UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR

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1 UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR Departamento de Matemática Álgebra Linear e Geometria Analítica Livro do Professor Reginaldo Santos, adaptado pelo Professor Rogério Serôdio para os cursos na UBI 1 o Semestre Ano Lectivo 2007/2008 Cursos: Química Industrial Optometria - Ciências da Visão Matemática

2 Conteúdo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 1 11 Matrizes Operações com Matrizes Propriedades da Álgebra Matricial 3 12 Sistemas de Equações Lineares Método de Gauss-Jordan Matrizes Equivalentes por Linhas Sistemas Lineares Homogéneos 21 2 Inversão de Matrizes e Determinantes Matriz Inversa Propriedades da Inversa Método para Inversão de Matrizes Determinantes Propriedades do Determinante Matriz Adjunta e Inversão 45 3 Espaços R 2 e R Vectores no Plano e no Espaço Soma de Vectores e Multiplicação por um Escalar Norma e Produto Escalar Produto Vectorial Produto Misto Equações de Rectas e Planos Equação do Plano Equação da Recta Ângulos e Distâncias Ângulos Distâncias Posições Relativas de Rectas e Planos 88 4 Espaços e Subespaços R n Os Espaços R n Combinação Linear Independência Linear Subespaço, Base e Dimensão Espaço Linha e Espaço Coluna Característica e Nulidade Aplicação a Sistemas Lineares A Imagem de uma Matriz Transformações Lineares Definição, Exemplos e Propriedades Definição e Exemplos Propriedades A Imagem e o Núcleo Injectividade e Sobrejectividade Composição de Transformações Lineares Matriz de uma Transformação Linear 123 ii

3 Conteúdo iii 532 Invertibilidade Semelhança Diagonalização Diagonalização de Matrizes Motivação Valores Próprios e Vectores Próprios Diagonalização Diagonalização de Matrizes Simétricas Motivação Matrizes Ortogonais Aplicação na Identificação de Cónicas 144

4 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 11 Matrizes Operando com matrizes estamos utilizando uma forma compacta de fazermos operações com vários números simultaneamente Vamos definir operações matriciais análogas às operações com números e provar as propriedades que são válidas para essas operações Depois disto, o estudo envolvendo operações com vários números pode ser simplificado fazendo operações com as matrizes e usando as propriedades que já foram demonstradas Por exemplo, veremos que um sistema de várias equações lineares pode ser escrito em termos de uma única equação matricial Definição 11 Uma matriz A, m n (lê-se m por n), é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn A i-ésima linha e A é para i = 1,, m e a j-ésima coluna de A é a i1 a i2 a in, a 1j a 2j A =, a mj para j = 1,, n Usamos também a notação A = (a ij ) m n Dizemos que a ij ou A ij é o elemento ou a entrada de posição i, j da matriz A Se m = n, dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem n e os elementos a 11, a 22,, a nn formam a chamada diagonal (principal) de A Exemplo 11 Considere as seguintes matrizes: 1 2 A =, B = 3 4 D = , E =, C = 1 4 3, F = As matrizes A e B são 2 2 A matriz C é 2 3, D é 1 3, E é 3 1 e F é 1 1 De acordo com a notação que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das matrizes dadas acima são a 12 = 2, c 23 = 2, e 21 = 4, A 22 = 4 e D 12 = 3 Duas matrizes são consideradas iguais se elas têm o mesmo tamanho e os elementos homólogos são iguais ou seja, A = (a ij ) m n e B = (b ij ) p q são iguais se m = p, n = q e a ij = b ij para i = 1,, m e j = 1,, n Vamos agora introduzir as operações matriciais 3, 1

5 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares Operações com Matrizes Definição 12 A soma de duas matrizes de mesmo tamanho, A = (a ij ) m n e B = (b ij ) m n, é definida como sendo a matriz A + B = C = (c ij ) m n, obtida somando-se os elementos homólogos de A e B, ou seja, c ij = a ij + b ij, para i = 1,, m e j = 1,, n Escrevemos também A + B ij = a ij + b ij Exemplo 12 Considere as matrizes: A = , B = Se chamamos de C a soma das duas matrizes A e B, então C = A + B = 1 + ( 2) ( 4) = Definição 13 A multiplicação de uma matriz A = (a ij ) m n por um escalar (número) α é definida pela matriz αa = B = (b ij ) m n, obtida multiplicando-se cada elemento da matriz A pelo escalar α, ou seja, b ij = αa ij, para i = 1,, m e j = 1,, n Escrevemos também αa ij = αa ij Dizemos que a matriz B é um múltiplo escalar da matriz A Exemplo 13 O produto da matriz A = 3A = ( 3)( 2) ( 3) 1 ( 3) 0 ( 3) 3 ( 3) 5 ( 3)( 4) pelo escalar 3 é dado por = Definição 14 O produto de duas matrizes, tais que o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda, A = (a ij ) m p e B = (b ij ) p n é definido pela matriz obtida da seguinte forma: AB = C = (c ij ) m n, k=1 p para i = 1,, m e j = 1,, n Escrevemos também AB ij = a ik b kj k=1 c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pj (111) p = a ik b kj, (112) A equação (111) diz que o elemento i, j do produto é igual à soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B a 11 a 12 a 1p a i1 a i2 a ip a m1 a m2 a mp b 11 b 1j b 1n b 21 b 2j b 2n = b p1 b pj b pn c 11 c 1n c ij c m1 c mn Na equação (112) usamos a notação de somatório para escrever a equação (111) de forma compacta O p símbolo significa que fazemos uma soma em que o índice k varia de k = 1 até k = p k=1

6 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 3 Exemplo 14 Considere as matrizes: A = , B = Se chamamos de C o produto das duas matrizes A e B, então C = AB = 1( 2) ( 3) ( 3)( 4) 0 3( 2) ( 4) 0 = Observação 11 No exemplo anterior o produto BA não está definido (Por quê?) Entretanto, mesmo quando ele está definido, BA pode não ser igual a AB, ou seja, o produto de matrizes não é comutativo, como mostra o exemplo seguinte Exemplo 15 Sejam A = e B = Então, AB = e BA = Definição 15 A transposta de uma matriz A = (a ij ) m n é definida pela matriz A T = B = (b ij ) n m, obtida trocando-se as linhas com as colunas, ou seja, b ij = a ji, para i = 1,, n e j = 1,, m Escrevemos também A T ij = a ji Exemplo 16 As transpostas das matrizes 1 2 A =, B = 3 4 são A T = , B T = , C =, C T = , A seguir, mostraremos as propriedades que são válidas para a álgebra matricial Várias propriedades são semelhantes àquelas que são válidas para os números reais, mas deve-se tomar cuidado com as diferenças Uma propriedade importante que é válida para os números reais, mas não é válida para as matrizes é a comutatividade do produto, como foi mostrado no Exemplo 16 Por ser compacta, usaremos a notação de somatório na demonstração de várias propriedades Algumas propriedades desta notação estão explicadas no Apêndice I na página Propriedades da Álgebra Matricial Teorema 11 Sejam A, B e C matrizes com tamanhos apropriados, α e β escalares São válidas as seguintes propriedades para as operações matriciais: (a) (comutatividade da soma) A + B = B + A; (b) (associatividade da soma) A + (B + C) = (A + B) + C; (c) (elemento neutro da soma) Existe uma única matriz 0, m n, tal que A + 0 = A, para toda a matriz A, m n A matriz 0 é chamada matriz nula m n (d) (elemento simétrico) Para cada matriz A, existe uma única matriz B, tal que Representamos B por A A + B = 0

7 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 4 (e) (associatividade) α(βa) = (αβ)a; (f) (distributividade) (α + β)a = αa + βa; (g) (distributividade) α(a + B) = αa + αb; (h) (associatividade do produto) A(BC) = (AB)C; (i) (distributividade) A(B + C) = AB + AC e (A + B)C = AC + BC; (j) α(ab) = (αa)b = A(αB); (k) ( A T ) T = A; (l) (A + B) T = A T + B T ; (m) (AB) T = B T A T ; (n) (αa) T = αa T ; (o) A matriz, n n, chamada matriz identidade é tal que I n =, AI n = A, para toda matriza = (a ij ) m n e I nb = B, para toda matrizb = (b ij ) n m Demonstração: Para provar a igualdades acima, devemos mostrar que os elementos da matriz do lado esquerdo são iguais aos elementos correspondentes da matriz do lado direito Serão usadas várias propriedades dos números sem citá-las explicitamente (a) A + B ij = a ij + b ij = b ij + a ij = B + A ij (b) A + (B + C) ij = a ij + B + C ij = a ij + (b ij + c ij ) = (a ij + b ij ) + c ij = A + B ij + c ij = (A + B) + C ij (c) Seja X uma matriz m n tal que A + X = A (113) para qualquer matriz A, m n Comparando os elementos homólogos, temos que a ij + x ij = a ij, ou seja, x ij = 0, para i = 1,, m e j = 1,, n Portanto, a única matriz que satisfaz (113) é a matriz em que todos os seus elementos são iguais a zero Denotamos a matriz por 0 (d) Dada uma matriz A, m n, seja X uma matriz m n, tal que Comparando os elementos homólogos, temos que A + X = 0 (114) a ij + x ij = 0, ou seja, x ij = a ij, para i = 1,, m e j = 1,, n Portanto, a única matriz que satisfaz (114) é a matriz em que todos os seus elementos são iguais aos simétricos dos elementos de A Denotamos a matriz X por A (e) α(βa) ij = αβa ij = (αβ) A ij = (αβ)a ij (f) (α + β)a ij = (α + β)a ij = αa ij + βa ij = αa ij + βa ij = αa + βa ij α(a + B) ij = αa + B ij = α(a ij + b ij ) = αa ij + αb ij = αa ij + αb ij (g) = αa + αb ij (h) Sejam A, B e C matrizes m p, p q e q n, respectivamente A notação de somatório aqui pode ser muito útil, pelo facto de ser compacta p p q p q A(BC) ij = a ik BC kj = a ik b kl c lj = a ik (b kl c lj ) = k=1 k=1 l=1 k=1 l=1 ( p q q p q p ) = (a ik b kl )c lj = (a ik b kl )c lj = a ik b kl ) c lj = = k=1 l=1 l=1 k=1 q AB il c lj = (AB)C ij l=1 l=1 k=1

8 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 5 p p p A(B + C) ij = a ik B + C kj = a ik (b kj + c kj ) = (a ik b kj + a ik c kj ) = (i) k=1 k=1 k=1 p p = a ik b kj + a ik c kj = AB ij + AC ij = AB + AC ij k=1 k=1 A outra igualdade é inteiramente análoga à anterior e deixamos como exercício p p (j) α(ab) ij = α a ik b kj = (αa ik )b kj = (αa)b ij e k=1 k=1 p p α(ab) ij = α a ik b kj = a ik (αb kj ) = A(αB) ij k=1 k=1 (k) (A T ) T ij = A T ji = a ij = A ij (l) (A + B) T ij = A + B ji = a ji + b ji = A T ij + B T ij (m) (AB) T p ij = AB ji = p a jk b ki = A T kj B T ik = p B T ik A T kj = B T A T ij k=1 k=1 k=1 (n) (αa) T ij = αa ji = αa ji = α A T ij = αa T ij (o) É imediato A diferença entre duas matrizes de mesmo tamanho A e B é definida por A B = A + ( B), ou seja, é a soma da matriz A com a simétrica da matriz B Sejam A uma matriz n n e p um número inteiro positivo Definimos a potência p de A, por A p = A A E }{{} p vezes para p = 0, definimos A 0 = I n Exemplo 17 Vamos verificar se para matrizes A e B, quadradas, vale a igualdade Usando a propriedade (i) do teorema anterior obtemos (A + B)(A B) = A 2 B 2 (115) (A + B)(A B) = (A + B)A + (A + B)( B) = AA + BA AB BB = A 2 + BA AB B 2 Assim, (A + B)(A B) = A 2 B 2 se, e somente se, BA AB = 0, ou seja, se, e somente se, AB = BA Como o produto de matrizes não é comutativo, a conclusão é que a igualdade (115), não vale para matrizes em geral Como contra exemplo basta tomarmos duas matrizes que não comutem entre si Sejam A = e B = Para esta matrizes A + B = , A B = , A 2 = A = , B 2 = B = o Assim, (A + B)(A B) = = A 2 B 2 Exercícios Numéricos 111 Considere as seguintes matrizes A = , B =, C = D = 1 1 4, E = Se for possível calcule:, (a) AB BA, (b) 2C D,

9 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 6 (c) (2D T 3E T ) T, (d) D 2 DE 112 Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, como podemos calcular A(B + C), B T A T, C T A T e (ABA)C? 113 Considere as seguintes matrizes Verifique que: A = D = (a) AB é diferente de BA d d d , B = 2 0, C = 0 1 1, , E 1 = 0, E 2 = 1, E 3 = (b) AE j é a j-ésima coluna de A, para j = 1, 2, 3 e Ei T B é a i-ésima linha de B, para i = 1, 2,3 (o caso geral está no Exercício 1116 na página 8) (c) CD = d 1 C 1 d 2 C 2 d 3 C 3, em que C 1 = 0, C 2 = 1 e C 3 = 1, são as colunas da matriz C ( o caso geral está no Exercício 1117 (a) na página 8) d 1 L 1 (d) DC = d 2 L 2, em que L 1 = 2 1 1, L 2 = e L 3 = são as linhas de C (o caso d 3 L 3 geral está no exercício 1117 (b) na página 8) 2 1 (e) Escrevendo B em termos das suas colunas, B = B 1 B 2, em que B 1 = 2 e B 2 = 0, o produto 0 3 AB pode ser escrito como AB = A B 1 B 2 = AB 1 AB 2 ( o caso geral está no exercício 1118 (a) na página 9) (f) Escrevendo A em termos das suas linhas, A 1 = e A 2 = 1 2 1, o produto AB pode ser A 1 A 1 B escrito como AB = B = (o caso geral está no Exercício 1118 na página 9) A 2 A 2 B 114 Sejam A = e X = Verifique que xa 1 + ya 2 + za 3 = AX, em que A j é a j-ésima coluna de A, para j = 1,2, 3 (o caso geral está no Exercício 1119 na página 9) 115 Encontre um valor de x tal que AB T = 0, em que A = x 4 2 e B = Mostre que as matrizes A = y, em que y é um número real não nulo, verificam a equação X 2 = 2X y Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M =, então AB = BA (a) Determine todas as matrizes A, 2 2, diagonais que comutam com toda a matriz B, 2 2, ou seja, tais que AB = BA, para toda a matriz B, 2 2 (b) Determine todas as matrizes A, 2 2, que comutam com toda a matriz B, 2 2, ou seja, tais que AB = BA, para toda a matriz B, 2 2 Exercícios usando o Matlab R x y z Uma vez inicializado o Matlab R, aparecerá na janela de comandos um prompt >> ou EDU>> O prompt significa que o Matlab R está esperando um comando Todo o comando deve ser finalizado teclando-se Enter Comandos que foram dados anteriormente podem ser obtidos novamente usando as teclas e Enquanto estiver escrevendo um comando, este pode ser corrigido usando as teclas,, Delete e Backspace O Matlab R faz diferença entre letras maiúsculas e minúsculas

10 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 7 No Matlab R, pode-se obter ajuda sobre qualquer comando ou função O comando >> help (sem o prompt >>) mostra uma listagem de todos os pacotes disponíveis Ajuda sobre um pacote específico ou sobre um comando ou função específica por ser obtida com o comando >> help nome em que nome pode ser o nome de um pacote ou o nome de um comando ou função Além dos comandos e funções pré-definidas, escrevemos um pacote chamado gaal com funções específicas para a aprendizagem de Geometria Analítica e Álgebra Linear Este pacote pode ser obtido gratuitamente através da internet no endereço regi, assim como um texto com uma introdução ao Matlab R e instruções de como instalar o pacote gaal Depois deste pacote ser devidamente instalado, o comando help gaal no prompt do Matlab R dá informações sobre este pacote Vamos descrever aqui alguns comandos que podem ser usados para a manipulação de matrizes Outros comandos serão introduzidos à medida que forem necessários >> syms x y z diz ao Matlab R que as variáveis x y e z são simbólcas >>A=a11,,a1n;a21,,a2n; ;am1,,amn cria uma matriz, m n, usando os elementos a11,a12,,amn e armazena numa variável de nome A Por exemplo >> A=1,2,3;4,5,6 cria a matriz A = ; >> I=eye(n) cria a matriz identidade n n e a armazena numa variável I; >> O=zeros(n) cria a matriz nula n n e a armazena numa variável O; >> O=zeros(m,n) cria a matriz nula m n e a armazena numa variável O; >> A+B é a soma de A e B; >> A-B é a diferença A menos B; >> A*B é o produto de A por B; >> num*a é o produto do escalar num por A; >> A é a transposta de A; >> Â k é a potência A elevado a k; >> A(:,j) é a coluna j da matriz A; >> A(i,:) é a linha i da matriz A; >> diag(d1,,dn) cria uma matriz diagonal, cujos elementos da diagonal são d1,,dn; >> A=sym(A) converte a matriz A numa matriz em que os elementos são armazenados no formato simbólico A função numeric faz o processo inverso >> solve(expr) determina a solução da equação expr=0 Por exemplo, solve(x 2-4) determina as soluções da equação x 2 4 = 0 Comando do pacote GAAL: >> A=randi(n) cria uma matriz n n com os elementos inteiros aleatórios entre 5 e 5 e armazena numa variável de nome A >> A=randi(m,n) cria uma matriz m n com os elementos inteiros aleatórios entre 5 e 5 e armazena numa variável de nome A 119 Use o Matlab R para calcular alguns membros da sequência A, A 2,, A k,, para (a) A = 2 1 ; (b) A = A sequência parece estar convergindo para alguma matriz? Se estiver, para qual? 1110 Calcule as potências das matrizes dadas a seguir e encontre experimentalmente (por tentativas!) o menor inteiro k > 1 tal que (use o comando >> A=sym(A) depois de armazenar a matriz na variável A): (a) A k = I 3, em que (b) A k = I 4, em que A = A = ; ;

11 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 8 (c) A k = 0, em que A = Vamos fazer uma experiência no Matlab R para tentar ter uma ideia do quão comum é encontrar matrizes cujo produto comuta No prompt do Matlab R digite a seguinte linha: >> c=0; for n=1:1000,a=randi(3);b=randi(3);if(a*b==b*a),c=c+1;end,end,c (não esqueça das vírgulas e dos pontos e vírgulas!) O que esta linha manda o Matlab R fazer é o seguinte: Criar m contador c e atribuir a ele o valor zero Atribuir às variáveis A e B, 1000 matrizes 3 3 com entradas inteiras e aleatórias entre 5 e 5 Se AB=BA, ou seja, A e B comutarem, então o contador c é incrementado de 1 No final o valor existente na variável c é escrito Qual a conclusão que você tira do valor c escrito? 1112 Faça uma experiência semelhante à anterior, mas para o caso em que cada uma das matrizes é diagonal, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero Use a seta para cima para obter novamente a linha digitada e edite a linha prompt do Matlab R de forma a obter algo semelhante à linha: >> c=0; for n=1:1000,a=diag(randi(1,3)); Qual a conclusão que você tira do valor obtido na variável c? 1113 Faça uma experiência semelhante à anterior, mas para o caso em que uma das matrizes é diagonal Use a seta para cima para obter novamente a linha digitada e edite a linha no prompt do Matlab R de forma a obter a seguinte linha: >> c=0; for n=1:1000,a=diag(randi(1,3));b=randi(3);if(a*b==b*a),c=c+1;a,b, end,end,c Aqui são impressas as matrizesaebquando elas comutarem Qual é a conclusão que você tira desta experiência? Qual a probabilidade de um tal par de matrizes comutarem? 1114 Use o Matlab R para resolver os Exercícios Numéricos Exercícios Teóricos 1115 Dadas as matrizes A = (a ij ) 2 3, B = (b ij ) 3 2, C = (c ij ) 2 2 e D = (d ij ) 2 3, quais das seguintes operações são possíveis? (a) 3A (e) B(7A) (i) (AB)C (b) (7A)B (f) C + BA (j) A(BC) (c) (B + D) + A (g) AB + C (k) (DB)A (d) A T + 4D (h) C(A + D) (l) D T (BA) T T T 1116 Sejam E 1 = 1 0 0, E2 = 0 1 0,, En = matrizes n 1 (a) Mostre que se A = então AE j é igual à coluna j da matriz A (b) Mostre que se então Ei T B é igual à linha i da matriz B a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn, b 11 b 12 b 1m b 21 b 22 b 2m B =, b n1 b n2 b nm 1117 Seja D = λ λ 2 0, 0 0 λ n

12 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 9 uma matriz diagonal n n, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero Seja a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn (a) Mostre que o produto AD é obtido da matriz A multiplicando-se cada coluna j por λ j, ou seja, se a 1j A = A 1 A 2 A n, em que A j = é a coluna j de A, então a nj AD = λ 1 A 1 λ 2 A 2 λ na n (b) Mostre que o produto DA é obtido da matriz A multiplicando-se cada linha i por λ i, ou seja, se A = A 1 A 2, em que A i = a i1 a in é a linha i de A, então A n λ 1 A 1 λ 2 A 2 DA = λ na n 1118 Sejam A e B matrizes m p e p n, respectivamente (a) Mostre que a j-ésima coluna do produto AB é igual ao produto AB j, em que B j = coluna de B, ou seja, se B = B 1 B n, então b 1j b pj é a j-ésima AB = A B 1 B n = AB 1 AB n (b) Mostre que a i-ésima linha do produto AB é igual ao produto A i B, em que A i = a i1 a ip é a i-ésima A 1 A 2 linha de A, ou seja, se A =, então A m A 1 A 1 B A 2 AB = B = A 2 B A m A mb x Sejam A uma matriz m n e X = uma matriz n 1 Prove que AX = n x j A j, em que A j é a j=1 x n j-ésima coluna de A (Sugestão: desenvolva o lado direito e chegue ao lado esquerdo) (a) Mostre que se A é uma matriz m n tal que AX = 0, para toda a matriz X, n 1, então A = (Sugestão: use o Exercício 1116 na página 8) (b) Sejam B e C matrizes m n tais que BX = CX, para todo X, n 1 Mostre que B = C (Sugestão: use o item anterior) 1121 Mostre que a matriz identidade I n é a única matriz tal AI n = I na = A para qualquer matriz A, n n (Sugestão: seja J n uma matriz talque AJ n = J na = A Mostre que J n = I n) 1122 Se AB = BA e p é um inteiro positivo, mostre que (AB) p = A p B p 1123 Sejam A, B e C matrizes n n (a) (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2? E se AB = BA? Justifique (b) (AB)C = C(AB)? E se AC = CA e BC = CB? Justifique (Sugestão: veja o Exemplo 17 na página 5)

13 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares (a) Se A e B são duas matrizes tais que AB = 0, então A = 0 ou B = 0? Justifique (b) Se AB = 0, então BA = 0? Justifique (c) Se A é uma matriz tal que A 2 = 0, então A = 0? Justifique 1125 Dizemos que uma matriz A, n n, é simétrica se A T = A e é anti-simétrica se A T = A (a) Mostre que se A é simétrica, então a ij = a ji, para i, j = 1,, n e que se A é anti- -simétrica, então a ij = a ji, para i, j = 1,, n Portanto, os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são iguais a zero (b) Mostre que se A e B são simétricas, então A + B e αa são simétricas, para todo o escalar α (c) Mostre que se A e B são simétricas, então AB é simétrica se, e somente se, AB = BA (d) Mostre que se A e B são anti-simétricas, então A + B e αa são ant-simétricas, para todo o escalar α (e) Mostre que para toda a matriz A, n n, A + A T é simétrica e A A T é anti-simétrica (f) Mostre que toda a matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica (Sugestão: observe o resultado de A + A T com A A T ) 1126 Para matrizes quadradas A = (a ij ) n n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(a) = n a ii i=1 (a) Mostre que tr(a + B) = tr(a) + tr(b) (b) Mostre que tr(αa) = αtr(a) (c) Mostre que tr(a T ) = tr(a) (d) Mostre que tr(ab) = tr(ba) 1127 Seja A uma matriz n n Mostre que se A T A = 0, então A = 0 (Sugestão: use o traço) E se a matriz A for m n, com m n? 1128 Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativos Mostre que: (a) Se D 1 e D 2 são matrizes diagonais n n, então D 1 D 2 = D 2 D 1 (b) Se A é uma matriz n n e em que a 0,, a k são escalares, então AB = BA Apêndice I: Notação de Somatório B = a 0 I n + a 1 A + a 2 A a k A k, São válidas algumas propriedades para a notação de somatório: (a) O índice do somatório é uma variável muda que pode ser substituída por qualquer letra: n n f i = f j i=1 (b) A ordem em que começa o somatório pode ser alterada: Pois n f i = i=1 j=1 n+m i=1+m f i m n f i = f f n = f (1+m) m + + f (n+m) m = i=1 (c) O somatório de uma soma pode ser escrito como uma soma de somatórios: Pois i=1 n n n (f i + g i ) = f i + g i i=1 i=1 i=1 n+m i=1+m f i m n n n (f i + g i ) = (f 1 + g 1 ) + + (f n + g n) = (f f n) + + (g g n) = f i + g i Aqui foram aplicadas as propriedades associative e comutativa da soma e números i=1 i=1

14 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 11 (d) Se no termo geral do somatório aparece um produto, em que um factor não depende do índice do somatório, então este factor pode sair do somatório: n n f i g k = g k f i Pois i=1 i=1 n n f i g k = f 1 g k + + f ng k = g k (f f n) = g k f i i=1 i=1 Aqui foram aplicadas as propriedades distributiva e comutativa do produto em relação à soma de números (e) Num somatório duplo, a ordem dos somatórios pode ser trocada: n m n m f ij = f ij Pois n i=1 j=1 m f ij = i=1 j=1 i=1 j=1 n (f i1 + + f im ) (116) i=1 = (f f 1m ) + + (f n1 + + f nm) (117) = (f f n1 ) + + (f 1m + + f nm) (118) m = (f 1j + + f nj ) (119) = j=1 n m f ij (1110) i=1 j=1 Aqui foram aplicadas as propriedades comutativa e associativa da soma de números 12 Sistemas de Equações Lineares Muitos problemas em várias áreas da Ciência recaem na solução de sistemas lineares Vamos ver como a álgebra matricial pode simplificar o estudo dos sistemas lineares Uma equação linear de n variáveis x 1, x 2,, x n é uma equação da forma em que a 1, a 2,, a n e b são constantes reais a 1 x 1 + a 2 x a nx n = b, Um sistema de equações lineares ou simplesmente sistema linear é um conjunto de equações lineares, ou seja, é um conjunto de equações da forma a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mnx n = b m em que a ij e b k são constantes reais, para i, k = 1,, m e j = 1,, n Usando o produto de matrizes que definimos na secção anterior, o sistema linear acima pode ser escrito como uma equação matricial AX = B, em que a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n A =, X = x 2 e B = b 2 a m1 a m2 a mn x n b m s 1 s 2 Uma solução de um sistema linear é uma matriz S = tal que as equações do sistema são satisfeitas s n quando substituímos x 1 = s 1, x 2 = s 2,, x n = s n O conjunto de todas as soluções do sistema é chamado conjunto solução ou solução geral do sistema A matriz A é chamada matriz dos coeficientes do sistema linear

15 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 12 e a matriz B é chamada matriz dos termos independentes Um sistema linear é dito consistente ou possível se tiver pelo menos uma solução Caso contrário, dizemos que o sistema é inconsistente ou impossível Exemplo 18 O sistema linear de duas equações e duas incógnitas { x + 2y = 1 2x + y = 0 pode ser escrito como A solução (geral) do sistema acima é x = 1/3 e y = 2/3 (verifique!), ou seja, 1 X = x y Uma forma de resolver um sistema linear é substituir o sistema inicial por outro que tenha o mesmo conjunto solução do primeiro, mas que seja mais fácil de resolver O outro sistema é obtido depois de aplicarmos sucessivamente uma série de operações, que não alteram a solução do sistema, sobre as equações As operações que são usadas são: trocar a posição de duas equações do sistema; multiplicar uma equação por um escalar diferente de zero; somar a uma equação outra equação multiplicada por um escalar Estas operações são chamadas de operações elementares Quando aplicamos operações elementares sobre as equações de um sistema linear, somente os coeficientes das incógnitas e os termos independentes são alterados Assim, podemos aplicar as operações sobre a matriz de coeficientes ampliada com a coluna dos termos independentes, que chamamos de matriz ampliada, ou seja, a matriz a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 A B = = 1 0 a m1 a m2 a mn b m Definição 16 Uma operação elementar sobre linhas de uma matriz é uma das seguintes operações: (a) trocar a posição de duas linhas; (b) multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero; (c) somar a uma linha da matriz um múltiplo escalar de outra linha Outra definição importante é a que classifica a relação entre linhas Definição 17 Dada uma matriz A, m n, dizemos que o conjunto das suas filas (linhas ou colunas) são linearmente dependentes: 1 se existir pelo menos uma fila nula; 2 se existirem duas filas proporcionais; em particular, se existirem duas iguais; 3 se existir uma fila que seja igual à soma de múltiplos das outras filas Caso contrário, dizemos que o conjunto das filas é linearmente independente Iremos ver mais adiante que o número máximo de elementos que um conjunto, formado pelas filas de uma matriz, pode ter para ser linearmente independente, é o mesmo quer as filas sejam linhas ou colunas O próximo teorema garante que ao aplicarmos operações elementares às equações de um sistema, o conjunto solução não é alterado Teorema 12 Se dois sistemas lineares AX = B e CX = D são tais que a matiz ampliada C D é obtida de A B aplicando-se uma operação elementar, então os dois sistemas possuem as mesmas soluções

16 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 13 Demonstração: A demonstração deste teorema segue de duas observações: (a) Se X é solução de um sistema, então X também é solução do sistema obtido aplicando-se uma operação elementar sobre as suas equações (verifique!) (b) Se o sistema CX = D é obtido de AX = B aplicando-se uma operação elementar às suas equações (ou equivalentemente às linhas da sua matriz ampliada), então o sistema AX = B também pode ser obtido de CX = D aplicando-se uma operação elementar às suas equações, pois cada operação elementar possui uma operação elementar inversa do mesmo tipo que desfaz o que a anterior fez (verifique!) Pela observação (b), AX = B e CX = D podem ser obtidos um do outro aplicando-se uma operação elementar sobre as suas equações E pela observação (a), os dois possuem as mesmas soluções Dois sistemas que possuem o mesmo conjunto solução são chamados sistemas equivalentes Portanto, segue do Teorema 12 que aplicando-se operações elementares às equações de um sistema linear obtemos sistemas equivalentes 121 Método de Gauss-Jordan O método que vamos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplicação de operações elementares às linhas da matriz ampliada do sistema até que obtenhamos uma matriz numa forma em que o sistema associado a esta matriz seja de fácil resolução Vamos procurar obter uma matriz numa forma em que todas as linhas não nulas possuam como primeiro elemento não nulo o número 1 (chamado pivot) Além disso, se uma coluna contém um pivot, então todos os seus outros elementos terão que ser iguais a zero Vamos ver no exemplo seguinte como conseguimos isso Neste exemplo, veremos como a partir de um circuito eléctrico em que conhecemos as fontes e as resistências podemos determinar as correntes eléctricas Exemplo 19 Consideremos o seguinte sistema eléctricos 20Ω Q 10Ω 80 volts 10Ω 90 volts i 1 i 2 i 3 P 15Ω Para obter o sistema de equações, definimos as três correntes (incógnitas do sistema) conforme representadas no esquema acima, escolhendo a direcção aleatoriamente; se obtivermos um valor negativo para a corrente, isto implica que a corrente flui no sentido inverso àquele escolhido A corrente que entra em cada fonte é a mesma que sai As equações para as correntes resultam das leis de Kirchhoff: Lei de Kirchhoff para a corrente Em qualquer nó, a soma das correntes que entram é igual à soma das correntes que saem Lei de Kirchhoff para a voltagem Em qualquer loop fechado, a soma das tensões é igual à força electromotriz O nó P dá-nos a primeira equação, o nó Q a segunda, o loop da direita a terceira e o loop da esquerda a quarta nó P : i 1 i 2 + i 3 = 0 nó Q : i 1 + i 2 i 3 = 0 loop direito : 10i i 3 = 90 loop esquerdo : 20i i 2 = 80 Assim, precisamos resolver o sistema linear i 1 i 2 + i 3 = 0 i 1 + i 2 i 3 = 0 10i i 3 = 90 20i i 2 = 80

17 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 14 cuja matriz ampliada é a eliminação Vamos procurar para pivot da primeira linha um elemento não nulo da primeira coluna não nula (se for o caso, podemos usar a troca de linhas para trazê-lo para a primeira linha) Como o primeiro elemento da primeira coluna é igual a 1 ele será o primeiro pivot Agora, precisamos anular os outros elementos da 1 a coluna, que é a coluna do pivot Para isto, adicionamos à 2 a linha uma vez a 1 a linha e adicionamos à 4 a linha, 20 vezes a 1 a 2 a eliminação 1 a linha + 2 a linha 2 a linha 20 1 a linha + 4 a linha 4 a linha A primeira linha que serviu de linha do pivot manteve-se inalterada Olhamos para a submatriz obtida eliminandose a 1 a linha Uma vez que todos os elementos da 2 a linha são nulos, vamos ter que alterar a ordem das linhas passando a 2 a para a última e fazendo subir as outras duas Assim obtemos Escolhemos o elementos da posição 2,2 para pivot Agora precisamos anular os outros elementos da 2 a coluna, que é a coluna do pivot Para isso, somamos 10 vezes a 1 a linha, à 2 a linha e somamos à 3 a linha, 3 vezes a 2 a linha 3 a eliminação 2 a linha a linha 1 a linha 3 2 a linha + 3 a linha 3 a linha Olhamos para a submatriz obtida eliminando a 1 a e a 2 a linha Escolhemos para pivot um elemento diferente de zero na 1 a coluna não nula desta submatriz Temos de escolher o elemento de posição 3,3 Podemos fazer o pivot igual a 1 a, multiplicando a 3 a linha por 1/ a linha 3 a linha Agora, precisamos anular os outros elementos da 3 a coluna, que é a coluna do pivot Para isto, somamos à 1 a linha, 35 vezes a 3 a linha e somamos à 2 a linha, 25 vezes a 3 a linha a linha + 1 a linha 1 a linha a linha + 2 a linha 2 a linha Resta-nos apenas passar os dois primeiros pivots a 1 Para isso, basta multiplicar as duas primeiras linhas por 1/ a linha 1 a linha a linha 2 a linha a Esta operação de tornar o pivot igual a 1 é sempre possível No entanto, quando estamos a fazer as contas à mão só convém fazê-la quando não implicar o aparecimento de fracções

18 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 15 Portanto, o sistema inicialmente dado é equivalente ao sistema i 1 = 2 i 2 = 4, i 3 = 2 que possui a solução geral dada por i 1 2 X = i 2 = 4 i 3 2 Esta é a resposta ao nosso problema A solução é única Observe ainda que os valores das três correntes são positivos, o que significa que escolhemos bem inicialmente o sentido das correntes! A última matriz que obtivemos no exemplo anterior está na forma que chamamos de escalonada reduzida Definição 18 Uma matriz A = (a ij ) m n está na forma escalonada reduzida quando satisfaz as seguintes condições: (a) todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas; (b) o primeiro elemento não nulo de cada linha não nula, chamado pivot, é igual a 1; (c) o pivot da linha i + 1 ocorre à direita do pivot da linha i, para i = 1,, m 1; (d) se uma coluna contém um pivot, então todos os seus outros elementos são iguais a zero Se uma matriz satisfaz as propriedades (a) e (c), mas não necessariamente (b) e (d), dizemos que ela está na forma escalonada Exemplo 110 As matrizes , são escalonadas reduzidas, enquanto que as matrizes , são escalonadas, mas não são escalonadas reduzidas , e, e Este método de resolução de sistemas, que consiste em aplicar operações elementares às linhas da matriz ampliada até que a matriz do sistema esteja na forma escalonada reduzida, é conhecido como método de Gauss-Jordan Exemplo 111 Considere o seguinte sistema x + 3y + 13z = 9 y + 5z = 2 2y 10z = 8 A sua matriz ampliada é 1 a eliminação Como o pivot da 1 a linha é igual a 1 e os outros elementos da 1 a coluna são iguais a zero, não há nada o que fazer na 1 a eliminação a eliminação

19 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 16 Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a 1 a linha Escolhemos para pivot um elemento não nulo da 1 a coluna não nula da submatriz Escolhemos o elemento de posição 2, 2 Como ele é igual a 1, precisamos agora anular os outros elementos da coluna do pivot Para isto somamos à 1 a linha, 3 vezes a 2 a e somamos à 3 a linha, 2 vezes a 2 a 3 2 a linha + 1 a linha 1 a linha 2 2 a linha + 3 a linha 3 a linha Portanto, o sistema dado é equivalente ao sistema x 2z = 3 y + 5z = 2 0 = 4, que não possui solução Um sistema linear não tem solução se, e somente se, existir uma linha não nula da forma 0 0 b, com b 0, na forma escalonada reduzida da sua matriz ampliada Exemplo 112 Considere o seguinte sistema 3z 9w = 6 5x + 15y 10z + 40w = 45 x + 3y z + 5w = 7 A sua matriz ampliada é 1 a eliminação Como temos que fazer o pivot igual a 1, escolhemos o elemento de posição 3,1 Precisamos colocá-lo na primeira linha Para isto, trocamos a 3 a linha com a 1 a a linha 3 a linha Agora precisamos anular os outros elementos da 1 a coluna, que é a coluna do pivot Para isto, adicionamos à 2 a linha, 5 vezes a 1 a a linha + 2 a linha 2 a linha a eliminação Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a 1 a linha Escolhemos para pivot um elemento diferente de zero na 1 a coluna não nula desta submatriz Escolhemos o elemento de posição 2, 3 Podemos fazer o pivot igual a 1, multiplicando a 2 a linha por 1/ a linha 2 a linha Agora precisamos anular os outros elementos da 2 a coluna, que é a coluna do pivot Para isto, adicionamos à 1 a linha a 2 a e à 4 a linha, 3 vezes a 2 a 2 a linha + 1 a linha 1 a linha 3 2 a linha + 3 a linha 3 a linha Esta matriz está na forma escalonada reduzida Portanto, o sistema dado é equivalente ao sistema seguinte { x + 3y + 2w = 7 z 3w = 2

20 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 17 A matriz deste sistema possui duas colunas sem pivots As variáveis que não estão associadas a pivots podem ser consideradas variáveis livres, isto é, podem assumir valores arbitrários Neste exemplo, as variáveis y e w não estão associadas a pivots e podem ser consideradas variáveis livres Sejam y = α e w = β As variáveis associadas aos pivots terão os seus valores dependentes das variáveis livres, ou seja, z = 2 + 3β e x = 7 3α 2β Assim, a solução geral do sistema é X = x y z w = 7 3α 2β α 2 + 3β β para todos os valores de α e β reais Exemplo 113 Consideremos a seguinte equação química C 2 H 6 + O 2 CO 2 + H 2 O Pretendemos fazer o balanço de massa nesta equação, isto é, encontrar inteiros positivos x 1, x 2, x 3 e x 4 tais que x 1 C 2 H 6 + x 2 O 2 x 3 CO 2 + x 4 H 2 O Como o número de átomos de cada elemento tem de ser o mesmo nos dois membros da equação, temos: carbono (C): 2x 1 = x 3 hidrogénio (H): 6x 1 = 2x 4 oxigénio (O): 2x 2 = 2x 3 + x 4 Assim, precisamos resolver o sistema 2x 1 x 3 = 0 6x 1 2x 4 = 0 2x 2 2x 3 x 4 = 0, cuja matrix ampliada é 1 a eliminação Escolhemos o elemento de posição 1,1 para pivot Agora precisamos anular os outros elementos da 1 a coluna, que é a coluna do pivot Para isto, adicionamos à 2 a linha, 3 vezes a 1 a a linha + 2 a linha 2 a linha a eliminação Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a 1 a linha Escolhemos para pivot um elemento diferente de zero na 1 a coluna não nula desta submatriz Escolhemos o elemento de posição 3, 2 Precisamos colocá-lo na segunda linha Para isto, trocamos a 3 a linha com a 2 a 2 a linha 3 a linha Como os outros elementos da 3 a coluna, que é a coluna do pivot, já estão zerados, escolhemos o próximo pivot o elemento de posição 3,3 3 a eliminação Agora precisamos anular os outros elementos da 3 a coluna, que é a coluna do pivot Para isto, adicionamos a 3 vezes a 2 a linha, 2 vezes a 3 a e a 3 vezes a 1 a, uma vez a 3 a 2 3 a linha a linha 2 a linha 3 a linha a linha 1 a linha

21 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 18 Para passar esta matriz à forma escalonada reduzida, basta multiplicar a 1 a e 2 a linha por 1/6 e a 3 a linha por 1/3 1/6 1 a linha 1 a linha /6 2 a linha 2 a 3 linha a linha 3 a 6 linha Esta matriz está na forma escalonada reduzida Portanto, o sistema dado é equivalente ao sistema seguinte x x 4 = 0 x x 4 = 0 x x 4 = 0 Neste exemplo, a variável x 4 não está associada a qualquer pivot e pode ser considerada variável livre Seja x 4 = α As variáveis associadas aos pivots terão os seus valores dependentes da variável livre, ou seja, x 1 = 1/3α, x 2 = 7/6α e x 3 = 2/3α Assim, a solução geral do sistema é x 1 x 2 X = x 3 = x 4 1/3α 7/6α 2/3α α para todos os valores de α reais Observe que este problema não tem uma solução única Qual o seu significado? Em geral, se o sistema linear tiver solução e a forma escalonada reduzida da matriz ampliada possuir colunas sem pivots, as variáveis que não estão associadas a pivots podem ser consideradas variáveis livres, isto é, podem assumir valores arbitrários As variáveis associadas ao pivots terão os seus valores dependentes das variáveis livres Resumindo, podemos classificar os sistemas em: a) sistema possível determinado (SPD), quando o sistema é consistente e admite uma única solução; b) sistema possível indeterminado (SPI), quando o sistema é consistente, mas admite mais do que uma solução; c) sistema impossível (SI), quando o sistema é inconsistente Observação 12 Para se encontrar a solução de um sistema linear não é necessário transformar a matriz ampliada do sistema na sua forma escalonada reduzida, mas se a matriz está nesta forma, o sistema associado é o mais simples possível Um outro método de resolver sistemas lineares consiste em, através da aplicação de operações elementares à matriz ampliada do sistema, se chegar a uma matriz que é somente escalonada (isto é, uma matriz que satisfaz as condições (a) e (c), mas não necessariamente (b) e (d) da Definição 18) Este método é conhecido como o Método de Gauss Como vimos, os sistemas podem ser consistentes ou inconsistentes A definição seguinte permitir classificar os sistemas de uma maneira bastante prática Definição 19 A característica de uma matriz A é o número máximo de linhas linearmente independentes e denotaremos por Car(A) Observação 13 Uma maneira alternativa de definir característica de uma matriz é dada pelo número de pivots quando esta estiver na forma escalonada reduzida No teorema seguinte estabelece-se que o número máximo de linhas linearmente independentes é igual ao número máximo de colunas linearmente independentes Teorema 13 Dada a A matriz m n, temos Car(A T ) = Car(A) Demonstração: Seja A = (A ij ) m n tal que Car(A) = r Então, por definição, A tem um conjunto de r linhas linearmente independentes, L (1),, L (r) e todas as m linhas, A 1,, A m, podem ser escritas como combinações lineares das outras A 1 = c 11 L (1) + c 12 L (2) + + c 1r L (r) A 2 = c 21 L (1) + c 22 L (2) + + c 2r L (r) A m = c m1 L (1) + c m2 L (2) + + c mrl (r)

22 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 19 Estas são equações matriciais Cada uma é equivalente a n equações para os correspondentes componentes Fazendo L (1) = l 11 l 1n, L (2) = l 21 l 2n,, L (r) = l r1 l rn, obtemos para k = 1,, n Podemos reescrever a 1k a 2k = l 1k a mk a 1k = c 11 l 1k + c 12 l 2k + + c 1r l rk a 2k = c 21 l 1k + c 22 l 2k + + c 2r l rk a mk = c m1 l 1k + c m2 l 2k + + c mrl rk, c 11 c 21 + l 2k c m1 c 12 c l rk c m2 c 1r c 2r c mr para k = 1,, n A matriz do membro esquerdo da equação é a coluna k da matriz A Portanto, as equações mostram que cada coluna da matriz A é igual à soma de múltiplos das r colunas da direita Logo, o número máximo colunas, da matriz A, linearmente independentes não pode exceder as r Agora, o mesmo raciocínio aplica-se à matriz A T Uma vez que as linhas de A T são as colunas de A, concluímos também que o número máximo de linhas linearmente independentes de A (que é de r) não pode exceder o número máximo de colunas linearmente independentes da matriz A Logo esse número tem de ser igual a r Consideremos o sistema de equações AX = B, onde A e B são matrizes m n e m 1, respectivamente Em termos da característica de uma matriz, podemos dizer: a) se Car(A) = Car(A B) = n, então o sistema é do tipo SPD; b) se Car(A) = Car(A B) < n, então o sistema é do tipo SPI; c) se Car(A) < Car(A B), então o sistema é do tipo SI Observação 14 Se a matriz A e a ampliada do sistema A B tiverem características diferentes, então o sistema é inconsistente, ou seja, não existe solução Se as duas matrizes tiverem a mesma característica, então o sistema é consistente e demonstra-se que a solução conterá n Car(A) variáveis livres Exemplo 114 Considere a seguinte matriz ampliada de um sistema de equações 1 1 x 1 A B = 1 2 4x 4 0 x 4 x 2 4x + 2 Pretendemos classificar o sistema em função do parâmetro x 1 a eliminação Escolhemos o elemento de posição 1,1 para pivot Agora precisamos anular os outros elementos da 1 a coluna, que é a coluna do pivot Assim, adicionamos à 2 a linha, 1 vezes a 1 a 1 1 x a linha + 2 a linha 2 a linha 0 3 3x 3 0 x 4 x 2 4x a eliminação Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a 1 a linha Escolhemos para pivot um elemento diferente de zero na 1 a coluna não nula desta submatriz Escolhemos o elemento de posição 2,2 Podemos reduzi-lo à unidade Para isso, multiplicamos a 2 a linha por 1/3 1/3 2 a linha 2 a linha 1 1 x x 1 0 x 4 x 2 4x + 2 Agora precisamos anular os outros elementos da 2 a coluna, que é a coluna do pivot Para isto, adicionamos à 1 a, uma vez a 2 a e à 3 a linha, x vezes a 2 a 2 a linha + 1 a linha 1 a 1 0 2x 0 linha x 2 a linha + 3 a linha 3 a 0 1 x 1 linha 0 0 x 2 4 x 2 3x + 2 Embora não esteja ainda na forma escalonada reduzida, já podemos determinar as características:

23 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 20 e Car(A) = { Car(A B) = 2, se x = ±2 3, se x ±2 { Logo, temos a seguinte classificação: SPD, se x ±2; SPI, se x = 2; SI, se x = 2 2, se x = 2 3, se x 2, porque x2 3x + 2 = (x 2)(x 1) O próximo resultado mostra que um sistema linear que tenha mais de uma solução não pode ter um número finito de soluções Teorema 14 Sejam A e B matrizes m n e m 1, respectivamente Se o sistema linear AX = B possui duas soluções distintas X 0 X 1, então ele tem infinitas soluções Demonstração: Seja X λ = (1 λ)x 0 + λx 1, para λ R Vamos mostrar que X λ é solução do sistema AX = B, para qualquer λ R Para isto vamos mostrar que AX λ = B Aplicando as propriedades (i) e (j) das operações matriciais (Teorema 11 na página 3) obtemos AX λ = A (1 λ)x 0 + λx 1 = A(1 λ)x 0 + AλX 1 = (1 λ)ax 0 + λax 1 Como X 0 e X 1 são soluções de AX = B, então AX 0 = B e AX 1 = B Portanto AX λ = (1 λ)b + λb = (1 λ) + λ B = B, pela propriedade (f) do Teorema 11 Assim, o sistema AX = B tem infinitas soluções, pois para todo o valor de λ R, X λ é solução e X λ X λ = (λ λ )(X 1 X 0 ), ou seja, X λ X λ, para λ λ Observe que para λ = 0, X λ = X 0, para λ = 1, X λ = X 1, para λ = 1/2, X λ = 1 2 (X 0 + X 1 ), para λ = 3, X λ = 2X0 + 3X 1 e para λ = 2, X λ = 3X 0 2X 1 No Exemplo 34 na página 58 temos uma interpretação geométrica desta demonstração Para resolver sistemas lineares temos vindo a aplicar operações elementares à matriz ampliada do sistema linear Isto pode ser feito com quaisquer matrizes 122 Matrizes Equivalentes por Linhas Definição 110 Uma matriz A = (a ij ) m n é equivalente por linhas a uma matriz B = (b ij ) m n, se B pode ser obtida de A aplicando-se uma sequência de operações elementares sobre as suas linhas Exemplo 115 Observando os Exemplos 19, 111 e 112, vemos que as matrizes , 0 1 5, são equivalentes por linhas, respectivamente, às seguintes matrizes escalonadas reduzidas , 0 1 5, Cuidado: elas são equivalentes por linhas, não são iguais!, A relação ser equivalente por linhas satisfaz as seguintes propriedades

24 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 21 Teorema 15 (a) Toda a matriz é equivalente por linhas a ele mesma (reflexividade) (b) Se A é equivalente por linhas a B, então B é equivalente por linhas a A (simetria) (c) Se A é equivalente por linhas a B e B é equivalente por linhas a C, então A é equivalente por linhas a C (transitividade) Demonstração: (a) Basta multiplicar qualquer linha da matriz por um escalar igual a 1 (b) Cada operação elementar e tem uma operação elementar e 1 do mesmo tipo que desfaz o que a anterior fez (verifique!) Se aplicarmos as operações e 1,, e k na matriz A chegamos à matriz B Então, aplicando-se as operações inversas e 1 k,, e 1 1 à matriz B, chegamos à matriz A (c) Se aplicarmos as operações elementares e 1,, e k chegamos de A a B e aplicando-se as operações elementares e k+1,, e l chegamos de B a C Então, aplicando-se as operações e 1,, e l chegamos de A a C Em geral, qualquer matriz A é equivalente por linhas a uma matriz na forma escalonada reduzida e a demonstração, que omitiremos, pode ser feita da mesma maneira que fizemos no caso particular das matrizes ampliadas dos Exemplos 19, 111 e 112 No Teorema 411 na página 107 mostramos que essa matriz escalonada reduzida é a única matriz na forma escalonada reduzida equivalente a A O próximo resultado será usado para provar alguns resultados no capítulo de inversão de matrizes Teorema 16 Seja R uma matriz n n, na forma escalonada reduzida Se R I n, então R tem uma linha nula Demonstração: Observe que o pivot de uma linha i está sempre numa coluna j com j i Portanto, ou a última linha de R é nula ou o pivot da linha n está na posição n, n Mas neste caso, todas as linhas anteriores são não nulas e os pivots de cada linha i está na coluna i Ou seja, R = I n 123 Sistemas Lineares Homogéneos Um sistema linear da forma a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0, (1211) a m1 x 1 + a m2 x a mnx n = 0 é chamado sistema homogéneo O sistema (1211) pode ser escrito como AX = 0 Todo o sistema homogéneo x 1 0 x 2 admite pelo menos a solução X = = 0, chamada solução trivial x n 0 Portanto, todo o sistema homogéneo tem solução Além disso, pelo Teorema 14, ou tem somente a solução trivial ou tem infinitas soluções Observação 15 Para resolver um sistema linear homogéneo AX = 0, basta escalonarmos a matriz A do sistema, já que sob a acção de uma operação elementar a coluna de zeros não é alterada Mas é preciso ficar atento quando se escreve o sistema linear associado à matriz resultante das operações elementares, para se levar em consideração esta coluna de zeros que não escrevemos Teorema 17 Se A = (a ij ) m n é tal que m < n, então o sistema homogéneo AX = 0 tem soluções diferentes da solução trivial Ou seja, todo o sistema homogéneo com menos equações do que incógnitas tem infinitas soluções Demonstração: Como o sistema tem menos equações do que incógnitas (m < n), o número de linhas não nulas r da forma escalonada reduzida da matriz ampliada do sistema também é tal que r < n Assim, temos r pivots e n r variáveis (incógnitas) livres, que podem assumir todos os valores reais Logo, o sistema admite solução não trivial e portanto infinitas soluções O conjunto solução de um sistema linear homogéneo satisfaz propriedades interessantes Estas propriedades terão um papel decisivo no estudo de subespaços de R n na secção 42 na página 99