Bases Matemáticas. Aula 4 Conjuntos Numéricos. Rodrigo Hausen. v /9

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1 Bases Matemáticas Aula 4 Conjuntos Numéricos Rodrigo Hausen v /9

2 Números Naturais, Inteiros e Racionais naturais: inteiros: racionais: N = {0, 1, 2,...} Z = {... 2, 1, 0, 1, 2,...} { } p Q = q p, q Z, q 0 v /9

3 Subconjuntos Dado um conjunto numérico X usa-se X para denotar um subconjunto numérico sem o zero.... usa-se X + para denotar um subconjunto apenas com os números maiores ou iguais a zero.... usa-se X para denotar um subconjunto apenas com os números menores ou iguais a zero. v /9

4 Subconjuntos Dado um conjunto numérico X usa-se X para denotar um subconjunto numérico sem o zero.... usa-se X + para denotar um subconjunto apenas com os números maiores ou iguais a zero.... usa-se X para denotar um subconjunto apenas com os números menores ou iguais a zero. Exemplos 1. N = {x N x 0} = {1, 2,...} v /9

5 Subconjuntos Dado um conjunto numérico X usa-se X para denotar um subconjunto numérico sem o zero.... usa-se X + para denotar um subconjunto apenas com os números maiores ou iguais a zero.... usa-se X para denotar um subconjunto apenas com os números menores ou iguais a zero. Exemplos 1. N = {x N x 0} = {1, 2,...} Z + = {x Z x 0} = {0, 1, 2,...} v /9

6 Subconjuntos Dado um conjunto numérico X usa-se X para denotar um subconjunto numérico sem o zero.... usa-se X + para denotar um subconjunto apenas com os números maiores ou iguais a zero.... usa-se X para denotar um subconjunto apenas com os números menores ou iguais a zero. Exemplos 1. N = {x N x 0} = {1, 2,...} Z + = {x Z x 0} = {0, 1, 2,...} Z = {x Z x 0} = {..., 2, 1, 0} v /9

7 Subconjuntos Dado um conjunto numérico X usa-se X para denotar um subconjunto numérico sem o zero.... usa-se X + para denotar um subconjunto apenas com os números maiores ou iguais a zero.... usa-se X para denotar um subconjunto apenas com os números menores ou iguais a zero. Exemplos 1. N = {x N x 0} = {1, 2,...} Z + = {x Z x 0} = {0, 1, 2,...} Z = {x Z x 0} = {..., 2, 1, 0} Z = v /9

8 Subconjuntos Dado um conjunto numérico X usa-se X para denotar um subconjunto numérico sem o zero.... usa-se X + para denotar um subconjunto apenas com os números maiores ou iguais a zero.... usa-se X para denotar um subconjunto apenas com os números menores ou iguais a zero. Exemplos 1. N = {x N x 0} = {1, 2,...} Z + = {x Z x 0} = {0, 1, 2,...} Z = {x Z x 0} = {..., 2, 1, 0} Z = {x Z x < 0} = v /9

9 Subconjuntos Dado um conjunto numérico X usa-se X para denotar um subconjunto numérico sem o zero.... usa-se X + para denotar um subconjunto apenas com os números maiores ou iguais a zero.... usa-se X para denotar um subconjunto apenas com os números menores ou iguais a zero. Exemplos 1. N = {x N x 0} = {1, 2,...} Z + = {x Z x 0} = {0, 1, 2,...} Z = {x Z x 0} = {..., 2, 1, 0} Z = {x Z x < 0} = {..., 2, 1} v /9

10 Subconjuntos Dado um conjunto numérico X usa-se X para denotar um subconjunto numérico sem o zero.... usa-se X + para denotar um subconjunto apenas com os números maiores ou iguais a zero.... usa-se X para denotar um subconjunto apenas com os números menores ou iguais a zero. Exemplos 1. N = {x N x 0} = {1, 2,...} Z + = {x Z x 0} = {0, 1, 2,...} Z = {x Z x 0} = {..., 2, 1, 0} Z = {x Z x < 0} = {..., 2, 1} Da mesma forma, podemos definir Z +, Q, Q, Q +, Q, Q +,... v /9

11 Soma e multiplicação Para os conjuntos N, Z e Q estão bem definidas as operações de soma e multiplicação, com as seguintes propriedades: 1. a + b = b + a (comutatividade da soma) v /9

12 Soma e multiplicação Para os conjuntos N, Z e Q estão bem definidas as operações de soma e multiplicação, com as seguintes propriedades: 1. a + b = b + a (comutatividade da soma) 2. a b = b a (comutatividade da multiplicação) v /9

13 Soma e multiplicação Para os conjuntos N, Z e Q estão bem definidas as operações de soma e multiplicação, com as seguintes propriedades: 1. a + b = b + a (comutatividade da soma) 2. a b = b a (comutatividade da multiplicação) 3. (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade da soma) v /9

14 Soma e multiplicação Para os conjuntos N, Z e Q estão bem definidas as operações de soma e multiplicação, com as seguintes propriedades: 1. a + b = b + a (comutatividade da soma) 2. a b = b a (comutatividade da multiplicação) 3. (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade da soma) 4. (a b) c = a (b c) (associatividade da multiplicação) v /9

15 Soma e multiplicação Para os conjuntos N, Z e Q estão bem definidas as operações de soma e multiplicação, com as seguintes propriedades: 1. a + b = b + a (comutatividade da soma) 2. a b = b a (comutatividade da multiplicação) 3. (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade da soma) 4. (a b) c = a (b c) (associatividade da multiplicação) a = a (elemento neutro da soma) v /9

16 Soma e multiplicação Para os conjuntos N, Z e Q estão bem definidas as operações de soma e multiplicação, com as seguintes propriedades: 1. a + b = b + a (comutatividade da soma) 2. a b = b a (comutatividade da multiplicação) 3. (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade da soma) 4. (a b) c = a (b c) (associatividade da multiplicação) a = a (elemento neutro da soma) 6. 1 a = a (elemento neutro da multiplicação) v /9

17 Soma e multiplicação Para os conjuntos N, Z e Q estão bem definidas as operações de soma e multiplicação, com as seguintes propriedades: 1. a + b = b + a (comutatividade da soma) 2. a b = b a (comutatividade da multiplicação) 3. (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade da soma) 4. (a b) c = a (b c) (associatividade da multiplicação) a = a (elemento neutro da soma) 6. 1 a = a (elemento neutro da multiplicação) 7. a (b + c) = a b + a c (distributividade) v /9

18 Existência de Elementos Opostos e Inversos Dado um número a: dizemos que a é o oposto aditivo de a se a + a = 0 v /9

19 Existência de Elementos Opostos e Inversos Dado um número a: dizemos que a é o oposto aditivo de a se a + a = 0 se a 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se a a = 1 v /9

20 Existência de Elementos Opostos e Inversos Dado um número a: dizemos que a é o oposto aditivo de a se a + a = 0 se a 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se Existência de opostos e inversos: Para o conjunto N: a a = 1 v /9

21 Existência de Elementos Opostos e Inversos Dado um número a: dizemos que a é o oposto aditivo de a se a + a = 0 se a 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se Existência de opostos e inversos: a a = 1 Para o conjunto N: 0 é o único elemento que possui oposto v /9

22 Existência de Elementos Opostos e Inversos Dado um número a: dizemos que a é o oposto aditivo de a se a + a = 0 se a 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se Existência de opostos e inversos: a a = 1 Para o conjunto N: 0 é o único elemento que possui oposto 1 é o único elemento que possui inverso v /9

23 Existência de Elementos Opostos e Inversos Dado um número a: dizemos que a é o oposto aditivo de a se a + a = 0 se a 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se Existência de opostos e inversos: a a = 1 Para o conjunto N: 0 é o único elemento que possui oposto 1 é o único elemento que possui inverso Para o conjunto Z: v /9

24 Existência de Elementos Opostos e Inversos Dado um número a: dizemos que a é o oposto aditivo de a se a + a = 0 se a 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se Existência de opostos e inversos: a a = 1 Para o conjunto N: 0 é o único elemento que possui oposto 1 é o único elemento que possui inverso Para o conjunto Z: todo elemento possui oposto v /9

25 Existência de Elementos Opostos e Inversos Dado um número a: dizemos que a é o oposto aditivo de a se a + a = 0 se a 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se Existência de opostos e inversos: a a = 1 Para o conjunto N: 0 é o único elemento que possui oposto 1 é o único elemento que possui inverso Para o conjunto Z: todo elemento possui oposto 1 e 1 são os únicos que possuem inverso v /9

26 Existência de Elementos Opostos e Inversos Dado um número a: dizemos que a é o oposto aditivo de a se a + a = 0 se a 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se Existência de opostos e inversos: a a = 1 Para o conjunto N: 0 é o único elemento que possui oposto 1 é o único elemento que possui inverso Para o conjunto Z: todo elemento possui oposto 1 e 1 são os únicos que possuem inverso Para o conjunto Q v /9

27 Existência de Elementos Opostos e Inversos Dado um número a: dizemos que a é o oposto aditivo de a se a + a = 0 se a 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se Existência de opostos e inversos: a a = 1 Para o conjunto N: 0 é o único elemento que possui oposto 1 é o único elemento que possui inverso Para o conjunto Z: todo elemento possui oposto 1 e 1 são os únicos que possuem inverso Para o conjunto Q todo elemento possui oposto v /9

28 Existência de Elementos Opostos e Inversos Dado um número a: dizemos que a é o oposto aditivo de a se a + a = 0 se a 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se Existência de opostos e inversos: a a = 1 Para o conjunto N: 0 é o único elemento que possui oposto 1 é o único elemento que possui inverso Para o conjunto Z: todo elemento possui oposto 1 e 1 são os únicos que possuem inverso Para o conjunto Q todo elemento possui oposto e inverso v /9

29 Existência de Elementos Opostos e Inversos Dado um número a: dizemos que a é o oposto aditivo de a se a + a = 0 se a 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se Existência de opostos e inversos: a a = 1 Para o conjunto N: 0 é o único elemento que possui oposto 1 é o único elemento que possui inverso Para o conjunto Z: todo elemento possui oposto 1 e 1 são os únicos que possuem inverso Para o conjunto Q todo elemento possui oposto e inverso O oposto de a é denotado a. O inverso de a é denotado a 1. v /9

30 Potenciação Seja a um número (natural, inteiro, racional) e n N. Definimos a n-ésima potência de a como: { a n a a... a (n vezes), se n 0 = v /9

31 Potenciação Seja a um número (natural, inteiro, racional) e n N. Definimos a n-ésima potência de a como: { a n a a... a (n vezes), se n 0 = 1, se n = 0 e a 0 v /9

32 Potenciação Seja a um número (natural, inteiro, racional) e n N. Definimos a n-ésima potência de a como: { a n a a... a (n vezes), se n 0 = 1, se n = 0 e a 0 Na operação de potenciação, dizemos que a é a base e n é o expoente. v /9

33 Potenciação Seja a um número (natural, inteiro, racional) e n N. Definimos a n-ésima potência de a como: { a n a a... a (n vezes), se n 0 = 1, se n = 0 e a 0 Na operação de potenciação, dizemos que a é a base e n é o expoente. Note que 0 0 é indeterminado! (Há motivos para não o definirmos.) v /9

34 Potenciação Seja a um número (natural, inteiro, racional) e n N. Definimos a n-ésima potência de a como: { a n a a... a (n vezes), se n 0 = 1, se n = 0 e a 0 Na operação de potenciação, dizemos que a é a base e n é o expoente. Note que 0 0 é indeterminado! (Há motivos para não o definirmos.) Propriedades: 1. a n a m = a ( n+m 2. a n) m = a n m 3. (a b) n = a n b n v /9

35 Potenciação: expoentes negativos Seja n N. Definimos: a n = 1 a n v /9

36 Potenciação: expoentes negativos Seja n N. Definimos: Propriedades: 5. a n m = a n a m = an ( ) a m a n 6. = an b b n a n = 1 a n v /9

37 Potenciação: expoentes negativos Seja n N. Definimos: Propriedades: 5. a n m = a n a m = an ( ) a m a n 6. = an b b n a n = 1 a n Mais adiante no curso, veremos como definir a operação potência para expoentes racionais. v /9

38 Princípio da Indução Finita Questão filosófica: Em uma fileira de dominós, por que quando derrubamos o primeiro (na direção da próxima peça), todos os demais caem? Crédito da imagem: v /9

39 Para casa Páginas 51 a 56 do livro de Caputi e Miranda: ler e fazer os exercícios. v /9