Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não poderíamos imaginar alguém falando: Tenho 3,4231 livros na minha estante.

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1 Conjunto dos Números Naturais A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao contar, por exemplo, os livros de uma estante, temos como resultado um número do tipo: N = {0,1,2,3 } Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não poderíamos imaginar alguém falando: Tenho 3,4231 livros na minha estante. A este conjunto N denominamos conjunto dos números naturais. Se por acaso houver a necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos com um asterisco sobrescrito à letra N. N = {1,2,3,4 } Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos. No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações básicas: adição e multiplicação. Você deve estar se perguntando: E por que não subtração e divisão? A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando sempre podemos operar naquele conjunto. Por exemplo: Será que é sempre possível somar dois números naturais? É claro que sim!! Podemos efetuar 2+3=5, 3+0=3 e assim por diante. Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por isso, dizemos que o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à adição. Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que sim!! Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4, 8 x 0 = 0... Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um número natural. Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à multiplicação. Será que é sempre possível subtrair dois números naturais? Agora respondemos em alto e bom tom... NÃO!!! Podemos efetuar 5 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto dos números naturais) 3 5. Isto porque o resultado desta operação é um 1

2 número negativo. Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais NÂO É FECHADO em relação à subtração. Da mesma maneira sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É FECHADO em relação à divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação, como iremos ver adiante, é uma fração que não é um número natural). Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como soma, adição, multiplicação, produto, etc. Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos... Operações com números naturais Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto dos números naturais: adição e multiplicação. Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações. Considere o seguinte cálculo: = 8. O símbolo + representa a operação de adição. O resultado da adição é chamado de soma. Portanto adição e soma não têm o mesmo significado. Adição é o nome da operação. Soma é o resultado da adição. Definimos então a operação de adição: a,b parcelas a+ b= c c soma No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma. Vejamos algumas propriedades importantes da adição. 1 Propriedade comutativa Esta propriedade afirma que alterar a ordem das parcelas não altera a soma. Em símbolos: a+ b= b+ a para todos a,b N Obviamente sabemos que = 8 e 5 +3 = 8, portanto =

3 4 + 5 = 9 Ex.: = = 9 2 Propriedade associativa A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as duas últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que devemos primeiro efetuar as operações que se encontram dentro dos parênteses. (2 + 3) + 5 = = 10 (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 2 + (3 + 5) = = 10 3 Existência do elemento neutro da adição Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade. a + 0 = 0 + a = a Desta forma, = = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de elemento neutro da adição. 4 Propriedade do fechamento A soma de dois números naturais é um número natural. Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai adicionar dois números naturais? Com certeza o resultado (a soma) será um número natural!! Não tem como a soma ser um número negativo, um número irracional, etc. Vamos falar um pouquinho agora sobre a multiplicação. Observe o seguinte cálculo: 3 4 = 12 Podemos representar a operação da multiplicação por dois símbolos (ou nenhum como veremos adiante). Usualmente, utilizamos o ou. Assim, 3 4 = 3 4 = 12. Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões dentro de parêntesis é muito comum não utilizarmos símbolo algum para representar a multiplicação. Assim, 3a significa 3 vezes a. 3

4 Ou seja, 3a = 3 a = 3 a. Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo: x + 2 x 1. Observe que não há símbolo algum entre os parêntesis do meio. Esta expressão significa que devemos multiplicar as expressões que estão nos parêntesis. x + 2 x 1 = x + 2 x 1 = x + 2 x 1 Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos e. Mas não se preocupe... Você pode utilizar qualquer um dos dois símbolos. Veja o que fica melhor esteticamente e utilize... Ok? Eu, particularmente, não uso em expressões algébricas. Podemos agora definir a operação da multiplicação, suas propriedades e nomenclaturas. a,b fatores a b= c c produto Da mesma maneira que foi comentado na operação de adição, convém observar a diferença entre multiplicação e produto. Multiplicação é o nome da operação e produto é o resultado da multiplicação. 5 Propriedade comutativa A ordem dos fatores não altera o produto. É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o mesmo 12. Desta forma, podemos afirmar que ab = ba para todos a,b N. Lembre-se que ab significa a vezes b. Ou seja, ab = ba = a b = b a = a b = b a 6 Propriedade associativa 2 7 = = = 14 A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois primeiros ou os dois últimos fatores. 4

5 (3 4) 5 = 12 5 = 60 (3 4) 5 = 3 (4 5) 3 (4 5) = 3 20 = 60 7 Existência do elemento neutro da multiplicação Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade: a 1 = 1 a = a Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4. Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação. Isso é muito importante lembrar quando estamos operando com expressões algébricas, por exemplo: x 0,4x Ora, x é a mesma coisa que 1x, portanto: 8 Propriedade do fechamento x 0,4x = 1x 0,4x = 0,6x O produto de dois números naturais é um número natural. Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a multiplicação é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto) será um número natural!! Não tem como o produto ser um número negativo, um número irracional, etc. Temos ainda uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição. É a chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou simplesmente propriedade distributiva. 9 Propriedade Distributiva Antes de enunciar a propriedade seja com palavras seja com símbolos, vejamos um exemplo. Efetue

6 Existe uma hierarquia entre as operações matemáticas. Se não estivessem escritos os parêntesis, no caso, , deveríamos efetuar primeiramente 2 3 = 6 e em seguida adicionar o 5. No caso, = = 11. Mas no nosso caso há os parêntesis. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia das operações, pois devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão dentro dos parêntesis = 2 8 = 16 A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma soma por um número natural, multiplicam-se cada um dos termos por esse número e em seguida somamos os resultados. No caso, para efetuar podemos multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar os dois resultados = = = 16 Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com letras... Por exemplo, a expressão 2 (x + 3) pode ser desenvolvida da seguinte maneira: Ou simplesmente: 2 x + 3 = 2 x = 2 x x + 3 = 2x + 6 Conjunto dos números inteiros Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e à multiplicação. Com o intuito de definir a operação subtração ampliaremos o conjunto dos números naturais. Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela letra Z (inicial de zahl - número em alemão). Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Dizemos que o número x é o simétrico ou oposto do número x. Por exemplo, o número 5 é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico de 5. O número 0 (zero) não é positivo e não é negativo. Dizemos que zero é neutro. Observe que sempre que efetuarmos a adição de um número com o seu oposto (simétrico) o resultado será igual a 0. Desta forma: 6

7 5 + 5 = = = 0 Podemos então definir a operação subtração da seguinte maneira: a b = a + ( b) a a b= c b c minuendo subtraendo diferença Rapidamente percebemos que a subtração não é uma operação comutativa. Basta olhar, por exemplo, que 5 3 = 2 e 3 5 = - 2. A subtração também não goza da propriedade associativa e não possui elemento neutro. Podemos afirmar que o conjunto dos números inteiros é FECHADO em relação à subtração. Ou seja, se você vai calcular a diferença entre dois números inteiros, com certeza o resultado será um número inteiro. Observe ainda que todos os números naturais são números inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Dizemos que o conjunto dos números naturais é subconjunto dos números inteiros. Regras dos sinais com números inteiros ( a) = a a ( b) = ( a) b= ( a b) = ab ( a) ( b) = ab As observações acima são conhecidas como Regra dos sinais para a multiplicação (e divisão) de inteiros. Sinais dos números iguais diferentes Resultado positivo negativo 7

8 Exemplos: Vejamos como realizar a adição e a subtração com números inteiros. Se os números possuírem sinais iguais, devemos adicionar os números e repetir o sinal = = 5 Se os números possuírem sinais opostos, devemos subtrair os números e repetir o sinal do maior = = 3 Mais um exemplo: precisamos realizar a operação Como proceder? Estes números possuem sinais opostos, portanto calculamos a diferença entre eles ( = 123) e repetimos o sinal do maior, que é negativo. Portanto, = 123. Lembremos ainda da hierarquia das operações vistas até agora. Se não houver parênteses, devemos realizar primeiro multiplicação e divisão, depois adição e subtração. Exemplo: Neste caso, fazemos primeiro multiplicação e divisão = = 11 8