2. O número de vectores da base de L construída na alínea anterior é a soma do número de vectores das bases de M e N.

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "2. O número de vectores da base de L construída na alínea anterior é a soma do número de vectores das bases de M e N."

Transcrição

1 2.4. PROJECÇÕES 2. dim(l)=dim(m)+dim(n) Demonstração. Se L=M N, qualquer vector x L se pode escrever de forma única como a soma de um vector x M M e outro vector x N N. 1. Dada uma base de M, x M pode ser escrito de forma única como combinação linear dessa base. De forma análoga, x N pode ser escrito de forma única como combinação linear duma base de N. Logo, qualquer vector x L pode ser escrito de forma única como combinação linear do conjunto de vectores que resulta de reunir as bases de M e N, pelo que esse conjunto é uma base de L. Note-se que não é possível que haja dependência linear ao juntar os vectores das bases de M e N, uma vez que apenas o vector nulo é comum a esses dois espaços. 2. O número de vectores da base de L construída na alínea anterior é a soma do número de vectores das bases de M e N. Teorema 2.16 Seja L um espaço linear com produto interno e M qualquer subespaço de L. Então: L = M M (2.2) Demonstração. Pelo Teorema 2.14 sabemos que basta demonstrar que M M = {0} e que M+M =L. 1. Seja x M M. Então x x < x,x >= 0 x = 0 (pela definição de produto interno). 2. Seja z L, qualquer. Seja {x i } k i=1 uma base ortonormada de M. Então o vector x = k i=1 α ix i com α i =< z,x i >, i = 1,..., k, pertence ao subespaço M. Se provarmos que o vector z x M, teremos L=M+M. Ora, para qualquer vector x i da base, tem-se: < z x,x i > = < z,x i > < x,x i > = α i k α j < x j,x i > = α i α i = 0 já que < x i,x j >= 0 se i j, uma vez que a base é ortonormada. Assim, z x é ortogonal a todos os vectores da base de M, pelo que tem de ser ortogonal a qualquer vector de M. j=1 Observações: 1. Isto significa que qualquer vector de L se pode sempre escrever de forma única como a soma de um vector em M e de outro vector de M, i.e., ortogonal a M. 2. O facto de L=M M não invalida que L=M N para outros subespaços N M. Definição 2.17 Seja L um espaço linear e M, N dois seus subespaços tais que L=M N. Uma aplicação P que associa a cada z L a sua componente única em M (i.e., tal que se z = x +y, com x M e y N, se tem Pz = x) diz-se uma projecção de L sobre M, ao longo de N. Se N=M, diz-se que P é a projecção ortogonal de L sobre M. ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

2 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR E TEORIA DE MATRIZES Observação: A demonstração da segunda parte do Teorema 2.16 significa que, caso seja conhecida uma base ortonormada de M, {x i } k i=1, a projecção ortogonal de um vector genérico z L sobre M será dada por ẑ = k i=1 < z,x i > x i. Teorema 2.17 Seja L um espaço linear e M, N dois seus subespaços tais que L=M N, e P uma projecção sobre M, ao longo de N. Então P é uma aplicação linear. Demonstração. Para verificar que P é uma aplicação linear, haverá que mostrar que α, β IR e x,y L, se verifica P(αx + βy) = αpx + βpy. Ora, como L=M N, temos, de forma única, x = x M + x N e y = y M + y N. Logo, como M e N são subespaços, αx + βy = (αx M + βy M ) + (αx N + βy N ), sendo esta a decomposição única de αx + βy nas suas componentes em M e N. Assim, P(αx + βy) = αx M + βy M = αpx + βpy. Verifica-se então o seguinte resultado, que permite falar sempre em o projector sobre um subespaço, ao longo de outro. Teorema 2.18 Dado um espaço linear L e uma soma directa L=M N, o projector sobre M ao longo de N é único. Demonstração. Seja P um projector sobre M ao longo de N, isto é, P é uma aplicação linear tal que, z L, e dada a decomposição única de z = z M + z N, verifica: Pz = z M. Admita-se que existia outra aplicação linear Q que também projectasse sobre M ao longo de N. Então Pz = Qz, z L. Mas nesse caso Pz Qz = (P Q)z = 0 L, z L, onde 0 L representa o elemento aditivo nulo em L. Logo (tendo em conta as observações feitas na página 21) P Q tem de ser a aplicação nula, o que implica que P = Q. Definição 2.18 Uma aplicação linear P num espaço linear L diz-se: 1. uma aplicação idempotente se P 2 = P, onde por P 2 se entende a aplicação P 2 (x) = P(P(x)). 2. uma aplicação identidade se Px = x, x L. Observação. É usual indicar uma aplicação identidade utilizando a letra I. Teorema 2.19 Seja P uma aplicação linear no espaço linear L, e I a aplicação identidade. Então: 1. P é uma projecção em L se e só se P é idempotente. 2. Se P é idempotente, P projecta sobre o seu subespaço imagem, C(P), ao longo do seu núcleo, N(P). 3. Se P é idempotente, I P projecta sobre o núcleo de P, N(P), ao longo da subespaço imagem de P, C(P). Munindo o espaço linear L dum produto interno, e sendo M um subespaço de L, verifica-se ainda 4. Se P é projecção ortogonal sobre M, então I P é projecção ortogonal sobre M. ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

3 2.4. PROJECÇÕES Demonstração. 1. ( ) Se P é uma projecção sobre um subespaço M ao longo de outro subespaço N (com L=M N), um vector arbitrário z L, pode-se escrever de forma única como z = z M + z N para z M M, z N N, e P devolve a componente (única) de z em M: Pz = z M. Nesse caso: P 2 z = P(Pz) = Pz M Mas Pz M = z M, pois se z M M, então z M = z M + 0 é a sua decomposição (única), e P é uma projecção sobre M ao longo de N. Logo: o que equivale a dizer que P 2 = P. P 2 z = Pz (= z M ), z L ( ) Seja P 2 = P, N o núcleo de P e M o conjunto de vectores x L tais que Px = x. Sabe-se que N é um subespaço. M também o é (verifique que é não-vazio e fechado para combinações lineares dos seus elementos). Vamos provar que L=M N, isto é, que M N={0} e M+N=L. (a) Vamos mostrar que se z M N = z = 0. Seja z N, então Pz = 0. Seja z M, então Pz = z. Então z pertence a M N se e só se z = 0. (b) Tem-se, z L, z = Pz + z Pz = Pz + (I P)z, onde I é a aplicação identidade em L. Mas Pz M (pois P(Pz) = Pz, pela idempotência de P), e (I P)z N, (pois P[I P]z = Pz P 2 z = 0). Assim, qualquer z L é decomponível, pelo que L=M+N. Logo, L=M N. Por construção, Pz tem de ser a componente única de z em M, logo P é projector sobre M ao longo de N. 2. Só falta provar que M é o conjunto imagem de P, isto é, que M= C(P). Que M está contido em C(P) é imediato, a partir da sua definição como o conjunto de vectores x L para os quais x = Px. Falta provar que C(P) M, isto é, que se existe z L tal que x = Pz = x M. Mas se x = Pz = Px = P 2 z = Pz = x, pela idempotência de P, logo x M. 3. Sabemos que se P é idempotente, então P projecta sobre M=C(P), ao longo de N=N(P), i.e., z L, que se pode sempre escrever de forma única como z = z M +z N, com z M M e z N N, se tem: Pz = P(z M + z N ) = z M Logo, (I P)z = z Pz = (z M + z N ) z M = z N, que é a componente única de z em N. Assim, (I P) projecta sobre N=N(P) ao longo de M=C(P). 4. Se P é projecção ortogonal sobre M, tem-se M= C(P) e M = N(P). Sabemos pela alínea anterior que, nesse caso, I P projecta sobre M ao longo de M, isto é, é o projector ortogonal sobre M. Observações: 1. Repare-se que na demonstração do primeiro ponto do Teorema anterior mostrou-se que se P é uma aplicação idempotente, P projecta sobre o conjunto de vectores que permanecem invariantes sob o seu efeito (isto é, o conjunto de vectores x L tais que Px = x), ao longo ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

4 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR E TEORIA DE MATRIZES do núcleo de P (isto é, ao longo do conjunto de vectores x L tais que Px = 0). Isso mostra que os vectores de um subespaço permanecem invariantes sob o efeito de um projector sobre esse subespaço. 2. A demonstração do ponto 2 do Teorema torna evidente que aquilo que se está a afirmar é que, se P é uma aplicação idempotente no espaço linear L, então P induz a seguinte decomposição em soma directa: L= C(P) N(P). 3. Em aplicações estatísticas, é frequente designar o vector Pz como o vector ajustado, e o vector (I P)z como o vector residual de z após a sua projecção ortogonal sobre M. 4. Existe uma caracterização simples de projectores ortogonais em espaços lineares genéricos, mas exige conceitos adicionais (i.e., o conceito de aplicação auto-adjunta) e será omitida. As projecções ortogonais desempenham um papel decisivo em muitos campos da Estatística, incluíndo no estudo de vários tipos de modelos. A principal razão dessa importância reside no seguinte Teorema, de índole muito geral. Teorema 2.20 Seja L um espaço linear com produto interno e a norma induzida pelo produto interno. Seja M um subespaço de L, e P o projector ortogonal sobre M. Dado qualquer vector (nãonulo) z L, verifica-se: 1. (Teorema de Pitágoras.) O quadrado da norma de z é a soma dos quadrados das normas das suas componentes em M e em M, isto é: z 2 = Pz 2 + (I P)z O cosseno do ângulo entre um vector z / M e a sua projecção ortogonal sobre M é dada por: cos(z,pz) = Pz z 3. O vector no subespaço M mais próximo do vector z L (isto é, o vector y = ẑ que minimiza a distância z y, entre todos os vectores y M), é a projecção ortogonal de z sobre M, isto é, ẑ = Pz. 4. Os vectores no subespaço M que formam o mais pequeno ângulo com o vector z / M são os vectores que apontam no mesmo sentido que Pz, ou seja, os vectores y = αpz, α R +. Demonstração. 1. Tem-se: z 2 = Pz + (I P)z 2 = Pz < Pz, (I P)z > + (I P)z 2. Mas a parcela intermédia anula-se, pois Pz M, e (I P)z M. 2. Se Pz 0 (i.e., z / M ), pela definição de cosseno de ângulo entre vectors não-nulos (p. 24) vem: cos(z,pz) = < z,pz > z Pz = < Pz + (I P)z,Pz > z Pz = < Pz,Pz > + < (I P)z,Pz > z Pz. ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

5 2.4. PROJECÇÕES A segunda parcela do numerador anula-se, enquanto que a primeira é Pz Queremos determinar o vector ẑ M que minimiza z ẑ ou, o que é equivalente, que minimiza z ẑ 2. Ora, como L=M M, o vector z tem decomposição única z = z M + z M, com z M M e z M M. Logo, z ẑ 2 = z M + z M ẑ 2 = < (z M ẑ) + z M, (z M ẑ) + z M > = z M ẑ (z M ẑ),z M + z M 2. Mas a segunda parcela do lado direito anula-se, uma vez que o vector z M ẑ pertence ao subespaço M, e o vector z M pertence ao complemento ortogonal de M. Por outro lado, a terceira parcela não depende de ẑ. Assim, minimizar z ẑ 2 corresponde a minimizar a primeira parcela do lado direito. Mas isso faz-se tomando ẑ = z M, como queríamos demonstrar. 4. Minimizar ângulos corresponde a maximizar cossenos desses ângulos. Assim, procuramos os vectores ẑ de M que maximizam o quociente <z,ẑ> z ẑ. Utilizando a decomposição única do vector genérico z, isto é, considerando z = z M +z M, temos < z,ẑ > = < z M,ẑ > + < z M,ẑ >. Por considerações análogas às das alíneas anteriores, a segunda parcela anula-se. E pelo Teorema de Cauchy-Schwarz- Buniakovski, sabemos que < z M,ẑ > z M ẑ, verificando-se a igualdade quando ẑ é um múltiplo escalar de z M, isto é, de Pz. Para poder ignorar os módulos, há que exigir que o escalar desse múltiplo escalar seja positivo, isto é, que ẑ aponte no mesmo sentido que Pz. M (I P)z z ẑ = Pz z 0 x 3 Pz θ x x2 x4 1 Figura 2.2: Ilustração do Teorema de Pitágoras. O ângulo θ é o ângulo cujo cosseno é referido no Teorema da página 30 Daqui em diante iremos cingir-nos apenas a projecções nos espaços IR k. ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

6 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR E TEORIA DE MATRIZES Projecções em IR k Consideremos agora os espaços reais, IR k, munidos do habitual produto interno Euclidiano: < x,y > = x t y. Sabemos, da disciplina de Complementos de Álgebra e Análise que a cada matriz do tipo n m corresponde uma aplicação linear de IR m em IR n, e viceversa (fixando as bases de cada espaço). As aplicações lineares em IR k correspondem a matrizes de tipo k k. Assim, a cada aplicação linear (e admitindo que se convenciona trabalhar apenas com as bases canónicas de IR k ) corresponde uma matriz A M k k. Pela caracterização feita anteriormente de projecções, as projecções em IR k correspondem a matrizes idempotentes. Mas pode-se demonstrar um resultado mais forte, que caracteriza completamente as matrizes de projecção ortogonal nos espaços vectoriais IR k : as matrizes de projecção ortogonal em IR k são as matrizes simétricas (A t = A) e idempotentes (A 2 = A) de tipo k k, como mostram os seguintes Teoremas. Teorema 2.21 Seja IR k =M M, com M um subespaço em IR k de dimensão r. Considere o produto interno usual em IR k. Então, a matriz P de projecção ortogonal sobre M é única e tem a forma: P = B(B t B) 1 B t, onde B é uma matriz k r cujas r colunas formam uma qualquer base de M. Notas: 1. A matriz B não é única, mas a matriz de projecção P = B(B t B) 1 B t tem de o ser, pelo Teorema 2.18 (pg. 28). 2. No caso de se escolher uma base ortonormada do subespaço M sobre o qual se projecta, então as colunas da matriz B são ortonormadas e pode escrever-se apenas P B = BB t. Demonstração. Se IR k =M M, qualquer vector x IR k se pode escrever de forma única como x = x 1 + x 2, com x 1 M e x 2 M. Como as colunas de B formam uma base de M, x 1 pode escrever-se por sua vez, de forma única, como combinação linear dessas colunas, isto é, x 1 = Bc para um e um só vector c IR r. Simultaneamente, se x 2 M, x 2 é ortogonal a qualquer vector de M, logo é ortogonal a todas as colunas de B, pelo que B t x 2 = 0. Assim, Px = (B(B t B) 1 B t )(x 1 + x 2 ) = (B(B t B) 1 B t )(Bc) + 0 = Bc = x 1. Assim, a imagem de qualquer vector de IR k por P é a sua componente única no subespaço M. Assinale-se que a existência da inversa de B t B é garantida pelo facto de esta matriz r r ter característica igual à característica de B (ver apontamentos de Estatística Multivariada), e a característica de B ter de ser r, já que as suas colunas formam uma base dum subespaço de dimensão r. Exemplo 2.6 Consideremos o exemplo trivial de projecção ortogonal, em R 3, sobre o plano coordenado x0y. Em R 3, um ponto genérico tem coordenadas (x, y, z) e a sua projecção ortogonal sobre o plano (subespaço) referido é o ponto de coordenadas (x, y, 0). Para construir a respectiva matriz de projecção ortogonal, escolhemos uma base (por sinal, ortonormada) do subespaço x0y, dada pelos vectores ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

7 (1, 0, 0) e (0, 1, 0). Temos B = P B [x, y, z] t = [x, y, 0] t e P B = B(B t B) 1 B t = PROJECÇÕES. Facilmente se vê que Exemplo 2.7 Em R 3, a equação x = y define um plano vertical, constituido pelos pontos de coordenadas (a, a, b), a, b R. Este plano (subespaço) é gerado, por exemplo, pelos vectores [1, 1, 0] t e [0, 0, 1] t. Logo, podemos tomar B = 1 0 e a matriz de projecção ortogonal é: P B = B(B t B) 1 B t = A projecção ortogonal de, por exemplo, o vector [1, 2, 3] t é dada por P B [1, 2, 3] t = [ 3 2, 3 2, 3]t. Nota: Seja y IR k um vector e M um subespaço linear r-dimensional de IR k com uma base constituída pelas colunas da matriz B. A projecção ortogonal de y sobre M (com o produto interno usual) é o vector: O vector (de tipo r 1): ŷ = Py = B(B t B) 1 B t y (B t B) 1 B t y é o vector dos r coeficientes da combinação linear que define de forma única o vector projectado ŷ M em termos dos vectores da base B de M. M y x 2 ŷ = Py x 1 0 Figura 2.3: Projecção do vector y sobre o subespaço M, gerado pelos vectores x 1 e x 2. As coordenadas do vector projectado nos eixos x 1 e x 2 são dadas pelos elementos do vector (B t B) 1 B t y, onde a matriz B é a matriz cujas duas colunas são os vectores da base, x 1 e x 2. ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

8 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR E TEORIA DE MATRIZES Teorema 2.22 Seja P uma matriz de dimensão k k. Então P é matriz de projecção ortogonal sobre algum subespaço de R k se e só se P é uma matriz simétrica e idempotente. Demonstração. (= ) Imediata: é trivial verificar que P = B(B t B) 1 B t é uma matriz simétrica e idempotente. ( =) Se P é idempotente, já sabemos que é projecção sobre o seu espaço imagem C(P), ao longo do seu núcleo N(P). Para que a projecção seja ortogonal, é preciso que N(P) = C(P). Já sabemos, da disciplina de Complementos de Álgebra e Análise que, como para qualquer matriz P, se tem C(P) = N(P t ). Sendo a matriz P simétrica, tem-se o resultado pretendido. Exercício 2.5 Verifique que a matriz de projecção referida no Teorema 2.21 é simétrica e idempotente. A decomposição espectral das matrizes de projecção ortogonal em subespaços de IR n é interessante. Teorema 2.23 Seja M um subespaço r-dimensional de IR k, e P M a matriz de projecção ortogonal sobre M. Então: 1. Os valores próprios de P M apenas tomam valor 0 ou 1, havendo precisamente r = dim(m) valores próprios de valor 1 e k r = dim(m ) valores próprios de valor Os vectores próprios associados a valores próprios 1 formam uma base ortonormada de M. Os vectores próprios associados a valores próprios 0 formam uma base ortonormada de M. 3. O traço de P M é a dimensão do subespaço M sobre o qual P M projecta. 4. A matriz P M é semi-definida positiva. Demonstração. Uma matriz simétrica de dimensão k k admite um conjunto ortonormado de k vectores próprios, aos quais correspondem valores próprios reais (como foi visto nas disciplinas de Complementos de Álgebra e Análise e Estatística Multivariada). Escolha-se então uma base ortonormada do subespaço M, {a i } r i=1. Essa base tem precisamente r vectores, a dimensão do subespaço M. Como os r vectores pertencem a M, a sua projecção ortogonal sobre esse subespaço deixa-os invariantes (vejam-se as observações na página 29). Logo, P M a i = a i, (i = 1 : n). Mas isso significa que os r vectores a i são vectores próprios de P M, com valor próprio associado igual a 1. Considere-se agora uma base ortonormada de M, {b i } k r i=1. Esta base tem k r vectores, pois essa é a dimensão do complemento ortogonal de M (veja-se o Teorema 2.15 da página 26). Mas se estes vectores pertencem a M, a sua componente única em M tem de ser o vector nulo. Logo, tem-se P M b j = 0. Esta equação significa que todos esses vectores b j são vectores próprios de P M com valor próprio associado igual a zero. Como já foram identificados k vectores próprios ortogonais entre si, P M não pode ter mais vectores/valores próprios. A alínea seguinte é consequência directa desta discussão, dado que o traço de P M será o número de valores próprios iguais a 1, que coincide com o número de vectores na base do subespaço M. A última alínea é consequência ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

9 2.4. PROJECÇÕES imediata da primeira, uma vez que (Teorema A.1, Apêndice A) uma matriz simétrica é semi-definida positiva se e só se todos os seus valores próprios forem não-negativos Projecções em subespaços encaixados No estudo do Modelo Linear, vários resultados importantes dizem respeito a situações em que se comparam projecções de vectores sobre subespaços encaixados noutros subespaços, ou seja, subespaços contidos noutros subespaços. Vejamos dois resultados relativos a projecções sobre subespaços encaixados. Teorema 2.24 Seja M um subespaço linear de IR k e N um subespaço próprio de M (N M IR k ). Sejam P M e P N as matrizes de projecção ortogonal sobre M e N, respectivamente. Sejam P M e as matrizes de projecção ortogonal sobre os complementos ortogonais de M e N. Então, tem-se: P N 1. P M P N = P N P M = P N. 2. P M P N = P N P M = P M P N. 3. P N P M = P M P N = P M P N = P N P M = P M. Nota: repare-se que, em geral, o produto de duas matrizes de projecção não é uma matriz de projecção. Aqui considera-se uma situação especial, resultante dos subespaços onde se projecta estarem encaixados. Demonstração. Repare-se que as dimensões dos subespaços M e N são diferentes, mas P M e P N são sempre matrizes k k. Seja N uma matriz cujas colunas formam uma base de N. Então, P N = N(N t N) 1 N t. Ora, como N M, as colunas de N pertencem ao subespaço M, donde P M N = N (relembre-se a primeira observação da página 29). Logo: 1. P M P N = P M N(N t N) 1 N t = N(N t N) 1 N t = P N. Por outro lado, dada a simetria das matrizes de projecção e as relações entre produtos e transpostas de matrizes: P N P M = P t N Pt M = (P M P N ) t = (P N ) t = P N. 2. Sabemos (Teorema 2.19, página 28) que P N = I P N, onde I é a matriz identidade k k. Logo, P M P N = P M (I P N ) = P M P M P N = P M P N, pela alínea anterior. Para o outro produto, a demonstração é análoga. 3. Tem-se P M P N = (I P M )P N = P N P M P N = P N P N = 0. A demonstração que P N P M = 0 é análoga. 4. Tem-se P M P N = (I P M )(I P N ) = I P N P M + P M P N = I P M = P M. Vejamos ainda outro resultado envolvendo projecções e subespaços encaixados, que será de grande utilidade posteriormente. ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

10 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR E TEORIA DE MATRIZES Teorema 2.25 Seja M um subespaço próprio de IR k e N M um seu subespaço próprio. Seja Q=M N. Sejam P M e P N as matrizes de projecção ortogonal sobre M e N, respectivamente. Então: 1. Q e N são subespaços ortogonais. 2. M = N Q. 3. A matriz de projecção ortogonal sobre o subespaço Q é P M P N. Demonstração. 1. Q é subespaço pois é a intersecção de dois subespaços. Que é ortogonal ao subespaço N é imediato, uma vez que Q = M N N. 2. Uma vez que N e Q são ortogonais, o único elemento que lhes pode ser comum é a origem de IR k (se x N Q, x é ortogonal a si próprio, mas < x,x > = 0 x = 0). Falta apenas provar que M = N + Q (isto é, que qualquer elemento de M se pode escrever como a soma de um elemento de N e outro de Q) para se poder aplicar o Teorema 2.14 (pg.26) e concluir que M = N Q. Ora N é subespaço de IR k, pelo que é possível decompôr IR k em soma directa de N e o seu complemento ortogonal (veja-se o Teorema 2.16, pg. 27), isto é, IR k = N N. Isto significa que todos os elementos de IR k se podem escrever, de forma única, como soma de um elemento de N mais um elemento de N. Em particular, os elementos de M IR n podem ser decompostos desta forma. Logo, x M, x = x N + x N, com x N N e x N N. Mas N M, logo x N = x x N é a diferença de dois elementos de M, pelo que tem de pertencer a M. Assim, existe pelo menos uma forma de escrever qualquer elemento de M como soma de um elemento de N com outro que, além de estar em N, tem de estar também em M, i.e., está em Q. Assim, M = N + Q. 3. A matriz de projecção ortogonal sobre o subespaço Q = M N tem de ser uma matriz P Q simétrica e idempotente (Teorema 2.22, p. 34) cujo espaço de colunas é Q (Teorema 2.19, página 28). É fácil de verificar que a diferença de duas matrizes simétricas é simétrica. Por outro lado, (P M P N ) (P M P N ) = P 2 M P MP N P N P M + P 2 N = P M P N, já que, quer P M, quer P N, são idempotentes, e, pelo Teorema 2.24 (página 35), P M P N = P N P M = P N. Falta verificar que C(P M P N ) = Q. Ora, é fácil de ver que o subespaço Q está contido no subespaço-coluna de P M P N. De facto, x Q, (P M P N )x = P M x P N x = x 0 = x, já que x Q implica que x M e que x é ortogonal a qualquer vector de N. Tem-se ainda que a dimensão do subespaço sobre o qual a matriz (P M P N ) projecta é o traço dessa matriz (Teorema 2.23, pg. 34). Ora tr(p M P N ) = tr(p M ) tr(p N ) = dim(m) dim(n). Essa também é a dimensão do subespaço Q, já que, pela alínea anterior, e pelo Teorema 2.15 (que relaciona a dimensão dum espaço linear com a dimensão dos subespaços que constituem uma sua soma directa, p. 26) tem-se dim(q) = dim(m) dim(n). Mas a argumentação relativa às dimensões desses dois subespaços impõe agora que o subespaço-coluna de P M P N coincida com o subespaço Q. Nota: Repare-se que, em conjunto com o Teorema 2.24 (p. 35), este Teorema mostra que a matriz de projecção ortogonal sobre o subespaço Q=M N (com N M) é o produto (por qualquer ordem) das matrizes de projecção ortogonal sobre M e sobre N. ISA/UTL Mestrado em Matemática Modelação Estatística I 2009/

INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS FACTORIAIS

INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS FACTORIAIS Capítulo II INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS FACTORIAIS A Análise Factorial de Correspondências é uma técnica simples do ponto de vista matemático e computacional. Porém, devido ao elevado suporte geométrico desta

Leia mais

Espaços vectoriais com produto interno. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Biomédica Espaços vectoriais com produto interno 1 / 15

Espaços vectoriais com produto interno. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Biomédica Espaços vectoriais com produto interno 1 / 15 Capítulo 6 Espaços vectoriais com produto interno ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Biomédica Espaços vectoriais com produto interno 1 / 15 Definição e propriedades Seja V um espaço vectorial real. Chama-se

Leia mais

Marília Brasil Xavier REITORA. Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

Marília Brasil Xavier REITORA. Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA Marília Brasil Xavier REITORA Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA MATERIAL DIDÁTICO EDITORAÇÃO ELETRONICA Odivaldo Teixeira Lopes ARTE FINAL DA CAPA Odivaldo Teixeira

Leia mais

7.4 As nuvens de perfis

7.4 As nuvens de perfis 7.4 As nuvens de perfis Cada perfil de linha, ou seja, cada linha da matriz de perfis de linha, P L, define um ponto no espaço a b dimensões, R b. A nuvem de a pontos em R b assim resultante pode ser designada

Leia mais

Recordamos que Q M n n (R) diz-se ortogonal se Q T Q = I.

Recordamos que Q M n n (R) diz-se ortogonal se Q T Q = I. Diagonalização ortogonal de matrizes simétricas Detalhes sobre a Secção.3 dos Apontamentos das Aulas teóricas de Álgebra Linear Cursos: LMAC, MEBiom e MEFT (semestre, 0/0, Prof. Paulo Pinto) Recordamos

Leia mais

Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing)

Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) ISCTE, Escola de Gestão Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) Diana Aldea Mendes 29 de Outubro de 2008 Espaços Vectoriais Definição (vector): Chama-se vector edesigna-sepor v um objecto matemático caracterizado

Leia mais

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013 Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante

Leia mais

Códigos Lineares CAPÍTULO 4

Códigos Lineares CAPÍTULO 4 CAPÍTULO 4 Códigos Lineares 1. Definição, pârametros e peso mínimo Seja F q o corpo de ordem q. Portanto, pelo Teorema 3.24, q = p m para algum primo p e inteiro positivo m. Definição 4.1. Um código linear

Leia mais

ficha 3 espaços lineares

ficha 3 espaços lineares Exercícios de Álgebra Linear ficha 3 espaços lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 3 Notação Sendo

Leia mais

11 a LISTA DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark, LERCI, LEGI, LEE 1 o semestre 2003/04 - semana de 2003-12-08

11 a LISTA DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark, LERCI, LEGI, LEE 1 o semestre 2003/04 - semana de 2003-12-08 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA a LISTA DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark LERCI LEGI LEE o semestre 23/4 - semana de 23-2-8. Diga justificando quais dos seguintes ternos

Leia mais

Produtos. 4.1 Produtos escalares

Produtos. 4.1 Produtos escalares Capítulo 4 Produtos 4.1 Produtos escalares Neste tópico iremos estudar um novo tipo de operação entre vetores do plano e do espaço. Vamos fazer inicialmente uma consideração geométrica, como segue. Seja

Leia mais

Bem, produto interno serve para determinar ângulos e distâncias entre vetores e é representado por produto interno de v com w).

Bem, produto interno serve para determinar ângulos e distâncias entre vetores e é representado por produto interno de v com w). Produto Interno INTRODUÇÃO Galera, vamos aprender agora as definições e as aplicações de Produto Interno. Essa matéria não é difícil, mas para ter segurança nela é necessário que o aluno tenha certa bagagem

Leia mais

Matrizes e Determinantes

Matrizes e Determinantes Capítulo 1 Matrizes e Determinantes 11 Generalidades Iremos usar K para designar IR conjunto dos números reais C conjunto dos números complexos Deste modo, chamaremos números ou escalares aos elementos

Leia mais

Geometria Analítica. Katia Frensel - Jorge Delgado. NEAD - Núcleo de Educação a Distância. Curso de Licenciatura em Matemática UFMA

Geometria Analítica. Katia Frensel - Jorge Delgado. NEAD - Núcleo de Educação a Distância. Curso de Licenciatura em Matemática UFMA Geometria Analítica NEAD - Núcleo de Educação a Distância Curso de Licenciatura em Matemática UFMA Katia Frensel - Jorge Delgado Março, 011 ii Geometria Analítica Conteúdo Prefácio ix 1 Coordenadas na

Leia mais

2 Matrizes. 3 Definição Soma de duas matrizes, e ( ) 4 Propriedades Propriedades da soma de matrizes ( )

2 Matrizes. 3 Definição Soma de duas matrizes, e ( ) 4 Propriedades Propriedades da soma de matrizes ( ) Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Matriz ( ) Conjunto de elementos dispostos em linhas e colunas. Ex.: 0 1 é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas. 2 Definição

Leia mais

Tópicos Matriciais Pedro Henrique O. Pantoja Natal / RN

Tópicos Matriciais Pedro Henrique O. Pantoja Natal / RN 1. Traço de Matrizes. Definição 1.1: O traço de uma matriz quadrada A a de ordem n é a soma dos elementos da diagonal principal. Em símbolos, TrA a a a a. Daqui em diante, A denotará uma matriz quadrada

Leia mais

Valores e Vectores Próprios. Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal

Valores e Vectores Próprios. Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Valores e Vectores Próprios Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Ano Lectivo 24/25 Conteúdo Definição de Valor e Vector Próprios 2 2 Um Eemplo de Aplicação 8 3

Leia mais

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa

Leia mais

Notas de Aula. Álgebra Linear

Notas de Aula. Álgebra Linear Notas de Aula Álgebra Linear Rodney Josué Biezuner 1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula da disciplina Álgebra Linear

Leia mais

Os postulados da Mecânica Quântica. Aplicação: o sistema a dois níveis

Os postulados da Mecânica Quântica. Aplicação: o sistema a dois níveis Os postulados da Mecânica Quântica. Aplicação: o sistema a dois níveis Miguel A. N. Araújo Departamento de Física Universidade de Évora 005 Contents i Capítulo 1 Preliminar Do ponto de vista matemático,

Leia mais

1 Módulo ou norma de um vetor

1 Módulo ou norma de um vetor Álgebra Linear I - Aula 3-2005.2 Roteiro 1 Módulo ou norma de um vetor A norma ou módulo do vetor ū = (u 1, u 2, u 3 ) de R 3 é ū = u 2 1 + u2 2 + u2 3. Geometricamente a fórmula significa que o módulo

Leia mais

Aulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear

Aulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear Aulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear Nuno Martins Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Maio de Índice Parte I (Aulas teóricas e chas de exercícios) Matrizes e sistemas de equações

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares

Leia mais

O Método Simplex para

O Método Simplex para O Método Simplex para Programação Linear Formas de Programas Lineares O problema de Programação Matemática consiste na determinação do valor de n variáveis x 1, x 2,, x n que tornam mínimo ou máximo o

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA CURSO BIETÁPICO EM ENGENHARIA CIVIL º ciclo Regime Diurno/Nocturno Disciplina de COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA Ano lectivo de 7/8 - º Semestre Etremos

Leia mais

Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz

Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz setor 08 080509 080509-SP Aula 35 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A = A A = I n

Leia mais

NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR

NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇO VETORIAL REAL NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS Seja um conjunto V φ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar, tais que u, v V, u+v V e α R, u V, αu V

Leia mais

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Álgebra Linear André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Janeiro/2006 Índice 1 Sistemas Lineares 1 11 Corpos 1 12 Sistemas de Equações Lineares 3 13 Sistemas equivalentes 4 14 Operações elementares

Leia mais

5 Transformações Lineares e Matrizes

5 Transformações Lineares e Matrizes Nova School of Business and Economics Prática Álgebra Linear 5 Transformações Lineares e Matrizes 1 Definição Função de em Aplicação que faz corresponder a cada elemento de um conjunto (domínio), denominado

Leia mais

. Determine os valores de P(1) e P(22).

. Determine os valores de P(1) e P(22). Resolução das atividades complementares Matemática M Polinômios p. 68 Considere o polinômio P(x) x x. Determine os valores de P() e P(). x x P() 0; P() P(x) (x x)? x (x ) x x x P()? 0 P() ()? () () 8 Seja

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR ISBN 978-85-915683-0-7

ÁLGEBRA LINEAR ISBN 978-85-915683-0-7 . ÁLGEBRA LINEAR ISBN 978-85-915683-0-7 ROBERTO DE MARIA NUNES MENDES Professor do Departamento de Matemática e Estatística e do Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica da PUCMINAS Belo Horizonte

Leia mais

a 1 x 1 +... + a n x n = b,

a 1 x 1 +... + a n x n = b, Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição

Leia mais

Notas de Aula. Álgebra Linear I

Notas de Aula. Álgebra Linear I Notas de Aula Álgebra Linear I Rodney Josué Biezuner 1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula da disciplina Álgebra Linear

Leia mais

Expansão linear e geradores

Expansão linear e geradores Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 4 Expansão linear e geradores Se u ; u ; :::; u n são vectores de um espaço vectorial V; como foi visto atrás, alguns vectores de V são combinação linear de u ; u ; :::;

Leia mais

TRANSFORMAÇÕES LINEARES. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga

TRANSFORMAÇÕES LINEARES. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga TRANSFORMAÇÕES LINEARES Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga INTRODUÇÃO Estudaremos um tipo especial de função, onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais reais. Assim, tanto

Leia mais

Investigação Operacional- 2009/10 - Programas Lineares 3 PROGRAMAS LINEARES

Investigação Operacional- 2009/10 - Programas Lineares 3 PROGRAMAS LINEARES Investigação Operacional- 2009/10 - Programas Lineares 3 PROGRAMAS LINEARES Formulação A programação linear lida com problemas nos quais uma função objectivo linear deve ser optimizada (maximizada ou minimizada)

Leia mais

Este apêndice resume os conceitos de álgebra matricial, inclusive da álgebra de probabilidade,

Este apêndice resume os conceitos de álgebra matricial, inclusive da álgebra de probabilidade, D Resumo de Álgebra Matricial Este apêndice resume os conceitos de álgebra matricial, inclusive da álgebra de probabilidade, necessária para o estudo de modelos de regressão linear múltipla usando matrizes,

Leia mais

Álgebra linear algorítmica

Álgebra linear algorítmica Álgebra linear algorítmica S. C. Coutinho Este arquivo reúne as provas do curso álgebra linear algorítmica (MAB 5) oferecido pelo Departamento de Ciência da Computação da UFRJ. Primeira Prova200/. Seja

Leia mais

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010 Para determinarmos um valor aproximado das raízes de uma equação não linear, convém notar inicialmente

Leia mais

3 O método Jacobi quaterniônico para matrizes anti-simétricas

3 O método Jacobi quaterniônico para matrizes anti-simétricas 3 O método Jacobi quaterniônico para matrizes anti-simétricas 3.1 O Método de Jacobi O uso de reflexões e rotações é computacionalmente interessante pela sua simplicidade e porque podem ser facilmente

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2013/I

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2013/I 1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 013/I 1 Sejam u = ( 4 3) v = ( 5) e w = (a b) Encontre a e b tais

Leia mais

A Matemática no Vestibular do ITA. Material Complementar: Prova 2014. c 2014, Sergio Lima Netto sergioln@smt.ufrj.br

A Matemática no Vestibular do ITA. Material Complementar: Prova 2014. c 2014, Sergio Lima Netto sergioln@smt.ufrj.br A Matemática no Vestibular do ITA Material Complementar: Prova 01 c 01, Sergio Lima Netto sergioln@smtufrjbr 11 Vestibular 01 Questão 01: Das afirmações: I Se x, y R Q, com y x, então x + y R Q; II Se

Leia mais

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de etremos O Teorema de Taylor estabelece que sob certas condições) uma função pode ser aproimada na proimidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo

Leia mais

4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r

4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r 94 4. Produto Vetorial Dados dois vetores u e v no espaço, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por u v (ou u v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes,

Leia mais

A ideia de coordenatização (2/2)

A ideia de coordenatização (2/2) 8 a : aula (1h) 12/10/2010 a ideia de coordenatização (2/2) 8-1 Instituto Superior Técnico 2010/11 1 o semestre Álgebra Linear 1 o ano das Lics. em Engenharia Informática e de Computadores A ideia de coordenatização

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 11/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 11/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 11/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A FICHA 8 APLICAÇÕES E COMPLEMENTOS Sistemas Dinâmicos Discretos (1) (Problema

Leia mais

Análise Funcional. José Ferreira Alves. Março de 2002. Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Departamento de Matemática Pura

Análise Funcional. José Ferreira Alves. Março de 2002. Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Departamento de Matemática Pura Análise Funcional José Ferreira Alves Março de 2002 Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Departamento de Matemática Pura ii Introdução Estas notas foram elaboradas para a disciplina de Complementos

Leia mais

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente

Leia mais

1. Método Simplex. Faculdade de Engenharia Eng. Celso Daniel Engenharia de Produção. Pesquisa Operacional II Profa. Dra. Lílian Kátia de Oliveira

1. Método Simplex. Faculdade de Engenharia Eng. Celso Daniel Engenharia de Produção. Pesquisa Operacional II Profa. Dra. Lílian Kátia de Oliveira Faculdade de Engenharia Eng. Celso Daniel Engenharia de Produção. Método Simple.. Solução eata para os modelos de Programação Linear O modelo de Programação Linear (PL) reduz um sistema real a um conjunto

Leia mais

Unidade: Vetores e Forças. Unidade I:

Unidade: Vetores e Forças. Unidade I: Unidade I: 0 Unidade: Vetores e Forças 2.VETORES 2.1 Introdução Os vetores são definidos como entes matemáticos que dão noção de intensidade, direção e sentido. De forma prática, o conceito de vetor pode

Leia mais

Prof. José Carlos Morilla

Prof. José Carlos Morilla 1 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Santos 009 1 CÁLCULO VETORIAL... 4 1.1 Segmentos Orientados... 4 1. Vetores... 4 1..1 Soma de um ponto com um vetor... 5 1.. Adição de vetores... 5 1..3 Diferença

Leia mais

PROFº. LUIS HENRIQUE MATEMÁTICA

PROFº. LUIS HENRIQUE MATEMÁTICA Geometria Analítica A Geometria Analítica, famosa G.A., ou conhecida como Geometria Cartesiana, é o estudo dos elementos geométricos no plano cartesiano. PLANO CARTESIANO O sistema cartesiano de coordenada,

Leia mais

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo Capítulo 1 Números Complexos 11 Unidade Imaginária O fato da equação x 2 + 1 = 0 (11) não ser satisfeita por nenhum número real levou à denição dos números complexos Para solucionar (11) denimos a unidade

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Álgebra Linear e Geometria Analítica Álgebra Linear e Geometria Analítica Departamento de Matemática para a Ciência e Tecnologia Universidade do Minho 2005/2006 Engenharia e Gestão Industrial Engenharia Electrónica Industrial e de Computadores

Leia mais

Álgebra Linear Resumo das aulas teóricas e práticas Paulo R. Pinto http://www.math.ist.utl.pt/ ppinto/ Lisboa, Novembro de 2011

Álgebra Linear Resumo das aulas teóricas e práticas Paulo R. Pinto http://www.math.ist.utl.pt/ ppinto/ Lisboa, Novembro de 2011 Álgebra Linear Resumo das aulas teóricas e práticas Paulo R Pinto http://wwwmathistutlpt/ ppinto/ Lisboa, Novembro de 2011 Conteúdo 1 Matrizes e sistemas lineares 1 11 Álgebra das Matrizes 1 12 Operações

Leia mais

E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO

E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO Dizemos que uma equação é linear, ou de primeiro grau, em certa incógnita, se o maior expoente desta variável for igual a um. Ela será quadrática, ou

Leia mais

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%)

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Distribuição das 1.048 Questões do I T A 94 (8,97%) 104 (9,92%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais 23 (2, 101 (9,64%) Geo. Espacial Geo. Analítica Funções Conjuntos 31 (2,96%)

Leia mais

Corpos. Um domínio de integridade finito é um corpo. Demonstração. Seja D um domínio de integridade com elemento identidade

Corpos. Um domínio de integridade finito é um corpo. Demonstração. Seja D um domínio de integridade com elemento identidade Corpos Definição Um corpo é um anel comutativo com elemento identidade em que todo o elemento não nulo é invertível. Muitas vezes é conveniente pensar em ab 1 como sendo a b, quando a e b são elementos

Leia mais

Vetores no R 2 : = OP e escreve-se: v = (x, y), identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v.

Vetores no R 2 : = OP e escreve-se: v = (x, y), identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v. Vetores no R 2 : O conjunto R 2 = R x R = {(x, y) / x, y Є R} é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano xoy. Qualquer vetor AB considerado neste plano tem sempre um representante OP

Leia mais

ROTEIRO DE ESTUDO - 2013 VP4 MATEMÁTICA 3 a ETAPA 6 o ao 9º Ano INTEGRAL ENSINO FUNDAMENTAL 1º E 2º ANOS INTEGRAIS ENSINO MÉDIO

ROTEIRO DE ESTUDO - 2013 VP4 MATEMÁTICA 3 a ETAPA 6 o ao 9º Ano INTEGRAL ENSINO FUNDAMENTAL 1º E 2º ANOS INTEGRAIS ENSINO MÉDIO 6 o ANO MATEMÁTICA I Adição e subtração de frações: Frações com denominadores iguais. Frações com denominadores diferentes. Multiplicação de um número natural por uma fração. Divisão entre um número natural

Leia mais

São grandezas que para que a gente possa descrever 100%, basta dizer um número e a sua unidade.

São grandezas que para que a gente possa descrever 100%, basta dizer um número e a sua unidade. Apostila de Vetores 1 INTRODUÇÃO Fala, galera! Essa é a primeira apostila do conteúdo de Física I. Os assuntos cobrados nas P1s são: Vetores, Cinemática Uni e Bidimensional, Leis de Newton, Conservação

Leia mais

Conceitos Fundamentais

Conceitos Fundamentais Capítulo 1 Conceitos Fundamentais Objetivos: No final do Capítulo o aluno deve saber: 1. distinguir o uso de vetores na Física e na Matemática; 2. resolver sistema lineares pelo método de Gauss-Jordan;

Leia mais

Sistemas Lineares e Escalonamento

Sistemas Lineares e Escalonamento Capítulo 1 Sistemas Lineares e Escalonamento Antes de iniciarmos nos assuntos geométricos da Geometria Analítica, vamos recordar algumas técnicas sobre escalonamento de matrizes com aplicações na solução

Leia mais

Lições de Análise Matemática 2. Maria do Carmo Coimbra Departamento de Engenharia Civil Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Lições de Análise Matemática 2. Maria do Carmo Coimbra Departamento de Engenharia Civil Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Maria do Carmo Coimbra Departamento de Engenharia Civil Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Julho de 008 Conteúdo Prefácio vii 1 Breves Noções de Topologia em R n 1 Funções Diferenciáveis

Leia mais

Transformações Lineares. Carlos Luz, Ana Matos, Sandra Nunes Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal

Transformações Lineares. Carlos Luz, Ana Matos, Sandra Nunes Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Transformações Lineares Carlos Luz, Ana Matos, Sandra Nunes Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Ano Lectivo 2004/2005 Índice Definição Representação Matricial 2 AComposiçãodeTransformaçõesLineareseoProdutoMatricial

Leia mais

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97 ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 996/97 Teoria de Erros A Teoria de Erros fornece técnicas para quantificar erros nos dados e nos resultados de cálculos com números aproximados. Nos cálculos aproximados deve-se

Leia mais

Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas

Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas 2 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas Sumário 1 Transformação de Matrizes.............. 3 1.1

Leia mais

2.2 Subespaços Vetoriais

2.2 Subespaços Vetoriais 32 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS 2.2 Subespaços Vetoriais Sejam V um espaço vetorial sobre R e W um subconjunto de V. Dizemos que W é um subespaço (vetorial) de V se as seguintes condições são satisfeitas:

Leia mais

Introdução à Topologia Resoluções de exercícios. Capítulo 1

Introdução à Topologia Resoluções de exercícios. Capítulo 1 Introdução à Topologia Resoluções de exercícios Exercício nº5 (alíneas 3. e 4.) Capítulo 1 É imediato, directamente a partir da definição, que, dados r, s Q, d p (r, s) e que d p (r, s) = se e só se r

Leia mais

X.0 Sucessões de números reais 1

X.0 Sucessões de números reais 1 «Tal como a tecnologia requer as tøcnicas da matemætica aplicada, tambøm a matemætica aplicada requer as teorias do nœcleo central da matemætica pura. Da l gica matemætica topologia algøbrica, da teoria

Leia mais

gradiente, divergência e rotacional (revisitados)

gradiente, divergência e rotacional (revisitados) gradiente, divergência e rotacional (revisitados) Prof Carlos R Paiva Prof Carlos R Paiva NOTA PRÉVIA Os apontamentos que se seguem não são um teto matemático: não se procura, aqui, o rigor de uma formulação

Leia mais

MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO

MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO MARIA DO CÉU SIMÕES TERENO 2011 EUROPEU E AMERICANO SISTEMAS DE PROJEÇÕES ORTOGONAIS Ângulos Diedros A representação de objectos tridimensionais por meio de desenhos bidimensionais, utilizando projecções

Leia mais

[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo

[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a

Leia mais

Testa os conhecimentos de Geometria Descritiva

Testa os conhecimentos de Geometria Descritiva Testa os conhecimentos de Geometria Descritiva Para testar os conhecimentos de Geometria Descritiva, procede da seguinte forma: responde por escrito à questão escolhida; em seguida, clica no Hiperlink

Leia mais

2. Cinemática vetorial

2. Cinemática vetorial 2. Cinemática vetorial Quando um objeto se desloca no espaço sem seguir uma trajetória determinada, a sua posição já não pode ser definida com uma única variável como nos exemplos estudados no capítulo

Leia mais

Identificação modal estocástica de estruturas de engenharia civil

Identificação modal estocástica de estruturas de engenharia civil Monografías de Ingeniería Sísmica Editor A. H. Barbat Identificação modal estocástica de estruturas de engenharia civil F. Magalhães A. Cunha E. Caetano Monografía CIMNE IS-54, 5 CENTRO INTERNACIONAL DE

Leia mais

Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas

Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos : conjunto dos números racionais : conjunto dos números reais : conjunto dos números inteiros = {0,,, 3,...} * = {,, 3,...} Ø: conjunto vazio A\B =

Leia mais

O caso estacionário em uma dimensão

O caso estacionário em uma dimensão O caso estacionário em uma dimensão A U L A 6 Meta da aula Aplicar o formalismo quântico no caso de o potencial ser independente do tempo. objetivos verificar que, no caso de o potencial ser independente

Leia mais

Capítulo 5: Transformações Lineares

Capítulo 5: Transformações Lineares 5 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 5: Transformações Lineares Sumário 1 O que são as Transformações Lineares?...... 124 2 Núcleo e Imagem....................

Leia mais

através do reticulado hexagonal

através do reticulado hexagonal Anais do CNMAC v.2 ISSN 1984-820X Construção de códigos esféricos através do reticulado hexagonal Carina Alves UFU - Faculdade de Matemática Campus Santa Mônica 38408-100, Uberlândia, MG E-mail: carina

Leia mais

CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ

CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA Departamento de Análise - IME UERJ 2 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total 3

Leia mais

1. O conjunto dos polinômios de grau m, com 2 m 5, acrescido do polinômio nulo, é um subespaço do espaço P 5.

1. O conjunto dos polinômios de grau m, com 2 m 5, acrescido do polinômio nulo, é um subespaço do espaço P 5. UFPB/PRAI/CCT/DME - CAMPUS II DISCIPLINA: Álgebra Linear ALUNO (A): 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS 1 a PARTE: QUESTÕES TIPO VERDADEIRO OU FALSO COM JUSTI- FICATIVA. 1. O conjunto dos polinômios de grau m com

Leia mais

NORMALIZAÇÃO. desenho técnico

NORMALIZAÇÃO. desenho técnico NORMALIZAÇÃO desenho técnico 2004/2005 II Formatos do papel (NP 48) Normalização No mundo actual cada vez mais é necessário haver um conjunto de regras ou normas que permitam uma uniformização, quer nos

Leia mais

Combinatória e Teoria de Códigos

Combinatória e Teoria de Códigos Notas de Combinatória e Teoria de Códigos (2011, revistas e aumentadas em 2013) Joana Ventura ÍNDICE CAPÍTULO 1. Introdução 1 1. Primeiros exemplos e definições 1 2. Canal de transmissão 3 3. Descodificação

Leia mais

Resolução dos Exercícios 8 e 10 da lista 7.

Resolução dos Exercícios 8 e 10 da lista 7. Resolução dos Exercícios 8 e 10 da lista 7. 8) Seja T : R 3 R 3 a transformação linear tal que T (e 3 ) = 3e 1 + e 2 2e 3, T (e 2 + e 3 ) = e 1, T (e 1 + e 2 + e 3 ) = e 2 + e 3, a) Calcule T (2e 1 e 2

Leia mais

4 a LISTA DE EXERCÍCIOS Valores Próprios e Vectores Próprios Álgebra Linear - 1 o Semestre - 2013/2014 LEE, LEGI, LEIC-TP, LETI

4 a LISTA DE EXERCÍCIOS Valores Próprios e Vectores Próprios Álgebra Linear - 1 o Semestre - 2013/2014 LEE, LEGI, LEIC-TP, LETI 4 a LISTA DE EXERCÍCIOS Valores Próprios e Vectores Próprios Álgebra Linear - 1 o Semestre - 2013/2014 LEE, LEGI, LEIC-TP, LETI Problema 1 Considere a matriz A = 1 0 0 0 2 1 2 0 3 Diga quais dos seguintes

Leia mais

Álgebra Linear I Solução da 5ª Lista de Exercícios

Álgebra Linear I Solução da 5ª Lista de Exercícios FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Graduação em Engenharia de Produção Curso de Graduação em Engenharia Ambiental e Sanitária

Leia mais

Computabilidade 2012/2013. Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

Computabilidade 2012/2013. Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Computabilidade 2012/2013 Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Capítulo 1 Computabilidade 1.1 A noção de computabilidade Um processo de computação

Leia mais

Vetores. Definição geométrica de vetores

Vetores. Definição geométrica de vetores Vetores Várias grandezas físicas, tais como por exemplo comprimento, área, olume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma ez que a magnitude (intensidade) é dada. Tais grandezas são

Leia mais

CINEMÁTICA - É a parte da mecânica que estuda os vários tipos de movimento, sem se preocupar com as causas destes movimentos.

CINEMÁTICA - É a parte da mecânica que estuda os vários tipos de movimento, sem se preocupar com as causas destes movimentos. INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA REPOUSO OU MOVIMENTO? DEPENDE DO REFERENCIAL! CINEMÁTICA - É a parte da mecânica que estuda os vários tipos de movimento, sem se preocupar com as causas destes movimentos. REFERENCIAL.

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é:

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é: Aluno(a) Nº. Ano: º do Ensino Médio Exercícios para a Recuperação de MATEMÁTICA - Professores: Escossi e Luciano NÚMEROS COMPLEXOS 1) Calculando-se corretamente as raízes da função f(x) = x + 4x + 5, encontram-se

Leia mais

Tópico 8. Aula Prática: Movimento retilíneo uniforme e uniformemente variado (Trilho de ar)

Tópico 8. Aula Prática: Movimento retilíneo uniforme e uniformemente variado (Trilho de ar) Tópico 8. Aula Prática: Movimento retilíneo uniforme e uniformemente variado (Trilho de ar) 1. OBJETIVOS DA EXPERIÊNCIA 1) Esta aula experimental tem como objetivo o estudo do movimento retilíneo uniforme

Leia mais

Circuitos Elétricos 1 - Análise Senoidal e Propriedades Gerais dos Circuitos em C.A. Impedância Elétrica

Circuitos Elétricos 1 - Análise Senoidal e Propriedades Gerais dos Circuitos em C.A. Impedância Elétrica Circuitos Elétricos 1 - Análise Senoidal e Propriedades Gerais dos Circuitos em C.A. Impedância Elétrica Na disciplina de Eletricidade constatou-se que a análise no tempo de um circuito com condensadores

Leia mais

QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS

QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS LENIMAR NUNES DE ANDRADE INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA: QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS 1 a edição ISBN 978-85-917238-0-5 João Pessoa Edição do Autor 2014 Prefácio Este texto foi elaborado para a disciplina Introdução

Leia mais

Aula: Equações polinomiais

Aula: Equações polinomiais Aula: Equações polinomiais Turma 1 e 2 Data: 05/09/2012-12/09/2012 Tópicos Equações polinomiais. Teorema fundamental da álgebra. Raízes reais e complexas. Fatoração e multiplicação de raízes. Relações

Leia mais

POLINÔMIOS. x 2x 5x 6 por x 1 x 2. 10 seja x x 3

POLINÔMIOS. x 2x 5x 6 por x 1 x 2. 10 seja x x 3 POLINÔMIOS 1. (Ueg 01) A divisão do polinômio a) x b) x + c) x 6 d) x + 6 x x 5x 6 por x 1 x é igual a:. (Espcex (Aman) 01) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que A x B x x x x 1. Sabendo-se que 1 é raiz

Leia mais

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea 2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais

Leia mais