Exercícios Resolvidos Integral de Linha de um Campo Vectorial

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ercícios Resolvidos Integral de inha de um ampo Vectorial ercício onsidere o campo vectorial F,, z =,, z. alcule o integral de linha F onde é a curva descrita pelo caminho gt = e t, sen t, t, t π. Resolução: O domínio do campo F é o conjunto R 3 \ {,, z R 3 : = } {,, z R 3 : = } que é a união de conjuntos em estrela, limitados pelos planos = e =, tal como se mostra na Figura, em que não se apresenta a dependência em z. Sendo e t > sen t, t >, então a curva está contida no conjunto em estrela S = {,, z R 3 : > }. = = Figura : sboço do domínio do campo F Sendo F um campo fechado, já que z z = 8 3 = = = z = = z, e sendo S um conjunto em estrela, concluimos que F é um campo gradiante em S. Portanto, pelo Teorema Fundamental do álculo, temos F = V g π V g, em que V designa um potencial escalar para F em S.

2 Para determinar um potencial V,, z deveremos resolver a equação V = F, ou seja, Da primeira equação obtemos, Da segunda, V = V = V,, z = Finalmente, da terceira equação obtemos Portanto o potencial tem a forma V z = z. + k, z. k, z = k, z = k z. k z = z k z = z3 3 + k 3. V,, z = + z3 3 + k 3 onde k 3 é uma constante. ntão, F = V g π V g = V e π π,, V,, = e π + π3 ercício onsidere o campo definido em R \ {, } por F, = +, +. alcule o integral de linha de F ao longo da circunferência de raio centrada na origem e percorrida no sentido directo. Resolução: Se tentarmos calcular o integral de linha pela definição verificaremos imediatamente que não é uma tarefa fácil. omo alternativa podemos utilizar o Teorema de Green. Note-se que o campo F é fechado. De facto, temos + = + = + onsideremos uma região S, limitada pela circunferência, de raio, centrada na origem e percorrida no sentido directo e por outra linha regular, fechada e percorrida no sentido directo, tal como se ilustra na Figura..

3 Sendo F um campo fechado, aplicando o Teorema de Green à região S, obtemos = F F dd = F F, ou seja, S F = Portanto, em vez de calcular o integral de F em podemos calcular o integral de F em. Assim, deveremos escolher de tal forma que o cálculo do integral F seja simples. F. Figura : sboço da região S limitada por e por A epressão do campo sugere que consideremos curvas onde + seja constante, isto é, elipses. onsideremos, por eemplo, o caminho ht = cos t, sen t, t π que descreve a elipse + = 6, uma vez no sentido directo, tal como se mostra na Figura. Portanto, o integral de linha de F ao longo de será dado por F.dh = π sen t 6 cos t,. sen t, cos tdt = 6 π dt = π. ercício 3 onsidere o campo vectorial f : R 3 R 3 definido por f,, z = ze z, ze z, e z. a Sabendo que f define uma força conservativa, encontre um potencial φ para f. b alcule o trabalho de f ao longo da espiral descrita pelo caminho [ gt = 5 cos t, 5 sen t, t, t, π ]. Resolução: a O potencial φ satisfaz a condição φ = f, ou seja, verifica as equações φ = zez, φ = zez, φ z = ez. 3

4 Integrando a primeira equação, obtemos φ,, z = e z + g, z. Substituindo na segunda e terceira equações, concluimos que e, portanto, g = k é uma constante. g = g z = Assim, podemos tomar φ,, z = e z + k, em que k é uma constante. Também é possível determinar φ recorrendo ao Teorema Fundamental do álculo para integrais de linha, segundo o qual, sendo f conservativa e escolhendo-se um ponto base p, se tem φp = f, onde o integral é calculado ao longo de um caminho diferenciável qualquer que ligue p a um ponto genérico p =,, z. No nosso caso podemos escolher p = e o caminho como sendo o segmento de recta entre p e p, definido por ht = t, t, tz, com t [, ]. Obtemos então, φ,, z = = = = e z fht h tdt = t ze t3 z, t ze t3 z, t e t3 z,, zdt = 3zt e t3 z dt = que, a menos de uma constante, é o resultado obtido acima. b Para calcular o trabalho de f ao longo da espiral vamos utilizar o Teorema Fundamental do álculo, W = fdg = φ = φg π φg = = φ5, 5, π φ5,, = 6 = e 5π 3. Note-se que seria muito mais difícil efectuar este cálculo directamente, utilizando a definição de trabalho. ercício onsidere o campo vectorial F : R \ {,,, } R F, = + +, + + definido por. + Determine o integral de linha do campo F ao longo do caminho que descreve a fronteira do quadrado com vértices nos pontos,,,,,,,, no sentido directo.

5 Resolução: Designemos por γ o caminho que descreve a fronteira do quadrado e sejam g : [, π] R e g : [, π] R os caminhos definidos por g t = cos t, sen t g t = cos t, sen t + ou seja, g descreve a circunferência de raio / e centro na origem no sentido positivo e g descreve a circunferência de raio / e centro no ponto, no sentido positivo, tal como se ilustra na Figura 3. Figura 3: As linhas,, O campo F pode ser decomposto na soma de dois campos F = F + F, em que F, = +, +, F, = +, +. Facilmente se verifica que os campos F e F são fechados, ou seja, o campo F é fechado. Portanto, aplicando o Teorema de Green à região limitada pelas circunferências e e pela fronteira do quadrado, obtemos = F dγ F dg F dg, ou seja, F dγ = F + F dg + F + F dg. Por outro lado, o círculo limitado pela circunferência não contém a origem, pelo que F dg =. não contém o ponto, e, por- Do mesmo modo, o círculo limitado pela cicunferência tanto, concluimos que F dg =. 5

6 Assim, temos F dγ = F dg + F dg. Da definição de integral de linha de um campo vectorial obtemos F dg = F dg = π π sen t, cos t sen t, cos tdt = π sen t, cos t sen t, cos tdt = π. ogo, F dγ = π + π = π. ercício 5 onsidere o campo vectorial 3 f, = , alcule o trabalho de f ao longo da elipse definida pela equação directo = percorrida no sentido Resolução: Para facilitar a análise, o campo f pode ser escrito na forma: f = h + g + l, em que h,, z = + +, + + +, g,, z = 3 +, 3 +, l,, z =,. O campo h é fechado, é singular no ponto, e não é um gradiante. De facto, seja a circunferência de raio centrada em,. Por cálculo directo, facilmente se verifica que o trabalho de h ao longo de, percorrida no sentido directo, é igual a π, ou seja, o campo h não é conservativo. Figura : O campo g é radial com centro no ponto,, pelo que g é um gradiante em R \ {, }. 6

7 Seja a elipse descrita pela equação = e percorrida no sentido directo. Aplicando o Teorema de Green à região contida entre as curvas e, sendo h um campo fechado, concluimos que h = h = π. Por outro lado, como g é gradiante em R \ {, }, temos g =. O campo l =, é de classe na região A limitada pela elipse. Pelo Teorema de Green temos l = l l dd = dd = π, A pois o último integral representa a área da elipse. Portanto, f = h + g + l = π + + π = π. A ercício 6 Seja F : R \ {,,,,, } R o campo vectorial F = P, Q definido por P, = Q, = alcule o integral P d + Qd onde é a elipse = percorrida uma vez no sentido directo.. Decida, justificadamente, se o campo F é um gradiante no conjunto S = R \ {, R : = + ; } {, }. Resolução:. Se definirmos então, F, = + +, + + +, F, = +, 5 F 3, = +, 5, + F = F + F + F 3 +, e, portanto, F dg = F dg + F dg + F 3 dg. 7

8 O campo F 3 é radial. De facto, sendo r =,, temos F 3 r = 5 r r, pelo que F 3 é um campo gradiante com potencial Assim, temos F 3 dg =. V, = 5 r = 5 +. O campo F obtem-se do campo G, = +, + fazendo a substituição e multiplicando por, enquanto que F se obtem de G fazendo a substituição,. Portanto, tal como G, F e F são campos fechados mas não gradiantes. Para calcular o integral de F ao longo de consideremos a região D = {, R : + +, } que se encontra representada na Figura 5. D D Figura 5: Aplicando o Teorema de Green à região D, concluimos que o integral de F ao longo de coincide com o integral de F ao longo da circunferência de raio, centrada em,, percorrida no sentido directo e descrita pelo caminho gt = + cos t, sin t, t π. Portanto, F dg = = π π F + cos t, sin t sin t, cos tdt dt = π. 8

9 Da mesma maneira, podemos aplicar o Teorema de Green para concluir que o integral de F ao longo de coincide com o integral de F ao longo da circunferência de centro em, e de raio percorrida no sentido directo, tal como se mostra na Figura 5. ogo, sendo gt = + cos t, + sin t, t π, o caminho que descreve essa circunferência, teremos Assim, obtemos F dg = = π π F + cos t, + sin t sin t, cos tdt dt = π. P d + Qd = π + π + =.. O campo F é um gradiante no conjunto S se e só se α F dg = para qualquer curva fechada α contida em S. Podemos, como na alínea anterior, escrever F = F + F + F 3, e uma vez que F 3 é um gradiante, basta decidir que F + F é um gradiante em S. Note-se que F + F está definido e é fechado no conjunto S {, } = R \ {, R : = +, }. Seja R o segmento de recta definido por e representado na Figura 6. R = {, R : = +, } R Figura 6: Sendo F + F um campo fechado, o integral de F + F ao longo de uma curva α será nulo desde que o segmento de recta R não esteja contido no interior do conjunto limitado por α. Note-se que as singularidades de F + F estão em R. 9

10 Se o segmento de recta R estiver contido no conjunto limitado pela curva α, então, pelo Teorema de Green, teremos F + F = F + F =. α Portanto, F + F é um gradiante em S {, }, o que, por sua vez, implica que F é um gradiante em S. ercício 7 onsidere o campo vectorial F = G + H, sendo G,, z = + + z, 3/ + + z, z 3/ + + z 3/ H,, z = z + z,, + z. Determine o trabalho realizado pelo campo F ao longo da linha = {,, z R 3 : = ; = ; z } {,, z R 3 : = ; ; z = }, percorrida uma vez no sentido positivo quando vista do ponto,,. Resolução: É claro que o domínio de F é o conjunto D = R3 \ {,, : R}. Facilmente se verifica que os campos G e H são fechados em D. O campo G é radial e, portanto, é gradiante em R 3 \{,, }, ou seja, G = φ, e o respectivo potencial φ é a função definida por φ,, z = + + z. Assim, o trabalho realizado pelo campo G ao longo de qualquer linha fechada em D é nulo e, portanto, F dγ = H dγ, em que γ designa uma parametrização de. A linha pode ser deformada em D de modo a obter-se a circunferência de raio um, centrada sobre o eio O, = {,, z R 3 : + z = ; = }, percorrida uma vez e parametrizada por gt = cos t,, sen t, t π, ou seja, e são homotópicas em D. Note-se que e devem ser percorridas no sentido directo quando vistas do ponto,,. ntão, F dγ = H dγ = H dg = π sen t,, cos t sen t,, cos t dt = π.