Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 5 27 de agosto de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

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1 Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 5 27 de agosto de 200 Aula 5 Pré-Cálculo

2 Expansões decimais: exemplo Números reais numericamente = = = Como representar o número em uma reta numérica? Aula 5 Pré-Cálculo 2 Aula 5 Pré-Cálculo 8 Expansões decimais: exemplo Expansões decimais: exemplo = = Aula 5 Pré-Cálculo 3 Aula 5 Pré-Cálculo 7

3 Expansões decimais: exemplo Expansões decimais: exemplo = = Aula 5 Pré-Cálculo 2 Aula 5 Pré-Cálculo 25 Expansões decimais: exemplo 2 Expansões decimais: exemplo = = = = [ ( ) 2 ( ) 3 = ] 0 0 [ ] ( ) /0 = 3 (/0) 0.3 = = 3. Em ( ) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica. Aula 5 Pré-Cálculo 34 Aula 5 Pré-Cálculo 39

4 Expansões decimais: exemplo 2 Expansões decimais: exemplo = = Aula 5 Pré-Cálculo 43 Aula 5 Pré-Cálculo 47 Expansões decimais: exemplo 2 Expansões decimais: exemplo = = = E assim por diante = = [ ( ) 2 ( ) 3 = ] 0 0 [ ] ( ) /0 = 9 (/0) =. Em ( ) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica. Aula 5 Pré-Cálculo 5 Aula 5 Pré-Cálculo 60

5 Expansões decimais: exemplo 3 Expansões decimais 0.9 = Moral: existem números reais que possuem duas expressões decimais diferentes! (Ir para o GeoGebra) Aula 5 Pré-Cálculo 6 Aula 5 Pré-Cálculo 62 Expansões decimais Não exploraremos mais o assunto aqui! Isto será feito na disciplina Matemática Básica! Números reais algebricamente (axiomaticamente) Aula 5 Pré-Cálculo 63 Aula 5 Pré-Cálculo 64

6 Números reais algebricamente (axiomaticamente) R é um corpo O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) e multiplicação ( ) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades: A partir do conjunto dos números naturais, é possível construir o conjunto dos números reais (R): um corpo ordenado completo. Não faremos esta construção aqui, mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo. (C) (C2) (C3) (C4) (C5) (C6) (C7) Fechamento: a + b R e a b R, a, b R. Comutatividade: a + b = b + a e a b = b a, a, b, R. Associatividade: a +(b + c) =(a + b)+c e a (b c) =(a b) c, a, b, c R. Distributividade: a (b + c) =a b + a c, a, b, c R. Existência dos elementos neutros: 0 R tal que a + 0 = a, a R. R tal que a = a, a R. Existência do elemento simétrico: a R, b R tal que a + b = 0. Notação: b = a. Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero: a R {0}, b R tal que a b =. Notações: b = a e b = /a. Aula 5 Pré-Cálculo 70 Aula 5 Pré-Cálculo 93 Observações A notação a b significa a b. A notação a b significa a+( b). O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dos números complexos (C) munidos com as operações usuais de adição e multiplicação também são exemplos de corpos, pois satisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo. Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumas das propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo, a multiplicação de matrizes não é comutativa: [ ] [ ] a =, b =, a b b a. 0 0 Todas as proposições abaixo são verdadeiras! As demonstrações serão feitas na disciplina Matemática Básica. O elemento neutro da adição é único. [PA0] O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02] 0 + a = a, a R. [PA03] a = a, a R. [PA04] Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05] Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06] a + a = 0, a R. [PA07] (/a) a =, a R {0}. [PA08] ( a) =a, a R. [PA09] /(/a) =a, a R {0}. [PA0] (b + c) a = b a + c a, a, b, c R. [PA] a 0 = 0 a = 0, a R. [PA2] ( ) a = a = a ( ), a R. [PA3] (a b) =( a) b = a ( b), a, b R. [PA4] ( a) ( b) =a b, a R. [PA5] Aula 5 Pré-Cálculo 02 Aula 5 Pré-Cálculo 20

7 Todas as proposições abaixo são verdadeiras! As demonstrações serão feitas na disciplina Matemática Básica. Todas as proposições abaixo são verdadeiras! As demonstrações serão feitas na disciplina Matemática Básica. a b c = a b c = a b, a, b R, c R {0}. c [PA6] a = a =, a R {0}. a [PA7] a b = a, a, b R {0}. b [PA8] a b c d = a c b, a, b R, c, d R {0}. d [PA9] a + b c = a c + b, a, b R, c R {0}. [PA20] c a/b = b, a, b R {0}. a [PA23] a/b c/d = a b d, a R, b, c, d R {0}. c [PA24] (a + b) = a b, a, b R, c, d R {0}, a, b R. [PA2] a + b c = a b, a, b R, c R {0}. [PA22] c Aula 5 Pré-Cálculo 28 Aula 5 Pré-Cálculo 3 [PA25] [PA27] a, b, c R, a = b a c = b c. a, b, c R, a + c = b + c a = b. (Lei do Cancelamento da Adição) Qual é a recíproca desta proposição? Resposta: a, b, c R, a c = b c a = b. A recíproca é verdadeira? Resposta: não! a =, b = 2ec = 0 é um contraexemplo (verifique!). Aula 5 Pré-Cálculo 32 Aula 5 Pré-Cálculo 39

8 [PA28] [PA29] a, b R, c R {0}, a c = b c a = b. a, b R, a b = 0 a = 0oub = 0. (Lei do Cancelamento da Multiplicação) (Lei do Anulamento da Multiplicação) Aula 5 Pré-Cálculo 40 Aula 5 Pré-Cálculo 4 [PA30] [PA3] a, b, c R, a c = b c a = b ou c = 0. a, c R, b, d R {0}, a b = c d a d = b c. Aula 5 Pré-Cálculo 42 Aula 5 Pré-Cálculo 43

9 Resolvendo equações... Estas propriedades são úteis para se resolver equações! Resolvendo equações... 2 x 5 = 9 [PA27] (2 x 5)+5 = x x = x [PA27] x x x = x x (C3) 2 x +( 5 + 5) =9 + 5 [PA07] 2 x + 0 = 4 (C5) 2 x = 4 (C6) x x x = 0 (C5) x x x = 0 (C4) x (x ) =0 [PA29] x = 0 ou x = 0 [PA28] 2 (2 x) = 2 4 ( ) (C3) 2 2 x = 2 4 [PA08] x = 2 4 [PA04] x = 7. [PA27] x = 0 ou (x )+ = 0 + (C3) x = 0 ou x +( + ) =0 + [PA07] x = 0 ou x + 0 = 0 + (C5) x = 0 ou x = Aula 5 Pré-Cálculo 62 Aula 5 Pré-Cálculo 8 O que está errado neste argumento? x = x 2 = x x 2 = x (x ) (x + ) =x (x ) (x + ) x x + = x = 0 = x x É verdade que x = x 2 = x, mas é falso que x 2 = x x =. Apenas para x, # # (x ) (x + ) x = x (x ) (x + ) =x. x Resolvendo equações... # Verdadeiro ou falso? x x 3 = 0 = 0 #! x x 3 = 0 = = 0 (x = 0 é um contraexemplo) x x 3 = 0 = = 0! x x 3 = 0 = 0 e x x 3 0 Aula 5 Pré-Cálculo 92 Aula 5 Pré-Cálculo 20

10 Cuidado com as implicações e equivalências! x x 3 = 0 = = 0 = x (2 x 5) =0 = x = 0 ou 2 x 5 = 0 Cuidado com as implicações e equivalências! x x 3 = 0 = = 0 = x (2 x 5) =0 = x = 0 ou 2 x 5 = 0 = x = 0 ou x = 5 2 = x = 0 ou x = 5 2 Cuidado! Toda solução de x x 3 = 0 é solução de = 0, mas nem toda solução de = 0 é solução de x x 3 = 0! Cuidado! Você pode usar implicações ( ) para resolver equações, mas nem todo número obtido no final pode ser solução da equação original. Aula 5 Pré-Cálculo 209 Aula 5 Pré-Cálculo 2 Cuidado com as implicações e equivalências! x x 3 = 0 = = 0 = x (2 x 5) =0 = x = 0 ou 2 x 5 = 0 = x = 0 ou x = 5 2 Cuidado! É preciso tirar a prova real! Cuidado com as implicações e equivalências! Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece! x x 3 = 0 = 0 e x x 3 0 x (2 x 5) =0 e x ( x 2 ) 0 x (2 x 5) =0 e x ( x) ( + x) 0 [ x = 0oux = 5 ] [ ] e x 0ex ex 2 x = 5 2 x = 0 não é solução da equação x x 3 = 0! Aula 5 Pré-Cálculo 23 Aula 5 Pré-Cálculo 220