Fatorando o número 50 em fatores primos, obtemos a seguinte representação: = 50
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- Simone Araújo Quintão
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1 FATORAÇÃO DE EXPRESSÃO ALGÉBRICA Fatorar consiste em representar determinado número de outra maneira, utilizando a multiplicação. A fatoração ajuda a escrever um número ou uma expressão algébrica como produto de outras expressões. Portanto, é preciso compreender cada método de fatoração a fim de se fatorar qualquer expressão algébrica. No estudo das fatorações dos números aprendemos que fatorar consiste em escrever determinado número na forma de produto entre dois ou mais números. Por exemplo, o número 20 ao ser fatorado pode ser representado da seguinte forma: 20 = Na fatoração de expressões algébricas estudaremos métodos para se fatorar uma expressão algébrica, ou seja, métodos que ajudem a escrever uma expressão algébrica como produto de outras expressões. As fatorações são formas diferentes de se representar um mesmo número. Vejamos alguns exemplos: Fatorando o número 50 em fatores primos, obtemos a seguinte representação: = 50 Fatorar a expressão consiste em determinar quais expressões algébricas devemos multiplicar para obtê-la. Portanto, veja que resulta na expressão inicial, ou seja, é a fatoração de Na fatoração de números conhecidos, utiliza-se apenas uma maneira: a fatoração em fatores primos. Entretanto, na fatoração algébrica, cada expressão terá um método. Para fatorar expressões algébricas é necessário observar atentamente qual caso de fatoração pode ser aplicado. São sete os casos diferentes utilizados na fatoração de expressões algébricas. Os métodos de fatoração de expressões algébricas são: 1. Fator comum (coloca-se o fator comum em evidência): O primeiro caso é a fatoração por meio do termo em comum ou colocação de termos em evidência. Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse primeiro caso de fatoração, todos os monômios da expressão algébrica devem ter pelo menos algum termo em comum. A fatoração é feita colocando o termo comum em evidência, veja alguns exemplos: é uma expressão algébrica, veja como devemos fatorá-la: É preciso analisar se o 1º caso poderá ser utilizado para a fatoração, então é necessário analisar todos os seus monômios (termos) para ver se há termos em comum. 1
2 essa expressão tem dois monômios: e Os dois possuem termos semelhantes: o termo semelhante é. Então, colocamos esse termo comum em evidência. Quando colocamos em evidência devemos dividir e (os monômios) por (termo comum), assim:, pois todo número (ou letra) dividido por ele mesmo é igual a 1., pois, então ficaria 1b que é o mesmo que b. Portanto, Termos em evidência: Exemplos é uma expressão algébrica, veja como fatorá-la: Essa expressão algébrica tem 2 monômios e. Eles têm o como termo semelhante, então podemos colocá-lo em evidência, mas poderá surgir uma dúvida: devemos colocar o ou? Devemos colocar sempre o de menor expoente, então colocamos. Devemos dividir e por, assim:, pois, então é o mesmo que. pois, então ficaria que é mesmo que Portanto, é uma expressão algébrica que tem quatro monômios. Eles têm termos em comum. Como esses termos têm mesma base, devemos pegar o de menor expoente, então o termo em comum é x. O termo em evidência deverá ser dividido pelos monômios assim:, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes., pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes., pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes., pois qualquer número ou letra dividido por ele mesmo é igual a 1. Portanto, 2
3 é uma expressão algébrica, olhando rapidamente podemos pensar que não existe termo semelhante, o que seria errado, pois o número 12 pode ser fatorado em dois fatores Com essa fatoração percebemos que há um termo em comum na expressão algébrica, esse é o. Então, pegamos os monômios e e dividimos por, ficando assim: Portanto, Para fatorarmos a expressão algébrica devemos ter um pouco mais de cuidado, pois em primeiro lugar separamos os termos: a expressão possui dois termos: 1º termo 2º termo O termo semelhante é, pois é encontrado tanto no 1º termo, como no 2º. Então, devemos dividir o 1º termo e o 2º por (x + 1), ficando assim: Portanto, Termo em evidência Para conferir se as fatorações estão corretas, basta efetuar as fatorações, veja: Para verificar se a fatoração está correta, basta pegar a expressão algébrica fatorada 4 (r + 3) e resolvê-la: Aplicando a propriedade distributiva temos: 4 (r + 3) = 4. r = 4r Podemos concluir que a fatoração está correta. 2. Agrupamento de fatores comuns: Agrupamento é o segundo caso de fatoração, para utilizá-lo devemos ter conhecimento do primeiro caso, pois para fatorar uma expressão algébrica utilizando o agrupamento é preciso agrupar os termos semelhantes e colocá-los em evidência. 3
4 Quando aplicamos o caso de fatoração por agrupamento, utilizamos a fatoração por termos comuns. Exemplo: Se observarmos a expressão veremos que não são todos os monômios que têm termos semelhantes, mas podemos unir os que possuem termos semelhantes. Assim, temos:, agora aplicamos o 1º caso de fatoração (termo comum), colocando em evidência cada elemento comum de cada agrupamento. termo comum termo comum Então: Mesmo fazendo essa fatoração observamos que ainda podemos fazer mais uma fatoração, pois os dois termos e possuem um termo em comum. Então, aplicamos o processo do fator comum, ficando assim a fatoração: Portanto, a expressão algébrica fatorada fica assim:. 3. Trinômio Quadrado Perfeito: A terceira maneira de fatorar expressões algébricas é utilizando a regra do trinômio do quadrado perfeito. Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse 3º caso, a expressão deverá ser um trinômio e formar um quadrado perfeito. Então, para compreender melhor esse tipo de fatoração vamos recapitular o que é um trinômio e quando um trinômio pode ser um quadrado perfeito. Trinômio Para que uma expressão algébrica seja considerada um trinômio, ela deverá conter exatamente 3 monômios. Veja alguns exemplos de trinômios: É importante ressaltar que nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É preciso verificar se um trinômio pode ser escrito na forma de um quadrado perfeito. 4
5 Quadrado perfeito Veja a demonstração do que é um quadrado perfeito: Para que um determinado número seja um quadrado perfeito, basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 36 é um quadrado perfeito, pois 6 2 = 36. Agora, para aplicar isso em uma expressão algébrica, observe o quadrado (todos os lados iguais) abaixo com lados x + y. O valor desse lado é uma expressão algébrica. Para calcularmos a área desse quadrado podemos seguir duas formas diferentes: 1º forma: A fórmula para o cálculo da área do quadrado é, então como o lado nesse quadrado é, basta elevá-lo ao quadrado. que é o mesmo que então podemos dizer que: O resultado dessa área é um quadrado perfeito. 2º forma: Esse quadrado foi dividido em quatro retângulos, onde cada um tem a sua própria área, então a soma de todas essas áreas é a área total do quadrado maior, ficando assim:, como e são semelhantes podemos somá-los O resultado da área é um trinômio. As duas áreas encontradas representam a área do mesmo quadrado, então: Então, o trinômio tem como quadrado perfeito. Quando tivermos uma expressão algébrica e ela for um trinômio do quadrado perfeito, a sua forma fatorada é representada em forma de quadrado perfeito, veja: O trinômio fatorado fica. Como já foi dito, nem todos os trinômios são quadrados perfeitos, por isso é preciso que saibamos identificar se um trinômio é quadrado perfeito ou não. Veja como é feita essa identificação: Quando um trinômio é quadrado perfeito O quadrado perfeito é composto por dois fatores. A resolução dele é um trinômio. O primeiro monômio é o quadrado do primeiro termo; o segundo 5
6 monômio é duas vezes o primeiro termo vezes o segundo; e o terceiro monômio é o quadrado do segundo termo. Esse trinômio do quadrado perfeito é considerado uma forma geral seguida para qualquer quadrado perfeito. Portanto, para que um trinômio seja quadrado perfeito ele tem que seguir esse modelo. Fazendo um resumo podemos dizer que: Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características: Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados. Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos. Veja alguns exemplos: Veja se o trinômio é um quadrado perfeito. Para isso, siga as regras que foram citadas. Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio é quadrado perfeito. Então, a forma fatorada do trinômio é, pois é a soma das raízes ao quadrado. Exemplo: Dado o trinômio, devemos tirar as raízes dos termos e, as raízes serão respectivamente e O dobro dessas raízes deve ser, que é diferente do termo, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito. 4. Trinômio: : O quarto caso de fatoração, assim como o terceiro, é a fatoração de uma expressão algébrica em forma de trinômio. 6
7 A diferença dos dois é que nesse quarto caso o trinômio não tem que formar um quadrado perfeito e sim somar o produto dos dois últimos termos, por isso que é chamado de trinômio do tipo, onde é soma e é produto. Veja os exemplos: Dada a expressão algébrica, sabemos que é um trinômio, mas os seus dois membros das extremidades não estão elevados ao quadrado, assim descarta a possibilidade de ser quadrado perfeito. Então, o único caso de fatoração que podemos utilizar para fatorar essa expressão algébrica é. Dada a expressão, observe se ela está em ordem decrescente de seus expoentes (do maior para o menor), se estiver basta achar dois números que somados resultem em -5 e que o produto deles resulte em 6. Vamos fazer as tentativas para que o produto resulte em 6: Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê -5. Concluímos que, portanto a forma fatorada desse trinômio será: Dada a expressão, devemos achar dois números que somados resulte 7 e o produto deles seja -8. Verificamos as possibilidades do produto resultar em - 8: Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê 7. Concluímos que, portanto a forma fatorada desse trinômio será: Dado a expressão, devemos achar dois números que somados resulte em 4 e o produto do mesmo seja 12. Verifiquemos as possibilidades de o produto resultar em - 12: 7
8 Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê 4. Concluímos que, portanto a forma fatorada desse trinômio será: 5. Diferença de dois quadrados : O quinto caso de fatoração é mais uma forma de fatorar expressões algébricas. Esse caso de fatoração só pode ser utilizado em expressões algébricas que possuem dois monômios e os mesmos devem estar elevados ao quadrado (elevados à quinta potência). Chegamos à conclusão que a diferença de dois quadrados pode ser utilizada, quando: Tivermos uma expressão algébrica com dois monômios (sejam binômios). Os dois monômios forem quadrados. A operação entre eles for de subtração. Veja alguns exemplos de expressões algébricas que seguem esse modelo: Como fazer essa fatoração Dada a expressão algébrica, veja os passos que devemos tomar para chegarmos à forma fatorada utilizando o 5º caso de fatoração. A forma fatorada será Veja alguns exemplos: Exemplo 1: A expressão algébrica é uma expressão com dois monômios e as raízes quadradas são respectivamente, então a sua forma fatorada é. Exemplo 2: Dada a expressão algébrica, a raiz dos termos e é respectivamente e. Então, a forma fatorada é. Exemplo 3: Dada a expressão algébrica, a raiz dos termos é respectivamente e. Então, a forma fatorada é 8
9 6. Soma de dois cubos: O sexto caso de fatoração é a fatoração de uma expressão algébrica composta por dois monômios (seja um binômio) e entre eles há a operação de adição, esses dois monômios são elevados ao cubo (elevados à terceira potência). Veja a demonstração de como foi encontrado esse caso de fatoração: Dado dois números quaisquer e, se somarmos os dois obteremos, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números teremos, agora devemos multiplicar as duas expressões encontradas. utilize a propriedade distributiva; una os termos semelhantes; é uma expressão algébrica de dois termos onde os dois estão elevados ao cubo e somados. Assim, podemos concluir que é uma forma geral da soma de dois cubos onde e poderão assumir qualquer valor real. A forma fatorada de será. Veja alguns exemplos: Exemplo 1: é a soma de dois cubos. Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:, assim: Agora, basta usarmos a forma geral e fazermos as substituições. Portanto, a fatoração de será. Exemplo 2: é a soma de dois cubos. Podemos escrever essa expressão da seguinte forma: assim: Agora, basta usarmos a forma geral e fazermos as substituições. 9
10 Exemplo 3: é a soma de dois cubos. Podemos escrever essa expressão da seguinte forma: assim: Agora, basta usarmos a forma geral e fazermos as substituições. 7. Diferença de dois cubos. O sétimo caso de fatoração é semelhante ao 6º caso, a diferença é na operação entre os dois monômios que aqui nesse caso é uma subtração (diferença). Observe a demonstração abaixo: Dado dois números quaisquer e. Se subtrairmos ficará:, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números obteremos:, assim, devemos multiplicar as duas expressões encontradas. é necessário utilizar a propriedade distributiva; unir os termos semelhantes; é uma expressão algébrica de dois termos, os dois estão elevados ao cubo e subtraídos. Assim, podemos concluir que é uma forma geral da soma de dois cubos onde e podem assumir qualquer valor real. A forma fatorada de será. Com o conhecimento de todos os casos de fatoração, quando for preciso fatorar alguma expressão algébrica devemos sempre observar em qual dos casos ela se enquadra, veja os exemplos de como fazer esse reconhecimento. Exemplo 1: Se tivermos que fatorar a seguinte expressão algébrica devemos observar que ela tem dois termos. Lembrando dos casos de fatoração, o único caso que fatora dois termos é a diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e a diferença de dois cubos. 10
11 No exemplo acima os dois termos estão ao cubo e entre eles há uma subtração, então devemos utilizar o 7º caso de fatoração (diferença de dois cubos), para fatorarmos devemos escrever a expressão algébrica da seguinte forma: Ao tirar as raízes cúbicas dos dois termos, temos:. A raiz cúbica de é e a raiz cúbica de é. Agora, basta substituir valores, no lugar de colocaremos e no lugar de colocaremos na forma fatorada, ficando assim: Então, é a forma fatorada da expressão algébrica Exemplo 2: Para resolvemos a fatoração utilizando a diferença de dois cubos devemos seguir os mesmos passos do exemplo anterior. Fatorando a expressão algébrica temos: As raízes cúbicas de é e de é, substituindo teremos no lugar de o e no lugar de o. é a forma fatorada de. 11
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