a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn

Transcrição

1 Matrizes Definição Definição Uma matriz m n é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a m1 a m a mn Embora a rigor matrizes possam ter quaisquer tipos de elementos, desde que seus elementos sejam todos do mesmo tipo, neste curso em nível introdutório lidaremos apenas com matrizes cujos elementos são números reais; por esse motivo, tais matrizes são chamadas de matrizes reais A definição matematicamente precisa para uma matriz real A, m n, é a seguinte: A é uma função A : [1, m [1, n R; ao invés da notação usual para funções aplicadas em elementos A(i, j), para matrizes usa-se a notação indexada A ij Quando se fala de matrizes, esta definição é implicitamente entendida, mas ninguém se refere a matrizes como funções de modo explícito Ficamos satisfeitos com a compreensão intuitiva e a fácil visualização proporcionada pela definição pouco rigorosa anterior Exemplo 1 4 π é uma matriz 4 A i-ésima linha de A é [ ai1 a i a in onde i 1,, m, isto é, i pode ser qualquer número entre 1 e m A j-ésima coluna de A é a 1j a j a mj onde j 1,, n, isto é, j pode ser qualquer número entre 1 e n Exemplo A a linha da matriz A do Exemplo 1 é [ 7 1 1

2 A a coluna de A é Matrizes em geral são denotadas na forma ou simplesmente π (a ij ) m n, (a ij ), quando não há necessidade de enfatizar a dimensão m n da matriz Existem duas notações padrão para um elemento individual de uma matriz: a ij ou [A ij representam o elemento da matriz A que ocupa a posição ij, ou seja, está na linha i e na coluna j Duas matrizes (a ij ) m n e B (b lk ) l k são iguais se e somente se elas têm o mesmo tamanho, isto é, m l e n k, e se os elementos que ocupam posições iguais são iguais, isto é, a ij b ij Exemplo (Matriz como um modelo para a apresentação de dados) Vários tipos de pesticidas são absorvidos de maneira diferente por plantas diversas Uma matriz pode ser usada para apresentar os dados obtidos em observações sobre a quantidade de três pesticidas diferentes absorvidos por quatro plantas determinadas: seja a ij quantidade do pesticida i absorvido pela planta j (em mg) em um mês chuvoso; então (a ij ) 4 é a tabela Operações com Matrizes Soma de Matrizes Planta 1 4 Planta 1 Planta 4 6 Planta Pesticida 1 Pesticida Pesticida A adição de matrizes é definida somente para matrizes de mesmo tamanho Se A e B são duas matrizes de mesmo tamanho m n, a soma destas duas matrizes, denotada A + B, é também uma matriz m n, cujo elemento na posição ij é definido como sendo a soma dos elemento de A e B que ocupam a posição ij Ou seja, se então C A + B é a matriz (c ij ) m n definida por Exemplo 4 Sejam Então (a ij ) m n e B (b ij ) m n, c ij a ij + b ij π e B 0 7 A + B π π

3 Multiplicação de uma Matriz por um Escalar Um escalar é qualquer número real Se A é uma matriz m n e α é um escalar, então o produto da matriz A pelo escalar α, denotado αa, é também uma matriz m n, cujo elemento na posição ij é definido como sendo o produto do elemento de A que ocupa a posição ij pelo escalar α Ou seja, se então C αa é a matriz (c ij ) m n definida por (a ij ) m n c ij αa ij Exemplo 5 Experimentalmente, verifica-se que durante um mês seco, a quantidade de pesticida absorvido por uma planta aumenta em 15 Portanto, em um mês chuvoso, a quantidade de pesticida i absorvido pela planta j (em mg) é representado pela matriz 15A, isto é, Supondo que tivemos três meses de chuva e quatro de seca nesta estação, a quantidade total de pesticida i absorvido pela planta j pode ser obtida diretamente consultando-se a matriz soma Por exemplo, a planta absorveu 9 mg do pesticida ; de todas as plantas foi a que absorveu a menor quantidade de pesticidas Já as plantas e 4 foram as que absorveram a maior quantidade de pesticidas, a planta tendo chegado a absorver 54 mg do pesticida Produto de Matrizes O produto de duas matrizes está definido quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda Se então C AB é a matriz (c ij ) m n definida por (a ij ) m p e B (b ij ) p n, c ij a ik b kj A notação de somatório é utilizada para evitar escrever expressões grandes, resumindo-as em um símbolo curto A expressão acima significa que os índices i, j são mantidos fixos, enquanto que o índice k varia desde k 1 até k p; em outras palavras, c ij a i1 b 1j + a i b j + a i b j + + a ip b pj ; para encontrarmos o elemento ij da matriz produto AB, multiplicamos cada um dos elementos da i-ésima linha de A pelo correspondente elemento da j-ésima coluna de B (como as linhas de A têm o mesmo número de elementos que as colunas de B, não sobram nem faltam elementos) e somamos os p produtos obtidos

4 A notação de somatório é extremamente conveniente Assim, por exemplo, para calcular o elemento c 5 da matriz C, produto das matrizes A 7 0 e B 0 4, ao invés de escrevermos c 5 a 51 b 1 + a 5 b + a 5 b + a 54 b 4 + a 55 b 5 + a 56 b 6 + a 57 b 7 + a 58 b 8 + a 59 b 9 + a 5,10 b 10, + a 5,11 b 11, + a 5,1 b 1, + a 5,1 b 1, + a 5,14 b 14, + a 5,15 b 15, + a 5,16 b 16, + a 5,17 b 17, + a 5,18 b 18, + a 5,19 b 19, + a 5,0 b 0,, usando a notação de somatório podemos escrever simplesmente c 5 0 a 5k b k Não se assuste com a notação de somatório Compreenda-a bem, porque o seu intuito é simplificar a notação e economizar espaço; além disso, você vai-se deparar com ela em várias disciplinas do seu curso (inclusive, você vai aprender a lidar com somatório infinitos) Resolva os diversos exercícios do livro que empregam esta notação para se familiarizar bem com ela e sentir-se confortável em usá-la Exemplo 6 Sejam Então AB [ [ mas note que BA não está definida e B [ Por que a multiplicação de matrizes é definida de forma tão complicada? Em Matemática nada é definido de forma arbitrária como é o caso de um jogo de xadrez, por exemplo As definições só existem à medida em que elas são úteis O exemplo a seguir mostra um dos motivos por que o produto de matrizes é definido da forma como é Existem inúmeros outros motivos, todos eles conectados ao uso das matrizes como modelos de certos processos matemáticos usados no estudo dos fenômenos físicos (um deles veremos na próxima aula: o uso de matrizes para simplificar a notação de sistemas lineares e para resolver os mesmos) Exemplo 7 Suponhamos que a matriz B (b ij ) representa a quantidade da planta i que o herbívoro j consome por mês: Animal 1 Animal Animal Planta 1 B Planta Planta Planta 4 Então a matriz produto AB dá a quantidade de pesticida i que o herbívoro j absorveu em um mês chuvoso devido ao seu consumo das plantas (assumindo que todo o pesticida contido nas plantas é absorvido pelo animal) Por exemplo, a quantidade de pesticida que o herbívoro absorveu é dada por AB [ mg Animal Animal Animal , Pesticida 1 Pesticida Pesticida

5 A Transposta de uma Matriz A transposta de uma matriz é obtida transformando linhas em colunas O efeito disso é que o elemento que ocupava a posição ij passa a ocupar a posição ji Ou seja, se (a ij ) m n, então Exemplo 8 Se então A t (a ji ) n m [ A t , Propriedades das Operações com Matrizes Propriedades da Soma 1) Comutatividade Porque A + B B + A [A + B ij a ij + b ij b ij + a ij [B + A ij ) Associatividade Porque A + (B + C) (A + B) + C [A + (B + C) ij a ij + (b ij + c ij ) (a ij + b ij ) + c ij [(A + B) + C ij ) Existência de Elemento Neutro Definindo a matriz nula 0 m n como sendo a matriz 0 0 0, 0 0 temos A A 4) Existência de Elemento Simétrico Definindo a matriz A como sendo ( 1)A, temos A + ( A) 0 A existência do simétrico para qualquer matriz permite definir a operação de subtração de matrizes: A B A + ( B) 5

6 Propriedades da Multiplicação por Escalar Não faz sentido falar em comutatividade para esta operação, já que ela envolve operandos de naturezas completamente diferentes: um é um número, enquanto que o outro é uma matriz 1) Associatividade α(βa) (αβ)a ) Distributividade (α + β) αa + βa, α(a + B) αa + αb ) Existência de Elemento Neutro Propriedades do Produto 1 A Como o produto de matrizes é definido de forma complicada, as propriedades satisfeitas pela multiplicação de números reais em geral não valem para a multiplicação de matrizes Por exemplo, o produto de matrizes em geral não é comutativo, mesmo quando ambos os produtos AB e BA estão definidos Exemplo 9 Sejam Então [ 1 4 [ e B [ [ [ AB ; [ [ [ B Algumas das outras propriedades são satisfeitas: 1) Associatividade A(BC) (AB)C De fato, se (a ij ) m p, B (b ij ) p q e C (c ij ) q n, então os produtos estão todos definidos e nós temos [A(BC) ij ) Distributividade a ir [BC rj r1 q s1 r1 b rs c sj ) ( q a ir r1 s1 r1 ( q ) (a ir b rs ) c sj a ir b rs c sj s1 r1 A(B + C) AB + AC, (A + B)C AC + BC q a ir (b rs c sj ) s1 r1 s1 q [AB is c sj [(AB)C ij s1 q (a ir b rs ) c sj 6

7 ) α(ab) (αa)b A(αB) É um bom exercício de treinamento da notação de somatório provar as propriedades ) e ) acima 4) Existência de Elemento Neutro Defina a matriz identidade I n como sendo a matriz I 0 0 1, ou seja, a matriz quadrada n n cujos elementos são 1, ocupando todas as posições na diagonal principal, e 0, ocupando as demais posições Se A é qualquer matriz m n, temos AI n I m A Assim, para o produto de matrizes quadradas n n, existe um elemento neutro: a matriz identidade I n Como para a multiplicação de matrizes quadradas existe um elemento neutro, podemos perguntar se toda matriz quadrada possui um elemento inverso para a operação de multiplicação, isto é, dada uma matriz quadrada A, n n, será que sempre existe uma matriz quadrada X, n n, tal que AX X I? A resposta a esta pergunta é não Embora todos os números reais possuem inversos multiplicativos com exceção do número 0, existe uma infinidade de matrizes diferentes da matriz nula 0 que não possuem inversos multiplicativos Por este motivo, não se define a operação de divisão de matrizes Exemplo 10 Se então não existe matriz B tal que AB I De fato, se então [ , [ x y B z w [ [ [ 1 1 x y x + z y + w AB 1 1 z w x + z y + w e não existem números x, z tais que ao mesmo tempo x + z 1 e x + z 0 O fato de o produto de matrizes não ser comutativo, juntamente com o fato de existirem infinitas matrizes além da matriz nula que não possuem inversos multiplicativos, fazem com que muitas propriedades trivialmente satisfeitas pelos números reais deixam de ser satisfeitas pelas matrizes 7

8 Propriedades da Transposta 1) (A t ) t A ) (A + B) t A t + B t ) (AB) t B t A t Esta é a única propriedade que não é óbvia Por outro lado, note que se o produto AB está definido, então o produto A t B t em geral não estará Vamos verificar esta propriedade: 4) (αa) t αa t [(AB) t ij [AB ji Polinômios de Matrizes a jk b ki [A t kj [B t ik [B t ik [A t kj [B t A t ij Assim como podemos definir polinômios de números reais x n, podemos também definir polinômios de matrizes (sempre que uma operação for associativa, é possível fazer isso) Definimos A n A } {{ A } n vezes Polinômios de matrizes são extremamente importantes, por exemplo no estudo de sistemas de equações diferenciais ordinárias Teste 1 Calcule A se Para quaisquer números reais a, b nós temos Será que [ 1 4 (a + b) a + ab + b, (a + b)(a b) a b (A + B) A + AB + B, (A + B)(A B) A B para quaisquer matrizes quadradas A, B de mesmo tamanho? 8