POLINÔMIOS. Operadores aritméticos: Adição, subtração, multiplicação e potenciação.

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1 POLINÔMIOS Prof. Patricia Caldana Um polinômio é uma expressão algébrica formada por monômios e operadores aritméticos. O monômio é estruturado por números (coeficientes) e variáveis (parte literal) em um produto, e os operadores aritméticos são: soma, subtração, divisão, multiplicação e potenciação. Para compreender melhor o que é um polinômio, veja alguns exemplos: Exemplo 1: 2 x y Coeficiente: 2 Parte literal: x e y Operadores aritméticos: Multiplicação Exemplo 2: {[(2. x + 6. x) 2 5] + 3. y 1. x} Coeficiente: 1, 2, 3, 5 e 6 Parte literal: x e y Operadores aritméticos: Adição, subtração, multiplicação e potenciação. Classificação de Polinômios Os polinômios podem ser classificados de acordo com a sua quantidade de termos: Monômio: Possui um único produto com coeficiente e parte literal. Exemplos: 2 x y 12. x 2 Binômio: É um polinômio que possui somente dois monômios. Exemplos: 4 x y + 5 x 105 z + 25 z 2 Trinômio: É um polinômio que possui somente três monômios. Exemplos: x. z z. x 2. w x 5. w 2 Pagina: 1

2 Polinômio: possui uma infinidade de monômios. A sua expressão geral é dada por: a n x n +a (n-1) x (n-1) +...+a 2 x 2 +a 1 x+a Grau de um Polinômio Grau de polinômio com uma variável: Quando o polinômio possui somente uma variável (termo desconhecido), seu grau é dado pelo maior valor que o expoente da variável assume. Exemplo 1: 2. x x Variável: x Maior expoente em relação à variável x: 2 Grau: Polinômio de 2 grau Exemplo 2: 3. z z 3 Variável: z Maior expoente em relação à variável z: 3 Grau: Polinômio de 3 grau Grau do polinômio com mais de uma variável: Quando o polinômio possui mais do que uma variável, para saber o seu grau, devemos somar os expoentes de cada monômio. A maior soma de expoentes determinará o grau. Exemplo: x. y 2. x. y 2 Grau do monômio: x 1. Y = 2 Grau do monômio: x. y = 3 Da soma de expoentes de cada monômio, obtivemos que: para (x. y), o grau é 2; e para (x. y 2 ), o grau é 3. Sendo assim, o polinômio ( x. y 2. x. y 2 ) é de terceiro grau. Tipos de Polinômio Os polinômios podem ser de dois tipos: completo ou incompleto. Pagina: 2

3 Polinômios completos: O polinômio será completo quando a ordem dos seus expoentes for decrescente (do maior para o menor número) e não faltar nenhum expoente na sequência. Veja: 3. x x 4 x x x 1 2. x 0 Observe que os expoentes em relação à variável x seguem uma sequência decrescente, que é dada por: 5, 4, 3, 2, 1 e 0. Polinômios incompletos: O polinômio será incompleto quando faltar algum número na sua sequência de expoentes. Veja: 3. x x 1 2. x 0 A forma completa desse polinômio seria: 3. x x 4 0. x x x 1 2. x 0. Faltaram os expoentes em relação à variável x: x 4, x 3 e x 2. Por esse motivo, o polinômio é incompleto. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS A adição ou subtração algébrica de monômios é denominada polinômio. Vejamos alguns exemplos de polinômios: No primeiro exemplo temos um polinômio de apenas um monômio. Os demais possuem vários monômios, estes monômios são denominados termos do polinômio. O segundo exemplo é um polinômio de dois termos: 3x 3 y e 2xy 2. Redução de Termos Semelhantes Assim como fizemos no caso dos monômios, também podemos fazer a redução de polinômios através da adição algébrica dos seus termos semelhantes. Pagina: 3

4 No exemplo abaixo realizamos a soma algébrica do primeiro com o terceiro termo, e do segundo com o quarto termo, reduzindo um polinômio de quatro termos a um outro de apenas dois. Polinômios reduzidos de dois termos também são denominados binômios. Polinômios reduzidos de três termos, também são denominados trinômios. Veja abaixo alguns exemplos de redução de polinômios através da soma ou subtração de termos semelhantes: Multiplicação de Polinômios Temos tanto o caso da multiplicação de um monômio por um polinômio, quanto o caso da multiplicação de um polinômio por um polinômio. Multiplicação de um Polinômio por um Monômio No primeiro caso a multiplicação é realizada multiplicando-se o monômio por cada um dos termos do polinômio. Vejamos a multiplicação abaixo: Repare que multiplicamos 7xy 2 por ambos os termos do polinômio, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação. Veja mais alguns exemplos: Pagina: 4

5 Multiplicação de um Polinômio por um Polinômio No caso da multiplicação de polinômio por polinômio efetuamos a multiplicação de cada um dos termos do primeiro polinômio, por cada um dos termos do segundo polinômio e depois realizamos a redução do polinômio resultante. Vamos analisar a multiplicação abaixo a qual separamos em três linhas para podermos observá-la mais facilmente: Na primeira linha temos os dois polinômios a serem multiplicados. Os dois primeiros produtos na segunda linha foram obtidos da multiplicação de 3a 2 b por cada um dos dois termos do segundo polinômio, 2a e 7a 2 b 3. Os dois últimos produtos na segunda linha foram obtidos multiplicando-se agora o segundo termo do primeiro polinômio, também por cada um dos dois termos do segundo. A terceira linha que é o resultado final, já que não há termos semelhantes a reduzir, é o resultado após a multiplicação dos monômios entre parênteses na linha anterior. Analise estes outros exemplos para uma melhor assimilação: Pagina: 5

6 Para multiplicar mais de dois polinômios, comece multiplicando os dois primeiros, depois multiplique o polinômio obtido pelo terceiro e assim por diante até multiplicar por todos. Para a multiplicar, por exemplo, primeiro multiplique, que como vimos acima é igual a, então multiplique por. Pagina: 6