MATRIZES. Conceitos e Operações

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Neusa Carla Fidalgo Sampaio
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1 MATRIZES Conceitos e Operações

2 As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da ciência e da engenharia. Várias operações realizadas por computadores são através de matrizes. Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a altura de pessoas. Nome Peso(kg) Idade(anos) Altura(m) Ricardo 7,7 José, João, Pedro 8,7 Augusto,8

3 O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz e cada número é chamado elemento da matriz. 7, 7,, ou 8, 7, 8 7, 7,, 8, 7, 8 Conceito Uma matriz A mxn pode ser entendida como um conjunto de mxn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas e n colunas.

4 As Matrizes são representadas por letras maiúsculas e devem ser escritas com parênteses ou colchetes à esquerda e à direita. Seus elementos são indicados usando a mesma letra, porém minúscula, com a linha e coluna usados como índice (nesta ordem). Assim, o elemento na ª linha e da ª coluna da matriz A será a. Assim, na matriz abaixo, de linhas e colunas, temos:

5 Exemplos: A 7 8 matriz de ordem x ( linhas e colunas) B matriz de ordem x ( linha e colunas) C, matriz de ordem x ( linhas e coluna)

6 Representação Algébrica a a a m a a a m... a a a n mn n com m e n * Pode-se abreviadamente representar a matriz acima por A = (aij) n x m a ij = i linha j coluna

7 Exemplos:. Achar os elementos da matriz A = (aij) x em que aij = i j. A 8 7. Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem, definida por ij,. se ij aij, se ij A

8 Tipos de Matrizes Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual ao de colunas. Matriz Transposta: É a matriz que se obtém trocando ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz dada. Se B = (b ij ) mxn é transposta de A = (a ij ) mxn, então b ij = a ij. A T A

9 Propriedades da Transposta: A B A t B t A t t A t t K. A K. A (K real) t t t A B A B ( no produto de A.B, inverte a ordem) t A. B B t. A t

10 Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a e os demais elementos iguais a zero. Ex: matriz identidade de ª ordem A matriz identidade de ª ordem B diagonal principal

11 A Matriz Linha: Matriz Coluna: B Matriz Nula: é a matriz que tem todos os elementos iguais a zero.

12 Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Matriz Triangular Inferior Matriz Triangular Superior

13 Igualdade de Matrizes Devem ter a mesma ordem: mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Os elementos devem ser iguais aos seus correspondentes. A matriz A x é igual a matriz B se, somente se, a matriz B tiver também a ordem x e os elementos a = b, a = b, a = b e a = b.

14 Adição e subtração de Matrizes A soma de duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) mxn de mesma ordem é uma matriz C = (a ij ) mxn tal que C = a ij + b ij. A subtração de matrizes é dada pela sentença: A B = A + ( B )

15 Propriedades da adição de Matrizes a) A + B = B + A (COMUTATIVA) b) (A + B) + C = A + (B + C) (ASSOCIATIVA) c) A + = + A = A (ELEMENTO NEUTRO) d) A + (-A) = (-A) + A = (ELEMENTO OPOSTO

16 Para multiplicar um número real por uma matriz basta multiplicar esse número por cada elemento da matriz. Formalmente:.,,. ;. j i a k b B A k ij ij Exemplo: 8 x x x Observação: X X X Produto de uma matriz por um escalar

17 Exemplos: )Considere as matrizes B. A e Calcular: a)a - B b) A + B

18 Exemplo: Dadas as matrizes B. A e, determine X tal que BAX X / / / /

19 Multiplicação de Matrizes Durante a ª fase da Copa do Mundo de 998 (França), o grupo do Brasil era formado também pela escócia, Marrocos e Noruega. Os resultados estão registrados abaixo em uma matriz A, de ordem x. País Vitória Empate Derrota Brasil Escócia Marrocos Noruega Então: A

20 A pontuação pode ser descrita pela matriz B, de ordem x Número de Pontos Vitória Empate Derrota Então: B

21 Terminada a ª fase a pontuação é obtida com o total de pontos feitos por cada país. Essa pontuação pode ser registrada numa matriz que é representada por AB (produto de A por ). Veja como é obtida a classificação: Brasil : Escócia : Marro cos : Noruega : Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicação de matrizes. Observe a relação que existe entre as ordens das matrizes: AB x BA x AB x

22 Observe que definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas de A for igual ao de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B. Exemplo: A nm B pn AB pm A x Calcular: a) AB b) BA e B x Resp. a) x

23 Observações: - Propriedade Comutativa A.B = B.A, não é válida na multiplicação de matrizes. - Se ocorrer AB = BA, dizemos que as matrizes se comutam. Se A e B são matrizes tais que AB = (matriz nula), não podemos garantir que uma delas (A ou B) seja nula. Exemplo: A e B A.B =.

24 EXERCÍCIOS. Efetue as multiplicações: Idéia básica: Linha vezes coluna!!! () () () 7 7

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