PLANO DE AULA IDENTIFICAÇÃO

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Daniela Bardini Angelim
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1 PLANO DE AULA IDENTIFICAÇÃO Escola: IFC Campus Avançado Sombrio Município: Sombrio Disciplina: Matemática Série: 2 ano Nível: Ensino médio Professor: Giovani Marcelo Schmidt Tempo estimado: Cinco aulas (45min cada aula, três aulas de conteúdo um trabalho e uma de avaliação). TEMA: Matrizes. Subtema: Conceito de matrizes, denominações especiais das matrizes, operações com matrizes. JUSTIFICATIVA O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática e Física o que torna importante sua aprendizagem. OBJETIVOS a) Realizar a criação de matrizes b) Perceber e resolver problemas que envolvam uma matriz

2 CONTEÚDOS ENVOLVIDOS Conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da aula o domínio das operações básicas da matemática adição, subtração e multiplicação. 6.1 Recursos: Lousa, pincel e televisão. 6.2 Técnicas: Aula expositiva e dialogada, usando resoluções de problemas. PROCEDIMENTOS Operacionalizações da aula Progressão Geométrica As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. Nos assuntos ligados à álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas, observe:, matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna)., matriz de ordem 3 x 2. (3 linhas e 2 colunas), matriz de ordem 4 x 2. (4 linhas e 2 colunas), matriz de ordem 1 x 4. (1 linha e 4 colunas)

3 As matrizes com número de linhas e colunas iguais são denominadas matrizes quadradas. Observe:, matriz quadrada de ordem 2 x 2., matriz quadrada de ordem 3 x 3. Portanto, temos:, matriz quadrada de ordem 4 x 4. aij, onde i = linhas e j = colunas. a 11 =2 a 12 =5 a 21 =7 a 22 9 Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação baseada em situações variadas. Por exemplo, vamos construir uma matriz de ordem 3 x 3, seguindo a orientação a ij = 3i + 2j. i j. Vamos escrever a matriz B dada por (a ij )4x4, de modo que i + j, se i = j e i j, se A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz, independentemente da operação utilizada. Antes de falarmos da adição e da subtração de matrizes, iremos relembrar do que uma

4 matriz é formada: toda matriz tem seus elementos que são dispostos em linhas e colunas. A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1. Cada elemento vem representado com a linha e a coluna que pertence. Exemplo: Dada uma matriz B de ordem 2 x 3 o elemento que se encontra na 1º linha e 2 coluna será representado por b 12. Denominações especiais das matrizes Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[ ], do tipo 1 x 4. Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo,, do tipo 3 x 1 Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2. Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos a ij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1. Veja: Observe a matriz a seguir:

5 a 11 = -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1 a 31 = 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 (3 + 1 = 3 + 1) Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0 m x n. Por exemplo,. Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo: Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por I n, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo: Assim, para uma matriz identidade. Matriz transposta: matriz A t obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

6 Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A t é do tipo n x m. Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de A t e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de A t. Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = A t. Por exemplo, ou seja, temos sempre a ij = a ij. é simétrica, pois a 12 = a 21 = 5, a 13 = a 31 = 6, a 23 = a 32 = 4, Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo,. Igualdade de matrizes Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:. Operações com matrizes Adição Dadas as matrizes, chamamos de soma dessas matrizes a matriz, tal que C ij = a ij + b ij, para todo : A + B = C Exemplos:

7 Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo. Propriedades Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição: a) comutativa: A + B = B + A b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C) c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0 Subtração Dadas as matrizes, chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B: Observe: - B ) A - B = A + ( Multiplicação de um número real por uma matriz Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, b ij = xa ij : Observe o seguinte exemplo: B = x.a Propriedades Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: a) associativa: x. (ya) = (xy). A b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x. (A + B) = xa + xb c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y). A = xa + ya d) elemento neutro : xa = A, para x=1, ou seja, A=A

8 Subtração Ministério da Educação As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem. Assim temos: Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a 21 b 21 = c 21. Exemplos: Dada a matriz A = 3 x 3 e B = 3 x 3, se subtrairmos A B, teremos: - = 3 x 3 Observe os elementos destacados: Quando subtraímos a 13 b 13 = c 13, -1 (-5) = = 4 Quando subtraímos a 31 b 31 = c 31, - 4 (-1) = = -3 Assim A B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B. Multiplicação de matrizes O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos. Assim, o produto das matrizes A = ( a ij ) m x p e B = ( b ij ) p x n é a matriz C = (c ij ) m x n em que cada elemento c ij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B. Vamos multiplicar a matriz obtém cada C ij : 1ª linha e 1ª coluna para entender como se 1ª linha e 2ª coluna

9 2ª linha e 1ª coluna 2ª linha e 2ª coluna Assim,. Observe que: Portanto, propriedade comutativa..a, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a Vejamos outro exemplo com as matrizes :

10 Da definição, temos que a matriz produto A. B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B: de B(n): A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas Se A 3 x 2 e B 2 x 5, então ( A. B ) 3 x 5 Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A. B ) 4 x 1 Propriedades Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades: a) associativa: ( A. B). C = A. ( B. C ) b) distributiva em relação à adição: A. ( B + C ) = A. B + A. C ou ( A + B ). C = A. C + B. C c) elemento neutro: A. I n = I n. A = A, sendo I n a matriz identidade de ordem n Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A.B =0 m x n não implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n. AVALIAÇÃO Critérios Compreensão dos assuntos abordados, interesse e participação nas atividades propostas, assiduidade e resolução da lista de exercícios, podendo estipular valores. Instrumentos Aplicação de um trabalho e aplicação de prova. Referências RAMOS, Danielle de Miranda. "Adição e Subtração de Matrizes"; Brasil Escola. Disponível em < Acesso em 20 de novembro de SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Matriz"; Brasil Escola. Disponível em < Acesso em 20 de novembro de 2017.

11 SÓMATEMÁTICA. Matrizes. Disponível em Acesso em 20 de Novembro de 2017.

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