Ex 4.3 O anel é construído pelos polinômios S 1 1 S 2. x S 3. x 1 S 4. x 2 S 5. x 2 1 S 6. x 2 x S 7. x 2 x 1 S 8. x 3 S 9

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1 Ex. 4.1 As palavras código são c 0 = [ ], c 1 = [ ], c 2 = [ ], c 3 = [ ], c 4 = [ ], c 5 = [ ], c 6 = [ ], c 7 = [ ], c 8 = [ ], c 9 = [ ], c 10 = [ ], c 11 = [ ], c 12 = [ ], c 13 = [ ], c 14 = [ ], c 15 = [ ], podemos ver que as palavras c 0 e c 11 quando deslocadas ciclicamente resultam nelas mesmas. As palavras c 1, c 2, c 4, c 7, c 8, c 13 e c 14 são todas versões deslocadas ciclicamente possíveis de uma mesma palavra. O mesmo vale para as palavras c 3, c 5, c 6, c 9, c 10, c 12 e c 15. Ex 4.3 O anel é construído pelos polinômios S 1 1 S 2 x S 3 x 1 S 4 x 2 S 5 x 2 1 S 6 x 2 x S 7 x 2 x 1 S 8 x 3 S 9 x 3 1 S 10 x 3 x S 11 x 3 x 1 S 12 x 3 x 2 S 13 x 3 x 2 1 S 14 x 3 x 2 x S 15 x 3 x 2 x 1 S 0 x As tabelas são

2 + S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 10 S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 S 0 S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 10 S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 S 1 S 1 S 0 S 3 S 2 S 5 S 4 S 7 S 6 S 9 S 8 S 11 S 10 S 13 S 12 S 15 S 14 S 2 S 2 S 3 S 0 S 1 S 6 S 7 S 4 S 5 S 10 S 11 S 8 S 9 S 14 S 15 S 12 S 13 S 3 S 3 S 2 S 1 S 0 S 7 S 6 S 5 S 4 S 11 S 10 S 9 S 8 S 15 S 14 S 13 S 12 S 4 S 4 S 5 S 6 S 7 S 0 S 1 S 2 S 3 S 12 S 13 S 14 S 15 S 8 S 9 S 10 S 11 S 5 S 5 S 4 S 7 S 6 S 1 S 0 S 3 S 2 S 13 S 12 S 15 S 14 S 9 S 8 S 11 S 10 S 6 S 6 S 7 S 4 S 5 S 2 S 3 S 0 S 1 S 14 S 15 S 12 S 13 S 10 S 11 S 8 S 9 S 7 S 7 S 6 S 5 S 4 S 3 S 2 S 1 S 0 S 15 S 14 S 13 S 12 S 11 S 10 S 9 S 8 S 8 S 8 S 9 S 10 S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 9 S 9 S 8 S 11 S 10 S 13 S 12 S 15 S 14 S 1 S 0 S 3 S 2 S 5 S 4 S 7 S 6 S 10 S 10 S 11 S 8 S 9 S 14 S 15 S 12 S 13 S 2 S 3 S 0 S 1 S 6 S 7 S 4 S 5 S 11 S 11 S 10 S 9 S 8 S 15 S 14 S 13 S 12 S 3 S 2 S 1 S 0 S 7 S 6 S 5 S 4 S 12 S 12 S 13 S 14 S 15 S 8 S 9 S 10 S 11 S 4 S 5 S 6 S 7 S 0 S 1 S 2 S 3 S 13 S 13 S 12 S 15 S 14 S 9 S 8 S 11 S 10 S 5 S 4 S 7 S 6 S 1 S 0 S 3 S 2 S 14 S 14 S 15 S 12 S 13 S 10 S 11 S 8 S 9 S 6 S 7 S 4 S 5 S 2 S 3 S 0 S 1 S 15 S 15 S 14 S 13 S 12 S 11 S 10 S 9 S 8 S 7 S 6 S 5 S 4 S 3 S 2 S 1 S 0 Para calcularmos a tabela de multiplicação vemos que 1 g x =g x xx=x 2 x x 1 =x 2 x xx 2 = x 3 x x 2 1 = x 3 x x x 2 x = x 3 x 2 x x 2 x 1 = x 3 x 2 1 xx 3 =x 4 = x x x 3 1 =x 4 x= x 4 1 x 1 x x 3 x =x 4 x 2 = x 4 1 x 2 1 ; x x 3 x 1 = x 4 x 2 x= x 4 1 x 2 x 1 x x 3 x 2 =x 4 x 3 = x 4 1 x 3 1 x x 3 x 2 1 = x 4 x 3 x= x 4 1 x 3 x 1 x x 3 x 2 x = x 4 x 3 x 2 = x 4 1 x 3 x 2 1 x x 3 x 2 x 1 =x 4 x 3 x 2 x= x 4 1 x 3 x 2 x 1

3 x 1 x 1=x 2 1 ; x 2 = x 3 x 2 ; x 2 1=x 3 x 2 x 1 ; x 2 x=x 3 x ; x 2 x 1= x 3 1 ; x 3 = x 4 1 x 3 1 ; x 3 1= x 4 1 x 3 x ; x 3 x= x 4 1 x 3 x 2 x 1 ; x 3 x 1= x 4 1 x 3 x 2 ; x 3 x 2 = x 4 1 x 2 1 ; x 3 x 2 1= x 4 1 x 2 x ; x 3 x 2 x= x 4 1 x 1 ; x 3 x 2 x 1= x ; x 2 1 x 2 1= x ; x 2 x= x 4 1 x 3 x 2 x 1 ; x 2 x 1= x 4 1 x 3 x ; x 3 = x 4 1 x x 3 x ; x 3 1= x 4 1 x x 3 x 2 x 1 ; x 3 x= x 4 1 x 0 ; x 3 x 1= x 4 1 x x 2 1 ; x 3 x 2 = x 4 1 x 1 x 3 x 2 x 1 ; x 3 x 2 1= x 4 1 x 1 x 3 x ; x 3 x 2 x= x 4 1 x 1 x 2 1 ; x 3 x 2 x 1= x 4 1 x 1 0 ; x 2 x 1 x 2 x 1= x 4 1 x 2 ; x 3 = x 4 1 x 1 x 3 x 1 ; x 3 1= x 4 1 x 1 x 3 x 2 ; x 3 x= x 4 1 x 1 x 2 1 ; x 3 x 1= x 4 1 x 1 x ; x 3 x 2 = x 4 1 x x 2 x ; x 3 x 2 1= x 4 1 x x 3 x 2 1 ; x 3 x 2 x= x 4 1 x x 3 ; x 3 x 2 x 1= x 4 1 x x 3 x 2 x 1 ; x 3 x 3 = x 6 = x 4 1 x 2 x 2 ; x 3 1= x 4 1 x 2 x 3 x 2 ; x 3 x= x 4 1 x 2 1 x 2 1 ; x 3 x 1= x 4 1 x 2 1 x 3 x 2 1 ; x 3 x 2 = x 4 1 x 2 x x 2 x ; x 3 x 2 1= x 4 1 x 2 x x 3 x 2 x ; x 3 x 2 x= x 4 1 x 2 x 1 x 2 x 1 ; x 3 x 2 x 1= x 4 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 ; x 2 x 2 = x ; x 2 1= x 4 1 x 2 1 ; x 2 x= x 4 1 x 3 1 ; x 2 x 1= x 4 1 x 3 x 2 1 ; x 3 = x 4 1 x x ; x 3 1= x 4 1 x x 2 x ; x 3 x= x 4 1 x x 3 x ; x 3 x 1= x 4 1 x x 3 x 2 ; x 3 x 2 = x 4 1 x 1 x 1 ; x 3 x 2 1= x 4 1 x 1 x 2 x 1 ; x 3 x 2 x= x 4 1 x 1 x 3 x 1 ; x 3 x 2 x 1= x 4 1 x 1 x 3 x 2 x 1 ; x 2 x x 2 x= x 4 1 x 1 ; x 2 x 1= x 4 1 x 3 x ; x 3 = x 4 1 x 1 x 1 ; x 3 1= x 4 1 x 1 x 2 1 ; x 3 x= x 4 1 x 1 x 3 x 2 x 1 ; x 3 x 1= x 4 1 x 1 x 3 1 ; x 3 x 2 = x 4 1 x x 3 x ; x 3 x 2 1= x 4 1 x x 3 x 2 ; x 3 x 2 x= x 4 1 x x 2 x ; x 3 x 2 x 1= x 4 1 x 0 ;

4 x 3 1 x 3 1= x 4 1 x 2 x 2 1 ; x 3 x= x 4 1 x 2 1 x 3 x 2 x 1 ; x 3 x 1= x 4 1 x 2 1 x 2 x 1 ; x 3 x 2 = x 4 1 x 2 x x 3 x ; x 3 x 2 1= x 4 1 x 2 x x 1 ; x 3 x 2 x= x 4 1 x 2 x 1 x 3 1 ; x 3 x 2 x 1= x 4 1 x 2 x 1 0 ; x 3 x 1 x 3 x 1= x 4 1 x 2 1 ; x 3 x 2 = x 4 1 x 2 x 1 x 1 ; x 3 x 2 1= x 4 1 x 2 x 1 x 3 ; x 3 x 2 x= x 4 1 x 2 x x 2 ; x 3 x 2 x 1= x 4 1 x 2 x x 3 x 2 x 1 ; x 3 x 2 1 x 3 x 2 1= x 4 1 x 2 1 x 2 ; x 3 x 2 x= x 4 1 x 2 x ; x 3 x 2 x 1= x 4 1 x 2 x 3 x 2 x 1 ; x 3 x 2 x x 3 x 2 x= x 4 1 x ; x 3 x 2 x 1= x 4 1 x 2 x 3 x 2 x 1 ; x 3 x x 3 x= x 4 1 x 2 0 ; x 3 x 1= x 4 1 x 2 x 3 x ; x 3 x 2 = x 4 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 ; x 3 x 2 1= x 4 1 x 2 1 x 2 1 ; x 3 x 2 x= x 4 1 x 2 x x 3 x ; x 3 x 2 x 1= x 4 1 x 2 x 0 ; x 3 x 2 x 3 x 2 = x 4 1 x 2 1 x 2 1 ; x 3 x 2 1= x 4 1 x 2 1 x 3 1 ; x 3 x 2 x= x 4 1 x 2 x 3 x 2 ; x 3 x 2 x 1= x 4 1 x 2 0 ; x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 = x 4 1 x ;. S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 10 S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 S 0 S 0 S 0 S 0 S 0 S 0 S 0 S 0 S 0 S 0 S 0 S 0 S 0 S 0 S 0 S 0 S 0 S 1 S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 10 S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 S 2 S 0 S 2 S 4 S 6 S 8 S 10 S 12 S 14 S 1 S 3 S 5 S 7 S 9 S 11 S 13 S 15 S 3 S 0 S 3 S 6 S 5 S 12 S 15 S 10 S 9 S 9 S 10 S 15 S 12 S 5 S 6 S 3 S 0 S 4 S 0 S 4 S 8 S 12 S 1 S 5 S 9 S 13 S 2 S 6 S 10 S 12 S 3 S 7 S 11 S 15 S 5 S 0 S 5 S 10 S 15 S 5 S 0 S 15 S 10 S 10 S 15 S 0 S 5 S 15 S 10 S 5 S 0 S 6 S 0 S 6 S 12 S 10 S 9 S 15 S 3 S 10 S 3 S 5 S 15 S 9 S 10 S 12 S 6 S 0 S 7 S 0 S 7 S 14 S 9 S 13 S 10 S 10 S 4 S 11 S 12 S 5 S 2 S 6 S 13 S 8 S 15 S 8 S 0 S 8 S 1 S 9 S 2 S 10 S 3 S 11 S 4 S 12 S 5 S 13 S 6 S 14 S 7 S 15 S 9 S 0 S 9 S 3 S 10 S 6 S 15 S 5 S 12 S 12 S 5 S 15 S 7 S 10 S 3 S 9 S 0 S 10 S 0 S 10 S 5 S 15 S 10 S 0 S 15 S 5 S 5 S 15 S 0 S 10 S 15 S 5 S 10 S 0 S 11 S 0 S 11 S 7 S 12 S 12 S 5 S 9 S 2 S 13 S 7 S 10 S 1 S 3 S 8 S 4 S 15 S 12 S 0 S 12 S 9 S 5 S 3 S 15 S 10 S 6 S 6 S 10 S 15 S 3 S 5 S 9 S 12 S 0 S 13 S 0 S 13 S 11 S 6 S 7 S 10 S 12 S 13 S 14 S 3 S 5 S 8 S 9 S 4 S 2 S 15 S 14 S 0 S 14 S 13 S 3 S 11 S 5 S 6 S 8 S 7 S 9 S 10 S 4 S 12 S 2 S 1 S 15 S 15 S 0 S 15 S 15 S 0 S 15 S 0 S 0 S 15 S 15 S 0 S 0 S 15 S 0 S 15 S 15 S 0 R 4 não é um campo, pois nem todos os elementos têm um elemento inverso.

5 Ex. 4.4 pela definição de ideal i) se b I e r R br I ii) I forma um grupo em adição Pelo enunciado, temos que se ab=0 b I Para provar (i) verificamos que abr= ab r=0 br I Para provar (ii) vemos que ab 1 =0 ab 2 =0} b 1, b 2 I a b 1 b 2 =ab 1 ab 2 =0 b 1 b 2 I Ex. 4.7 Achar as raízes de p(x) equivale a x 2 = 1. Em Z 15, isto equivale a x 2 =15 n 1 ; x N, x 15, n Z Podemos verificar que isso é válido para x = 1, 4, 11 ou 14. Temos que p x = x 1 x 1 Já vimos na Seção 2.3 que os elementos não nulos de um campo formam um grupo na multiplicação. Desta forma, em um campo ab=0 a=0 ou b=0, ou seja x = 1 ou x = -1. No grupo deste exemplo temos casos onde ab=0, sem que a ou b sejam também 0. Isto decorre do fato que nem todos os elementos do campo têm um elemento inverso. Ex x 2 x 3 x x 2 =x 5 x 3 x 2 x= x 4 1 x x 3 x 2 Ou seja, em R 4, 1 x 2 x 3 x x 2 =x 3 x 2. A convolução circular é dada por [1, 0, 1, 1] [0, 1, 1]= [ , , , ]=[0, 0, 1, 1] Ou seja, equivale à multiplicação polinomial a 0 +a 1 x +a 2 x 2 +a 3 x 3, se o vetor é dado por [ a 0, a 1, a 2, a 3 ] Ex. 4.9 a) h x = x15 1 g x = x15 1 x 4 x 1 = x11 x 8 x 7 x 5 x 3 x 2 x 1

6 b) 1] G=[ H=[1 1] c) A linha i é obtida pelo resto da divisão de de x n-k+i =x 4+i por g(x). Sendo assim i=0 x 4 = x 4 x 1 x 1 b 0 x = x 1 i=1 x 5 = x 4 x 1 x x 2 x b 1 x =x 2 x i=2 x 6 = x 4 x 1 x 2 x 3 x 2 b 1 x =x 3 x 2 i=3 x 7 = x 4 x 1 x 3 1 x 3 x 1 b 1 x =x 3 x 1 i=4 x 8 = x 4 x 1 x 4 x 1 x 2 1 b 1 x =x 2 1 i=5 x 9 = x 4 x 1 x 5 x 2 x x 3 x b 1 x =x 3 x i=6 x 10 = x 4 x 1 x 6 x 3 x 2 1 x 2 1 b 1 x = x 2 1 i=7 x 11 = x 4 x 1 x 7 x 4 x 3 x x 3 x 2 x b 1 x =x 3 x 2 x i=8 x 12 = x 4 x 1 x 8 x 5 x 4 x 2 1 x 3 x 2 x 1 b 1 x = x 3 x 2 x 1 i=9 x 13 = x 4 x 1 x 9 x 6 x 5 x 3 x 1 x 3 x 2 1 b 1 x = x 3 x 2 1 i=10 x 14 = x 4 x 1 x 10 x 7 x 6 x 4 x 2 x 1 x 3 1 b 1 x = x 3 1 1] G sist =[

7 H sist =[1 1] d) c x = x 4 x 1 x 3 x 2 x = x 7 x 6 x 5 x 4 x e) c x = x 4 x 3 x 2 x R g x [ x 4 x 3 x 2 x ] x 4 x 3 x 2 x =x 7 x 6 x 5 x 7 x 6 x 5 = x 4 x 1 x 3 x 2 x 1 1 f) c x = x 7 x 6 x 5 1 m x = c x g x = x13 x 11 x 10 x 9 x 5 x 4 x 3 x 1 =1 x 3 x 4 x 7 x 9 x 4 x 1 g) vamos eliminar os bits de paridade c ' x =c x R g x [ x n k m x ]=m x x n k = x 4 x 5 x 9 x 10 x 11 x 13 agora basta deslocar a sequência m x =c ' x x k n =c ' x x 4 =1 x x 5 x 6 x 7 x 9 h) s x =r x h x mod x n 1 = x 14 x 10 x 5 x 3 x 11 x 8 x 7 x 5 x 3 x 2 x 1 mod x 15 1 = x 25 x 22 x 19 x 18 x 10 x 7 x 4 x 3 mod x 15 1 =0 Ex a) c(x) é de grau 5, portanto n 6. g(x) deve dividir x n -1 Para n=6, x 6 1=x 6 1= x 1 x 2 x 1 x 3 1 g(x) deve dividir c(x) c x =x 5 x 4 1= x 3 x 1 x 2 x 1 Portanto para o maior grau de g(x) temos g x = x 2 x 1 Para n=7, x 7 1=x 7 1= x 1 x 3 x 1 x 3 x 2 1 Portanto para o maior grau de g(x) temos g x = x 3 x 1

8 b) Podemos ver que c x x 1 =x 15 1 Portanto g(x) = c(x) Ex Para ser um polinômio gerador válido g(x) deve dividir x n -1. Mas, se acontece. g 0 =0 g x = x g 1 g 2x g n k x n k 1, e x deveria dividir x n -1, o que não Ex x 9 x 8 x 7 x 5 x 4 x 1 x 12 x 11 x 9 x 7 x 3 x 2 x 1 =x 21 1, portanto g(x) gera um código binário cíclico (21,12). h x =x 12 x 11 x 9 x 7 x 3 x 2 x 1 s x =r x h x mod x 21 1= x 16 x 4 1 x 12 x 11 x 9 x 7 x 3 x 2 x 1 mod x 21 1 = x 28 x 27 x 25 x 23 x 19 x 18 x 15 x 13 x 12 x 9 x 6 x 4 x 3 x 2 1 mod x 21 1 =x 19 x 18 x 15 x 13 x 12 x 9 x 7 x 3 1 Ex a) g(x) é de ordem n-k =10, portanto g * x =x 10 g 1/ x =x 10 1 x 2 x 4 x 6 x 7 x 10 =x 10 x 8 x 6 x 4 x 3 1 b) para que g(x) seja gerador de um código cíclico (n, k), temos que g x h x = x n 1. Consequentemente g 1 / x h 1/ x =x n 1 x n k g 1/ x x k h 1/ x =x n x n 1 =x n 1. Ou seja, g*(x) é gerador de um código cíclico (n,k) c e d) c * x =c n 1 c n 2 x c 0 x n 1 =x n 1 c 1/ x Mas c x =m x g x c * x =x n 1 m 1/ x g 1 / x =x n k g 1/ x x k 1 m 1/ x =g * x m * x Ou seja, se c(x) é uma palavra válida de C, formada pela mensagem m(x), c*(x) é uma palavra válida de C* com mensagem m*(x). Como o peso de c(x) é o mesmo de c*(x), e que o conjunto de mensagens m(x) e m*(x) é o mesmo, podemos concluir que os dois códigos têm a mesma distribuição de peso. Da mesma forma, como a fatoração em g*(x) e m*(x) é única para polinômios de graus n-k e k, podemos conclui que, se a palavra c*(x) é uma palavra válida ela foi gerada por g*(x), e, consequentemente g*(x) = g(x)

9 Ex a) c x =m x g x =m x f x x 1 =b x x 1 = b 0 x b 1 x b n 2 x n 2 x 1 =b 0 b 0 b 1 x b 1 b 2 x 2 b n 3 b n 2 x n 2 b n 2 x n 1, ou seja, para um código binário c 0 =b 0 c i= { 1, se b i b i 1 0, se b i =b i 1, 0 i n 1 c n 2 =b n 2 portanto, se tivermos um número de transições de bits par 2k, então b n-2 = b 0, e o peso da palavra será w = 2k + 2b 0, que é par. Se tivermos um número de transições de bits ímpar 2k+1, então b n 2 b 0, e o peso da palavra será w = 2k + 2, que é par. b) Para código binário temos que x n 1= x 1 x n 1 x n 2 1 Mas, para código binário e n par x n 1= x n /2 1 2 = x 1 2 x n / 2 1 x n / , ou seja, x 1 x n 1 x n 2 1 Já para n ímpar (e n-1= 2k par) x n 1 x n 2 1 = x 2 k x 2 k 1 1 = x 1 x 2 k 1 x 2 k 3 x 2 k 5 x 1, ou seja x+1 aparece uma única vez como fator de x n + 1. Portanto, se x + 1 não é fator de g(x), então x n 1 x n 2 1 = f x g x Agora, c x = x n 1 x n 2 1 =m x g x representa a palavra tudo um, e pode ser obtida com a mensagem m(x) = f(x). c)?????? Ex Já vimos (Ex. 4.15a) que o código formado por g x = x 1 g x não tem nenhuma palavra de peso ímpar. Se x +1 não é fator de g(x), então g(x) terá metade das palavras de peso par e metade das palavras de peso ímpar. Sabemos também que, se C é um código (n,k) o código C formado por g x é um código (n,k-1), contendo metade das palavras de C. Agora, C pode ser gerado por c x =m x x 1 g x, e portanto todas as palavras do código novo são também palavras do código antigo. Como o código novo tem apenas palavras com peso par, concluí-se que C é composto pelas palavras de peso par de C, o que pode ser expresso em equação por A z = 1 [ A z A z ] 2

10 Ex g x =g 0 g 1 x 1 g 2 x 2 g n k x n k g ' x =g x =g 0 g 1 x g 2 x 2 n k g n k x temos também que para que g(x) seja um código cíclico com palavras de tamanho n: x n 1=g x h x x n 1=x n 1=g x h x ou seja g x divide x n 1, e gera portanto um código (λn, λk).. A matriz de verificação de paridade do código original é hk 1 hk 2 h0 1 2 h 0 H=[hk 1 2 h 0, linearmente dependentes, por exemplo as colunas i 0,i 1,, i d min 1 e do código novo é, por exemplo para λ=2, 1 2 h 0] e tem no mínimo dmin colunas 0 hk 1 0 h k 2 h h h 0 H h 0 '=[hk h 0 Para valores maiores λ de teremos a mesma forma, mas com λ-1 0's entre os coeficientes não nulos. Podemos ver que agora as colunas i 0, i 1,, i d min 1 também são l.d, assim como as colunas i 0 k, i 1 k,, i k, para 0 k d min 1. Ex. 4.20?????? Ex. 4.21?????? Ex h h 0] em GF(2) c i x =c x x i mod x n 1=c x c x x i = x n 1 q x c i x = x n 1 q x c x c x = x n 1 q x c x x i c x x i 1 =q x x n 1 queremos provar que i l, n=lm Ex. 4.29

11 Ex Ex Ex Ex Ex Ex Ex Ex. 4.38

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