Revisão para a Bimestral 8º ano

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1 Revisão para a Bimestral 8º ano 1- Quadrado da soma de dois termos Observe: (a + b)² = ( a + b). (a + b) = a² + ab+ ab + b² = a² + 2ab + b² Conclusão: (primeiro termo)² + 2.(primeiro termo). (segundo termo) + (segundo termo)² Exemplos: 1) (5 + x)² = 5² x + x² = x + x² 2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y² Exercícios Calcule: a) (3 + x)² = b) (x + 5)² = c) ( x + y)² = d) (x + 2)² = e) ( 3x + 2)² = f) (2x + 1)² = g) ( 5+ 3x)² = h) (2x + y)² = i) (r + 4s)² = j) ( 10x + y)² = l) (3y + 3x)² = m) (-5 + n)² = n) (-3x + 5)² = o) (a + ab)² = p) (2x + xy)² = q) (a² + 1)² = r) (y³ + 3)² = s) (a² + b²)² = t) ( x + 2y³)² = u) ( x + ½)² = v) ( 2x + ½)² = x) ( x/2 +y/2)² =

2 2-Quadrado da diferença de dois termos Observe: (a - b)² = ( a - b). (a - b) = a² - ab- ab + b² = a² - 2ab + b² Conclusão: (primeiro termo)² - 2.(primeiro termo). (segundo termo) + (segundo termo)² 1) ( 3 X)² = 3² X + X² = 9 6x + x² 2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y² Exercícios Calcule: a) ( 5 x)² = b) (y 3)² = c) (x y)² = d) ( x 7)² = e) (2x 5) ² = f) (6y 4)² = g) (3x 2y)² = h) (2x b)² = i) (5x² - 1)² = j) (x² - 1)² = l) (9x² - 1)² = m) (x³ - 2)² = n) (2m⁵ - 3)² = o) (x 5y³)² = p) (1 - mx)² = q) (2 - x⁵)² = r) (-3x 5)² = s) (x³ - m³)² = 3-Produto da soma pela diferença (a + b). (a b) = a² - ab + ab - b² = a²- b² Conclusão: (primeiro termo)² - (segundo termo)²

3 Exemplos : 1) ( x + 5 ). (x 5) = x² - 5² = x² ) (3x + 7y). (3x 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y² EXERCÍCIOS Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos: a) (x + y). ( x - y) = b) (y 7 ). (y + 7) = c) (x + 3). (x 3) = d) (2x + 5 ). (2x 5) = e) (3x 2 ). ( 3x + 2) = f) (5x + 4 ). (5x 4) = g) (3x + y ) (3x y) = h) ( 1 5x). (1 + 5x) = i) (2x + 3y). (2x 3y) = j) (7 6x). ( 7 + 6x) = l) (1 + 7x²). ( 1 7x²) = m) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) = n) (3x² - y²). ( 3x² + y²) = o) (x + 1/2 ). ( x 1/2 ) = p)(x 2/3). ( x + 2/3) = q)( x/4 + 2/3). ( x/4 2/3) = Fatoração O QUE SIGNIFICA FATORAR? Fatorar significa transformar em produto. FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS Fatorar um polinômio significa transformar esse polinômio num produto indicado de polinômios ou monômios e polinômios. A propriedade distributiva será muito usada sob a denominação de colocar em evidência. Vejamos a seguir alguns casos de fatoração.

4 1-Fator comum Vamos fatorar a expressão ax + bx + cx ax + bx + cx = x. (a + b + c) O x é fator comum e foi colocado em evidência. Exemplos Vamos fatorar as expressões 1) 3x + 3y = 3 (x + y) 2) 5x² - 10x = 5x ( x 2) 3) 8ax³ - 4a²x² = 4ax²(2x a) Fatore as expressões: a) 4x + 4y = b) 7a 7b = c) 5x 5 = d) ax ay = e) y² + 6y = f) 6x² - 4a = g) 4x⁵ - 7x² = h) m⁷ - m³ = i) a³ + a⁶ = j) x² + 13x = k) 5m³ - m² = l) x⁵⁰ + x⁵¹ = m) 8x⁶ - 12x³ =

5 2-Agrupamento Vamos fatorar a expressão ax + bx + ay + by ax + bx + ay + by x( a + b) + y ( a+ b) (a + b).( x +y) Observe o que foi feito: Nos dois primeiros temos x em evidência. Nos dois últimos fomos y em evidência. Finalmente (a + b) em evidência. Note que aplicamos duas vezes a fatoração utilizando o processo do fator comum. Exemplo: 5ax + bx + 5ay + by x.( 5a + b) + y (5a + b) (x + y) (5a + b) Fatore as expressões: a) 6x + 6y + ax + ay = b) ax + ay + 7x + 7y= c) 2a + 2n + ax +nx= d) ax + 5bx + ay + 5by = e) 3a 3b + ax bx = f) 7ax 7a + bx b = g) 2x 2 + yx y = h) ax + a + bx + b = 3-Diferença de dois quadrados Vimos que: ( a+ b ) (a b) = a² - b² Para fatorar a diferença de dois quadrados, basta determinar as raízes quadradas dos dois termos. Exemplo: x² - 49 = (x + 7) ( x 7)

6 Exercícios Fatore as expressões: a) 4x² - 25 = b) 1 49a² = c) 25 9a² = d) 9x² - 1 = e) 4a² - 36 = f) m² - 16n² = g) 36a² - 4 = h) 81 - x² = i) 4x² - y²= j) 16x⁴ - 9 = k) 36x² - 4y² = l) 16a² - 9x²y² = m) 25x⁴ - y⁶ = n) x⁴ - y⁴ = 4-Trinômio quadrado perfeito Vimos que: (a +b)² = a² + 2ab + b² Logo a² + 2ab + b² = (a +b)² (a -b)² = a² - 2ab + b² Logo a² - 2ab + b² = (a -b)² Observe nos exemplos a seguir que: Os termos extremos fornecem raízes quadradas exatas. Os termos do meio deve ser o dobro do produto das raízes. O resultado terá o sinal do termo do meio. Para fatorar um trinômio quadrado perfeito extrai a raiz quadrada do 1º termo e a do 3º termo, atente-se ao sinal e eleva-se ao quadrado. Exercícios Fatore as expressões a) m² -12m + 36= b) a² + 14a + 49 = c) x + 9x² = d) 9a² - 12a + 4 = e) 9x² - 6xy + y² =

7 f) x² + 20x = g) a² - 12ab + 36b² = h) a + 16a² = i) 64a² - 80a + 25 = j) a⁴ - 22a² + 121= Termos Semelhantes Observe esses termos algébricos: x 3, 27x 3 3, x 3, 125x 3. Note que todos eles 5 possuem x 3, por essa razão são chamados de termos semelhantes. Exercício Escreva se os termos algébricos em cada item são ou não semelhantes. a) 4x 2 e 4x 3 3 d) x e -x 8a g) e 3a b) 5xy 2 e 7xy 2 e) 7ab e 6ba h) 9x e 9y c) 9y e -2y f) 4xy 3 e 4x 3 y i) xy e -xy ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 7x 3 + 5x 3 = 12x 3 O exemplo nos mostra que devemos: Somar algebricamente os coeficientes; Manter a mesma parte literal. Outros exemplos: 7ab 2 3 ab 2 + 2ab 2 = 6ab 2 MULTIPLICAÇÃO (5x 2 ). (3x 4 ) = 12 x 6 O exemplo nos mostra que devemos: Multiplicar os coeficientes;

8 Multiplicar as partes literais, usando a propriedade de potência: multiplicação de potências de mesma base, conserva a base e soma-se os expoentes. DIVISÃO (20x 5 ) : (4x 2 ) = 5 x 3 O exemplo nos mostra que devemos: Dividir os coeficientes; Dividir as partes literais usando a propriedade de potência: na divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtrai os expoentes. MULTIPLICAÇÃO DE MONÔMIO POR POLINÔMIO 2x. (7x 2 4x + 5) = 2x. (7x 2 ) - 2x. (-4x) + 2x. (5) = 14x 3 + 8x x O exemplo nos mostra que: Multiplicamos o monômio por todos os termos do polinômio. MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIO POR POLINÔMIO ( x + 4 ). ( x 2 ) = x 2 2x + 4x 8 = x 2 + 2x 8 Na prática:

9 Multiplicamos cada termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo polinômio e, a seguir, reduzimos os termos semelhantes. Provas anteriores 1- Indique quais dessas sentenças abaixo são identidades. I- (a b).(a-b) = b 2 2ba + a 2 II- (x 2 +y) 2 = y 2 + x 4 + 2yx 2 III- x 2 y 2 = (y + x ).(y x) IV- ( m + n ) 2 2mn = n 2 + m 2 É correto afirmar que: a) ( )I é falsa. b) ( )I, II e III são verdadeiras. c) ( )todas as alternativas são verdadeiras. d) ( )II e III são falsas. 2- O quadrado de uma soma é indicado pelo quadrado do 1º termo, mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º, mais o quadrado do 2º termo. E o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo, menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º, mais o quadrado do 2º termo. Sabe-se que os trinômios abaixo podem ser obtidos a partir do quadrado da soma ou do quadrado da diferença. Em cada item, descubra qual é: a) X²-10x+25= b) X²-8xy+16y²= 3- Com base nos estudos desenvolvidos a respeito dos produtos notáveis, calcule a seguinte expressão (2n+1)² +(n+2)²+2(n+1)(n-1) : 4-Desenvolva os quadrados e reduza os termos semelhantes: a) (3x 1) 2 6x 2 + 6x = b) X(x-3) 2 4(x+ ) 2 = c) (x-3) 2 (x+2) 2 + (x+3)(x-1) = d) (x-1) 2 ( x+1) 2 =

10 5- As expressões em que aparecem letras no lugar de números são chamadas expressões algébricas. Nessas expressões, as letras são chamadas variáveis. Efetue as operações abaixo. a)(4x² + 5x -3) + (- 2x + 3)= b)(2a³ + 3a² - 5) (2a³ - 5a² - 6)= c)(5x xy)(xy)= d)(7x²)(5x 16)=

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