ÁLGEBRA LINEAR. Espaços Vetoriais. Prof. Susie C. Keller

Transcrição

1 ÁLGEBRA LINEAR Espaços Vetoriais Prof. Susie C. Keller

2 Introdução Com doze andares de altura e pesando 75 toneladas, o US Columbia partiu majestosamente de sua plataforma de lançamento numa manhã fresca num domingo de abril de 1981, em Palm. Produto de dez anos de intensa pesquisa e desenvolvimento, o primeiro ônibus espacial dos EUA foi uma vitória da engenharia de controle de sistemas, envolvendo muitas áreas da engenharia - aeronáutica, química, elétrica, hidráulica e mecânica.

3 Introdução Os sistemas de controle do ônibus espacial são absolutamente críticos para o vôo. Como o ônibus espacial é uma aeronave instável, ele requer um constante monitoramento por computador durante o vôo atmosférico. O sistema de controle de vôo envia uma seqüência de comandos para as superfícies de controle aerodinâmico e 44 jatos de propulsão. Este esquema é um sistema fechado de feedback típico que controla a inclinação do ônibus espacial durante o vôo. O símbolo em destaque é onde os sinais dos diversos sensores são somados aos sinais do computador e fluem para o controlador.

4 Introdução

5 Introdução Matematicamente, os sinais de entrada e saída de um sistema de engenharia são funções. É importante para as aplicações que essas funções possam ser somadas e multiplicadas por escalares. Essas operações em funções têm propriedades algébricas que são completamente análogas às operações de soma de vetor e multiplicação de vetor por escalar no IR n.

6 Introdução Por este motivo, o conjunto de todas as entradas possíveis (funções) é chamado de um espaço vetorial. A fundamentação matemática para a engenharia de sistemas repousa sobre os espaços vetoriais de funções, portanto precisamos entender a teoria de vetores do IR n de modo a incluir as funções. (Texto extraído e adaptado de Livro Álgebra Linear e suas aplicações, David C. Lay, 2ªedição. LTC.).

7 Introdução Veremos hoje: O que são Espaços Vetoriais: Propriedades dos Espaços Vetoriais,

8 Introdução O conjunto IR 2 = {(x,y) / x, y IR} é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano. Um par ordenado (x,y) pode representar: um ponto, x e y são coordenadas; um vetor, (x,y) representam a extremidade do vetor.

9 Introdução Essa idéia pode ser estendida para o IR 3 que representa o espaço tridimensional. Podemos ter espaços n-dimensionais formados por e- nuplas de reais, IR 4, IR 5..., IR n, porém perde-se a interpretação geométrica. O espaço n-dimensional é definido por IR n = {(x 1,x 2,...,x n ) / x i IR}

10 Introdução Vamos considerar agora dois conjuntos: IR n Matrizes M(m,n) ou M mxn Nesses conjuntos estão definidas as operações: Soma e Multiplicação por escalar, Assim, esses conjuntos possuem uma série de propriedades em comum.

11 Introdução Se u, v e w IR n, se, IR e A, B, C M(m,n), temos: A) Em relação à Adição valem as propriedades: 1) (u + v) + w = u + (v + w) (A + B) + C = A + (B + C) Associativa da Adição 2) u + v = v + u A + B = B + A 3) u + 0 = u A + 0 = A Comutativa da Adição Existência do Elemento Neutro

12 Introdução O elemento zero, 0, será um vetor na primeira igualdade e uma matriz nula na segunda igualdade. 4) u + (-u) = 0 A + (-A) = 0 Existência do Elemento Simétrico Por exemplo se u = (x 1, x 2,..., x n ) então o vetor simétrico é -u = (-x 1, -x 2,..., -x n ) e para A temos -A.

13 Introdução B) Em relação à Multiplicação por Escalar valem as propriedades: 1) ( )u = ( u) ( )A = ( A) Associativa em relação ao Escalar 2) ( + )u = u + u ( + )A = A + A 3) (u + v) = u + v (A + B) = A + B Distributiva em relação ao Escalar Distributiva em relação ao Vetor (ou Matriz) 4) 1u = u 1A = A Existência do Elemento Neutro

14 Introdução Os conjuntos IR n e M(m,n) munidos desse par de operações apresentam uma estrutura comum em relação a estas operações. Existem outros conjuntos numéricos que também apresentam essa estrutura comum. Esses conjuntos são chamados ESPAÇOS VETORIAIS.

15 Espaços Vetoriais Espaço Vetorial Real Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, isto é: u, v V, u + v V IR, u V, u V O conjunto V com essas duas operações é chamado espaço vetorial real se forem verificados os seguinte axiomas:

16 Espaços Vetoriais Em relação à Adição: A 1 ) (u + v) + w = u + (v + w), u, v, w V A 2 ) u + v = v + u, u, v V A 3 ) 0 V, u V, u + 0 = u A 4 ) u V, (-u) V, u + (-u) = 0

17 Espaços Vetoriais Em relação à Multiplicação por Escalar: M1) ( )u = ( u) M2) ( + )u = u + u M3) (u + v) = u + v M4) 1u = u u, v V e, IR

18 Espaços Vetoriais Nota: Um axioma é uma hipótese inicial do qual outros enunciados são logicamente derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição, um enunciado ou uma regra que permite a construção de um sistema formal.

19 Espaços Vetoriais Observações: Os elementos de um espaço vetorial são chamados de vetores, independentemente de sua natureza (vetores, matrizes, R n, polinômios...); Se considerarmos conjuntos de nº complexos, definimos um espaço vetorial complexo.

20 Espaços Vetoriais Exemplo 1: O conjunto V = IR 2 = {(x, y)/ x, y IR} é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) (x, y) = ( x, y) Essas operações são denominadas operações usuais.

21 Espaços Vetoriais Para verificar os oito axiomas do espaço vetorial, sejam u = (x 1, y 1 ), v = (x 2, y 2 ) e w = (x 3, y 3 ): Em relação à Adição:

22 Espaços Vetoriais

23 Espaços Vetoriais

24 Espaços Vetoriais Em relação à Multiplicação por Escalar

25 Espaços Vetoriais

26 Espaços Vetoriais

27 Espaços Vetoriais

28 Espaços Vetoriais Exemplo 2: Podemos ter as operações de soma e multiplicação por escalar redefinidas e ainda assim o conjunto ser um Espaço Vetorial: O conjunto V = {(x, x 2 )/x IR} com as operações definidas por: é um espaço vetorial sobre IR ) ( 2 ) ( x x x x x x x x x x

29 Espaços Vetoriais Contra - exemplo: O conjunto IR 2 = {(a, b)/a, b IR} não é um espaço vetorial em relação às operações assim definidas: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) k(a, b) = (ka, b), k IR A Adição aqui definida é a usual, portanto os axiomas A1, A 2, A 3, e A 4 são satisfeitos como visto no Exemplo1. Já a Multiplicação por escalar é redefinida, o que ocasiona o problema.

30 Espaços Vetoriais Sejam u = (x1, y1), v = (x2, y2) e, IR: Este axioma se verifica!!!

31 Espaços Vetoriais Como pode-se ver ( + )u u + u Assim M 2 não se verifica e o exemplo não é um espaço vetorial.

32 Espaços Vetoriais Propriedades dos Espaços Vetoriais I) Existe um único vetor nulo em V. II) Cada vetor u V admite apenas um simétrico -u V. III) Para quaisquer u, v, w V, se u + w = v + w, então u = v. IV) Qualquer que seja v V, tem-se: -(-v) = v, isto é, o oposto de v é v. V) Quaisquer que sejam u, v V, existe um e somente um x, tal que u + x = v.

33 Espaços Vetoriais VI) Qualquer que seja v V, 0v = 0. O primeiro zero é um número real e o segundo zero é um vetor nulo. VII) Qualquer que seja k IR, k0 = 0. VIII) kv = 0, implica k = 0 ou v = 0. IX) Qualquer que seja v V, (-1)v = -v. X) Quaisquer que sejam v V e k IR, (-k)v = k(-v) = -(kv).