Monômios são expressões algébricas formadas por apenas um número, por uma variável ou pela multiplicação de números e variáveis.

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1 1 PRODUTOS NOTÁVEIS Monômios Monômios são expressões algébricas formadas por apenas um número, por uma variável ou pela multiplicação de números e variáveis. 15 x 3x y 5 y ab Em geral, os monômios são compostos por duas partes: 3 xy 3 5 um número, chamado de coeficiente; uma variável, ou um produto de variáveis, chamada de parte literal. Polinômios Um polinômio é uma adição algébrica de monômios, sendo que cada monômio é um termo do polinômio. Observe. x 5 5y x + 6x + 9 A primeira expressão acima é um polinômio de dois termos e recebe o nome de binômio. A segunda expressão é um polinômio de três termos e recebe o nome de trinômio. Um monômio também é considerado um polinômio, ou seja, um polinômio com um único termo. Assim, o monômio 3x é um polinômio com um único termo. Porém, nem todas as expressões algébricas são polinômios, como é o caso das indicadas abaixo. x x xy Essas expressões são chamadas de frações algébricas. x x y Fatoração de Polinômios Fatorar um polinômio significa transformá-lo em um produto de polinômios. Veja. 15ax + 3bx = 3x (5a + b) x + x = x (x + 1) 16x 0x + 5 = (x 5) (x 5) = (x 5)

2 Evidência do Fator Comum O retângulo CDEF abaixo é formado por dois retângulos menores e de mesma altura. Podemos determinar a área do retângulo H CDEF, somando a área dos retângulos menores. A = ax + bx Podemos também determinar a área desse retângulo por meio do produto: A = x (a + b) Assim, ax + bx = x(a + b) A expressão x(a + b) é a expressão fatorada por evidência do fator comum de de ax + bx. Veja a forma fatorada por evidência do fator comum de cada uma das expressões abaixo. x 7 1x = x (x 3 1) b) 7a 9b 3 = 9(3a b 3 ) c) a b 6ab = ab(ª 3b) d) xy x y xy x y e) 7ab 5 1a 3 b + 1a b 3 = 7ab 3 (b a b + 3 f) x (y + z) (y + z) = (y + z) (x ) g) 1ab + 0a b + 8ab = ab (7 + 10a + b)

3 3 Trinômio Quadrado Perfeito O produto de polinômios (a + b) (a + b) ou (a + b) representa o quadrado da soma de dois termos. Observe o quadrado abaixo cuja área é indicada por (a + b). Observe agora esse mesmo quadrado dividido em quatro partes. Área = (a + b) Somando as áreas das quatro partes em que o quadrado foi dividido, temos: Área = a + ab + ab + b Área = a + ab + b Assim, (a + b) = a + ab + b. Desenvolvendo algebricamente a expressão (a + b) usando a propriedade distributiva, obteremos esse mesmo resultado. Observe. a b a b. a b a ab ba b a ab b Veja a forma fatorada por trinômio quadrado perfeito de cada uma das expressões abaixo. x + 10x + 5 = x +.x = (x + 5) b) x + 16x + 16 = (x) +.x. + = (x + ) c) 5x 30x + 5 = 5(x 6x + 9) = 5(x.x ) = (x 3)

4 Agrupamento Alguns polinômios que não possuem um fator comum a todos os termos podem ser fatorados por meio da técnica da fatoração por agrupamento. Nesse tipo de fatoração, agrupam-se os termos que possuem fator comum. Consideremos o polinômio: ax + bx + ay + by Observando os termos desse polinômio, percebemos que ax e bx possuem o fator comum x, ou seja: ax + bx = x(a + b) Observamos também que ay e by possuem o fator comum y, ou seja: Assim, temos que: ay + by = y(a + b) ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) Como na expressão x(a + b) + y(a + b) do segundo membro, (a + b) é o fator comum, podemos colocá-lo em evidência. x(a + b) + y(a + b) = (a + b) (x + y) Veja a forma fatorada por agrupamento de cada uma das expressões abaixo. ax bx ay by ax bx ay by xab y ab x y ab b) 3x x 6xy y 3x x 6xy y x3x 1y3x 1 x y3x 1 c) x 3 xy 3x y 3y x xy 3x y 3y xx y3yx y x 3yx y x y xy x y x y xy x y d) xy x y x y xy x y 5 3

5 5 Produto de uma soma por uma diferença A área marcada em vermelho na figura abaixo pode ser calculada subtraindo a área do quadrado Área do quadrado maior: a Área do quadrado menor: b Área da parte vermelha: a b Veja agora outra maneira de representar a área dessa mesma figura. Separamos a figura vermelha pela linha tracejada, obtemos dois retângulos. Transportando o retângulo menor e colocando-o ao lado do retângulo maior, obtemos dois retângulos que, unidos de outra maneira, formam uma nova figura cuja área é a mesma da figura vermelha inicial. A nova figura é um retângulo de comprimento (a + b) e largura (a b). A área desse retângulo pode ser indicada pelo produto: (a + b)(a b) Como a área representada pelo polinômio a b e a área representada pelo produto (a + b) (a b) são iguais, pois representam a mesma superfície, temos então que: (a + b)(a b) = a b

6 6 Veja a forma fatorada de cada uma das expressões abaixo. x 9 x 3 (x 3).(x 3) x y xy xy b) xy c) y 5 16 y 5 y 5 y 5 y 9y a 100 a 10b a10b a10 b 16 d) b e) y 1 6 y 1 8 y 1 8y 18 y 7y9 Exercícios Resolvidos 1. Fatore o numerador e o denominador e simplifique: b) ax ay ax bx ay by ax ay bx by cx cy ax bx ay by ax ay a x y a x y a ax bx ay by a x y b x y x y a b a b x a b c y a b c a b c x y a b c ax bx bx by a b x y a b c) 3 a a a 1 3 a a a 1 a 1a 1 3 a a a 1 a a 1 a 1 a 1 3 a a a 1 a a 1 a 1 a 1 a 1 a 1. Calcule o valor de Obtenha a expressão expandida de cada binômio. x 1 x.x.1 1 x x 1 b) x1 x 1 x.x. 1 1 x x 1 5x. 5x. 5x 0x c) 5x d) x 3 x. x.33 x 1x 9

7 7. Sabendo que a b. a b a b, a b a ab b e calcule: 5x a b a ab b, b) c) 79x d) e) 0x Fatore, colocando os fatores comuns em evidência: ax ay ax y x y x y b) c) x ax 16axy x1a 16ay d) ax axy ay ax xy y ax y e) 6x 5xy 6y 6 x xy y 6. x y 6. Fatore por agrupamento: ab ab ac bc aa bca b a ba c b) a a ab b aa ba aa b xy x y 1 xy 1 y 1 y 1x 1 c) d) 8a ab a b aa ba b a ba 1 3 e) a 10a 8a 0 aa 10a a a 10 a a 5

8 8 Exercícios Propostos 1. Equivale ao produto 71x69 : 70 b) c) d) 70 1 e) Calcule o valor de b) 5 c) 5 d) 53 e) 5. O resultado equivalente da fração algébrica b) c) d) e) x 1 x x 1 x x 1 x x x 1 x 1 x x xx 1 x x. x é:. Ao simplificar a fração algébrica x 8x 16, obtém-se: x 16 b) c) x x x x x x d) x x e) x

9 9 5. O resultado da operação para 30 b) 68 c) 15 d) 19 e) 1 x 5 e y 3, é igual a: 6 6 x y x xy y, 7. A figura abaixo representa um terreno quadrado que foi dividido em quatro partes. Indique o polinômio que representa a área do terreno, sabendo-se que a área x do quadrado azul é igual a e os lados do quadrado vermelho medem o dobro dos lados do quadrado azul. 6. Qual é o polinômio que devemos adicionar a (x + y) para obter o polinômio abaixo? 0x + 8xy + y 8. A diferença dos quadrados de dois números pares consecutivos é igual a 180. Qual é o maior desses números? Gabarito d b d c a x + y 9x 6