Veja, no quadro a seguir, as principais mudanças ocorridas nos símbolos indoarábicos,

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1 PROJETO DE EXTENSÃO ENSINANDO E APREDENDO MATEMATICA UNAMA Universidade da Amazônia Nível Fundamental II (5ª série) Professora: Vanessa Costa 1. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO INDO- ARÁBICO OU SISTEMAS DE NUMERAÇÃO DECIMAL: Os hindus, que viviam no vale do Rio Indo, onde hoje é o Paquistão, conseguiram desenvolver um sistema de numeração que reunia as diferentes características dos antigos sistemas. Tratava-se de um sistema posicional decimal. Posicional porque um mesmo símbolo representava valores diferentes, dependendo da posição ocupada; decimal porque eram feitos agrupamentos de dez em dez. Esse sistema posicional decimal, criado pelos hindus, corresponde ao nosso atual sistema de numeração, já estudado por você nas séries anteriores. Por terem sido os árabes os responsáveis pela divulgação desse sistema. Ele ficou conhecido como sistema de numeração indo-arábico. Os dez símbolos, utilizados para representar os números, denominam-se algarismos indo- arábicos. São eles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Veja, no quadro a seguir, as principais mudanças ocorridas nos símbolos indoarábicos, ao longo do tempo. Observação: Observe que, inicialmente, os hindus não utilizavam o zero. A criação de um símbolo para o nada, ou seja, o zero foi uma das grandes invenções dos hindus. 2. ALGARISMOS ROMANOS: A numeração romana é um sistema de numeração que usa letras maiúsculas, as quais são atribuídos valores. Os algarismos romanos são usados principalmente: Nos números de capítulos uma obra. Nas cenas de um teatro. Nos nomes de papas e imperadores. Na designação de congressos, olimpíadas, assembléias REGRAS: A numeração romana utiliza sete letras maiúsculas, que correspondem aos seguintes valores: Página 1

2 Letras Valores I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 XVI = 16 LXVI = 66 Se à direita de uma cifra romana se escreve outra igual ou menor, o valor desta se soma ao valor da anterior. VI = 6 XXI = 21 LXVII = 67 A letra "I" colocada diante da "V" ou de "X" subtrai uma unidade; a letra "X", precedendo a letra "L" ou a "C", lhes subtrai dez unidades e a letra "C", diante da "D" ou da "M", lhes subtrai cem unidades. IV = 4 IX = 9 XL = 40 XC = 90 CD = 400 CM = 900 Em nenhum número se pode pôr uma mesma letra mais de três vezes seguidas. Antigamente se via às vezes a letra "I" ou a "X" até quatro vezes seguidas. XIII = 13 XIV = 14 XXXIII = 33 XXXIV = 34 A letra "V", "L" e a "D" não podem se duplicar porque outras letras ("X", "C", "M") representam seu valor duplicado. Página 2

3 X = 10 C = 100 M = Se entre duas cifras quaisquer existe outra menor, o valor desta pertencerá a letra seguinte a ela. XIX = 19 LIV = 54 CXXIX = 129 O valor dos números romanos quando multiplicados por mil, colocam-se barras horizontais em cima dos mesmos. 3. NÚMEROS NATURAIS: Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos incluindo o zero. Representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,...} Quando for representar o Conjunto dos Naturais não nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N. Representado assim: N* = {1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,... } A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor de um número. 6 é o sucessor de 5. 7 é o sucessor de é antecessor de é o antecessor de 48. Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito. 3.1 QUANDO UM CONJUNTO É INFINITO? O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9,...} Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4} Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos. O conjunto dos alunos da classe. O conjunto dos professores da escola. O conjunto das pessoas que formam a população brasileira. 3.2 A ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS: A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo- arábicos, as adições podiam ser Página 3

4 realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos. 3.3 PROPRIEDADES DA ADIÇÃO: Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela. Página 4

5 3.4 O ALGORITMO DA SUBTRAÇÃO: Vimos que a subtração está ligada às idéias de tirar, comparar e completar. Na subtração 8-6, por exemplo, podemos ter as seguintes interpretações: Idéia de retirar De 8, tiro 6, restam... Idéia de comparar Quanto 8 é maior que 6? Ou Quanto 6 é menor que 8? Idéia de completar Tenho 6 para completar 8, faltam IMPORTANTE: Como estas três idéias estão associadas à mesma operação, convém que estudemos problemas envolvendo ora uma, ora outra idéia. Sendo a, b e c números quaisquer, a sentença matemática que traduz esta operação é: a - b = c a é o minuendo, b é o subtraendo, c é o restou ou diferença. No conjunto dos números naturais, para que seja possível efetuarmos a diferença entre dois números, é preciso que o minuendo seja maior que o subtraendo. No nosso exemplo, a > b a técnica operatória ou algoritmo da subtração sugere que se escreva o subtraendo a baixo do minuendo e se subtraia da direita para a esquerda. Observe o algoritmo da subtração, onde o minuendo é 375 e o subtraendo é 234: SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS NATURAIS: Um estádio de futebol colocou à venda ingressos de um clássico. Até agora já forma vendidos 700 ingresso. Quantos ingressos ainda têm à venda? Para resolvermos este problema, vamos usar a idéia de completar, então temos que calcular a diferença de ingressos à venda e a quantidade de ingressos que já foram vendidos: PROPRIEDADES DA SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS NATURAIS: Observe estas subtrações e tente resolve-las em uma folha: Você percebeu que não é possível resolver, pois o primeiro número é menor que o segundo. No conjunto dos números naturais, a diferença só existe quando o primeiro número (minuendo) for maior ou igual ao segundo número (subtraendo). Página 5

6 Fechamento: A subtração não possui a propriedade de fechamento, pois, por exemplo, o número 3 5 = -2 não pertence ao conjunto dos naturais Associatividade: A subtração não possui a propriedade de associatividade, pois, por exemplo, (3-5) - 2 não é igual (5-2) Existência de Elemento Neutro: Não existe elemento neutro na subtração pois, por exemplo, 0-3= -3 não pertence aos naturais Comutatividade: Não existe comutatividade na subtração, pois, por exemplo, 5 3 = 2 não é igual a 3 5 = EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM OS NÚMEROS NATURAIS: Nas expressões numéricas que apresentam somente adições e subtrações, as operações são feitas na mesma ordem em que elas estão, ou seja, da esquerda para a direita. Por exemplo: = = = LEI DE PRIORIDADE: {} Chaves = 3º [] Colchete = 2º () Parênteses = 1º Ex: {3+[2-1( )]} = EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Agora resolva estes exercícios, e escreva ao lado qual operação você utilizou para resolver o exercício: a) Em um ônibus cabem 35 pessoas sentadas e 20 pessoas em pé. Quantas pessoas cabem dentro deste ônibus? Dentro deste ônibus cabem pessoas. Operação utilizada: b) Gabriel comprou um saco com 20 balas. Ele deu 14 balas pra sua prima. Com quantas balas Gabriel ficou? Gabriel ficou com balas. Operação utilizada: c) Luiza tem 40 papéis de carta e Marina tem 60. Quantos papéis de carta Marina têm a mais que Luiza? Marina tem papéis de carta a mais que Marina. Operação utilizada: d) Mirella tem 12 bombons e ganhou mais 13 bombons da sua tia. Com quantos bombons Mirella ficou? Página 6

7 Mirella ficou com bombons. Operação utilizada: 2) Uma escola tem 330 alunos. Foi feita uma pesquisa com esses alunos, em relação à brincadeira que eles mais gostam, e foram adquiridos os seguintes dados: 110 gostam de brincar de esconde-esconde 90 preferem brincar de pega-pega O restante gosta de pular corda. Sendo assim, calcule quantas crianças gostam de brincar de pular corda? Para resolver este problema você precisa primeiramente somar a quantidade de crianças que gostam de esconde-esconde com a quantidade que gosta de pega-pega = Depois você subtrai o total de alunos com o resultado da primeira conta = O resultado será a quantidade de alunos que gostam de pular corda. Resposta: crianças gostam de pular corda. 3) João tem R$ 512,00 e Maria tem R$ 607,00. Nessa situação é verdade que: a) Juntos, eles têm R$ 1 107,00 b) Faltam R$ 90,00 a João para Ter o mesmo que Maria. c) Maria tem o dobro que João d) Maria tem R$ 95,00 a mais que João. 4) O menino e seu cão, juntos, têm 58 quilos. Se o menino tem 26 quilos a mais que o cão, quantos quilos têm o cão? a) 10 b) 16 c) 18 d) 42 5) Resolva as expressões numéricas: a) ( ) ( ) + (225+24) = b) = c) 50+ (63-17) 15= d) ( ) 23= e) ( ) 302= Página 7

8 Anotações Página 8