FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS (continuação)

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1 FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS (continuação) 4º caso de fatoração: Trinômio do tipo x² + Sx + P O quarto caso de fatoração, assim como o terceiro, é a fatoração de uma expressão algébrica em forma de trinômio. A diferença dos dois é que nesse quarto caso o trinômio não tem que formar um quadrado perfeito e sim somar o produto dos dois últimos termos, por isso que é chamado de trinômio do tipo x 2 + Sx + P, onde S é soma e P é produto. Veja os exemplos: Dada a expressão algébrica y 2 5y + 6, sabemos que é um trinômio, mas os seus dois membros das extremidades não estão elevados ao quadrado, assim descarta a possibilidade de ser quadrado perfeito. Então, o único caso de fatoração que podemos utilizar para fatorar essa expressão algébrica é x 2 + Sx + P. Dada a expressão y 2 5y + 6, observe se ela está em ordem decrescente de seus expoentes (do maior para o menor), se estiver basta achar dois números que somados resultem em -5 e que o produto deles resulte em 6. Vamos fazer as tentativas para que o produto resulte em 6: 2. 3 = 6 (- 2). (- 3) = = 6-6. (- 1) = 6 Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê -5. Concluímos que -2 + (-3) = -5, portanto a forma fatorada desse trinômio será: resulte (y 2) (y 3). Dada a expressão m 2 + 7m 8, devemos achar dois números que somados 7 e o produto deles seja -8. Verificamos as possibilidades do produto resultar em - 8: = (-8) = (- 2) = = - 8 Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê 7. Concluímos que = 7, portanto a forma fatorada desse trinômio será:

2 (m 1) (m + 8). Dado a expressão x 2 + 4x 12, devemos achar dois números que somados resulte em 4 e o produto do mesmo seja 12. Verifiquemos as possibilidades de o produto resultar em -12: 1.(-12) = = (-2) = = -12 Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê 4. Concluímos que 6 +(- 2) = 4, portanto a forma fatorada desse trinômio será: (x + 6) (x 2) 5º caso de fatoração: Diferença de dois quadrados O quinto caso de fatoração é mais uma forma de fatorar expressões algébricas. Esse caso de fatoração só pode ser utilizado em expressões algébricas que possuem dois monômios e os mesmos devem estar elevados ao quadrado (elevados à quinta potência). Chegamos à conclusão que a diferença de dois quadrados pode ser utilizada, quando: Tivermos uma expressão algébrica com dois monômios (sejam binômios). Os dois monômios forem quadrados. A operação entre eles for de subtração. Veja alguns exemplos de expressões algébricas que seguem esse modelo: a /3 a 2 4x 2 b 2 Como fazer essa fatoração Dada a expressão algébrica 9x2 81, veja os passos que devemos tomar para chegarmos à forma fatorada utilizando o 5º caso de fatoração.

3 A forma fatorada será (3x 9) (3x + 9). Veja alguns exemplos: Exemplo 1: A expressão algébrica x 2 4 é uma expressão com dois monômios e as raízes quadradas são respectivamente x e 2, então a sua forma fatorada é (x 2) (x+2). Exemplo 2: Dada a expressão algébrica 16x 2 25, a raiz dos termos 16x 2 e 25 é respectivamente 4x e 5. Então, a forma fatorada é (4x 5) (4x + 5). Exemplo 3: Dada a expressão algébrica 36x 2 81y 2, a raiz dos termos 36x 2 e 81y 2 é respectivamente 6x e 9y. Então, a forma fatorada é (6x 9y) (6x + 9y). 6ºcaso de fatoração: Soma de dois cubos O sexto caso de fatoração é a fatoração de uma expressão algébrica composta por dois monômios (seja um binômio) e entre eles há a operação de adição, esses dois monômios são elevados ao cubo (elevados à terceira potência). Veja a demonstração de como foi encontrado esse caso de fatoração: Dado dois números quaisquer x e y, se somarmos os dois obteremos x + y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números teremos x 2 - xy + y 2, agora devemos multiplicar as duas expressões encontradas. utilize a propriedade distributiva; x 3 - x 2 y + xy 2 + x 2 y xy 2 + y 3 una os termos semelhantes; x 3 + y 3 é uma expressão algébrica de dois termos onde os dois estão elevados ao cubo e somados. Assim, podemos concluir que x 3 + y 3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde x e y poderão assumir qualquer valor real. A forma fatorada de x 3 + y 3 será. Veja alguns exemplos: Exemplo1: 27x é a soma de dois cubos.

4 Podemos escrever essa expressão da seguinte forma: (3x) , assim: x = 3x e y = 10 Agora, basta usarmos a forma geral e fazermos as substituições. (3x + 10) ((3x) 2 3x ) (3x + 10) (9x 2 30x + 100) Portanto, a fatoração de 27x será (3x + 10) (9x 2 30x + 100). Exemplo 2: x é a soma de dois cubos. Podemos escrever essa expressão da seguinte forma: (x) assim: x = x e y = 1 Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições. (x + 1) ((x) 2 x ) (x 1) (x 2 x + 1) Exemplo 3: 8x 3 + y 3 é a soma de dois cubos. Podemos escrever essa expressão da seguinte forma: (2x) 3 + y 3 assim: x = 2x e y = y Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições. (2x + y) ((2x) 2 2xy + y 2 ) (2x + y) (4x 2 2xy + y 2 ) 7º caso de fatoração: diferença de dois cubos O sétimo caso de fatoração é semelhante ao 6º caso, a diferença é na operação entre os dois monômios que aqui nesse caso é uma subtração (diferença). Observe a demonstração abaixo: Dado dois números quaisquer x e y. Se subtrairmos ficará: x y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números obteremos: x 2 + xy + y 2, assim, devemos multiplicar as duas expressões encontradas. (x - y) (x 2 + xy + y 2 ) é necessário utilizar a propriedade distributiva; x 3 + x 2 y + xy 2 - x 2 y xy 2 - y 3 unir os termos semelhantes;

5 x 3 - y 3 é uma expressão algébrica de dois termos, os dois estão elevados ao cubo e subtraídos. Assim, podemos concluir que x3 - y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde x e y podem assumir qualquer valor real. A forma fatorada de x3 - y3 será (x - y) (x2 + xy + y2). Com o conhecimento de todos os casos de fatoração, quando for preciso fatorar alguma expressão algébrica devemos sempre observar em qual dos casos ela se enquadra, veja os exemplos de como fazer esse reconhecimento. Exemplo 1: Se tivermos que fatorar a seguinte expressão algébrica 27x3 y3 devemos observar que ela tem dois termos. Lembrando dos casos de fatoração, o único caso que fatora dois termos é a diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e a diferença de dois cubos. No exemplo acima os dois termos estão ao cubo e entre eles há uma subtração, então devemos utilizar o 7º caso de fatoração (diferença de dois cubos), para fatorarmos devemos escrever a expressão algébrica 27x 3 y 3 da seguinte forma: (x - y) (x 2 + xy + y 2 ). Ao tirar as raízes cúbicas dos dois termos, temos: 27x3 y3. A raiz cúbica de 27x 3 é 3x e a raiz cúbica de y 3 é y. Agora, basta substituir valores, no lugar de x colocaremos 2x e no lugar de y colocaremos 3 na forma fatorada (x - y) (x 2 + xy + y 2 ), ficando assim: (3x y) ((3x) 2 + 3x. y + y 2 ) (3x y) (9x 2 + 3xy + y 2 ) 27. Então, (2x 3) (4x2 + 6x + 9) é a forma fatorada da expressão algébrica 8x 3 Exemplo 2: Para resolvemos a fatoração utilizando a diferença de dois cubos devemos seguir os mesmos passos do exemplo anterior. Fatorando a expressão algébrica r 3 64 temos: As raízes cúbicas de r 3 é r e de 64 é 4, substituindo teremos no lugar de x o r e no lugar de y o 4. (r 4) (r 2 + 4r + 16) é a forma fatorada de r 3 64.