Fundamentos da Matemática e Estatística

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1 Fundamentos da Matemática e Estatística Operações matemáticas básicas Prof. Dr. Marcos Aurélio Basso IFSULDEMINAS Campus Incondentes MG

2 Introdução As operações matemáticas básicas são adição, subtração, multiplicação e divisão. Além dessas, existem potenciação, radiciação e outras que só são estudadas adiante, no Ensino Superior. Essas operações possuem propriedades básicas e são divididas em dois grupos: no primeiro, adição e subtração; no segundo, multiplicação e divisão. Isso acontece porque essas operações são consideradas inversas. 2

3 Propriedades da adição 1) A propriedade de comutatividade: consiste que a ordem de dois números são somados não altera o resultado da soma. Matematicamente: a + n = b + a 2) Propriedade associatividade: Em uma soma de três números: a + b + c, somar a + b e depois c tem o mesmo resultado que somar b + c e depois a. Matematicamente: (a + b) + c = a + (b + c) 3

4 Propriedades da adição 3) Existe um número, chamado de elemento neutro (nesse caso, zero), que não inuencia o resultado da soma. Assim: a + 0 = 0 + a = a 4) Para todo número x existe um número x em que a soma entre eles é igual a 0. x + ( x) = 0 4

5 Propriedades da adição Essa última propriedade permite compreender a subtração como uma adição de inversos aditivos. Isso, de certa forma, permite incluir a operação subtração na operação adição, tornando-as uma só. Contudo, para melhor compreensão, esse detalhe é pouco mencionado em sala de aula. Assim, a subtração pode ser vista como a seguinte adição: 77 + ( 42) 5

6 Propriedades da adição Por isso, foram criadas regras de sinais para adição de números reais, que são as seguintes: a) Se os sinais dos números forem positivos, o resultado da soma será positivo; b) Se os sinais dos números forem negativos, o resultado da soma será negativo; c) Se os sinais dos números forem diferentes, deveremos diminuí-los e manter no resultado o sinal daquele que possui o maior módulo, ou seja, aquele que é maior, independentemente do sinal. Estas regras se resume em: Sinais iguais, soma e conserva. Sinais diferentes, subtrai e conserva o sinal do maior. 6

7 Multiplicação e Divisão A multiplicação é entendida como uma sequência de somas em que as parcelas são números iguais. Veja uma soma que contém 6 parcelas: A multiplicação substitui a notação da soma pela seguinte: é o número de parcelas e 4 é o número que está sendo somado. 7

8 Multiplicação e Divisão As operações multiplicação e divisão também são inversas, o que nos faz pensar se, assim como adição e subtração, também é possível compreender a divisão como uma multiplicação por inversos. A resposta é sim e isso depende de uma das propriedades da multiplicação. 8

9 Propriedades da Multiplicação 1) A ordem em que os fatores são multiplicados não altera o resultado do produto (sinônimo de multiplicação). Matematicamente: a b = b a Essa propriedade é chamada de comutatividade. 2) Em uma multiplicação que envolve 3 números, multiplicar os dois primeiros e depois o último tem o mesmo resultado que multiplicar os dois últimos e depois o primeiro. Observe: (a b) c = a (b c) Essa propriedade é chamada de associatividade. 9

10 Propriedades da Multiplicação 3) Existe um elemento (nesse caso, o número 1), chamado de elemento neutro, que não inuencia o resultado de uma multiplicação. Matematicamente: a 1 = 1 a = a 4) Para todo número, existe um elemento inverso, e a multiplicação de um número pelo seu inverso resulta no elemento neutro. Assim: a ( ) 1 = 1 a 10

11 Propriedades da Multiplicação O elemento inverso da multiplicação é representado por uma fração e dá precedentes para que qualquer divisão seja a multiplicação de um número por algum inverso. Por exemplo, a divisão 16 4 seguir: é o mesmo que a multiplicação a ( )

12 Propriedade Distributiva Existe ainda uma propriedade que envolve multiplicação e adição ao mesmo tempo. Assim, conforme o discutido acima, também envolve divisão e subtração igualmente. Dados os números reais a, b e c, vale: a (b + c) = a b + a c 12