AULA 6 LÓGICA DOS CONJUNTOS

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1 Disciplina: Matemática Computacional Crédito do material: profa. Diana de Barros Teles Prof. Fernando Zaidan AULA 6 LÓGICA DOS CONJUNTOS Intuitivamente, conjunto é a coleção de objetos, que em geral, tem alguma propriedade em comum. NOTAÇÃO: Letras maiúsculas para conjunto Letras minúsculas para elementos do conjunto Para denotar pertinência usaremos o símbolo (pertence) ou (não pertence) Exemplo 1: Se A = {violeta, verde, castanho} então, verde A e azul A. Os elementos de um conjunto não precisam ser ordenados, {a,b,c,d,e} = { c,e,a,d,b}. Dois conjuntos são iguais se (se e somente se) contém os mesmos elementos. Uma notação lógica: A = B significa ( x )[( x A x B) ( x B x A] Conjunto finito - é conjunto que conseguimos identificar todos os elementos. Exemplo: Conjunto dos dias de semana. Q = { segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado, domingo} Conjunto infinito é o conjunto que não conseguimos identificar todos os elementos. Exemplo:Conjunto dos inteiros positivos pares. = {2,4,6,8,...} * + Temos diversas maneiras para tentar descrever um conjunto: Listar seus elementos S = {2,4,6,8,...} Usar recorrência para descrever como gerar seus elementos 1.2 S 2.Se n S, então (n + 2) S Descrever uma propriedade P que caracteriza seus elementos S= { x / x é um inteiro positivo par} 1

2 A notação para um conjunto cujos elementos são caracterizados por uma propriedade P é S = { x / P(x)} e significa ( x )[( x S P(x)) ( P( x) x S ] Exemplo 2: 3 Suponha que um conjunto A é dado por A = { x /( y)( y { 0,1,2 } e x = y } Logo, A = {0,1,2} Descrevendo outros conjuntos: a. = { x / x e ( y)( y { 2,3,4,5} x > y} b. = { x /( y)( z)( y { 1,2} e z {2,3} e x = y + z} A R : A = {x / x N e x > 5} B R : B = { 3, 4, 5} RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS Para A = {2, 3, 5,12} e B = {2, 3, 4, 5, 9, 12}, todo elemento de A é elemento de B. Quando isso acontece dizemos que A é subconjunto de B. Escreve-se A B. Se A B e A B (existe pelo menos um elemento de B que não pertence a A), então podemos dizer que A B (A está contido em B ). Exemplo 3: Sejam os conjuntos : A = { x / x N e x 5}, B = {10,12, 16, 20}, C = { x / ( y)(y N e x = 2y)} Quais das proposições a seguir são verdadeiras? a. B C b. B A c. A C d. 26 C e. {11, 12, 13} A f. {11, 12, 13} C g. {12} B g. {12} B h. {x / x N e x < 20} B i. 5 A j. { } B k. A R: a, b, d, e, h, i, l CONJUNTOS DE CONJUNTOS Para um conjunto S, podemos formar um novo conjunto cujos elementos são os subconjuntos de S. Esse novo conjunto é chamado de conjunto das partes de S e é denotado por (S). Exemplo 4: 2

3 Para S = {0, 1}, (S) = {, {0}, {1}, {0,1} }. Note que os elementos do conjunto das partes de um conjunto são conjuntos. Para qualquer conjunto S, (S) sempre tem pelo menos, e S como elementos. Observe que S tem 2 elementos, e (S) tem 4 elementos. Podemos encontrar o número de elementos de um conjunto das partes de S usando 2 n, onde n é o número de elementos de S. OPERAÇÕES BINÁRIAS E UNÁRIAS Quando subtraímos dois elementos de um conjunto encontramos um terceiro elemento, esta operação é conhecida como binária. A negação age em um inteiro, portanto é uma operação unária. Para realizarmos uma subtração, por exemplo, precisamos de dois elementos, x e y, onde x y gera uma única resposta. Estes dois elementos x e y formam um par ordenado. Ordenado porque, dados 5 e 7, 5 7 é diferente de 7 5, portanto a ordem dos elementos é importante. NOTAÇÃO: Um par ordenado é denotado por (x, y), onde x é a primeira componente e y é a segunda. Em conjuntos {1, 2} e {2, 1} são iguais, mas os pares ordenados (1, 2) e (2, 1) são diferentes. O símbolo marca, simplesmente, o lugar; em qualquer discussão específica, que será substituído pelo símbolo apropriado para a operação, como o símbolo da subtração, adição e multiplicação, por exemplo. Logo, operações binárias é uma operação em um conjunto S se, para todo par ordenado (x, y) de elementos de S, x y existe, é único e pertence a S. As operações lógicas de conjunção, disjunção, condicional e equivalência são operações binárias no conjunto das fbfs proposicionais. ATENÇÂO: Um candidato ao posto de pode deixar de ser uma operação binária em um conjunto S se qualquer uma entre três coisas acontecer: 1. Se existirem x e y pertencentes a S para os quais x y não existe. 2. Se existirem elementos x e y pertencentes a S para os quais x y tem mais de um resultado. 3. Se existirem elementos x e y pertencentes a S para os quais x y não pertence a S. A divisão não é uma operação binária. 3

4 Exemplo 5: A subtração não é uma operação binária em N, pois N não é bem definida ( não é fechada),para a operação. Por exemplo: 10 1 = 9 os três elementos pertencem a N, mas 1 10 = -9, e este não pertence a N. OPERAÇÕES EM CONJUNTOS Dado S, podemos definir algumas operações binárias ou unárias no conjunto (S). S nesse caso é chamado de conjunto universo. Exemplo: S = Z. Uma operação binária em (S) tem que agir em dois subconjuntos arbitrários de S para produzir um subconjunto de S. Exemplo 6: Seja S o conjunto de todos os estudantes da Silicon U. Então os elementos de (S) são conjuntos de estudantes. Seja A o conjunto de estudantes de ciências da computação e seja B o conjunto de estudantes de administração. Ambos A e B pertencem a (S). Um novo conjunto pode ser definido, consistindo em todos os alunos que são alunos de ciências da computação ou de administração (ou ambos), esse conjunto é a união de A e B. Outro conjunto pode ser definido pelos alunos que estudam ao mesmo tempo nos dois cursos. Esse conjunto (que pode ser vazio) é chamado de interseção de A e B. 1. A união de conjuntos pode ser definida como: Sejam A,B (S). A união de A e B denotada por A B, é {x / x A ou x B}. 2. A interseção de conjuntos pode ser definida A B, é {x / x A e x B}. Exemplo 7: Sejam A = {1,3,5,7,9} e B = {3,5,6,10,11}. Podemos considerar A e B como elementos de (N). Então A B = {1,3,5,6,7,9,10,11} e A B = {3,5}. Ambos, A B e A B são elementos de (N). Podemos usar diagramas de Venn para visualizar as operações binárias de união ( ) e interseção ( ). 4

5 Diagramas de Venn: ( John Venn, ) São úteis na verificação de propriedades de operações entre conjuntos, mas não devem ser considerados instrumentos de prova matemática rigorosa. S S A B A B Agora definiremos uma operação unária em (S). 3. Complemento de um conjunto: para um conjunto A (S), o complemento de A, A é [x / x S e x A} No diagrama de Venn, teremos: S A Exemplo 8: Uma pesquisa do tipo, carros usados E (Mercedes Bens OU Volkswagen) E NÃO Caminhões. Está pedindo ao programa de busca que retorne um conjunto de páginas (ou, mais precisamente, um conjunto de links para essas páginas). Se U = conjunto de páginas contendo carros usados M = conjunto de páginas contendo carros da Mercedes Bens V = conjunto de páginas contendo carros da Volkswagen 5

6 C = conjunto de páginas contendo caminhões Então: U ( M V ) C Que representa o conjunto de páginas na rede contendo o resultado desejado na pesquisa. 4. Diferença entre conjuntos: é uma operação binária, onde A B = {x / x A e x B} ou ainda A B = {x / x A e x B } ou como A B = A B No diagrama de Venn temos: Exemplo 9: Sejam os conjuntos abaixo subconjuntos de S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}: A = {1, 2, 3, 5, 10} B = {2, 4, 7, 8, 9} C = {5, 8, 10} Encontre: a. A B R: { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10} b. A C R: {1, 2, 3} c. B (A C) R: {1, 3, 5, 10} Lembre-se B = {1, 3, 5, 6, 10} ATENÇÃO: O Cálculo Proposicional e a Álgebra dos conjuntos possuem estruturas semelhantes. Toda fórmula do Cálculo Proposicional determina uma operação correspondente entre conjuntos: Negação (~) corresponde à complementação ( ) Conjunção ( ) corresponde à interseção ( ) Disjunção ( V ) corresponde à união ( ) As variáveis proposicionais podem servir como variáveis simbolizando conjunto na nova expressão: Exemplo: ((p V q) ~p) corresponde a ( (p q) p 6

7 IDENTIDADES ENVOLVENDO CONJUNTOS Existem muitas igualdades envolvendo as operações de união, interseção, diferença e complementação que são verdadeiras para todos os subconjuntos de um conjunto S. Desta forma as identidades básicas foram listadas na tabela abaixo. Identidades Básicas Envolvendo Conjuntos 1a. A B = B A 1b. A B = B A Comutativa 2a. (A B) C = A (B C) 2b. (A B) C = A (B C) Associativa 3a.A (B C) = (A B) (A C) 3b. A (B C) = (A B) (A C) Distributiva 4a. A = A 4b. A S = A Existência de elemento neutro 5a. A A = S 5b. A A = Propriedade do complemento Exemplo 10: Usando as identidades básicas, vamos provar que [A (B C)] ([A (B C)] (B C) ) = [A (B C)] ([A (B C)] (B C) ) ([A (B C)] [A (B C)]) (B C) (2b) ([(B C) A] [( B C ) A ]) (B C) (1a duas vezes) [(B C) (A A )] (B C) (3a) [(B C) ] (B C) (5b) (B C) (B C) (4a) (5b) Exemplo 11: Agora mostre a identidade: [C (A B)] [(A B) C ] = (A B) [(A B) C] [(A B) C ] (1b) (A B) (C C ) (3b) (A B) S (5a) A B (4b) 7

8 ENUMERABILIDADE Para se provar a enumerabilidade de conjuntos precisamos apenas exibir o modo de contar seus elementos. Exemplo: N = conjuntos de inteiros não negativos N = { 0, 1, 2, 3, 4...} Portanto o conjunto N é enumerável. Conjuntos finitos não enumeráveis: Exemplo: Vamos mostrar que o conjunto de todos os números reais entre 0 e 1 não é enumerável. Se descrevermos os elementos deste conjunto de forma decimal, teremos: R= { d 1, d 2, d 3,...d n } Dado o número 0, , você conseguiria dizer qual é o proximo número da sequencia? Comparando os números decimais acima mencionados e os número inteiros, veremos que os números decimais são conjuntos não-enumeráveis. CONJUNTOS CONTÁVEIS E NÃO-CONTÁVEIS Em um conjunto finito S, sempre podemos designar um elemento como sendo o primeiro, s 1,um outro número, s 2, e assim por diante. Se existem k elementos, então esses podem ser listados. Exemplo: s 1, s 2, s 3,...s k conjunto) ( o número de elementos em um conjunto finito é a cardinalidade do Um conjunto infinito, podemos ainda ser capazes de selecionar um primeiro elemento, s 1,um outro número, s 2, e assim por diante, de modo que a lista fique Exemplo: s 1, s 2, s 3,... ( todo elemento do conjunto aparecerá na lista alguma hora. Tal conjunto infinito é dito enumerável) Tanto conjuntos finitos e enumeráveis são conjuntos contáveis, pois podemos contar, ou enumerar seus elementos ( significa que podemos dizer quem é o primeiro elemento, o segundo, e assim por diante). Existem conjuntos infinitos que são não-contáveis ( ou não-enumerávies). São conjuntos tão grandes que não há maneira de se contar os elementos e obter todo o conjunto nesse processo. Alguns exemplos de enumeráveis infinitos: Os conjuntos N ou Z E não-enumerável: o conjunto dos números reais entre 0 e 1. 8

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