Técnico 2010/11 1 o semestre Álgebra Linear 1 o ano das Lics. em Engenharia Informática e de Computadores A ideia de coordenatização (2/2) Dois teoremas fundamentais da Álgebra Linear Os seguintes teoremas são de demonstração difícil; por isso apesar de serem muito importantes, não serão demonstrados na aula (Para ter uma ideia da complexidade da demonstração veja-se adiante o Apêndice: a importância de ser corpo; a demonstração é apresentada a título de curiosidade, mas não faz parte do programa). Teorema da base (Hamel (1902)). Todo o espaço vectorial sobre um corpo tem uma base. Teorema da dimensão nita (Steinitz (1910)). Num espaço vectorial com uma base nita, qualquer outra base é nita e tem o mesmo número de elementos. Dado um espaço vectorial V sobre um corpo K, se V tiver uma base nita então chama-se dimensão de V sobre K ao número de elementos de qualquer base do espaço vectorial V sobre o corpo K; esse número designa-se por dim K V.

2 8 a : aula (1h) 12/10/2010 a ideia de coordenatização (2/2) 8-2 Apêndice: a importância de ser corpo Em tudo o que segue K designará sempre um corpo. Vamos referir um teorema básico da Álgebra Linear, que nem por isso deixa de ser de demonstração nada óbvia: todo o espaço vectorial tem uma base. Numa primeira abordagem da Álgebra Linear a demonstração deste teorema pode e deve ser omitida mas numa segunda abordagem torna clara a indispensabilidade dos fundamentos da matemática. Vamos agora referir um axioma de capital importância da teoria dos conjuntos: o axioma da escolha; em qualquer formulação axiomática da teoria dos conjuntos terá de gurar algum ou mais axiomas que impliquem aquele. Axioma da escolha Seja (A i) i2i uma família de conjuntos não vazios; então existe uma função f : I! S i2i Ai tal que para cada i 2 I se tem f(i) 2 Ai. Mostra-se em teoria dos conjuntos que este axioma é equivalente a um teorema, conhecido por lema de Zorn ou ainda por princípio de Hausdor, mas para enunciar este resultado precisamos de introduzir alguns conceitos relativos a conjuntos ordenados: Um conjunto P munido de uma relação de ordem diz-se um conjunto ordenado (ou parcialmente ordenado). Recordamos que uma relação de ordem veri ca as propriedades seguintes: 1. x x para todo x 2 P (propriedade re exiva) 2. x y e y x implica x = y para quaisquer x; y em P (propriedade de antisimetria) 3. x y e y z implica x z para quaisquer x; y; z em P (propriedade transitiva) P diz-se totalmente ordenado se dados dois elementos x; y de P se tem x y ou y x. Uma parte S P diz-se uma cadeia se for um conjunto totalmente ordenado (considerando S com a relação de ordem de P restrita a S). Dada uma parte S P um elemento x 2 P diz-se um majorante de S se para todo s 2 S se tem s x; um elemento s 2 S diz-se maximal se para todo s 0 2 S a relação s s 0 implica s 0 = s. P diz-se indutivo se toda a cadeia de P tem um majorante. Podemos agora enunciar o: Princípio de Hausdor Todo o conjunto ordenado P que seja indutivo tem um elemento maximal. Baseados neste princípio poderemos demonstrar que todo o espaço vectorial tem uma base. Convém porém precisar algumas de nições relativas a um espaço vectorial V sobre um corpo comutativo K:

3 8 a : aula (1h) 12/10/2010 a ideia de coordenatização (2/2) Uma combinação linear dos elementos v 1; : : : ; v n de V é um elemento da forma 1v 1 + : : : + nv n em que os elementos 1; : : : ; n estão em K (estes elementos dizem-se os coe cientes dessa combinação linear). 2. Uma parte B V diz-se livre ou formada por vectores linearmente independentes se qualquer combinação linear nula (de um número nito de elementos de V, portanto) tem os seus coe cientes necessariamente nulos. 3. Uma parte B V diz-se geradora de V se todo v 2 V for combinação linear ( nita!) de vectores de B, escrevendo-se então hhbii = V. 4. Uma parte B V diz-se uma base de V se for livre e geradora de V. Teorema da base (Hamel) Todo o espaço vectorial tem uma base. Lema. Seja V um espaço vectorial sobre um corpo comutativo K e B uma parte de V ; então B é uma base de V se e só se for livre e maximal relativamente à relação de ordem dada pela inclusão, ; no conjunto das partes livres de V. Dem. 1 o ) Suponhamos que B é livre e maximal; então, dado v 2 V tal que v =2 B o conjunto B [ fvg não pode ser livre senão B não seria maximal no conjunto das partes livres de V pelo que existirá uma combinação linear com coe cientes não todos nulos v + 1v 1 + : : : + nv n = 0 onde v 1; : : : ; v n estão em V. Porém como B é livre tem de ser 6= 0 e como K é um corpo, existe o inverso de e podemos escrever v = ( 1 1v 1 + : : : + 1 nv n) pelo que v pertence ao subespaço gerado por B, cando claro que V é gerado pela parte B V. Por outro lado B é livre pelo que é uma base de V. 2 o ) Suponhamos agora que B é uma base de V ; então B é livre e temos de mostrar que dada uma parte C de V que seja livre e tal que B C se tem B = C; suponhamos que existia v 2 C tal que v =2 B. Como B gera V resulta que para qualquer v 2 V se tem que B [ fvg não é livre e C B [ fvg tão pouco pode sê-lo, contrariamente à hipótese. Logo B é maximal no conjunto das partes livres de V. Passemos à demonstração do teorema da base, demonstrado por Hamel, em 1902, para o caso particular em que V = R e K = Q. Dem. Seja V um espaço vectorial sobre um corpo comutativo K e seja L o conjunto das partes livres de V munido da relação de ordem ; basta portanto mostrar que L tem um elemento maximal. Para isso vamos ver que estamos nas condições previstas pelo princípio de Hausdor pelo que poderemos aplicá-lo. Mostremos então que o

4 8 a : aula (1h) 12/10/2010 a ideia de coordenatização (2/2) 8-4 conjunto ordenado L é indutivo. Realmente dada uma cadeia C L formemos a reunião R de todos os conjuntos que pertencem a C; é claro que R é um majorante de C no conjunto ordenado, P(V ), das partes de V mas há que ver que também o é no conjunto ordenado, L, das partes livres de V. Basta portanto mostrar que R é livre. É o que faremos agora. Consideremos uma parte nita fv 1; : : : ; v ng de R e suponhamos que se tem 1v 1 + : : : + nv n = 0 com certos 1; : : : ; n em K. Como fv 1; : : : ; v ng R e R é reunião de partes livres de L, existirão partes livres B 1; : : : ; B n pertencentes à cadeia C veri cando v 1 2 B 1; : : : ; v n 2 B n; mas como C é uma cadeia fb 1; : : : ; B ng C também o é, pelo que existirá uma parte livre B i0 tal que B 1 B i0 ; : : : ; B n B i0 e daí os elementos v 1; : : : ; v n pertencerem todos a B i0 ; ora B i0 é livre pelo que a combinação linear acima escrita só é possível se se tiver 1 = 0; : : : ; n = 0 e conclui-se assim que R é livre. O teorema ca então demonstrado. Enunciaremos e demonstraremos a seguir outro teorema fundamental, devido a Steinitz (1910). Teorema da dimensão nita (Steinitz) Num espaço vectorial com uma base nita, qualquer outra base é nita e tem o mesmo número de elementos. A demonstração baseia-se no seguinte lema que demonstraremos mais adiante: Lema. Seja V um espaço vectorial sobre um corpo comutativo K e B uma base com n elementos; então para que m elementos possam ser linearmente independentes tem de ter-se: m n. Dem. do teorema. Seja B = fv 1; : : : ; v ng uma base do espaço vectorial V ; e seja B 0 uma outra base. Se fosse card(b 0 ) > n = card(b) poderíamos escolher n + 1 vectores v1; 0 : : : ; vn+1 0 em B 0 mas em virtude do lema o seu conjunto não pode ser um conjunto de vectores linearmente independentes e portanto só pode ter-se card(b 0 ) n = card(b) pelo que em particular a base B 0 terá de ser nita. Note-se porém que o mesmo argumento permitiria concluir que card(b) card(b 0 ). Logo card(b) = card(b 0 ).

5 8 a : aula (1h) 12/10/2010 a ideia de coordenatização (2/2) 8-5 Dem do lema. Vamos proceder usando o método de indução sobre o número de elementos de uma dada base de V. Se n = 0, tem-se V = f0g e tomando m > n = 0 elementos u 1; : : : ; u m em V eles seriam necessariamente todos nulos e teríamos por exemplo 1u 1 + 0u 2 + : : : + 0u m = 0, ou seja o conjunto fu 1; : : : ; u mg não seria livre. Suponhamos o enunciado do teorema estabelecido para o caso em que V tem uma base com n 1 elementos e tratemos de mostrar que então o o enunciado também será válido no caso em que V tem uma base fv 1; : : : ; v ng com n elementos. Seja então V 0 o espaço gerado por v 1; : : : ; v n 1 ou seja V 0 = hhv 1; : : : ; v n 1ii sendo portanto fv 1; : : : ; v n 1g uma base de V 0 com n 1 elementos e tomem-se m > n vectores u 1; : : : ; u m em V ; como v 1; : : : ; v n geram V teremos u 1 = 1 1v 1 + : : : + n 1 1 v n 1 + 1v n = w 1 + 1v n u m = 1 mv 1 + : : : + n 1 m v n 1 + mv n = w m + mv n onde os vectores w 1; : : : ; w m estão todos em V 0. Se os escalares 1; : : : ; m fossem todos nulos teríamos que os elementos u 1; : : : ; u m estariam todos em V 0 e como m > n > n 1 poderíamos concluir pela hipótese de indução que esses elementos seriam linearmente dependentes. Resta pois analisar o caso em que algum dos escalares 1; : : : ; m não fosse nulo; podemos supor sem perda de generalidade que por exemplo m 6= 0. Como K é um corpo o elemento m é invertível e podemos escrever v n = 1 m (u m w m) e após substituição nas m 1 relações anteriores obtém-se e daí: u 1 = w 1 + 1m 1 (u m w m) u m 1 = w m 1 + m 1m 1 (u m w m) u 1 1m 1 u m = w 1 1m 1 w m u m 1 m 1m 1 u m = w m 1 m 1m 1 w m Vemos assim que os m 1 vectores do lado esquerdo estão todos em V 0 pois assim sucede com os vectores w 1; : : : ; w m. Ora V 0 tem uma base com n 1 elementos e pela hipótese de indução como m > n > n 1 podemos concluir que esses m vectores são linearmente dependentes, ou seja que há-de haver uma relação do tipo 1 (u m u m) + : : : + m 1 (u m 1 m 1 1 m u m) = 0 com escalares 1 ; : : : ; m 1 não todos nulos; ora esta relação equivale a 1 u 1 + : : : + m 1 u m 1 ( m + : : : + m 1 m 1 1 m )u m = 0 ou seja que, pondo m = ( 1 1m 1 + : : : + m 1 m 1m 1 ) obtivemos uma combinação linear nula 1 u 1 + : : : + m 1 u m 1 + m u m = 0

6 8 a : aula (1h) 12/10/2010 a ideia de coordenatização (2/2) 8-6 cujos coe cientes não são todos nulos; quer dizer: os vectores u 1; : : : ; u m são linearmente dependentes, como se pretendia demonstrar. O teorema anterior permite associar a qualquer espaço vectorial V sobre um corpo comutativo K e com uma base nita, um número natural chamado a sua dimensão e designado por dim K V ; o espaço vectorial V diz-se então de dimensão nita; nesse caso, dim K V 2 N = f0; 1; 2; : : :g.

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